장음표시 사용
141쪽
Iinea B C vel B D my. Manifestum autem est, lineam construendam esse Ellipta aut Circulum, quoniam habetur-x . Non reperitur autem m, aut x. Et sussicit pro a sumere A B,atque ceruistrum ab A versus B , cum habeatur ἡ-ox, hoc est, in hoc exempla ,- - b x. Ita ut pro illo sumendum sit , hoc est, b divisum per et,seu I b, cum non habeatur a, neque m,neque p, neque e. La tus autem rectum fit P, hoc est,b; transversum vero -- , hoc est, b; & tum considerare tantum oportet, utrum angulus ABC an vero ABD sit rectus. Nam cum hic non habeatur a a/m, nec
ραμ, existente angulo pura ABC recto , linea quaesita erie Circulus; at vero obliquo existente cui ABD erit linea quaesita Ellipsis. Quapropter si utroque casu faciamus A E Io ἱ erit punctum E centrum , & AF m dilatus transversum; latus autem rectum m b, atque B C vel B D MI ordinatim adplicata ad disemetrum Λ F. demonstratio facilis est. Etenim qu niam utroque casu iuxta et I prop' 'I libri Conicorum Α-pollonii latus transversum b est ad latus rectum b, sicut rectangulum F B A ad quadratum ex B C vel B D : erit rectangulum F B Aaequale quadrato ex B C vel B D. Hinc cum FB sit rub-x, de AB ae x, erit dictum rectangulum, hoc est, bx-a', aequale quadrato ex B C vel B D,hoc est , erit J M bx-x . Quoόerat
Quod si aequatio haberetur II m bb 'x quaesita linea esset Hyperbole: & si vel BC, vel BD sumatur ero I, hoc est, sive
angulus sit rectus , sive obliquus ; erit constructio praecedenti omnino similis; nisi quδd centrum & latus transversum sit sumendum a puncto A versus alteram partem, nempe versus H. Λtque ita faciendo A G m e/fiet punctum G centrum, critque tam latus transversum, quam rectum M b. Dcmonstratio praec denti erit similis, observatis tantum signis & -.ΟasERvATIO QUARTA. ANimadvertendum praeterea est, si in aequatione non habe tui fractio ipsi in adhaerens, & nihilominus tamen adsit m ,
142쪽
N o T AE BREVES. 123 qudd tum quidem fractio, ut supra notavimus si alia quam
fuerit, transnutanda sit in fractionem ubi habeatu ξ . supponendo scilicet m esse ad ρ, sicut denominator alterius fractionis ad ejusdem numeratorem: quoniam in hac Methodo requiritur, ut m ipsius m sit denominator fra monis ipsi x adhaerentis. Vbi quidem, in casia, quo haberi ponimus m , non autem fractionem, quae ipsi x adhaereat, sepponere oportet p M m, ita ut habeamus non alius valoris quam x . Quod cognoscendis centris, lateribusque rectis atque transversis inservire poterit.
Ad pleniorem vero intellechim, detur in sequente sguta linea AB, α puncta in ea Λ N B; oporteatque invenire punctum, ut D, a quo si ducantur lineae A D, D B, ut ipsae datam inter se obtineant rationem, hoc est, ut AD sit ad DB, sicut linea PH ad lineam MN ; quarum quidem P Hsit major quam ΜN. Demittatur a puncto D super ΑΒ perpendicularis D G, &supponatur Α Boob, AGIox, GD MI, M N Ios. Quoniam igitur rectus est angulus Α G D, erit quadratum ex Λ D aequale ruadratis ex A G, G D, simul sumptis, hoe est, IO II. Eo
em modo, cum G B sit b-x, erit quadratum ex DB aequale quadratis ex B G,G D, hoc est, zo b b- 2 bx -- x . Iam v
143쪽
r 24 F L o R. IMONDIDE BE AVNE eritque L N ad M N, ut quadratum a P H ad quadratum ab M
Hinc si1 LN vocetur erit cadf, sicut quadrarum a PH ad quin dratum ab MN, ccst,ut quadratum ex AD N a: M ad quin dratum ex D B MI b b-a-Αc proinde productum extremorum erit aequale producto mediorum, hoc est, D: HII m ore bb- 2cbx -c Hinc per consequens,cΠ-πM-
Αd abbreviandum autem hunc terminum F-; lieti consideremus, qubd e & c exprimant semper unam eandemque differentiam, quippe quae est intere &f, etiamsic major sit quam dum in operatione supponimus h me ); semper tamen habebimus -m - ,hoc est x simpliciter; adeo ut relinquatur a m V Id quod nos
docet,locum esse Planum,cumque Circulum existere:cum habeatur-x , angulusque A G D lit rectus, dcaam M pQ ; neque enim hic habetura, nequee; atquem ipsi raequalis supponitur cum nulla ipsi x fractio adhaereat. Quibus ita constitutis Circ tum hoc modo inveniemus.
Terminus, qui centrum nobis exhibere debet, est ex quo nobis praeter nihil inseruit: cum reipsi si sit aequalis; hoc est, pro eo tantum habebimus -- . Ac idcirco,postquam linea L M aequatur e si fiat ut linea L Mme -- lineam L N Me,
ctum C centrum Circuli. Sumendum autem id erit ab A versus B quoniam habetur-- ,respondens ipsi o x. Praeterea, quoniam in Circulo latus rectum & transversu in sibi invicem sune aequalia, alterutro tantum erit opti. Formula autem uteris recta
hic estv - . Vade quidem illud quod nobis in hoc exempla inscrula, iam aliud erit quam v a o- m', boc est, quod,
144쪽
NOTAE BREVES. 12squM, auferendo quadratum αδ a quadrato ex relinqua-quu quadratum lateris redii. Est autem paulo ante invenis linea A C m ideoque ejus dupla Α Q m invenire adhuc oportet , quod repraesentatur per A mri Invenitur autem; ponendo esse , ut o - fade, ita bbad h. atuto est ad e, sie ΑΒ mb est ad A C. Quapropter erit ut , ad lineam
A siebbad . Quoniam autem ratio duorum quadratorum ad invicem duplicata est rationis, quam inter se habent ipsorum latera: hine si ponamus lineam A E mediam proportionalem in
ΑΕ, erit ea aequalis Vm. Adeoque si constituamus triangulum Α R cujus latus Α .sit aequale , ut dictum est , cujusquc angulus Α RQ sit rectus; erit latus R Q M W οφ - Α quandoquidem quadratum ejus aequatur quadrato lineae S,mi, nus quadrato . Atque ita RQ fit& latus rectum & diameter Circuli. Et li ex centro C ducatur linea C E parallela ipsi
145쪽
R , erit ipsa aequalis radio Circuli, utpote aequalis nece R Q. Et haec quidem quamum ad constructionem juxta hanc Methodum, quae, postquam jam est inventa, brevior reddi potest. Nam eum angulus Λ ECht rectus, & ΑΕ media proportion lis inter A C & Α Β, similia erunt triangula ΑEC, ΑΒΕ,&EB C; ac proinde AC ad CE, ut C E ad CB. Vt autem AB est ad A C , ita est L M ad L N. Quare per conversionem rationis erit AC ad B C, ut L N ad N M. At vero ut ratio A Cad C B duplicata est rationis A C ad C E propterea quod C Emedia est proportionalis inter A C & C B , ita etiam, cum linea D H media sit proportionalis inter L N & N M per constructionem ): erit ratio L N ad N M, hoc est, Α C aὸ C B, duplicata rationis L N ad P H. Quapropter erit ut L Nad PH, seu P H ad M N, ita A C ad C E; quae quidem Circuli radius est. Demonstratio hujus constructionis ad imitationem praecede tium inveniri potest, quam hic omittimus: cum illa ab Eut ioinitio commentariorum ejus in Apollonii Conica sit ostensa.
ΡAg. 2x hujus Geometriae dictum est: quod , postquam haec
aequatio non ascendit ultra rectangulum duarum quantitatum in determinatarum, aut etiam ultra quadratum unius ex illis, linea
curva semper sit primi & simplicissimi generis, sub quo tantum Circulus, Parabola, Hyperbola, & Ellipsis sunt comprelienis.
Quod ita intelligendum est , duas quantitates indeterminatas xde', cum separatim in AEquationis terminis reperiuntur, non ultra sua quadrata ascendere debere ; sed in terminis, ubi simul reperiuntur, singulas non nisi unam dimensionem habere debere. ita ut simul tantum rectangulum aliquod duasve dimensiones ei
Similiter, si in AEquatione reperiretur terminus aliquis, in quo haberetur ν', vel xy; aut , vel aut denique xae, vel H 1, vel x υροῦ linea curva esset secundi generis. Et sic de caeteris. In quibus omnibus solam indeterminatarum quantitatum ratio Linbenda est, non autem quantitatum cs itarum, quibuscum jun
146쪽
Quod si quantitates indeterminatae singulae separatim ad duas dimensiones non ascendant , neque etiam timui, hoc est, si nullus terminorum ad 'I , aut ad x 1 assurgat; linea itidem erit primi
generis, & quidem recta, non curva: adeoque locus talem aequintionem praebens Planus erit, & ad lineam rectam. Et quidem, cum locus cst ad rectam lineam, Geometria haee non minus ipsum componere docet, quam cum locus. est ad curvam lineam, quae sit primi generis, & cum in aequatione habetur II: sicut ubique inaequatione huius Geometriae pro Pappi quaestione, ex qua superior formula deducta fuit, cernere licet. Quod si vero habeatur x in aequatione , non autem II, immutanda
tantum erunt nomina quantitatum in determinatarum, ita ut appelletur , quae dicta fuit x, &x, quae dicta fuit I: in hunc modum. Esto insequenti figura A B M a ,& BC MI, atqne aequatio inventa xy M D , quam ad dictam formulam reducere oportet
Ducta igitur A D parallela ipsi B& D C parallela ipsi Α Β , mutatisseque nominibus quantitatum indeterminatarum, nimirum appellando
Α D, cui aequalis est B C,x,&D C, quae aequalis est A B, I; quaesita aequatio eritum cujus radix est m 3 Atque ita reducta erit ad formulam, quae nos docet punctum C fore in Parabola. At vero si in aequatione non habeatur x', nec I, sed a I; qui
quidem casias, quoniam nec in aequatione quaestionis Pappi reperitur, neque ad formulam ex ea deductam refertur ; difficult tem aliquam afferre posset, quam propterea enodabimus. AEquatio autem haec ad summum plii res quam quatuor terminos non comprehcndit: unum nimirum, ubi x reperitur sinea; alterum, ubi I reperitur sine x; tertium, ubi reperitur xy ; ac quartum denique, ubi neque x nequeI reperitur. Adeo ut va rietas omnis reducatur ad i7 formulas aequationum ac constructionum,quae sequenti pag. I 29 exhibentur. Quarum quidem Ope videre licet, quonam pacto locus semper ad Hyperbolam existat, lineaeque indeterminatae sint Asymptoti, aut iplis parallelae. Detur enim positione linea B H, punctum autem in ea dammisit A : deinde assumpta linea A X prox, ductaque linea X Y, quam Pro 1 sumemus, facientem cum A X talem angulum, quis
147쪽
len libuerit, eaque indefinite producta r ducantur lineae DK. L P , QT parallelae ipsi B H; ita ut D Κ cadat infra B H ; L Paule n lupra B H , inter puncta X & Y; Q T vero ultra punctum Y. Eodein modo ducantur lineae QD , R A E, S F, T Κparallelae ipsi X Y seu LG ; ita ut Ii: .ea Q D transeat per lineam X Α , productam versus Α; & S F per eandem inter puncta A & X; nec non linea T K per eandem A X, productam ver sus X. Quibus ita constitutis, ii per PropΡV 4 libri Coni corum Apollonii describatur Hyperbola, quae transeat perpunctum Y , cujusque Asymptoti sint lineae, quas resert quaelibet constructio; manifeitum est, per Ia Prop' eiusdem libri r ctangula omnia, quae ad easdem lineas similiter sumuntur, sibi invicem esse aequalia. Ideoque demonstrandum solum restat, Asymptotos, atque rectangulum uniuscujusque aequationis, rite esse
Eito igitur secundum ultimam aequationem Hyperbola constructa. transiens per punctum V, cujusque Asymptoti sint D in&DG; & rectangulum, contentum sublineis DG, G Y, sit aequale rectangulo dato do b c. Hinc si iuxta constructionem fecerimus lineas A X M ae, X Y IDI, Α Β m e.B D vel X G m brmanifestum est, B X vel DG fore x-c; G Y autem b;
atque multiplicando unam per alteram proditurum bc. bx-υ--v, pro rectangulo linearum D G, G Υ. quod aliunde quoque aequatur dy bc. Ac proinde, si utrinque commune aufer tur rectangulum bo, relinquetur xI cI bx DV quae est aequatio proposita. Eodem modo reliquarum omnium aequationum & constructionum demonstratio ostendetur. Disiti es by Corale
149쪽
Praeterea evidens est , in II , II , & I py aequatione exi stente rectangulo si aequali b e, si hoc ipsum in locum V substi- tuatur , undecimam quidem tunc fore divisibilem persee, duodecimam per ' - & decimam sextam per c-x; Vtramque autem II -& I posse reduci ad I II b; in i 2 adae M GΛded ut tunc tantum locum ad lineam rectam exhibeant, quando habetur; Iob, &X Y ipsi b fit aequalis, atque per punctum Y recta linea ducitur ipsi A X parallela, ut habeatur quaesita; Aut quando habetur x x et & XA ipsi e fit aequalis, erit parallela A Ribea recta quaesita. Caeterum potuimus quidem aequationum harum. varietatem ad minorem numerum reducere, transmutando nempe unam indeterminatarum quantitatum in alteram sicut in eum finem illas, quae mutationem hanc recipere possitnt, ordine disposuimus tumetiam constructiones illarum, in quibus quatuor termini non reperiuntur, comprehendere sub iis, quae omnes habent complotos e sed 'uoniam multo prolixiori indiguissemus sermone, & res. ipsa minus istiset dilucida, ratione ostensa uti maluimus.
Notandum hic est, modum inveniendi tangentes linearum curvarum, hoc loco expositum , consistere in invenienda aequatione, in qua linear vocata sumi potest pro duabus quantistatibus diversia, cum linea quae vocatur ν ad tangentem non rec
150쪽
fertur, ri veris cum ad ipsam refertur, quod tunc duae illae ovantitates diversae intelligantur aequales seu in unam coalescere. Quod fit comparando aequationem inventam cum aequatione 1 - 2υ eemo aliave ex hac composita. Eius rei propon
Esto linea recta A N, curva aut rem A M, curus vertex punctum A. ς cujusque haec sit proprietas: ut, ase sumpto in ea quolibet puncto,utlima quo ad rectam A N ducatur per- pendicularis M L, recta B C, ad arbitrium sumpta, una cum AL,sit ad A L, sicut linea A L ad LM. Opo tet rectam lineam invenire P M, tangentem hanc curvam A M in puncto M. Supponatur linea NM perpendicularis ad tangentem P Min puncto M,& B C mi A L MI,& L M m x. Hinc cum ι sit adruir ad x, set aequatio talis: b x in1 x xv,ac proinde x M . Iam vero pro eo, quod in hoc exemplo imaginamur curvam A Mtangi a circulo cujus radius MN, satius cst imaginari, quod ipsa tangatur a recta linea M P: quandoquidem hoc modo superfluam multiplicationem evitamus. Quocirca statuendo AP m υ, ω
P Κ m s este parallelam ipsi L M, atque ab A K, quae parallela est ipsi P M, secari in K ; erit ut v ad s, scQuae quidem cum supra inventa sit m
- ,habebitur m, comparandum cumum 2υ - H. Vnde primd invenimus - .Deindem e ,velim , ac per conse'