장음표시 사용
91쪽
α GEOMETRIAE Sin verb contra ternario radioem ejusdem dinu tionis diminuere velimus, facienda est 3 zo , &xx. Atque ita porrb. Ita ut loco
x M. ι- Vbi notandum est . dum verae radices alicujus Mquationis augentur , falsas eadem quantitate diminui; e i, salse & contra . dum verae diminuqntur, salsas augeri: Et quidem tum has tum illas prorsus evanescere, siquan- .eontra. titate ipsis aequali diminuantur ; si vero quantitate ipsas superante ia tum ex veris falsas evadere. R ex falsis veras. V t tac, augendo ternario veram radicem , quae
erat s , diminuitur ternario quaelibet ex salsis; ita ut illa quae erat 4 , non valeat plus quam r; Aquae erat 3 , sit cyphra seu o; & quae erat 1, facta si vera, sitque 3 cum - 2 3 faciat -- I. Adeo ut in hac AEquatione - - 8 m o, non plures quam tres sint radices , inter quas duae verae existunt, utpote et & 8 : Runa falsa, quae etiam est 1: Et in hac alterar- -I6Iy.' in III -υ - 42O M O una tantim vera, quae est 2, quia H- s - 3 facit -- 2; & tres salse, quae sunt F ,'. i
Iam vero beneficio modi hujus mutandi valorem ra- eundis dicum, ipsis non cognitis, duo fieri possunt, quae in sequentibus usum aliquem habebunt. Vnum est , quod isti iba semper secundus terminus AEquationis . quam examinamus, tolli possit: Nimirum , diminuendo veras ra- . dices,
92쪽
L1nER T E R T I V S. 73dices, quantitate cognita secundi termini divisa per numerum dimensionum primi , si unus ex hisce duobus terminis notatus fuerit signo - . & alter signo -; aut augendo illas eadem quantitate, si uterque eodem signo fuerit adfectus. Vt ad tollendum secundum terminum ultimae AEquationis Y i 6 ' --ΑΣΟ M o, divisis iis per 4 , propter dimensiones termini θ', provenietrursus : hinc iacio αἰ- III , & scribo, - - I6α -- I9Σ Σα 768 ro1 in II αα-s68α--II 36
ubi vera radix , quae erat z, est is, cum ipsa quaternario sit aucta; &salia. quae erant F, 6,&7 , tantummodo sunt x, et,& 3. cum illae quaternario singulae sint diminutae. Eodem modo si tollere velimus secundum terminum AEquationis
93쪽
GEOMETRIAE ubi postquam innotuit valor ipsius α, addendo ipsi fhabebitur valor radicis x. eis Alterum, quod hic postea usum aliquem habebit, est. quod , dum augetur valor verarum radicum, quantitate due , - majore aliqua ex salsis, radices omnes verae semper fieri possint, ita ut non habeantur duo signa in . aut duo misi, uti signa - , quae se inVicem sequantur ; 8c insuper, ut quantitas cognita tertii termini quadrato semissis secundi major sit. Nam licet id fiat, etiamsi salsae radices in-- cognitae sint; tamen facile est de illarum magnitudine. praeterpropter judicare, atque quantitatem aliquam assumere . quae ipsas in tantum ves plus superet, quantum ad essectum hunc requiritur. 1i Vt si habeatur
Vbi manifestum est, quod so nn quantitas cognita tertii termini) major sit quadrato a In semisse quanti
tatis cognitae secundi termini. Neque ullus alius est casus, in quo quantitas. qua verae radices augentur ,ad hoc efficiendum, ratione earum quae datae sunt, major requiritur.
Quoniam autem ultimus terminus hic nullus reperitur, s id quidem non desideretur, augendus est adhuc alia quantillo valor radicum, quod sane tam parum esse non potest, quin id ad essectum hunc sit satis. Eodem modo si augere velimus dimensionum numerum alicujus uationis . & sacer ut loca omnia tem
94쪽
L1BER TERTIUS. minorum ejus sint repleta ut si loco, b m o. desideretur AEquatio, in qua incognita quantitas sex Δ-e-pisia. mensiones habeat , & in qua nullus terminus desit :oportet primum pro as ν η-bmo .scriberex β ηη -bxmo ; deinde-am x, habebitur
Vbi liquet, quod, quantula etiamsupposita suerit quantitasa, Omnia tamen AEquationis loca non desinant esse repleta. Praeterea possunt quoque radices alicujus AEquationis, etiamsi sint incognitae. multiplicari aut dividi percari vii quantitatem aliquam cognitam, quam libuerit. Quod fit, supponendo , quantitatem incognitam, multiplicatam, aut divisam per quantitatem, quae tiplicare aut dividere debet radices , esse aequalem ali- Atii. cui alteri. Deinde multiplicando aut dividendo quantitatem cognitam secundi termini per hanc ipsam, quae multiplicare aut dividere debet radices ; & per ipsius quadratum , quantitatem tertii; & per ipsius cubum, quantitatem quarti, atque ita porro usque ad ultimum. Id quod inservire potest, ut ad integros & rationales nu- - meros reducantiar fracti, aut saepe etiam surdi qui in
AEquationum terminis reperiuntur. alicujus
& ipsius loco alia desideretur, cujus omnos termini per numeros rationales exprimantur . oportet supponere
I x x V 3 . & multiplicare per ν 3 quantitatem cognitam secundi termini, quae quoque est V 3 ; N per ipsus quadratum, quod est 3 , quantitatem tertii, quae est is: &per ipsius cubum qui est 3 V 3, quantitatem ultimi, vi
95쪽
Deinde si hujus loco adhuc alia requiratur , ua qua quantitates omnes cognitae solis ini ris numeris exprimantur ; supponendo m M 3 , S multiplicando 3 per I 3, τ per9.&jperet , fiet uatio
α' - 9χα 26α-242Do. Vbi , cum radices sint 2, 3,& . sequitur alterius radices esse j, x, &j; &prioris . uationiS ἰν 3, v 3,&:ν 3. Quae operatio serrire quoque potest ad faciendam quantitatem cognitam alicujus termini in AEquatione omira aequalem alicui alteri datae. Vt si habeatur b b x m o, ipsius loco alia sit inveniennii in da AEquatio , in qua quantitas cognita tertii termini. ea, quae hic est bb, sit 3 aa, non autem b b: sup-- ponendum est Iox V deinde vero scribendum; ἡ ἡ Caeterum radices tam Verae quam salsae non semperdim, tam fiant reales, sed aliquando tanti im imaginariari hoc est.. semper quidem in qualibet AEquatione tot radices quod . et dixi, imaginari licet; verum nulla interdum est quan- , quas imaginamur, respondet. Quem-imui . admodum , tametsi tres imaginari possimus in hac.
6 x x--I3. x-IO IOO; tamen una tantum est rea,
Iis; nempe α; & quod ad reliquas duas attinet, quamvis illae augeantur, diminuantur, aut multiplicentur . sicut jam exposui; tamen non nisi imaginariae fieri possunt. RMini, Vero, postquam ad inVeniendam constructi selim nem alicujus Problematis pervenimus ad AEquationem, vi qua incognita quantitas tres habet dimensiones: .. pis. Primum si quantitates cognitae, quae in ea teperiuntur , numeros stactos continent, ipsi ad integros, Mneficio multiplicationis, modo explicatae, reducendi sunt; At
si seruos continent, tum quantum fieri potest, similiter ad
96쪽
LIBER' ΤERTIVS. γγ ad rationales sunt reducendi. tam per eandem hanc multiplicationem, quam per diversos alios modos. imventu satis faciles. Deinde examinando ordine quantiis tales omnes. quae absque fractione ultimum terminum dividere possunt, videndum est , num aliqua ex ipsis. juncta cum quantitate incognita per signum in vel - , componere possit binomium, quod dividat totam sumiamam i Id enim si contingat , Problema erit Planum. hoc est, construi poterit regula atque circino. Etenim Laut quantitas cognita hujus binomii erit radix quaesita; aut AEquatio, per ipsum divisa, ad duas dimensiones erit reducta; ita ut deinde radix ejus , per ea , quae primo libro sunt ostensa, inveniri queat. Exempli gratia, si habeatur γ' - -6 mo; ultimus terminus, qui est 6 . dividi potest absque stactione per l, Σ,Α, 8, I 6, 3 α, & 6 . Quare ordine examinando hanc AEquationem , num dividi possit per aliquod ex binomiis υ- χ
16 16 F--4MO. Incipio ab ultimo termino, & divido-s per -IC quod facit quae repono in quotiente; deinde multiplico per in P, & sit AI , quare in summa dividenda repono - - F. Quippe 1cribendum semper est signum in vel plane contrarium illi, quod producitur per multiplicationem. Addendo autem - I 24 I r--
97쪽
ν8 GEOMETRIAE --, ct provenit --8di , reponendum in quotiente. Multiplicando vero hoc ipsum per di , exsurgit - 8 ν', addendum termino diviciendo , qui etiam est - 8m, quae quidem simul conficiunt - i6s , quod per -I6 divido , & sit -- pro quotiente. & - addendum ipsi -- ies, id quod facito , monstratque divisionem esse ad sinem perductam. Quod si vero quantitas aliqua super-suisset , vel aliquis praecedentium terminorum absquestraetione dividi non potuisset. manifestum fuisset divisionem nullo modo fieri potuisse.
Similiter si habeaturaei' ', ' . .. Multimus terminus absque stadiione dividi potest pet
ua, aa--cc, inacc Sed duas susticit ex illis considerare, nempe a a. 8caa cc; aliae enim, cum in quotiente plures paucioresve dimensiones exhibeant. quam quidem in quantitate cognita penultimi termini reperiuntur , impedirent . ut divisio fieri posset. Vbi notandum. me ipsius, dimensiones tantiim pro tribus dimensionibus habere, cum non reperiaturae, nec F, nec I in tota summa. Examinando igitur binomium a a-cc, invcnitur,divisionem per illud fieri posse, hoc modo:
Id quod monstrat radicem quaesitam esse a a -- cc. Quemadmodum facile per multiplicationem probati potest.
98쪽
Αt vero si nullum inveniatur binomium , quod ita totam uationis propositae summam dividere possit, certum est Problema quod ab ea dependet, eta Solidum. Nec minus vitium est, constructionem ejus postea perrectas lineas & circulos tentare , quam ad construistionem illorum, in quibus non nisi circulis est opus, sectiones Conicas adhibere: siquidem quicquid ignorantiam
aliquam testatur, peccatum dici meretur. Porro si habeatur AEquatio, in qua incognita quan-R-ctistitas quatuor habeat dimensiones: codem modo. sublatis primum surdis & fractis numeris; siqui sunt videndum cst, num inveniri possit binomium, compositum ex incognita quantitate . vel - quantitate aliqua, quae absque fractione ultimum terminum dividit, quod divi- s Pla- dat totam summam. Hoc enim si inveniatur; vel quantitas cognita hujus binomii erit radix quaesita; vel saltem post divisionem hanc relinquentur tantum in AEquatiO- ne tres dimensiones , ita ut illa deinde rursus codem modo si examinandia. Qtibd si vero tale binomium non inveniatur , oportebit augendo aut diminuendo valorem radicis , secundum summae terminum tollere . modo paulo ante explicato: eindc ipsam ad aliam reducere, quae tres duntaxat dimensiones contineat. Id quod hoc modo st: loco in M. p xx.qx . r M o,
beatur in IEquatione praecedente , in hac ponen- dum est se; aut si habeatur is, ponendum est - 2p.& contra, si habeatur ibi r, poncndum hic est - r;
aut si habeatur ibi-r, ponendum h1c est r. & sve illic
99쪽
illic suerit in q, sive q. sempor tamen illa ponendum est ρ ρ saltem si M&r signis in notatae se ponantur. quippe contrarium fieri deberet, si supponeretur ibi signum- . Exempli causa si habeatur in V - xx - 8 3 scio O, scribendum ejus loco est V m Ο. Cum enim quantitas, quam nominavi p. rit ponendum est-8r pro χρ λ & cum illa, quam v
cavi r, sta ponendum est tloco II. D. Fidenique cum θ' sit 8, ponendum est
scribendum est-- 3ΑΥ - 3 1 λυ' 4 O M.Nam 3 est duplum ipsius i7 &3I3 est hujus quadratum junctum quadruplo ipsius 6, & oo est quadratum ipsius ΣαSimiliter quoque loco
Postquam igitur AEquatio sic ad tres dimensiones est reducta , quaerendus est valor ipsius II, methodo jam explicata. Quod si vero ita inveniri nequeat, non opus erit ulterius progredi. Infallibiliter enim inde sequitur . Problema esse Solidum. Sin autem inveniatur , poterit ejus beneficio AEquatio praecedens in duas alias dividi, in quarum utraque incognita quantitas duas tantum dimensiones habeat, quarumque radices abib
100쪽
Lin TR TERTI vs. 8rlitis radicibus non disserant. Nimirum loco . uationis
scribendae sunt hae duae aliaemo , ct xx x- I F. U. fimo. Et quod attinet ad signa in & - , quae omisi, si in AEquatione praecedente habeatur-p , ponendum erit in utraque harum duarum si in priore
habeatur . Ponendum verbest ri in una, ubi habetur ae; & - θ in altera, ubi habetur x; pr ut habetur H- q in prima. Et contra, si habetur ibi q. ponendum est, ct in illa, ubi habetur x ;
in altera, ubi habetur MPI x. Vnde consequenter sacile est omnes AEquationis propositae radices cognoscere. atque hinc Problema, cujus solutionem continet, construere, adhibendo tantum circulos, ' lineas rectas. Exempli gratia quia pro Q --κx-χCx-6 Moponendo ' - 3 - 3I3υ - M O invenitur, esse 16 : hinc loco IEquationis i II xx zo x -6 mo scribendae sunt hae duae --xx--x-3M O& A' - 2 M o. Namst est Α, est 8,
quationibus si extrahantur radices, invenientur eaedem omnes , quae eliciuntur ex ea , in qua habetur M. Nimirum una vera, quae est 7 - - 2, & tres falsae, quae sunt Similiter cum habetur M'-4xx--8xΦ3s MO: