장음표시 사용
121쪽
quae B L. hoc est, , B V erit U. Sicut autem S B est ad B V. sic AB est ad ΒΕ,quae ideo est .
ut ante. Vnde apparet, unam eandemque lineam esse, quae utroque hoc modo describitur. Porro , quoniam B L & D E sibi invicem aequales sunt, aequales quoque inter se erunt DL&BΕ; ita ut,
addendo L H, quae est , ad D L, quae est E S,
habeatur tota DH, nempe --ου , o qua auferendo G D, quae est , relinquetur G H , videlicet
E - v Id quod ordine scribo, hocpa
Quocunque autem alio loco hujus curvae imaginari libeat punctum C, utputa versus N, vel versus in semper tamen invenietur, quadratum lineae rectae, quae inter punctum H, & punctum ubi perpendicularis deducta ex puncto C cadit super B H. intercipitur , iisdem hisce terminis iisdemque signis - - & - exprimi posse. Postea
123쪽
est, inter B &I; ita ut quadratum ejus semper sita , quod a quadrato ex IC ablatum relinquit 'I. pro quadrato ex C Μ,
quod est aequala quadrato ex G H, jam invento. Aut etiam faciendo ut haec summa quemadmodum altera divisa sit pern na , obtinebitur n Q - 2 Uv. II - s I . Caeterum
restituendo H- pro n- τέ ν,1 pro Σm3 & multiplicando utramque summam pern 'U: exsurget
Vnde apparet, lineas CG, NR, Q Ο, & similes esse hujus diationis radices. Quod erat demonstrandum. ,-- . Hinc si invenire Velimus medias proportionales inter lineas a&b; posita x pro prima, prodibit uatio
124쪽
L 1 AER ΤERTIUS. Iosiae, quod supra nominavi n, Vaa in ab pro DE. vel B L. Porro descripta linea curva A C N secundum mensuram harum trium linearum, iacienda est L H
circulus, qui centrum suum habet in puncto I, transiturus per punctum sic inventum P, secabit curvam in duobus punctis C & N. a quibus si ad rectam B K demittantur perpendiculares N G, & minor N R a majore C G auferatur ; crit reliqua x , prima ex quatuor mediis proportionalibus qu aestis. Eodem modo sacile est datum angulum in quinque aequales partes dividere, & Circulo figuram inscribere II aut 13 aequalium laterum, atque infinita alia hujus regulae exempla roperire. Verum notandum est in plurimis horum exemplorum , quod Circulus Nic ita oblique hanc Parabolam secundi generis secare possit, ut intersectionis punctum cognitu sit dissicile, atque adeo haec constructio ad Praxin non sit idonea. Cui quidem rei facile remedium a serri posset, componendo alias regulas ad imitationem hujuS. Sed institutum meum non est prolixum librum conscribere. sed potius multa paucis comprehendere: quod forte judicabunt me secisse , qui consideraturi sunt,qubd, reductis ad candem constructionem Problematis omnibus ejusdem generis, modum simul, quo ad infinitas alias diversas reduci, atque ita omnia infinitis modis resolvi possint, ostenderim. Praeterea etiam , quod constructis iis omnibus, quae Plana sunt, intersectione Circuli & lineae rectae, Et iis omnibus, quae Solida sunt. o inte
125쪽
xo6 GEOMETRIAE LIBER ΤERTIV s. intersectione Circuli & Parabolae, Ac tandem iis omnibus , quae uno gradu magis sunt composita. intersectione similiter Circuli & lineae, uno gradu magis quam Par bola compositae, eandem tantum Viam in construendis reliquis omnibus , quae magis magisque in infinitum sunt composita , sequi Oporteat. etenim cognitis , in materia Mathematicarum progressionum , duobus aut tribus prioribus terminis, reliquos invenire non est difficile. Adeo ut sperem a posteris mihi gratias habitum iri, non solum pro iis, quae hic explicui; sed etiam pro iis, quae consulto omisi, quo ipsis voluptatem illa inveniendi relinquerem.
126쪽
L G E B n Λ speciosa,hoc est, quae exercetur per spccies rerum, quae luctas Alphabeti , aliisve similibus designantur , est Scientia, investigandis , inveniendisque Theorematis & Problematis inserviens,
ac res homogeneas, quarum rationes vel proportiones considerantur, concernens. Dicimus autem rationem inter se habere duas res, cum homogeneae seu eiusdem naturae existentes, aulae uales sunt, aut inaequalcs, & minor per sui ipsius continuam aditionem, tandem major evadit, maJoremque superans. Adeo ut haec Scientia non solum Algebram numerosam atque Veterum
Analysin Geometricam comprehendat; sed etiam omne id, quod relationem quandam habet aut proportionem, ut refert D. des Cartes, in sua de Methodo dissertatione. Optimum vero est, ad stabilienda hujus scientiae praecepta&ad cognitionem ejus assequendam, ut generaliter rationes hasce in lineis consideremus: cum simplicissimae sint , &hoe sibi vendicent, quod rationes omnes, quae inter quascunque alias res considerari possunt,exprimant. Id quod numeri non efficiunt,qui relintiones,quae inter incommensurabiles quantitates reperiuntur, exprimere nequeunt. Accedit,quod iis ad omnes alias res, rationem vel proportionem quandam inter se habentes, uti possimis. Etenim licet linea nullam cum superficie, aut cum alicujus motus velocitate rationem habeat atque ita de aliis alterius naturae rebus; possumus tamen rationem, quae inter duas superficies, aut inter duas differentes velocitates, & id genus alia, quae inter se relati O a nem Diuili reo by Corale
127쪽
nem aliquam habere stiiruimus, reperitur, exprimere per duas Ib
neas. Ia tantum cavendum est, ne permutata ratione utamur.
Operationes omnes, quae in hac Scientia occurrunt, ad quinque reducuntur, quae caedem sunt, quae Arithmeticae vulgaris, ni
mirum, Additio, Subtractio, Multiplicatio, Divitio, atque Radicum Extractio ; hoc praeterea commodi habentes , quod illae
sicut notavimus circa in commensurabiles quantitates, non mianus quam circa alias, versentur. Vt, cum proponuntur duae lineae
incommensurabiles, live longitudine, live longitudine & potet tia, post int ipsae simul addi, una ab altera auferri, per se invicem multiplicari, una per alteram dividi, & ex utraque radix extrahi, perinde ac si longitudine essent commensurabiles. Neque vero docebimus, quo pacto hae operationes per litoras Alphabeticas, vel alias linearum aliarumve rerum species, quas designant, sint faciendae: cum hoc ab aliis jam sit pertrinctatum. Tum etiam quoniam haec Geometria, qua ratione Αdditio, Subtractio, Multiplicatio, Divisio, atque Radicum Extractio, tam in numeris, quam in lineis instituendae sint, brevister exponit. Verum observari volumus, quod per asce species, quas nominamus bd, d i primam videt, cet b , numerum aut lineam simplicem; secundam P, quadratum ipsius b, seu b quadratum; tertiam by seu bcubum; quartam Pseub quadrat quadratum, Sc. non ullae aliae res, quam
Iineae omnino simplices concipiantur; nisi quassito fiterit de voris Quadratis, Cubis, Planis, & Solidis, aut, per hasce species
alias res significemus, similem inter se relationem, quam lineae ipsis designatae, habentes. Attamen consentaneum cli, nomina usitata retinere, quandoquidem lineae, speciebus hisce designinis , eandem inter se rationem, quam verae superficies, & vera solida, quae per ipsas denotantur, servant. Et hoc quidem ad imi tationem Arithmeticae communis, ubi alios numeros appellamus Quadratos, alios Cubos , alios Planos, alios Solidos &c. quippe qui talem inter se relationem observant, quatenus sunt numeriumplices, qualem inter se obtinent Quadrati, Cubi,&c. quos
Oportet itaque ostendere, spatia & corpora, speciebus hisced gnata, eandem inter se rationem habere, quam lineae simplices, quas per ipsas concipimus. Exempli gratia, b eandem
128쪽
NOTAE BREVES. IO' rationem habere ad & ad quatenus spatia significant,
quam quatenus lineas referunt. Sic etiam relationem ipsius b
ad P d&addi, abasque similes, eandem inter haec Solida exsestere, quam ea quae est inter lineas, per has species designatas. Quod ipsum facile erit, si pro arbitrio lineam aliquam accipiamus , quam appellemus unitatem , & ad eam reliquas omnes referamus. Illa vocetur a , sic ut hae tres lineae a, proportionales 'existant , juxta id quod de multiplicatione in hae Geometria dictum est. Idem de lineis a , d , de intelligendum. Sic etiam linea aest ad lineam sicut linea dest ad lineam aut, ut linea a est ad lineam ita linea b est ad eandem lineam bd. Quod cum ita sit, linea b erit ad lineam sicut linea d ad lineam bd , cum eadem utrobique sit ratio, nimirum eadem, quae lineae a ad lineam b. Unde permutando erit, ut linea b ad lineam ita linea b ad lineam Eodem modo linea berit ad lineam b ut linea ad lineam ἁμοῦ cum utraque ratio eadem sit, quae lineae a ad lineam quemadmodum est ostensum. Vnde permutando erit, ut linea b ad lineam d, ita linea bii ad lineamὰμ. Patet itaque, b esse add, sicuti ad bd; itemque besse ad d, sicut bdadd', dc consequenter, rationem lineae P ad lineamd , esse duplicatam lineae b ad lineam d; lineamque bd esse m diam proportionalem inter lineas d . Id quod unusquisque novit ab Euclide esse ostensum,nimirum: rationem,quam habet b ad d- , quatenus designant perficies seu quadrata, luplicatam esese rationis, quam habet latus b ad latus itemque bdroflangulum esse medium proportionale inter haec ipsa quadrata. ac per consequens, haec spatia eandem inter se relationem habere, quam
lineae iisdem speciebus designatae. Idem ostendi potest de Cubis
vel Solidis, ad imitationem praecedentis demonstrationis. Vnde haud parvum emolumentum colligere licet, cum complures rationes, quas Euclides aliique Geometrae, inter duas superficies, atque inter duo corpora, reperiri, demonstrarunt, nos pro lineis,
aliisve rebus, iisdem speciebus designatis, usurpare possimus, prout eandem quam dicta spatia seu corpora inter se relatiouem
Exhibeamus aliquod exemplum: Detur triangulum rectangulum A D E, cuius angulus D A E sit rectus. Manifestum est ex clementis, quod laterum quadrata simul sumpta quadrato basis
129쪽
sint aequalia: hoc est, si ponamus AD Iob, AEMe, &DEDOd, quod c aequetur d', quate ius designant vera quadrata. Quod quoque verum est, quatenus d ignant lineas, m do eandem inter se relationem obtineant, quam haec ipsa quadrata ; ut demonstratum est a nobis , atque etiamnum in hoc exemplo palam facere conabimur.
Αstumatur pro lubitu linea aliqua major vel minor perinde enim cst quam D E, quae quidem sit unitas, & ad quam reliquae omnes referantur: ipsa autem esto B C,parallela existens ipsi D E, ducatu rque perpendicularis A F, ipsam, si opus est, producendo. Deinde fiat, ut B C ad D E,ita D E ad H M, setque H M m d . Iam vero, sicut hae lineae BC, DE, H M sunt continue proportioni les, ita quoque lineae BC, A E, NM, nec non lineae B C, D A, H N. Composita enim est ratio B C ad AE, ex ratione B C ad A C, & ex ratione A C ad A E. Est autem ratio A E ad NM composita ex iisdem rationibus, nimirum ex rati ne A E ad F E, quae eadem est rationi B C ad A C propter militudinem triangulorum rectangulorum AE F&BCA, &ex ratione F E ad N M, hoc est, A E ad A M, quae eadem est rationi AC ad A E per constructionem. Id quod eodem modo patet de B C. A D, H N. Erit igitur N M m e , & FI N mquae quidem simul sumptae aequantur ipsi H M, hoc est, d . Quod
erat demonstrandum. Cernitur praeterea illa in hae Methodo facilitas, quod etiam lineam aliquam hoc modo - , aliisve similibus, exprimere possiamus; aut quod eo item modo fractionem aliquam Arithmeticae communis, uti, - ,&c. denotare valeamus; hoc sane compendio, quod literis tractio exprimi possit, cujus numerator add
130쪽
nominatorem non habeat rationem commensurabilem; sed quae similis sit lineae ad lineam, quarum una vicem gerat numeratoris,& altera vicem denominatoris cjusdem fractionis. Id quod non. exiguae est utilitatis, quemadmodum postea videbitur. Iam autem explicandum est, cur aeque-multae dimensiones si gulis AEquationis terminis sint tribuendae. Qtiod sane per se liquet, quando sub hisce terminis supcrficies aut corpora intellisuntur: cum nulla ratio inter duas quantitates heterogeneas conustat, spatiaque illa aut corpora eodem semper linearum atque dimensionum numero des gnentur.
Verum expedit ut idem faciamus, quando per hosce terminos non nisi lincae designantur, ut Methodus co universalior atque etiam commodior reddatur : Quandoquidem id praestare tenemur , cum linea, quae pro unitate sumenda est, indeterminata exsestit, seu, cum requiritur, ut liberum sitasti mere pro unitate lineam qualem volumus. Id quod facile concipi potest, quoniam, sumendo lineam aliquam, ut a, pro unitate, lineae, verbi gratia, b dc d , denominationes hasce accipiunt, prout referuntur ad lineam a. At vero statuendo aliam quandam lineam pro unitate quama, licet deaedem maneant, nihilominus tamen P Sed a praecedentibus erunt diversae. Ac proinde, si comparare velimus lineam h cum linea quoniam dφ diversa est, prout ad diversas lineas refertur, quas pro unitate accipere possumus, ipsa linea eadem semper manente; patet lineam bad lineam non sempcr candem rationem servare: sed contra, diversas ad illam sortiri relationes, pro diversis lineis, quae pro unitate assiimuntur. Et sic de aliis. Ast quaecunque tandcm linea pro unitate sumatur, linea tamen indeterminata, & quae peri concipitur, candem semper habet rationem ad d , quam quadratum lineae b ad adratum lineae d. Atque ita de aliis omnibus, ut supra est ostenim. Et quidem generalius est atque etiam commodius, relinquere ita unitatem inde terminatam &ad cujusque arbitrium, ut
deinde pro ipsa talis linea assumi possit, qualis videbitur , quam
eandem ab initio operationis determinare, sumendo pro ipsa ce tam aliquam lineam. Praeterquam quod id plurimum conducat ad coniussionem evitandam; ad dirigendum calculum; atque ad praecavenda vitia , quae ibidem committi polliciat. Verum cum
unitas determinata existit , tum quidem non amplius singulis AEqua-