장음표시 사용
81쪽
tus C Μ datum est, quemadmodum etiam disserentia. ruae est inter C H basin, & M H latus quaesitum. Vnde lud facile inveniri potest. Si enim sumarur pro e cessu, quo C H excedit Μ H, & n pro longitudine lineae C M. habebitur J-ἱ proΜH. Postquam igitur sic inventum est punctum H . si illud longius reperiatur dissitum a puncto Y, quam inde distat punctum F, hnea C Y dedet esse prima pars Ov Iis tertii ethneris quarunte nominata fuit 3 A si sed si H Yminor est quam F Y, aut in tantum H F superat, ut di
serentia ipsarum, ratione totius F Y. major sit, quam est e, minor linearum, quae refractiones metiuntur, comparata cum d majore, hoc est, ut faciendo H F so e. RHY Io e. h. dh sit major quam xce eb , & tune CY debet esse secunda pars ejusdem tertiae malis, quae pauid ante vocata fuit 3 Y 3 ; ita erit secunda pars Ov lis secundi generis , quae supra nominata fuit χX L, sid h aequin, vel minor est quam xce eb. Et denique si punctum H illud ipsum est, quod punctum F, quod quidem non contingit, nisi cum F Y S F C sunt aequales, tum dicta linea Y C erit Circulus. Post haec quaerenda est C A C altera hujus vitri si- perficies. quae debet esse Ellipsis, cujus secus H, si radii incidentes paralleli supponantur. Quo etiam casu iacile est illam invenire. Sed si supponantur a puncto
82쪽
L x s E R. S E C V N D V S. 63G venire, tum quidem superficies illa debet esse prima pars ovalis primi generis, cujus bini soci sint G&H, quaeque transeat per punctum C. unde porro invenitur punitim A , vertex ipsius ovalis; consiaerando scilicet. quod G C excedere debeat G Α , quantitate aliqua, quae sit ad illam, qua H A superat H C, sicut d ad Etenim. sumptat pro disserentia, quae est inter CH & HM; si pro Α Μ supponatur x, habebitur x- , pro disterentia, quae est inter Α Η & CH. Deinde si sumatur g prodisserentia, quae est inter G C & G Μ, quae datae sunt, habebitur g in x pro illa , quae est inter G C & G A. Et quandoquidem haec ultimaginae est ad alteram x- , sicut ad e, hinebitur ge- ex 2D dx--d , hoc est pro linea x vel AM , per quam determinatur punctum A, quod quaerebatur. . Ponamus jam pro casu altero, quὁd tantum dentur puncta G . C. & F , ut & ratio. quae est inter lineas Α Μ& Μ Y, & qubd invenienda sit figura vitri A C Y, quae lim.
saciat ut radii omnes, a puncto G venientes, coetant rudi
inc autem rursus duabus inalibus uti possumus. quarum una Α C pro socis habeat puncta G & H, altera
supponendo primum punctum H , quod utrique est
83쪽
6 GEOMETRII commune, esse cognitum, quaero Α Μ per tria punista G, C,&H ratione modo explicata; nimirum sumendo
pro disserentia, quae est inter C H & H Μ, & pro
ea, quae est inter G C & G M. Vnde cum A C est prima pars malis primi generis, invenio pro A M. Deinde quaero etiam M Y per tria puncta F, C, & H, ita ut C Y sit prima pars ovalis tertii generis; sumendoque' pro MY,&s pro disserentia, quae est inter C F&F Μ, habebo f pro ea, quae est inter C F S F T:
hinc cum habeam pro illa, quae est inter C H&HΜ, habebo h - pro ea, quae est inter C H&H Y, quam scio esse debere ad j - - , scute add, propter Ovalem tertii generis. unde invenio F seu ΜY esse , ita ut addendo simul quantitates inventas pro Α Μ &M Y , habeam pro tota Α Y. Ε quibus manifestum fit. quod, ad quamcunque partem punimam Hsuppositum fuerit, dicta linea A Y semper compositast ex quantitate aliqua, quae sit ad disserentiam . qua G C & C F simul sumptae superant GF, ut este minor
duarum linearum , quae dimetiendis refractionibus vitri propositi inserviunt, add- e, disserentiam, qua major minorem excedit. Quod quidem satis scitum est
Postquam igitur sic inventa est tota linea Α Y, secanda est ipsa juxta rationem, quam inter se servare debent ejus partes Α Μ & Μ Y ; quibus mediantibus, quia jam habetur punctum M invenientur quoque puncta A & Y; & per consequens punctum H, per Problema praecedens. Verum considerandum est prius, num linea A M sic inventa, sit major quam . , an pabnor, an vero ipsi aequalis. Nam si major sterit, cognoscitur
84쪽
scitur inde , quod curva A C esse debeat prima pars Ovalis primi generis , R CY prima tertiae, quemadmodum h1c suppositae suere: cum aliis, si minor fuerit. . id indicet, quod C Y debeat esse prima pars malis primi generis , & Α C prima pars tertiae. Et denique si Α Μ aequalis fuerit ipsi , quod duae hae curvae A C& C Y debeant esse duae Hyperbolae.
Possent extendi haec duo Problemata ad infinitos alios casus , quibus quidem deducendis supersedeo. quod nullum eorum usum in Dioptricis deprehendo
Possem quoque ulterius progredi , & dicere . cum una ex vitri superficiebus data est, modo illa sit aut plana, aut a scinionibus Conicis, aut Circulo effecta, quomodo altera ejus superficies confici debeat. ut radios omnes ab uno dato pundio venientes transmittat ad aliud punctum etiam datum. Neque enim hoc ullo modo dissicilius est . quam quod modo explicavi; immo vero res multo facilior est, quoniam via illuc perveniendi jam aperta est. Verram malo alios id quaerere, ut, sianter investigandum negotii adhuc aliquid repererint, eo pluris inventionem rerum hic demonstra
Caeterum in toto hoc libro -locutus sum tantum
85쪽
66 GEOMBYRIAE LIBER SECUNDUM lineis curvis quae in superficie aliqua plana describi possunt; verum sacile est, quae de iis dixi, etiam ad omnes alias reserre , quas imaginari possumus formatas esse, motu aliquo ordinato putastorum alicujus corporis in spatio trium dimensionum. Nimirum demittendo duas perpendiculares a quolibet puncto lineae curvae, quam considerare volumus, ad duo plana, ad angulos rectos se invicem secantia, unam ad unum, & alteram ad alterum : quippe perpendicularium harum extremitates singulae duas alias curvas lineas describunt, unam in uno, & alteram in altero plano, quarum puncta omnia modo superius cxplicato determinari ac reserri possunt ad puncta lineae rectae, quae utrique plano est communis, ut hac ratione puncta curvae, tres dimensiones habentis , omnino sint determinata. Ita etiam si rectam lineam ducere velimus, quae hanc curvam in dato puncto ad angulos rectos secet, opus tantum est duas alias rectas lineas ducere, unam in uno, & alteram in altero plano , quarum singulae singulas curvas ibidem secent in punctis, ubi cadunt perpendiculares , quae aedato puncto ad utrumque planum sunt deductae. Etenim postquam duo alia plana, unum super unam. & alterum super alteram, erecta sunt, quae ad utrumque planum, in quibus lineae diae sunt, recta existant, erit horum duorum planorum communis intersectio linea recta quaesita. Atque ita arbitror me omnia tradidisse Elementa . quae ad curvarium linearum cognitionem simi necessaria.
86쪽
Constructione Problematum Solidorum , Solida excedentium. TAmetsi omnes lineae curvae, quae motu aliquo ordinato describi possitnt, in Geometriam sunt recipiendae , non ideo tamen permissum est uti indifferenter qualibet, quae primum occurrat, ad et Problematis cujusque constructionem ι sed cura adhibenda est, ut simplicissimam, cujus ope id ipsum lol-Viqueat. eligamus. Vbi quidem observandum est, per ρ-μ simplicissimas non tum intelligendas esse illas . quae omnium facillime describi possunt; neque quae propositi Problematis constructionem vel demonstrationem faciliorem reddunt; sed praesertim , quae simplicissimi sunt generis , quod ad quantitatem quaesitam determinandam inservire queat. Quemadmodum , exempli causs1 , ad inveniendas Ex tot medias proportionales, quot libuerit , non opinor modum ullum faciliorem dari, nec cujus demonstratio im ti evidentior sit, quam si curvae lineae adhibeantur .
per instrumentum X Y Z supra explicatum describun- diarumtur. Etenim si inter V A & Y Ε duas medias propor- α' tionales invenire libeat. oportet tantiim circulum describere . cujus diameter sit Y Ε, qui curvam A D secet in puncto D, eritque YD una ex quaesitis mediis proportionalibus. Cujus rei demonstratio ex sola instrumenti hujus ad lineam Y D adplicatione perspicua est. I a. Nam
87쪽
Eodem modo ad inveniendas medias proportionales inter V A & Y G: aut ad inveniendas 6 inter Y A& Y N, describendus est tantum circulus Y F G , qui secans curvam A F in puncto F determinat lineam rectam V F, quae una est ex quatuor quaesitis proportionalibus ; aut circulus IH N, qui secans curi am A H in puncto H determinat ipsam Y H, quae una est ex sex quaesitis proportionalibus. Et sic de caeteris. Verum quia linea curva A D secundi est generis. R. duae mediae proportionales inveniri possunt per se iones Conicas, quae sunt primi generis; tum etiam, quoniam 4 & 6 mediae proportionales inveniri queunt be-- nescio linearum . generum non adeo compositorum atque A F & A H: peccatum esset in Geometria , sit illae hic adhiberentur. Quemadmodum etiam ex altera Parte pro peccato reputandum esset, si quis inutiliter in
88쪽
LIBER ΤERTIVS. 6' construendo Problemate aliquo per genus linearum simplicius, quam natura ejus permittit, desudaret. Quocirca ut hic adducere possim regulas quasdam, De natura quibus utrumque peccatum evitetur, Opus est, ut in genere aliquid dicam de natura AEquationum ; hoc est, de summis, quae ex pluribus terminis sunt compositae, partim cognitis, partim vero incognitis, quorum alii aliis sunt aequales, vel potitis, qui omnes simul considerati nihilo sunt aequales. Quippe saepe praestat. illos hac ratione considerare. Sciendum itaque , quod incognita quantitas in qua- 'at h. libet AEquatione , tot diversas radices seu diversos lores habere possit, quot ipsa habet dimensiones. Nam etaiη si, exempli gratia, x supponatur aequalis et, seu xaequalis nihilo; & rursus x Oo 3 . seu a: - 3 IO O; ' mul
quae alia est AEquatio, in qua x habens tres dimensiones tres quoque habet valores, qui sunt 2, 3, ' Vcrum saepe accidit, quo sint falsae, seu minores quam
designare quoque desectum alicujus quantitatis , ut- r ιο. puta s. ita ut habeatur X-- s M o, quae multiplicata pera ' - 9 ae ρ - 2 6 π - 2 4 2D O, saciat a'-4a Τ- I 9xx- I Ohx- I 2 O OD O, pro AEquatione, in qua quatitor sunt radices, nimirum tres Verae, quae sunt 2, 3, &ψ, atque
una salsa quae est s. BVnde liquido constat . quod AEquationis summa, quae plures radices continet . dividi semper possit per
bino natum , quod compositum est ex quantitate inco- - ψο-
89쪽
o , GEOMETRIAE iis AEa gnita. minus Valore alicujus ex veris radicibus , quamcunque illa tandem sit, aut plus valore alicujus ex salsis. cujus divisionis ope dimensiones ejus in tantum di-
vicissim si AEquationis summa dividi. non possit
C per binomium, constans ex quantitate incognita -- vel - certa alia quadam quantitate; indicio est, quantita-duari tem hanc non esse valorem alicujus ex cjus radicibus Quemadmodum haec ultima α' - U - I9xx I x is tuis I2o M O, dividi quidem potest per x - 2, per x- 3,3 v -r per x- , S per α - 1; sed nullo modo per x - - Vel: ED. - quacunque alia quantitate. Id quod ostendit, ipsam non posse admittere alias radices praeter hasce quatuor P Ex quibus etiam cognoscitur, quot verae& quot salsae radices in unaquaque AEquatione haberi possint. Nisus ver intrum , tot in ea veras haberi posse, quot variationes reperiuntur signorum in & -; &tot falsas, quot vicibus .ati, ibidem deprehenduntur duo signa --, vel duo signa - , quae se invicem sequuntur. Vt in ultima, quia post a habetur- xy, quae est una variatio signi H- in - . &liost - 4 xΤ habetur - 19 x x , quae sunt duo signa simila; & post- 19 xx habetur H-io sae; & post in Io6a habetur- o. quae sunt adhuc duae.aliae variationes: cognoscitur quod illa tres admittat veras radices , &unam falsam . propter duo sigua - terminorum 4 xydcx9 x x. quae se invicem sequuntur. Porro iacile est essicere, ut in una eademque AEqua- Σ.- tione radices omnes. quae salis erant, evadant verae; & II μ ut elawi opera omnes illae, quae verae erant, salsae fiant.
Nimirum mutando signa Omnia H- & - , quae in Σ 'nis eva- si aliisve JOcis reperiuntur, qui per numeros pares
designantur ; reliquis I 3 I similiumque loco
90쪽
LIBER ΤERTIVS. 7xrum, qui per impareS numeros designantur, non mu
habebitur AEquatio, in qua una tantum est vera radix . quae est si & tres falsae. quae sunt x, 3, & .Qubd si verb non cognito radicum alicujus AEqua- famae tionis valore, ipsas augere vel diminuere velimus quan- .litate aliqua cognita , oportet tantum in locum in - p. bE-gniti termini substituere alium, qui eadem hac quantitate major sit vel minor , eumque ubique primi loco inli ηm subrogare. σου tu; Vt si augere velimus 3w radicem hujus AEquationis of 4xΤ - Is xx - IC6 x-Iχo m O, sumenda esto loco x, & cogitandum, quantitatem hanc I majorem esse quam x, cxcessis 3, ita ut - 3 ipsi x sit aequalis ; loco autem x x scribendum est quadratum ex '-3,
quod est--63 9; & loco x sumendus est ejus cubus , qui est ' - DF - 27β-27; & denique loco inponendum est ejus quadrato-quadratum , quod estr- - 1o8 --8r. Vnde si scribamus psummam praecedentem , substituendo ubique I pro x,