장음표시 사용
151쪽
- 132 FLORI MONDI DEBEAVNκ est proportionalis interP L & L N,erit LQuod erat faciendum. Vel etiam sic, imaginando curvam AM tangi a circulo, cujus radius est MN. Omnino ut in hujus Geometriae Methodo supponitur factum. Igitur quoniam habemus, Mat,ac proinde
152쪽
ut supra. Vbi notandum , lineam hanc curvam non aliam elle. quam Hyperbolam, supra a nobis conitruinam. AD PAGINAM Is & 76. DEmonstranda hic est operatio, quam haec Geometria nos
docet, cum radicem incognitam alicujus aequationis multiplicare volumus per certam aliquam quantitatem aut numerum cognitum. Proponatur aequatio ac)-cx' --ddx-b M o, cujus radicem incognitam x per lineam h multiplicare oporteat.
'.Proinde si substituamus in aequatione praecedente loco abdi Flocox', erit sequens aequatio,
153쪽
Evidens autem est, idem productum inveniri, si in aequatione propolita ponamus I, & quadratum ejus II, cubumque'), i co x , x , et atque deinde secundum terminum multiplicemus perh, tertium per , & quartum per hy. omnino ut haec Ge
metria docet. Vbi, postquam substituimus i , se loco a
x , & xt , ad multiplicandum totum per, sufficit auferre den minatorem, qui ab h denominatur, atque tantum reliquum s cundi termini multiplicare per reliquum tertii per & reliquum quarti perhin: quandoquidem a terminis, secundo & ter tio, auferendo denominatores h h de h, ipsi eatenus sunt multiplicati. Adeo ut suffciat multiplicare reliquum secundi termini perh, & reliquum tertii per at ipsum quartum per lit, cum
hic denominatorem abhdenominatum, pcr quem sic auferendo fuisset multiplicatus, non admittat. non aliter quam haec Ge metria docet. Quae demonstratio & methodus in altioribus quoque aequationibus locum obtinent, in quibus radix x plures di mensiones, quam in aequatione proposita, admittit. Notandum autem est, cum terinini aequationis hujus si productae non singuli aeque multas literas seu dimensiones habent, lineam, quam pro unitate ad libitum sumpsimus, & cujus ratione supposuimus M a toties in terminis,qui pauciores dimensione seu literas habent, subintel 'gendam esse, quoties fuerit opils Adeo ut ejusdem lineae beneficio termini abbreviari possint, sicut singuli non nisi tres literas seu dimensiones admittant, ac prae terea ut illius ope, postquam radix imar fuerit cognita, mediante aequationet Oox, cognoscatur quoque radix altera x. Ad haec supponere quoque possumus II o xlt, ita ut habea
subrogatis, habebimus - --b'mo. Ac proi
de multiplicando totum per fiet, - c0' - - ddhhυ-bΤιΤmo. Vnde perspicuum fit, quod substituendo, juxta prae scriptum hujus Geometriae, II Pro x, quadratum ejus 1' pro . ,& ipsius
154쪽
ci ipsius cubumo, pro xy, atque multiplicando secundum termianum per h, tertium per hi & quartum per h), eandem consecuturi simus aequationem. ut ex demonstratione superiori facile est colligere; & omnes quidem termini aeque multas habebunt litoras seu dimensiones. Et tantum de operatione per literas. Quod autem spectat ad operationem, quae fit, cum radix inc gnita per numerum aliquem est multiplicanda ; ipsa eidem domonstrationi innititur. Esto eadem,quae supra,aequatio: xy- ex x ddx --m o; di oporteat radicem incognitam x multiplicare per 3. Suppon
bus, ut supra, substitutis,. fiet: ---bymo.Αc proinde multiplicato toto per 27, exserget'Τ-9 do - 27 M o. Quae aequatio etiam invenitur, si in aequatione proposita substituamus', quadratum ejus I, & ipsus cubum', loco a , quadratia: , & xt cubi; atque deinde secundum termianum per 3 multiplicemus . tertium per ον , & quartum per 27,eX praescripto husus Geometriae. Qua quidem operatione termini omnes, ob rationes supra allatas, aeque multas dimensiones a quirent. Idem intelligendum est de exemplo in hac Geometria pro
posito, - xx V 3 - οῦ;x--έ 3 Mo. Etenim sipposito I M a W3, erit A M a ,α θ m x nec non m x Vndes in aequatione proposita substituamus , quadratum ejus θ ,
m o . Atque adeo si totum multiplicemus per 3 v 3, habebitur1Τ--3 'I- - - - MEadem nempe aequatio , quae obtinetur operando juxta hujus Geometriae methodum, quemadmodum supra fuit ostensum. Non secus fiet demonstratio, si de radice incognita per quantitatem aliquam cogἡitam dividenda agatur. Proponatur namque aequatio x - cxx indux by M o, sitque xa videnda per ΚSup
155쪽
FLORI MONDI DE BEAv NE supponatur' m I , eritqueI b M x, &I'm x , nec non 3 h Io Quae si in aequatione proposita substituantur iach 3 --d υ-bΤ2Do. Ac proinde si totum dividatur per hy,
Manifestum autem est, idem nos obtenturos, si in aequatione proposita subrogemus , quadratum a I, & ipsius cubum 13. in locum x, quadrati x', & cubix', atque sic deinde secundum terminum dividamus per h, tertium per b h, & quartum per hine quoniam insuperiori operatione, ubi h h in secundo termino,& hin tertio reperitur, perspicuum est, quod, ad dividendum omnes terminos per h , auferendo toties h , quoties in ipsis reperitur, opus tantum sit dividere reliquum secundi termini per h, reliquum tertii per b h, ipsum autem quartum terminum per hy, quippe qui quantitatem h non comprehendit. Omnino ut haec Ge
Quia vero aequationis hujus sic productae termini singuli non aeque multas habent literas sca dimensiones; igitur ut aequales numero reddantur, oportebit in illis, qui pauciores dimensiones habent quam requiritur, toties literam aliquam subintelligere, quoties crit opus, quae lineam pro unitate ad libitum sumptam designet,& cujus ratione supposuimus O - . vel potius benem cio hujus lineae, quam pro unitate assumpsimus, & linearum e gnitarum, essicere, ut singuli aequationis termini tres lueras stadimensiones habeant. Id quod facile est.Etenim cognita,v.g. linea, pro unitate accepta, possumus ad eandem denotandam Ioco sumere p. atque ita de caeteris. Adeo ut, cognita radiceI, ejusdem unitatis ope cognoscatur quoque x, per aequationem hanc
Nec aliter in numeris veritatem hujus inometriae Methodiostendemus. Proponatur enim eadem aequatio, quae supra, xy- cx ddx-b Io o, & oporteat radicem incognitam x diu
dere per 3 .Supposita igiturI M 3IM 9II m x', necnon 27 γ' oxy. Quae si substituantur in aequatione proposita. habebitur 279 Τ-υν - 3 ddi truo. Ac proinde dividendo
156쪽
totum per 27, orietur')-j---bymo. Quae aequatio quoque invenietur, si procedamus iuxta hujus Geom triae Methodum: subrogando nimirum in aequatione proposita, quadratum ejusII, & ipsius cubumi, in locum x, quadrati a ,&cubiae': & dividendo deinde secundum terminum per 3 , tertium per hujus quadratum 9, S: quartum per ipsius cubum 27. Eadem demonstratio locum obtinet, si in aequatione radix incognita plures dimensiones habuerit.
AD PAGINAM 79, & sequentes. 13 Roponatur x' η --p x --qx-r OD O, & supponariir juxta praescriptum hujus Geometriae x I x ---B M o,eritque x'--w-μορ--I a Oc proinde quadratum unius partis aequale quadrato partis alterius, hoc est, x' - -
Io o. Ex qua aequatione si tollatur prima' p xx et x- rm o, relinquetur :υ - ρρ - r-B mo. Vnde multiplicando totum per qu, exsurget ' - 2D ILII qq M o. Quod erat demonstrandum.
Eadem ratione demonsti alio fiet secundum omnes variationes lanorum &- , atque observationes in hac Geometria expo- 'sitas. In cujus rei exemplum duorum adhuc sequentium casuum demonstrationem subsiciemus. Sit aequatio proposita a η -ρ a q α' - r M o. Si clo'
157쪽
relinquetur O O. Quare si t tum multiplicemus per qII, inveniemus, - 2 p1' - qq M o. Quod demonstrare oportebati Iam vero si ponamus κ' η - - p --ν D o, supponendo secundum hanc Geometriam H-Ixm o; erit Min II inj Iim Vnde quadratum prioris partis aequale erit quadrato posterioris,hoc est, x' --II H
consequens, H H-pa' - ἱρυ- pp-m o. E qua si tollatur prima Hη-px' qx-sermo, remanebit -r- Emo. Atque ideo si totum multiplicetur per Arr, invenietur, - - II qqmo. Quod erat demonstrandum. Non secus demonstrabuntur omnes reliqui casus secundunt utramlibet harum suppositionum: nimirum, x' - I x '
tantum fgna - - & - , quemadmodum haec Geometria docet. Cujus operationis ope in genere aequationes omnes, in quibus radix incognita V habet dimensiones, ad formam, in hac Ge metria propositam , reduci possunt : nimirum, H-r. 2 print' υ- qmo. signa & - quae praecipit, Observando, sicut demonstravimus. Quost, ut, si divisionis benescio aequationem propositam ad eam sermam reducere possimus, ita ut post divisionem radix ejus I plures quam duas dimensiones non admittat, ipsa per Geometriam communem, juxta praescripta
paginae is & 7 hujus Geometriae inveniri possit. Qua inventa, mediantibus aequationibus x I x l1'. ἰp. 4 M o, & x H-III. Ip. A m o, observando signa - - &- ,
locis, ubi sunt omissa invenietur quoque radix x, cujus loco in adteria aequatione pro radice supposueramus . At vero si aequatio ponenda Diuitiaco by Corale
158쪽
supra inventa, denominata a radice , sic dividi nequeat, tune' considerare illam poterimus, velut tres duntaxat dimensiones habentem, supponendo scilicet e IOII, ipsamque substituendo inaequatione ; adeo ut habeamus e. - qqODO. Quae, observatis iisdem signis H-& - , quae in altera aequatione reperiuntur, & sublato secundo termino, per id, quod pag.73 diactum est, reducetur ad formam aliquam illarum trium, quae habentur pagina 93 , ad inveniendam deinde radicem cjus et per Geometriam Solidorum, juxta pag. 8 s , & sequentes. Quae certe eadem sutura est quae II, qua cognita innotescet Cujus ope atque duarum superiorum aequationem tandem inveuietur x. Verum enimvero observandum est , in omnibus praecedentibus operationibus utendum csse eadem linea, quae pro unitate est accepta, si illam determinamus, & usurpamus ad aequati nem propositam reducendam ad superioris formam , nemper H pH.qx.rmo. observando sgna in & Verum equidem est, qudd , postquam aequationem hanc ad praecedentis formam reduximus, quae a radicer sit denominata,
nimirum ad aequationem 2D' II MO, quaest edividi seu reduci non possit, ita ut radix ejus I plures quam duas dimensones habeat, non teneamur ulterius progredi: siquidem illo casu Problema non Planum , sed Solidum existit , juxta pag. 8o atque tunc contenti esse possimus aequatione prima H p x'.qx.rruo cum per illam invenire possimus radicem x mediante Geometria Solidorum, secundum paginam 8s & s
quentes) r Attamen nihilominus operatione praecedente, quam explicavimus, uti possumus, saltem ut ostendatur veritas ejus,
quod habetur pas. 93 & 9 , ubi dicitur , quod Problemata
omnia, quorum difficultates ad aequationem, quae ultra quadrinto-quadratum non ascendit, reducuntur, semper ad formam alis
quam earum, quae pagina 9 3 proponuntur, reduci queant. ΛD PAGINAM 93. O Vandoquidem ex eo, quod in hae Geometria ostensum atri, que supra adnotatumen, liquet, aequationes omneS, qua rum dissicultates ultra Quadrat quadratum aut Cubum non S a asce
159쪽
r o 'FLORI MONDI DE BE AVNEascendunt, reduci posse ad aliquam formam earum, quae hac pagina proponuntur: exhibenda tantuin restat demonstratio radicum, quae ex ipsis, secundum Cardani regulas, quas super hac re in medium affert Capite secundo libri ejus, quem de Arte Magna seu Regulis Algebraicis inscripsit, educuntur. Cum hoc ipsum dissicultatem sorte non exiguam parere posset iis, qui in eundenhlocum aliquando inciderent, quippe quia Speciosae Algebrae, &mutuae inter Arithmeticam de Geometriam relationis atque convenientiae ignaris, non facile percipiatur. Quocirca ut veritas extractionis harum radicum expendatur, demonstrabimus pri- miis sequens '. .. . L E M M Α.' . . - uteunque linea A C . . O in B, ostendendum est ra, . Cubumim ΑΒ, una cum
cubo lineae B C , & triplo producto Iinearum 'AC, B C , Α Β , simul aequari cubo lineae Λ QSit AB Ioa , BC Iob, eritque AC, in b. Productimi Marum AC, BC, AB, erit b aa in cujus triplum 3ba a 3 b ba.Huic si addantur cubi linearum A RB C,ficta' 3baa, 3bba by. Et nianifestum est, summam hanc aequalem esse cubo lineae A C. . Demonstrato itaque hoc Lemmate , habebstur primo loco
Hinc i gura adjectalupponendo binomium v C. aequala lineae A C, & residaum VC. - aequale lineae BC , erit eorum disserentia UC. --U , C. - q in vis in se p= aequalis Eneae Λ B. Iam vero statuendo Α B IO e, erit disserentia Cuborum ex his radicibus
istarum differentia inter cubum Φ 4-ν p , recubum- έ- aeserendohunc ab illo aequi iis q. Qira: e opterea aequalis erit differemiae latex cu in i
160쪽
n B C. Atqui eubus lineae Α Β, & triplum productum line . rum AC, BC, AB simul, aequantur eidem disterentiae , siquidem cum cubo lineae B C componunt cubum Iineae AC . Erit itaque e , cubus videlicet lineae Α B, una cum triploproducto lis . norum A C, B C, A B, aequalis Vt autem habet in hoc productum, multiplicandum est bin
mium V aequatur lineae A C, per residuum V C. - έ q - έ ε-- .is aequale est lineae B C. innocum ν ἡ ρ ρ - ό ρ Τώse multiplicatum faciat iaciat - ρ q; quae productas I addita ficiunt se siquidem addendo
evanescunt r & porro producta, quae fiunt ex in ν ita rosepy, se mutuo destruant: Erit totum productum radix scilicet cubica ex in py. quandoquidem quaestio erat de multiplicandis radicibus cubicis. Vnde triplum productum eritρ, quod si multiplicetur per A B, hoc est, per fiet e, aequale triplo producto linearum A C, BC , AB. Et per consequens a. Ii et M s I veli πι -p et in q, Quod erat d
Sit jam secundo loco &supponatur prima radix cubica quae binomium est in figura praeedente aequalis lineae AB; secunda autem quae residuum est aequalis lineae B C ; eritque summa cuborum utriusque lineae aequilis q. Porro supponendo lineam Α C M e, auferendoque ex ejusdem cubo is, triplum productum linearum AB, BC,&α, relinquentur cubilinearum AB dc BC, qui quidem simul sempti . si iunt a quales. Est autem productum ex AB, BC, hoc est, quod fit ex binomio in residuum, V Nam cum
radice existente signo ἀ- adsecta, altera vero signo - produ-eatur utriusvis quadratum affectum signo - , nimirum
insep , & utramque radicem per-μέν multiplicando , producta evanescant; restat tantum in ἱ in se multiplicandum. Quare eumproductum illud sit & alterum productum in-