장음표시 사용
171쪽
S non cogitet. Inventis ergo tot AEquationibus, quot suppositaeis erunt incognitae lineae; quoniam in utraque binae reperiuntur quantitates incognitae; hinc talis reduetio neri debet, ut ex una parte tantum habeatur x x, ut sequitur. Quocirca cum primum 2 a' - 2 a xx. 2 an aequetur dividatur utraque pars peraa,& sit aequatio intera a in xx II& aa,n in alteram
partem transatis, inter x x & 2--Π-a a. Deinde cum 2 aae - 2 a cx-ce e aequetur 2 aD , restituto valore quantitatis asi
sumptae ee, ipsoque ducto in - δε prodibit aequatio a ac - cxx- cI1 AD 2 a D. In qua si fiat porro terminorum transpositio, ut cxx unam teneat AEquationis partem sub signo - -& reliqui partem alteram, atque utraque pars per c dividatur, proveniet AEquatio xx OD a a -υ - xx M a s 'I-2D , scribendo nempe 2 f pro : quandoquidem liberum est quolibet nomine datas quantitatcs insignire γ.
Reducta ergo utraque Aquatione inventa ad eandem quanti tatem x x, adaequandae sunt resiquae quantitates inter se, ut in v niatur inde quantitas incognita . Quare cum 20 y-aa aequetura a-ο - 2D,additis utrinquUI & aa,erit a dymeta a
2D , seu , o Maa HI: dc translato et D ad alteram partem, factaque utrobique divisione per d H,sici' Io Inventa a tem quantitate , non est dissicile alteram quantitatem incognitam x.invenire.Si enim in praece denti aequatione xx 2D2 a a, pro
172쪽
COMMENTARII IN LIBRUM I. pro 3 substituatur summa jam inventa pro I ejusdem
sumimae quadratum, nempe a, invenietur
non debere esse minorem quam V ais, cum alias Problemaiaturum esset impossibile. Cuius quidem constructio talis est.
Faisto angulo K A B aequali dato D , erigatur ex Aipsi K A perpendicularis A L, occurrens perpendiculari E L in L. centroque L intervallo rectae d circulus de-1cribatur, secans K A. EL in K&Μ. Deinde assumpta EN aequali K A . jungatur Μ Α, & ex N agatur huic parallela NH. quae ipsi AB occurrat in H. Postea descripto ex L intervallo L A circuli segmento Α C B, ducatur ex Id ipsi A B perpendicularis Id C, occurrens cir-
173쪽
ys FRANCI sc I a s Cnoo Tructi inserentiae in C, ac jungantur AC, CB. Factumque erit, quod requirebatur. Vel totidem non inveniantur, nec tamen quidquam eorum, quae in quaesione desiderantur, omittatur, ar Gmentum est . illam non penitus esse determinatam. Tunc
enim ad arbitrium as imi possimi lineae cognitae pro incognitis , quibus non respondet aliqua GEquatio. J
Quo cuivis haec obvia sint, placuit capra unum aut alterum Pr blema facile illustrare. I PROBLEMA.DAtis postione duabus rectis lineis concurrentibus AB, AC. punctum invenire intra ipsas D, a quo si ducantur duae rectae D C. D B ipsis A B, A C parallelae, ut summa ipsarum D C, D B sit datae rectae a aequalis.
Ponatur factum quod quaeritur, hoc cst, suppositis rectis D C, D Bipsis AB, A C parallelis,statuantur & D C , D B simul sumptae
ipsi dataea esse aequales. Hinc cum ad determinandum punctum D quaerenda sit longitudo utrilis que rectae AC, C D seu utriusiaque A B, BD, pono pro una A Ci- vel B D quantitatem incognitam a b& pro altera C D ves A B quantitatem incognitam . Quibus ita positis, ut habeatur AEquatio,. addendae erunt tantum duae rectae BD, DC, hoc est, x crit- que summa x - aequalisa, hoc est , erit1 M a-x. Qitoniam autem ad alteram AEquationem pro x inveniendam nulla superes materia , cum conditiones in quaestione praestandae jam omnes sint impletae: argumentum est, illam non penitus csse determinatam. Quocirca cum in ipsa una desit conditio, ut prorsus determinata existat, poterimus ad arbitrium pro quantitate incognita x, cui nulla respondet AEquatio', assumere lineam aliquam cognitam ip a a minorem , atque tot inde invenire puncta D, quot ipsi x diver
174쪽
diversos tribuerimus valores. Vbi notandum, quod, postquam assumptae fuerint rectae A E, A Fipsi dataea aequales, ac jungatur L F, puncta haec omnia in rectam cadant lineam E F , adeoque punctum quodlibet in ea pro libitu sumptum quaesito satisfacerer cum, propter similia triangula A EF,&CDF, rectae CD, CF puncto D ubicunque in E F assumpto ) haud aliter atque A E, AF semper sint aequales , ac proinde B D, D C simul eaedem quae A C, C F simul, hoc est, eadem quae A F vel a. Haud dissimilis erit quaestio, si punctum D inveniendum sit,ita ut ipsarum D C, D B disserentia sit datae rectae a aequalis.
TN circulo ABCF credia super diametrum BF perpendiculari G D . circumferentiam hinc inde secat te in C & A, ' a B ad eam ductis B C, B D, quarum haec circumserentiam secet in E, dantur ΒΕ α & B Cm 9 : Qporteatque invenire L D M A .
Quoniam ad quaestionem hanc solvendam, supponendo ea ut jam factam, necessariae videntur lineae BG ac diameter BF rhinc pro B G pono , & pro B F pono e: eritque G F m et M. Deinde ut perveniatur ad AEquationem, considero lineam G D ipsi BF esse perpendicularem, hoc est, triangulum BG C esse Tectangulum. Unde fit, ut, si quadratum ex BG moauseram equadrato ex B C m bb, reliquum s b-II sit aequale quadrato ex G C. Quod idem & alio modo inveniri potest, consideranda V a per
175쪽
perpendicularem G D secare hinc inde circumferentiam in CS A. Quia enim hinc per 3 s Tertii Elementorum rectangulum sub B G, G F est aequale rectangulo sub A G, G C , hoc est, quadrato ex G C: sit ut si multiplicavero G F mα--ν per B G mr productum et ' - II sit denuo quadrato ex G C aequale. H Detur ergo AEquatio inter b b-I I de et ' - 1, hoc est ,
addendo utrobique inter bb de et 3. Porro cum i in t i
duas adhuc alias AEquationes inveniamus. Hinc, ducta F E, quo niam , onsiderando lineam B D secare circumferentiam in E , similia sunt triangula BGD & BEF, erit ut BG ad BD, hoe est, ada x; ita BE ad BF, hoc est,aadet. Ac proinde, cum productum sub extremis sit aequale producto sub mediis , erit Q. OO-a-Fax. Quae altera est Equatio. In qua si in locum c 3 subrogetur ejus valor ante inventus habebitur bb Maainax, hoc eu, transserendo a a in alteram partem, atque deinde uir bique dividendo per a , erit x M - . Quae quantitas est lisneae ED, quam investigare intendebamus. Caeterum, quia inventa hac linea E D m x, utraque reliquarum incognitarum B G& B F, per) R et designatarum, quae ad eam inveniendam neces sariae videbantur, ad arbitrium sumi potest, cum in Problemate nulla amplius materia supersit, qua pervcniatur ad AEquationes, quibus utraque ipsarum determinari queat, atque idcirco dissicut ras omnis Problematis jam sit evoluta: indicio est, rectam EDeandem semper inveniri, etiamsi ad illam quaerendam pro utra' que linearum BG, BF diversa magnitudo accipiatur, hoc est, alius atque alius circulus adhibeatur: quandoquidem Problema,
si de linearum B G, B F longitudine ex datis B E, B C investiga da quaeritur, haud determinatum existit, sed tantum ipsius E D. i plura in loci hujus illustrationem exempla desideret, visedeat quae ad literam G secundi libri a nobis sunt allata.
ccc Postea vero silures ad c spersint, ordine ρα
que utendum erit unaquaque et quation om reliqum
rum e illam considerando separatim . sive ipsam
176쪽
COMMENTARII IN LIBRUM I. Is 7 lae sunt incognitae lineae x , I, de et , ad duas AEquationes 2 cx bb,&IIMaa, 2 Qx--,pro incognita lineae,
duae supersint lineae inveniendae x &r, ordine quoque utenda erit unaqu ue Equationum reliquarum xx Oo ac x - bb, de
177쪽
quorum summa multipli138 FRANCIsCI a Sc Hoo TEN
de , extracta radice , invenitur
IM bens quo pacto linea incognita' ex cognitis &ex ad arbitrium sumenda d., obtineri possit. Caeteritin quoniam in Problemate, ad praecedentes AEquatio nes reducto, propter lineam quae hic modo major modo insenor ad arbitrium sumi potest, i ineae quoque x inde majores ac minores evadunt, atque ob id Problema non determinatum exi- .stit, sed inlinitas recipit solutioncs : lubet & alterum Problema. quod omnino determinatum est, atque in cujus solutione, ad unumquemque ex quaesitis numeris investigandum, unam AEqua tionem cum alia comparavimus, in medium inerre.
I venire duos numeros cata per summam suorum quaciratorum taciat ris; R disterentia ner disserentiam corundem Quadratorum faciat 99 Supposito Problemate tanquam jam iacto , pono pro majori
numero quaesito x - , di pro minorix : eritque summa quae L in numerorum N 2 a , & corundem dicterentia I
aequalia. Q iocirca inventis duabus AEquationibus & 8 xD ID 99, ut ex iis obtineatur uterque numerus incognitus x &I,comparo unam AEquationem cum altera:multiplicando pri-inum utramque partem prioris per 2,& sit 8 xy - 8 x ii 3o, ac deinde ex ea subtrahendo posteriorem 8 v3 m 99, & relii qititur 3 xyzo In qua, si utrobique extrahatur radix Ci bica, habebitur ax Oo ii , & fit xx sPostea ad inveniendum 1 dividatur AEquatio posterior 8xυ M 99 per jam inventam 2xM II, dc orietur AEquatio qD M 9 In
178쪽
Caeterum invento utroque numero incQgnito a se, quoniam Hpro majori quaestorum posueramus pro minorix rerit major 2D 7, ct minor zo q. Et solutum erit Problema.
Atque ita reducendo illas, e cere oportet. ut tanti munia remaneas aequalis alteri cognitae, aut cujus quadratum. sive cubus sive quadrato-quadratum si esurdes,lidum, e quadrato-cubus Uc. aequalis t ei, quod pro-zenit ex additione vel subtractione duarum pDriumet aliarum quantitatum, quarum uva quidem cognita sit, reliquae autem compossitae ex quibusdam mediistroportionalibus inter unitatem S dictum quadratum, sive clibam, sive quadrato-quadratum Sc. multiplicatis
ter alias cognitas. God hocsacto de gno
α' Io --a αα bb α -- aut minata' --bb πα- Hoc est, quam pro quantitate incognita sumo, est aequali quantitati cognitae b. Aut quadratum lineae et est aequale ei, quod provenit subtrahendo ae ex quarum quidem b b cognita est;
sed a et composita ex α media proportionali inter unitatem &'uadratum et et, ut supra explicavimus, & ex quantitatecognita a. Aut cubus lineae et aequalis est ei, quod provenit ex additione &subtractione trium quantitatum a de , obe, &c'; quarum qui dem cycognita est; at composita ex eo, prima duarum in idiarum proportionalium inter unitatem & cubum e), & ex quantitate cognita bb; ac denique a composita ex e et, secunda di Grum naediarum,& ex quantitate cognita a. Atque sic de caeteris. Vbi notandum est, per quantitates cognitas, intelligendas esse. eas, quae in quaestione vel datae sunt, vel per certas operationcs datarum quantitatum , jam traditas & notas, sic praeparatae sunt, .ut pro cognitis sive datis sint habendae, atque quaestis siveinc gnitis aequiparandae.
Sic cum ponitur et M b, indicaturlineam incognitam, quae
179쪽
per et designatur, aequalem esse alicui ex cognitis, quae designatur per Quod quidem raro contingit, cum incognitae lineae plorianque aliqua operatione seu praeparatione cognitarum linearum indigeant, antequam cognitis evadant aequales. ut, si fuerit et zo . Assumpta pro unitate alterutra quantita tum c, d, quae in se invicem duciae numeratorem constituunt, diu denda est reliqua per denominatorem, sive quantitatem e quem admodum superius est ostensum ; eritque quotiens divisionis aequalis quantitati incognitae e. Eodem modo si habeatur et i , crit ute- adcinii, ita e ad a. ; sive ut e Hadri ita cina ade.
Nec non si habeatur et so , & fiat, uic ad e, sic ad quase tam, quae vocetur h: poterit pro es scribi c h, atque adeo loco substitui --. Vbi deinde si fiat ut g ad e, sic ad quartam: sive permutando quod eodem recidit ut gadii h, sic c ad quartam, quam vocare lubet b: erit et M b. Id quod de aliis modis praestari potest. Non secus si sit et zo & statuatur esse ut aiae, sice ad quartam, quaesti; erit a zoce, ita ut pro tan . scribi
possit . seu si ponamus esse ut d adg,
sc h ad quartam, quae sit th: erit a gh , ita ut in locum Libinari possit denuo si fiat, ut e - Mii, itasad quartam, quam vocabo set ut supra: MAQuod idem variis modis scri potest. Denique sit et zo . supponendo esse ut ii ad d, ita d ad quartam, quae nominetur e: erit ae M ad: poteritque pro
do esse ut e c ad e -c, sic o ad quartam quae appellaru e
180쪽
COMMENTARII IN LIBRUM I. I 6rs et sos: licebitque pro reponere. Vbi demum si fiat ut id adf, ita a ad quartam, quae vocetur b, fiet rursus, ut silpra, et M b. Quod simister pluribus modis expedire licet. A que ita de caeteris. E quibus constat, quantitatem incognitam et, post hujusmodi operationes atque cognitarum linearum requisitas praeparationes,co reduci posse, ut sub una semper specie esseratur, ει alteri cognitae dicatur aequalis. Notandum autem, huc quoque reserendas csse aequationes in quibus quantitatis incognitae quadratum, aut cubus, aut quadra i quadratum, &α aequatur quantitati alicui cognitae , absque additione vel subductionesiarum quantitatum, quae componuntur ex quibusdam mediis proportionalibus inter unitatem & d etiam quadratum, aut cubum, aut quadrat quadratum &c. multiplicatis per alias cognitas. Ubi incognita quantitas, extrahet do tantum aliquam radicem, inveniri potest. Ut cum de aequinturaq. Supposita linea a pro unitate, crit radix quadrata extracta ex linea ut supcrius est ostensum , nimirum inveniendo inter lineas a&q mediam proportionalem, aequalis quaesitae ii neae et , quae hoc modo denotatur et t. zo Vbi apparet, quaestionem per hanc extractionem, dum planum aq tranunut tur in quadratum b b, cujus latus cst b, cd esse reductam, ut inc gnita quantitas alteri cognitae dicatur aequalis. Eodem modo si di aequetur a a q , & quaeratur l. .'Asumpta rursus apro unitate, crit extracta exqradix cubica, hoc est, ii ventarum inter a primam quartam duarum mediarum proportionalium ut tertio libro ostenditur prior, radici quaesitae et aequalis. Designabitur autem hoc pacto: e. D V C. aaq. Vbi similiter constat, quod, dum hac operatione solidum aliquod , utpote a ar, resolvitur incubum by, &utrobique deinde extrinhitur radix cubica, et rursus fiat ipsi baequalis. Noe aliter evenit cum et 'm aa qq. Etenim dum extrahitur utrinque radix quadrat quadrata seu bi-quadrata, hoc est, postquam radix semel extracta, dat e et M a q, eadem adhuc semel repetita radicis extractio, dabit e M V a q, sive, supponendo a qin quadratum bbine convcrsum , emb. Atque ita ulterius in i finitum.