장음표시 사용
181쪽
FRANCIsCI a s Cisos, TEN Porrδ advertendum est , si quantitates cognitae , ex quibus radix aliqua extrahi debet, sub ilia specie , quam blc expositum fuit, oblatae fuerint ut si ex aa in bba, aut ex extrahenda sit radix quadra : qudd tunc facile sit, non solum per ea, quae jam tradita sunt, sed & aliis modis
ruantitates datas in alias transnutare: ita ut non aliter ex illis r ices extrahendae snt, ac si ex quantitate extrahendae serent. Quod & de radice cubica, quadrat quadrata, aliisque in infinitum, est intelligendum.
i atque ideo fui ciet vos monere, siquiis in reducendis
hisce aequationibus non omiserit uti divisionibus omnibus quae eripossunt, Sc. J Vbi notandum, inter quatuor Oper
tionum species, Additionem & Subtractionem non reddere te minos alicujus quaestionis dissiciliores, quippe quos tantum fgnis -- Vel - conjungunt aut disjungunt; quae quidem signa diversa genera non constituunt. Multiplicationem vero quod attinet, ea, est, qua termini involvuntur vel intricantur, &dimensiones a gentur ; quae contra Divisione extricantur & minuuntur. Idem deradicum extractione intellige, quae,ut supra dictum suti,divisionis tantum jecies est habenda. Adeo ut ad invcniendos terminos simplici sumos ad quos quaestio aliqua reduci queat, maximopere observandum sit, ut ἱn reducendis Equationibus, omnes di via sones atque extractiones, quae seri postulat, tentemus. Cujus rei exemplum non inelegans suggerere potest demonstratio proprio talis Parabolae tertio libro adducta. . .
Erit tota O Maequalis α. tineae quaesae. Gae quidem sic exprimitur : α πι- aa-Fbb. J Sciendum lite
est quationem propositam juxta ea, quae habentur lib. III. pag. aliam adhuc habere radicem, minorem quam nihil, quae a D. des Cartes falsa. appellatur , . quaeque hic per lineam P M designatur , atque hoc modo exprimitur et M l a Quemadmodum facile demonstrari potest. Si enim, posita et M - έ b b auferatur utrinque Ia, &inde utraque pars t -- έ a --bbm se ducatur quadrinte, fiet e. t. -ae - ἰaa M---bb. Vbi si demum utrinque de matur .a '--acis alteram Partem transferaturi fiete e M
182쪽
admittit adhuc aliam radicem , minorem quam nihil, quae per lineam O M designata ita exprimitur, ' Oo - a -κCujus demonstratio ad exemplar praecedentis fieri potest.
Quoniam enim x'M-axx bb, transferendo - axa in alteram aequationis partem, erit a xx mi & addita utrique parti in eaa, proveniet x' a xx laam a a b b. Iam vero
extracta utrobique radice, invenietur x x am V ἱ aa bb. ac proinde transponendo in , a, ut x x unam constituat aequationis partem, erit xx Od --ἡaa bb. Vnde extracta rursis utrinque radice, fiet x AD 4aa bo. Eodem modo si habeatur α' M a V - ν b, erit et zo v ea a --bb. Nam cum et 'mara bb, erit pertranspositionem c a α zo b b. Addatur jam utrinque ἱa fietque C -ae ia a Mia a b b. Vnde , extracta utiobiu
a e ,- pertranspositionem α' -- a Um-; addatur u
trinque ἰ aa, fietque α'-ae' in . . a mea a-bb. Quare extracta utrobique radice, emerget e - iam 3 .aa-bb, hoc est, αμ mla --Viaa-bb, ac per consequens et M V a V Iaa-bb. Porro, quoniam radix ex e -a
183쪽
Caetervin ut Geometrice inveniantur harum arquationum radices, sciendum est, quod, dum omnes termini non aeque multas habent dimensiones, toties illic, ubi numero pauciores habentur, subintelligenda sit unitas, quoties requiritur; ut in aequatione Io - a xx Quia in termino tres duntaxat iumentiones reperiuntur, & in termino bb tantum duae, cogitandum est, terminumax ae, ut dimensiones fiant aequales, te-ines per unitatem esse multiplicatum , terminum autem bis. Adeo ut, si pro unitate accipiamus c, aequatiost x zo-ca xx ecbb. Verum.expedit unitatem illam tantisper dissimulare,& aequationem hanc xx OO -ax--bbusurpare, donec radiscem ejus Geometrice, ut traditum est, invenerimus, nimirum lineam P M,quae exprimitur hoc pacto:x OO -za a --bb. Ita ut deinde tantum opus sit ex---bb extrali re radicem quadratam seu inter inventam lineam P M & unitatem c invenire mediam proportionalem , ut Geometrice obtuneatur radix x Oo Atque ita in aliis. Vnde liquido constat, ad inveniendas. Earum aequationum radices, nihil aliud requiri, quis quod circa priores tres AEquartionum formulas, & radicis quadratae extractionem Auctor praecepit. Aded ut hinc simul mandestum sit, quo pacto, postquam sic linea aliqua pro unitate assumpta vel concepta fuerit, quem admodum hujus Geometriae methodus requirit Problemata omnia Geometriae communis, hoc est, quae rectarum linearum& circulorum beneficio construi possunt, per ea tantum, quae ab Authore per ψ fguras I ' libri exposita sunt, expediri queant, quemadmodum pag. 7 monuit.
N God si circulus . centrum syum habens in puncto M.
transiensque perpunctum L. nousicet nec tangat lineam rectam N R. nullam itidem uatio radicem admittet ita ut inde asserere liceat constructionem Probi
malis propositi e impossibi J od itidem ex Equatione
cognosci potest. Nam cum AEquatio sit certum medium,quo Pr
blema aliquod resolvitur, sane, si resolvendo incidimus in aeqvationem impossibilem,argumentum est, Problema quoque esse im- Eossibile. Arguitur autem impossibilitas ilia ex contradictione,
184쪽
quam involvit, cum nempe in ea statuitur minor quantitas aequari alicui majori, vel cum jubemur ad eam resolvendam alit id praestare,quod fieri nullo modo potest, ut, quantitatem aliquam maiorem a minore subducere. Quemadmodum in aequatione e M- bb. quoniam ad inveniendam radicetne, bbex .aa subtrahi debet; oportet ut b b non sit maius quam 4 aa, si ve ut , non sit ma jus quam 'a. Alias enim radix ejus sic explicari non postet, & in quatio impossibilis foret. Quod & ex ejusdem constitutione licet agnoscere, si in ea duae sint radices verae. Si enim ponamus e MDud-c M o, itemque et M seue-dmo ,atque deinde multiplicemus a. - cm opere-dmo, exsurget aequatio et c d M o,scue et M :ὸe--ed. In quasi H-e dinterpretemur per-a, & - cd per-b b, habebimus arquationem proposita te M a 4-bb. Adeo ut constet aequationem hanc duas veras radices admittere, seu quae majores sunt quam o, quarum quidem summa est a , & producitam ex earum multiplic tione bb. Sed ut duas semper veras radices recipiat, requiritur, ut bbnon si majus quam a a, seu, b non maius quam Ia: quoniam maximum productum quod fit ex partibus ipsius a, est, cum a in duas partes aequales dividitur.Vbi notandum,quod ubin mira eslec, quae quaeritur , atque aequationem eo casu unam tantum sortiri radicem, aut duas quidem, sed aequales. At verbόb existente majore quam ἰa a, aequationum esse impossibilem, nec ullam admittere radicem. Id quod similiter de aequatione ciem --bbetantelligendum, quae de duabus falsis radici bus est explicabilis. Vt patet ex eius constitutione. Etenim po
In qua si interpretemur-c-d per-a, &-cdper - bs, e merget aequatio proposi ta de m-ae-bb. Cuius porro radices Geometrice inveniuntur perinde atque AEquationis praeceden
185쪽
Fn. a SCHO o TEN COMM. IN LIB. I.
videlicet et em& secundam II 2D-- a nulli dinerminationi sunt obnoxiae, & semper per duas radicci .explicari possunt, unam veram & alteram taliam. Vt si ponis
In qua aequationes statuamus cmjorem esse quMd, ita ut excessus sit penes c cum signo H-, atque dinterpretemur per H- a, &-σd per εἶ b, habebimus eandem aequationem, 'uam prius, nimirum et ' M a t. -- bs. Aded ut per spicuum sit ipsam de duabus inaequalibus radicibus esse explicabilem, majore vera & minore falsa. At vero si ponamus e min rem quam ιι, ita ut excessus sit penes d cum signo - , atque -d interpretemur per -a, & - - ed per ψab; prodibit aequatio secundae semiae: nimirum, et 'M - quippellae a duabus inaequalibus radicibus explicatur, quarum minori vera , major autem falsa. Denique si constituatur ipse aequalis, destruent se invicem -- c&-d, & evanescet secundus terminus a et, & erit AEauatio et ' M H-bb, cujus duae radices, vera -- b & falsa -s, sunt aequales. E quibus omnibus appared, ad aequationes allatas Geometrice resolvendas, earumque radices juxta regulas hic traditas commo-dὰ explicandas, requiri,ut ultimus terminus designetur per b antad eam sermam, sicut supcrius est ostensum, riaucatur.
186쪽
Ecundas Eberavi de eis curvis, eam mys enatauram explicat,docendo, q/-nam ilia sint, quas in Geometriam recipere oportet, q/-yue Geometrica Fpelianda sim ite rue quo pacto possint co sit. Modus autem eas co-
' Piscendi in ea consistit, quisd describipos ther motu,
asiquem continuum, vel per plures ejusinodi motus, quorumposteriorei regantur anioribus. Verum enim τὸ licet algato modo descripta cur vae omnes in Geometri sint recipienda, atquepro Geometricis a noscenda; tamen au comprehendendas omnes, quae sunt in natura, ipso ordine distinguendus in certamera, prout gradatim magis magisique in infinitum sunt composita, aptius quidquam emi nequit, quam ut monere duarum ilias omnes Geometricas esse appetiandas,quarum omni puncta ad omnia tinea re puncta certam habent relationem, quae ea primipotestper aliquam aequationem ,sed in erenter ad omnia utriusque tineapuncta extendentem. Et quidem, quod, cum aquaris illa ultra rectangultim sub duabus quantuatibus indeterminatis, qua add ctam retitionem explicandam requiruntur aut uctra quadratum uniurimi is non credit, linea curva tunc primi Usimplicissimist generis in quo tantum Circulus,Parabola, perbola, cs Esiipsis sunt comprehenio. At vero cum ipsa ad tres quatuorve dimensiones ascendit,quod siti tunestsecundi generis. Cum vero ad s aut G dimensiones adscendit, quod illa tunc't tertiueneris. Atque itaporn in infinitum Vbi porrosario est intesimere, quanam i, qua ex Geometria trajiciendae, is inter Mechanicas ponenda: Vuandoquidem curva ilia
omnes, quae inter praesistas non comprehenduntur, ab hac Geometria reficiuntur. Cujusmodi sunt ilia omnes, quae per motus continuos do. scribi nequeunt,'ubiposteriores aprioribus non dependent, sed per- 'duos motus describi concipiuntur , qui siunt ast invicem Hstincti, nullamque relationem habentes, qua possit exacte mensurari , e quarum. Omnivun ta ad omnia i ea recta puncta relationem non habent, qua peral,quam aequationem omnibus communem exprimipossit. Postquam autem ostendimus, quo piato linea curva ab Auctore distin uantur, tam in illas, quas in Geometriam censet introducenda E missilia,quai8artyrearia censet arcendas: ac deniquequa rati
187쪽
ne in certagenerasint distinguenda; operae pretium utiletur ut deinceps ea, quae Antiqui circa fas contemptit fuDe, expendamus. auidem ex tis,quae assemntur a Pappo adpro' tionem 4' ' libri tertii, ut re adpropΘ 3o libri quarti collectionum Mathematicarum, haudi uster colligi possunt. Vbi, postquam explicavit , Problimaraxm Geometricorum tria ab Anturuisgenera fuisse constituta, quorum a dicuntur Plana, alia Solida , cadent rue Linearia; nimirum prout quadam ex ipsis semipossunt,describendo tantum rillas Meas ta circulorum circumferentias;Watia, qua construi nequeunt, quin a mini' 'mum adhibeatur ad qua Conica semo; Et reliqua denique quin in constru tionem assumatur alia demum curva tinea: Tandem de duarum mediarum inventione loquietur, quas inquis Geometricae rationi innixos invenire non potuisse. -rum quidam, asserentes, Problemasolidum esse, resolutionem per Conicas sedimnes inivslidos locos, fecerunt ; alii autem perabas curvas velocos lineares iaces, denique constructionem ejus instrumentis tantum perfecerunt. Nultam autem eorum fuisse quo resolutionem per locos planos, sive rectas lineas ta circulares, absolverat. rmi apparet, quod tantummodo construtiliones ilias Geometricas ap- pelgaverant, qua per rectas i eas ta ccidorum circumferentias perseriebantur; quodque construssitiones in genere non aliter restexeram, quam quatenus ipsarum perfectio a manuum dexteritate Uion mentorum perfeElmneproficisceretur. Vnde cum ad planorum Proble marum constructiones non nisi rectas lineasta circurorum circumfere
rias adhibendas esse viderent quae omnium facillime atque expeditissimere uiuo ci mini beneficio utpoteper instinmenta omninos i ta in plano destribuntur, issiectiones Conicas reliquasque curvas linei, rium cs di ilem ortum habentes, in plano designare di de existimarent,ideoque descriptionem earum minus certam statuerent; f tum i de quoque,ut solam Planorum consti Emonem, Geometricam pronunti ent: adeo Me non nisi rectas tineas ta circulares, reliquas vero nouitem,pro Geometricis agnoscerent.suod quare ita distinxerint,non vindeo. uuandoquidem rectas tineas ta Circulos perande atque Parabolas,
Hudolus, ta Ellipses ex Cona sicari posse as Apostonio scio ostensium.
Om porro postquam plurimas proprietates tribus hiscesectionibus pari r ueta cula convenire ostenΗit,c quidempropter fcasConic rumTheorematum demonstrationes,cum nonsolum illa tempestate,-rum etia siequentibus saeculis, magnus Geometra fit appellatus,non apparet quam ob causa Iradicta linea non Div. ac recta ta circularspin
188쪽
Geometricu fuerint habitae. Ario ut non fiam Veteribiuitas, sed
minis Vimo rue asseclis assenti nequeam, dum Geomet, des ctum neque'perbotis, neque Parabolas κατνι- λογον in Geometricis describi asseverarit, ac proinde Arenachmitavem nem duarum mediarum per Tarabolis G Η 'Mia , si etiam ter binarum Pa sol rumntersectιonem, veωι mon om trica es ura. Guam sene meo judicis non minus Geometr ca censere Ῥοπα, quam Egam, qua ab Euclide assertur m Problema I ' Li' i Elementorum: siquidempunctum, in quo hae sectiones sibi mutuo occurrunt, non minus silent ce invenuur, quam illud, mquo bini circuli se invicem intersecant , ad des ribendum triaraulum
Caetervmsi reatur, ideo hsely vos Geometricas non fuissedinas eo quod instrumentis Asirisi viderent a non ob earidem rationis. Mea recta ta circularis non Geometricae fassent duenda, cum ad Egias istiano deseribendas regula atque circinosi opus ' Adeo uis rex o m μονικα - Geta vocaverat con umonem suum quatenus ipse regula'circina beneficio perficitur Annon paruurear rificiosem atque sciolicam reppectare tuebit constru fionem Ham , . qua non nisi in=--σκω perfici potest , qua miorem industria atque artificium in sui compositionem requirunt , c usique .lemon stratio simul ex penitiori Geometria penu es depromenda 8 Uuocirca cum recta circularis non Geometricae non duantur, nego
etiam construmones per ipsas factae; rarum igitur esto , quod nequet
Sectiones Conica, qua cum circulatri unum genus curvarum tinearum,
Egudque primum ut supra dictum fuit apud Atictorem nostrum
constituunt ; neque etiam omnes superiorumgenerum curva, constructionesque qua per 'sar sunt, alia quam Geometrica snt halenda, prout demon basio Has tales esse comprobabit. Hac autem de curvis timneis di las ciant. Restas ut porro ea, qua hoc tibro ab Autorepertractant re Gauris exponamus. Expiscata linearum curvarum natura resumit quaestionem Pani ab Antiquit quastam,quamprimo bbro explicuitinique reselvere incepit ; talem demae ipsin declarans , in postquam matas atque alus lineis proposita est, dia quoque albas atque alias curvas lineas , selutιο-nem praebentes, quaque iuvernenerusint, prout debita rario numeri ramum habeatur, admittat. Adeo ut nulla curva lineasit sub calculum cadens, quaeque in Geometriam juxta e us definitionem recipi possit
189쪽
quod sine observuione dignum qua non etiam simul orererat
suo Garum numero utitis exstar. lVHpraeterea notodum est, quod eam cresolve edomit, ut simul amare istud, quod ad Aramum p timorum atque Iosidorum compositionem spectat, exponat, sicque pocii comptinatur, non serum quaestionis propositaselinunem in tribus quatuorve lineis, sed etiam stidorum lac
rum compositionem, tam opere a Veter seruastam. Nultis enim exastis locis o-fit, praeter omnium smplicissimos, quos, sitaris causa ineglexit. Post hac autem, quaestione in s Inrisproposita, docet quaenam imata plicissimast tinearum omnium,qua osdem inservirepossnt. ADque ita tandem illonem imponit. Vuibus peractis decia et, quod, ad .ngveniendas omnes propriietates LMmaiam linearum . Uciar 're r lusionem, quam iliarum puncta habent ad puncta lineae recta , sicut αδ- quo pacto inveniri possint tineae rectae, quae ipsas secret in datis punis ad angulos rectos. Uuia quiuem subtilissima ae mirabit, ορ- quisur methodo, meoque judisio digna, ut inter ingeniosissima hominnum inventa celebretur. Posteaveo ne quid dest, quod aes ustum cur aeum tinearum ibidem propositarum pinare videretur, ostendit ipsis. diversis habere proprietates, qua nequaquam sectionum Conicarum ἀρropriscatibus cedunt'. describitque quadam Ovalium genera, ad radiorum reflexionem atque reframonemper sipeculata vitrea, appri
me conducibiba: adeoque in Cato rica atque Dioptrica usum insignem habentia. Denique ostendit, quopiato, qua de eis curvis evsicuit, adpocari etiam po t ad lineas curvas, qua per motum ahquem ordι uatum quorundam punctorum aticujus corporis in spatio trium dimen Ulanum describi nisunt. Atque ua, quacunque ad inminum line rum GPrmionem necessoria fiunt, breviter isseisit. uantum autem ad Geometri promovendam. e usque arcana detegenda, nec non vaserias Ebus functιones cognossendas hic liber faciat, vel ipsa qua in Ego pertractantur, ac modo recensuimus, testari ossunt; tum etiam, qm in eo via adseredes da, actioraque loca, hactenus incognita, investigan dasterautur, atque in eo in Iesperasiationis campus aperitur.
190쪽
ia alia est quam H preML. 3 si
enim producatur Α G ad D, ut D G aequa lis sit E Α seu N L, & per D agatur re cta D F ipsi C K parallela, occurrens rectae AB in Fi erit DF una ex Asymptotis , dc AF altera. Quod facile demonstrari potest. Supponamus namque lineam G O C E. Hyperbolam esse, cujus Asymptoti DF, F Α, & utraque D G, . , aequalis sit ipsi NL; nec non D F ipsi C Κ parallela, ut dixi