장음표시 사용
111쪽
. est si N V subtensae trientis arcus N V P, qui cum relin X quo arcu N QP totum circuitim complet. Falsa autem
F L aequalis est duabus hisce QN & N V simul sumptis,
quemadmodum ex calculo facile est videre Superfluum foret si insisterem hic aliis exemplis in medium asserendis, cum Problemata omnia, quae non, ua,.- nisi Solida sunt, eo reduci possint . ut hac regula ad constructionem ipsorum non aliter indigeamuS, quam qua tenus inservit ad inveniendas duas medias proportiona-- las, aut ad dividendum angulum in tres aequales partes. ' Quod cognoscetis, considerando. ipsorum dissicultates semper rauationibus , quae ultra chiadratoriuadr tum non adscendunt, comprehendi posse; Et omnes illas , quae ad Quadrato-quadratum escendunt, reduci posse ad Quadratum . ope quarundam aliarum, quae tam tum ad Cubum adscendunt; Et tandem, harum secundum terminum tolli posse. Ita ut nulla earum sit, quam aliquam ex hiscetribus formis reducere non liceat. .M
112쪽
regula nos docet, radicem esse tam VC. jq νἱqq- Τ VC. Ig-Viqq-ἰ,s . Vnde apparet, quod Problemata Omnia , quorum dissicultates ad AEquationem unius ex hisce duabus sormis reducuntur, construi semper possint , ut Conicas sectiones adhibere non sit opus, nili ad extrahendas radices Cubicas ex quibusdam quantitatibus datis , hoc est . ad inveniendas duas medias proportionales inter hasce quantitates & unitatem. Deinde si habeatur α'm' - - ρα-ρ,' Quadratum semissis ultimi termini non sit majus Cubo trientis , quantitatis cognitae penultimi termini; supponen
do Circulum N QR V cujus semidiameter N O sit V p.
hoc est: , media proportionalis inter trientem quanti. tatis dat & unitatem; tum etiamsi ponendo lineam N P huic Circulo esse inscriptam. quae sit hoc est. quae sit ad alteram quantitatem datam ut est unitas ad trientem ipsusI ; dividendus tantum cst uterque arcus N QP, N V P in tres aequales partes; eritque N Q. subtensa trientis unius arcus, una cum N V, subtens1 trientis alterius, aequalis radici quaesitae. N a Dem --
113쪽
Denique si habeatur α' Io ' ρ α --q, supponendore sus Circulum N QP V. cujus radius No sit', in quo inscripta N P sit': erit N Q. subtendens
trientem arcus N Q P. una ex radicibus quaesitis : RN V. siibtendens trientem arcus N V P, radix altera. Saltem si Quadratum semiliis ultimi termini non excedat Cubum c triente quantitatis cognitae penultimi termini. Etenim si majus esset . non posset linea NPhuic Circulo inscribi. quippe quae diametro ejus major seret. d quod ostenderet , duas veras radices hujus AEquationis non nisi imaginarias esse, nec ullam realom extare praeter falsam, quae juxta' Cardani regulam foret in , Caeterum notandum est . modum hunc exprimendi valorem radicum per relationem . quam habent ad la-ν- z. tera certorum CuDOrum , quorum tantum contentum
cognoscitur , nequaquam magis intelligibilem, neque
114쪽
LIBER Υ Ε R T I V s. 'ssmpliciorem esse, quam si exprimantur per relationem, quam habent ad se sis certorum arcuum . seu Cir-ῖ iculi portionum, Frettam triplum est datum. Ita ut Cu- Ibicarum AEquationum radices illae omnes , quae perita Cardani regulas exprimi nequeunt . atque clare aut
etiam citi ius per modum hic propositum exprimi DLI'
Si enim, exempli caussa , radicem cognoscere arbitremur hujus AEquationis μα- ρεοῦ quia ipsam compostam esse scimus ex duabus lineis; quarum una est latus Cubi, cujus contentum est summa, quae conflatur ex i S ex latere Quadrati, cujus contentum
est i qq-- Τ ; & altera latus alterius Cubi, cujus comtentum est disserentia, quae est inter I q, & latus Quadrati , cujus contentum est i ρ ρ - 1, is , quod illud omne est, quod ex Cardam regula iniscimus ); Dub1tandum non est, quili aequε distincte aut etiam disti .ctius radix hujus N ID 'ρ cognoscatur , si ea coiisderetur inscripta Circulo ,, cujus semidiameter sit ν se, in quo pro subtensa arcus iistelligatur, cujus tripli subtensa sit . Quin etiam hi termini priorisus illis
multo minus sunt intricati & qui, etiam multo brevi res reddentur, si peculiari aliqua mota ad exprimendas hasce subtensas, quemadmodum si nota VC. ad exprimendum latus Cudicum, uti velimuS. . Possinat quoque per regulas hic supra explicata deinceps exprimi radices AEquationum omnium . quae ad Quadrato-quadratum ascendunt; ita ut nesciam , quid in hac materia desiderari amplius possit. Neque enim natura harum radicum permittit, ut terminis exprimam tur simplicioribus, nec ut per constructionem aliquam,
quae una & generalior & simplicior sit, determinentur.
115쪽
96 G E o. M E T v I c., pra- Verum quidem est . me nondum dixisse . quibus ra- nitar. quod assirmare audeam. umim res alia. ' is qua fieri possis nec ne. At vero si consideretur, qu
modo per methodum qua ut .id omne , quod sub
Geometricam contemplationem cadit. ad unum idem- Cmuiri que genus Problematum reducatur. quod est, ut qua ratur valor radicum alicujus AEquationis, satis judic mo,si a bitur, non dissicile esse ita enumerare vias omnes, quibus inveniri possint: ut hoc sussici it ad ostendcndum. -υ. ma generalissimam & smplieissimam suisse selectam. Ets spectat ad Solida: Problemata . qubd
videlicet, ut dixi. citra lineam aliquam magis compostam quam circularem construi non possint, vel inde , evidens esse potest . qudd illa omnia ad duas constru- tiones reducantur; in quarum una duo simul puncta requiruntur . quae inter auas datas lineas duas medias proportionales determinent; δ in altera duo puncta, quae datum arcum latres aequales partes dividant. Etenim cum Circuli qumariira Iamita dependeat a simplich relatione omniussi partium ad punctum unum. quod in ipsus centrum ; ino fit:. ut eo quoque non nisim unum solummodosunctum inter duas extremas de- , terminandum uti possimus . inputa ad inveniendam unam mediam proportionalem inter duas datas, aut ad .datum arcum in dias Aquales partes dividendum. At Min curvatura Coniorum Semonum , quae semper aduabus diversis rebus dependet , 'ad duo diversa purusta determinanda inservire potest. δob eandem rationem fieri nequit , ut aliquod e rum Problematum, quae uno gradu magis quam Solida sint eomposita . & inventionem 4 mediarum proin portionalium . aut anguli in s aequales partes divisionem, praesupponunt, ope alicujus Conicae sectionis const. strui
116쪽
L I A E Τ B R T I V s. 97 strui possit. Quare nihil melius hic a me fieri posse confido , quam si regulam generalem tradam construendi illa ope lineae curvae , quae describitur per intersectionem Parabolae & lineae rectae, quemadmodum supra suit explicatum. Affirmare enim audeo, nullam, quae huic effectui inservire queat, simpliciorem in rerum natura inveniri. Atque etiam vidistis , quomodo haec linea immediate sectiones Conicas sequatur in quaestione tantopere a Veteribus quaesita, cujus selutio o dine omnes curvas lineas, in Geometriam recipiendas, exhibet. Iam nostis, clim investigantur quantitates , quae ad inora constructionem horum Problematum requiruntur, qua z ratione semper ad AEquationem aliquam reduci pos--Prabώ- sint, quae non nisi ad Gadrato-cubum , aut Surdeso- α lidum adscendat. Deinde etiam nostis, quomodo,
gendo valorem radicum hujus AEquationis . fieri semper possit, ut radices hae omnes verae evadant, ac simul dis . ut quantitas cognita tertii termini excedat quadratum
a semisse quantitatis cognitae secundi termini. Et denique, quo pacto, si tantum ad Surdesolidum adstendat, ipsa ad Gadrato-cubum attolli possit, fierique ut nullus
terminorum desit. Quocirca ut difficultates omnes , quae quidem hic occurrunt, per eandem regulam resolvi queant. deside-- ut haec omnia fiant, & hac ratione reducantur semper
ad AEquationem hujus formae Y θ' - ν' - D -υ . M o. in qua quantitas vocata q, major sit quadrato a semisse
117쪽
Post haee ducta linea redha BK. utrinque indefinita,ere 'aque ad eandem ex puncto B perpendiculari A B, cujus longitudo sit ἱ ρ; describenda est in plano aliquos arato Parabola, ut C D F , cujus latus re tam primcipale sit V A - θ' - s. quod brevitatis causa vincabo n. Tum ponendo planum, in quo Parabola existit, supra planum in quo sunt lineae Α Β & B Κ, ita ut axis ejus D E omnino congruat cum linea recta B K;
118쪽
LIAE R ΤERTIVS. 99 sumptoque segmento hujus axis, quod interpuncta Edc D intercipitur, aequali , adplicanda est longa regula ad punctium Ε, ita ut, postquam ad punctiun Αplani interioris quoque est adplicata , semper maneat adjuncta hisce duobus pinctis , interea dum Parabola secundum lineam B Κ, ad quam ejus axis est adplicatus, vel elevatur vel deprimitur. qua quidem ratione Parabolae atque regulae intersectio, quae ni in puncto C.
lineam curvam A CN designabit, illam quippe qua ad propositi Problematis constructionem indigebimus. Etenim ea sic descripta, si fiat B L aequalis D Ε, hoc est, , ita ut punctum L cadat in lineam B Κ, versus partem , quam respicit Parabolae vertex , Tum vero in eadem linea a puncto L versiis B sumatur L H aequalis. Et expuncto H, sic invento, ad partem curvae ΑCN ducatur ad angulos rectos ipsi B Κ, linea HI.
aequalis - - - - , quam abbreviandi causa
nominabo , Ac, postquam conjuncta sunt puncta L& I, circulo L PI, cujus diameter IL , inscribatur linea L P, aequalis , randemque ex centro I per puninim P, sic inventum, circulus describatur P C Nilecabit hic circulus vel tanget lineam curvam A CN, in tot punctis. quot AEquatio admittet radices. Ita ut perpendiculares, quae ex hisce punctis ad lineam B K deducentur, AEquationis hujus .fiiturae sint radices, &nullam haec rcgula patiatur exceptionem neque desectum. Etenim si quantitas fadeb magna esset respectu aliarum, ut linea LP major inveniretur diametro circuli IL., sic ut eidem inscribi non Mosiet. nulla itidem foret radix in AEquatione proposita, quae
119쪽
iICO GEOMETRIAE non esset imaginaria; nec etiani ulla foret radix, si ci culus I P adco parvus esset . ut curvam AC N in nullo prorsus puncto secaret. Hanc autem curvam in 6 diversis punctis secare potest, ita ut hic sex diversae radices in Aquatione haberi queant. Atque cum illam in paucioribus secat, hoc indicio est, quasdam ex hisce radicibus inter se aequales esse, aut ipsarum aliquas esse tantum imaginarias.
Quod si vect ratio hac describendi lineam AC N
120쪽
per motum Parabolae vobis videatur incommoda , facile est plures alios modos in eundem finem excogitare. Vt, manentibus eisdem quantitatibus pro AB &B L. nec non eadem pro B K, quae pro latere recto principali Parabolae supponebatur; describendus est tantum semicirculus KST, centro ejus ad libitum in linea BKassiimpto, ita tamen ut lineam Α Β alicubi secet, ut in puncto S. Nam postquam apum T. ubi terminatur, versiis K assumpta suerit linea Τ V, aequalis B L, jungaturquc S V, atque a puncto A junctae S V paralleladucatur Α C, quae rectae S C. ductis per punctum S. ipsi B K
parallelae. occurrat in puncto C: Erit punctum C , ubi haeduae parallelae sibi mutuo occurrunt, unum ex punctis per quod quaesita curva transire debet. Eodem modo inveniri possunt totalia puncta, quot quis Vopuerit. Quorum omnium demonstratio satis facilis est. Si enim regula Α Ε una cum Parabola F D adplie tur ad punctum C, eodem modo, quo coiistat eas ad punctum C in curva A CN mutua intersectione designandum esse adplicandas & quidem C G vocetur : erit G D S, cum latus rectum, quod est n, sit ad C G sicut C G ad G D. Auferendo autem D Ε,quae est '--a G D, relinquetuet - , pro G Ε. Deinde quia A Best ad
ΒΕ ut C Gad GE: hinc cum AB sit p,BE erit M - - . Eadem ratione si punctum curvae C suom natur inventum esse per intersectionem linearum rectarum, S C,
parallelae ipsi B K. 8c AC, parallelae ipsi S V ; S B, quae aequatur ipsi C G, est ' : & cum BK aequetur lateri r cto Parabolae, quod nominavi n, ΒΤ erit est enim