장음표시 사용
161쪽
1 1 FL. DE BEAVNE NOTAE BREvEs.seu ἱρ, sicut diximus, ac proinde ejus triplum p. Quod si rursus
multiplicetur pere, produceturpWaequale triplo producto linearum AB, BC, AC: & per consequens e)-pe OOq, hoc est, et co η e q. Quod erat demonstrandum. Adduxi autem demonstrationem cxtractionis harum radicum, quod contemplatio earum atque inventio pulcherrimae mihi sint visae. Verum quantum ad praxin , cum Geometrice aequati num hoc loco propositarum radices sunt trahendae; ejus sane methodus, quae generalis atque facilis est, quam optime in hae Geometria demonstrata cernitur. Si vero Arithmetice illas extrahere lubuerit, multo id fiat lius fiet juxta methodum a Vieta intractatu de Numerosa Potestatum Resolutione traditam, quam per hasce regissas Caerdant.
162쪽
164쪽
Rimo b o Autor viam quodammodo aperit M siuam δίειhodum'ua in resolvendis 2 con uenius Geometriae Probumaru utitur , quamque tribus hisce libras est complexus. cua est, .ut certarum notarumstae cha cterum beneficio, quibus tum data tum quaesita Mea d signant-, difficultates omnes, qua in dem Problemazu enodanda veniunt, ad 0 Mi terminos risucantur. ut demde ad illorum conseruritionem non m irectarum ruarunda- tinearum longitudinem quam est opus. Ad quin inveniendas, docet, operationeromnes, quae circa δε-
ne Geometrice fissi, deinceps expis Dporro os andrum venit, quod, postquam H Arithmetices termim in Geometriam Punt intro si , is operationes Ase in sineuq instituendas inque num ris , consentaneum t rectam lineam, -a unitatis vicemHar, assum re, ad eandem rebruas referre. Id quod communiter tiberum est, euo quamlibet fineam ro ea accipere lueat. Quibus exphasis, tendtit,quopaei oris vique titeris in Geometriast utendum ad tradi in lineas brevιter deanandas, earamyue opera tiones facile indicandas: ut hac rationeaeversae earum relatisnes con spuua ι, atque dispicustas omnis, verborum involucru exuta, quam
si Missime ob oculos pompusit. Et quaa hac Methodus in resolvendis
Geometria Problematis requirit,ut disicustates omnes,qua in illis e Guenda occurrunt unumgenus Problimatum reducantur, nempe, ut quae rur tantummod3 valor quarundam tinearum rectarum, qua M-
cujus aequarionis ot radices: idcirco docet,quo parito Problema ahquod propostum perducatur ad aquationem .supponendo istud ipsium ut jam factum. Ac deinde, cum quatio certum sit medium quo Problema holvitur, refert totidem aquationes inveniendas esse, quot in eo seuppo ta fuerint incognita lineae. Cum autem haec Acethodus nullis Problematum ibur coerceatur, ipsaque non tantumad Problemata, in quibus de inveniendis quibusdam rectis liseis, ut etiamplanisset dive quaesto
est qua qnidem facia ad tales terminos reduci queunt, ut non nisi recita T qua
165쪽
quadam lineae insemen laesint adpti rapossit sed etiam ad Problem ra , in quibus certi anguli Amtur, vel angulorum anter sese comparario facienda est; arque ad Problemata in quibus quadam puncta ot lineae data siunt,qabapuncta inveniri debent, se extendas siquidem in his aquaesitispunctis ad data , aut datarum rectarum terminos, aut etiam indatu arausis adpositione datas recta linea is possunt, qua Pasitorum punctorum sica determinant in illis autem qua diatorum angulorum v ei gerant, sicut post exemptis planum siet : facile constat, illo non -do Vrrerum Anabasen atque Recensiorum Alebram comprehendore , sed etiam ad id omne, uti de piantuatum aqualitate vel proporti ne inquiratur, a deriposse, inque adeo tam generalem esse , ut nullum nonsua artis per universa Martis specimen edin. Iam vero postquam Problema aduquod ad aquatione ν speiam ctum , ipsaque aequario adsimi ribsimos terminor reducta, si quidem is ipsiumper Geometriam communem construipotest, hoc est, ut ad constructionem e s non myi rectu tineis arque circucis utamur ,prout m -- perficie ali plana describuntur , docet, qualu tunc debem esse aquario, cit qua ratione Mais ejus ram inveniri quam exprimi possit. Atque ita breviter, quidquid au planorum Problimarum constructionem. lpectat, absolvit. w .m ainem tum praeceptionum harum usita locus sit, tum vero eis en Methodi facilitas in resolvendo ac construendo nobiis asquo Problema- te eluceat, inquirendam i tandem proponis rationem componendisici ad tres, qua re, 'elprures lineas: ad quam, velut scientia culmen, V res ut perven-ent, summa cura efforarunt.. Et hoc quidem primi Libri Argumentum a remeetsi umfuit. Cat rum loca dissolura, qua in re illustranda esse duximui, fere μυ
166쪽
ssonis quadam specie haberi potest. J
Quandoquidem eadem ferme proportio utrique operationi convenit. Est enim in Divisione, ut quotiens ad unitatem, sic dividendus ad divisorem. In extractione v rb radicis quadratae,ut radiX,ceu quotiens, ad unitatem ; ita datus numerus, ceu dividendus, ad radicem, ceu diviserem. Α deis ut radicis ex tractio divisionis species sit censenda, in qua divisor quotlanti est aequalis; vel etiam, in qua radix inter datum numerum dc uniintem est media proportionalis.
Vse etiamsi unasit, prae vocetur unitas. J Per unitatem Bintellige lineam quandam determinatam, quae ad quamvis reliquarum linearum talem relationem habeat, qualem unitas ad certum
Ut e) eommodiὰs adnumeros r eratur quamque co-- Cinaniterpro libitu assumere licet. J Sit enim, exempli gratia,
datum aliquod rectingulum transmutandum in quadratum: si pro unitate sumatur latus unum, quod libuerit, & inter ipsum & res quum inveniatur media proportionalis; erit ea latus quadrati, dato aequalis. Atque hac ratione latus alterum vicem gerit alicujus numeri, equo radix quadrata est extrahenda. Adeo ut manifestum sit, Problema propositum, nec non mediae proportionalis inter duas datas lineas inventionem, nihil aliud esse, quam si una linea assumpta pro unitate, ex reliqua linea tanquam numero extrahatur radix quadrata.
Vt ad ipsas iuveniatur quarta quae sit ad alterutram, Ptit est altera ad unitatem, quod idem es atque multipli
catio. J Inviultiplicatione enim est: ut productum ad Hultipli
167쪽
candum, ita multiplicans ad unitatςm. Vel permutando, utri ductum ad multiplicantem, sic multiplicandus ad unitatem.
Ε Vel ut per ipsas inveniatur quarta. quae sit ad unam ex tuis duabus. ut unitas ad .lteram. quod convenit cum
Divisione. J Est namque in Divisione, ut supra annotavimus, ut quotiens ad uuitatem, sic dividendus ad divisorem. Ac proinde permutando, ut quotiens ad divendum, sic unitas ad divisorem.
' Vis radix culicasit extrahenda ex a abb - cogitaudum es, quantitatem a abb semel divisam esse per
uuitatem, atque alteramquantitatem b hisper eandem esse multiplisatam. J Puta unitatem, quae hic subintelligitur,
este e. Vnde si quantitas a abb, quae una abundat dimensione, semel dividatur per e, set at vero altera quantitas ι,quae duabus descit dimensionibus, ut aequales numero habeantur, bis multiplicetur per c, hoc est, per c c. fiet bc co adeo ut tota qua
G Restaturus igitur aliquodProblema. considerabit iblud prima fronte ut jam factum, nominaque imponet lineis omiubus, quae ad constructionem ipsius necessariae Sidebuntur tam iis quae incognitaesunt, quum quae coMLiae Deinde.nullo inter lineas hasce cognitas S incognitas focto discrimine. evolvenda est Problematis difficultas, eo ordine, quo omnium naturassime Patet, qua ratione dictae lineae isse in rem dependent, donec iumenta fuerit via eandem quantitatem duobus modis exprimendi, id quodet quatio vocatur: aequales enim sunt termini mo- si unius, termisis modi alterius. Iam verb tot hujusmodie Equationes invenire oportebit, quot si positae fuerunt.
168쪽
Γ, Atam rediani lineam ΑΒ, utcunque sectam in C, M ita producere ad D. ut rectangulum seb A D, D B comprehensum, aequetur quadrato rectae, C D.
Considero rem ' velut iam factam,hoc est, suppono rectangulum A D E F aequari quadrato C D G H, quod faciendum proponitur. Deinde , cum omnisqita fio Geometrica reduci possit, ut non nisi longitudo alicujus vel aliquarum rectarum ex aliis rectis sit quaerenda, & nemo non vidcat, ad ejus constructisnem tantummodo quaerendam esse lineam B D, omnemque difficultatem in ea invenienda esse sitam .
nomina impono lineis tam datis AC, CB, quam quaesita: B D Proinde, pro linea Α C pono quantitatem cognitam a ; pro C B .h; at pro B D quantitatem incognitam x, fietque AD a b x, C D autem b inae. Quibus peractis, ut ad AEquationem pervoniatur, & habeam rectangulum ADEF, duco A D, hoe esta b in x in D E seu D B, hoc est, x, quod proinde erit a x bx in xx. Similiter ut inveniatur quadratum CD GH, multilico CD, hoc est, b - x in se, fietque bx xx. Ita ut
abeatur arquatio ax bx- xx Obb ab x in x x. Ad quam reducendam tollatur utrinque bx & xx, sic ut ex una parte rem neata x, &ex altera bb bx; tum transato bx ad alteram partem sub contrario signo,erit aequatio a x-bx DbA Cuius uir
que parte divisa per a- provenit x M - . E quibus patet, lineam quaesitam B D inveniri per divisionem quadrati lineae C Rer excessum, quo Iinea AC seperat ipsam CB, vel etiam perunc excessum, tanquam primam, .& lineam CB, tanquamsc-cundam , inveniendo tertiam proportionalem B D-
169쪽
PROBLEMA 1- Γ, Ata recta lines terminati Α Β, ex terminis vus Aduas rectas lineas insectere AC, CB, continentes angulum Α C B, aequalem dato D , ut quae ab ipsis fiunt quadrata, habeant ad triangulum A C B r tionem datam, ut ad
Faetam sit quod quaeritur, & ex pancto C demittatur super rectam ΑΒ perpendicularis CH. Quoniam igitur data sunt pu ω Α & B; & quidem ad trium punctorum situm determinandum nihil simplicius haberi poteu, quam si noscantur tres lineae AH, H C, & HB t facile constat , quaestionem propositam
eo reduci, ut inveniendae tantum sint duae lineae AH, H C, seu B H, H C; atque adeo duas supponendas esse lineas incognitas
Quia veris, A B biseriam in E, datum est punctum E , atque ideo ipsi DC et E B, quam voco a , atque operatio ali quana brevior evadit, si loco dictarum ΑΗ, H C, seu B H. H C, quaeramus duas lineas HE , H C: Idcirco pro HE p
no quantitatem incognitam x, & pro H C quantitatem inccvn tam . Unde pro AH invenirura-x, &pro HBa- x. Jam inter lineas notas& ignotas nullo ficto discrimine, directe percurrenda est Problematis difficultas, & videndum, quomodo una ex aliis sit deducenda, donec tandem ad AEquationem deveni tur. Primo igitur quadratum ex Λ Cerita a
170쪽
quoniam componitur ex duobus quadratis linearumΑ Η & H C. Eodem modo quadratum lineae CBerit a x Φ x x: quia aequale est binis quadraris ex BH & H C. Atque adeo iumma quadratorum ex Α C, C B erit et aa - - 2 xx - 2 II. Quaecum eam rationem habeat ad triangulum ABC, quod est v,
utpote aequale semissi ejus, quod producitur basi A B & perpendiculo C H , ) quam hetoet ad a : erit productum ex
2aa--2xx - 2II in a aequale et,quod provenit ex v in d,lhoc est, habebitur AEquatio inter 2 a' a axa -- et ara & 6 a dy. Sed quandoquidem duae suppositae sunt incognitae lineae x de I, alia adhuc superest AEquatio invenienda. Quam ut inveniamus, considerandus insit per est angulus D, cui aequalis supponitur angulus AC B; qui si obtusiis fuerit, produco lineam BC, donec expuncto A in ipsam cadat perpendicularis AI, omnino ut factum est circa angulum D. Tum, quoniam datus est angulus D, dantur quoque rectae D F & F G. Ac proinde si pro D F ponatur& pro F G e, gerent ipsae vicem dati anguli D, fient lue triangula ACI & GDF siilia. Eadem ratione similia erunt triangula H CB&ΑBI. Unde erit ut CB ad ΑΒ, sie CH ad AI, &BHad BI. Quare si pro quadrato brevitatis causa scribatur e e,h. e.,pro C B IOU aa 2 ax in x x vponatur e; fiatque ut e ad 2 a , sic C H seu I ad AI: erit AI . CO . Similiter ut eadaa, sic BH, seu a x, ad BI: erit B Iaso subducta B C seue ex BI seu
linquitur CI . Iam cum' CI sit ad Α Ι, hoc est,..
a. o e seu 1 aa in a ax-ee ad et v, sicut DF ad F s, hoc est, b ade: erit et aac in a-x-c e G productum labratremis, aequale et a D, ei, quod su sub mediis. Quae altera est . AEquatio. Atque ad haec facienda manuduxerunt nos praecepta jam tradita, ita ut nuIta partes Problematis sint omissae. Et quiscunque omnia penitius inspexerit, se suo marte propositae quae stionis solutionem ex illis huc usque perducere potuisse judic bit. Difficultas enim tota jam a tiguris ad numeros seu termi nos Analyticos est traducta, ita ut, quae supersunt, cuilibet ob--
via esse possint, etiamsi de lineis, punctis, angulisque amplius; '