장음표시 사용
191쪽
eatur autem BC, ut secet DF in I; &per D agatur recta DHparallela ipsi AF, occurrens cum BCHH. Quoniani igitur λmilia iunt triangula D HI & Κ L N triangulo F Α D , erunt &ipsa inter se similia. Vnde erit ut KLULN, hoc est, ut bade, ita DH seu AB, hoc est, ad HI, quae ideo erit x. Deinde subducta H I exHB seu D Α, hoc est, ex relinquetur IB , a 4. e Equa si auferatur BC seM , remanebita. - c - Ψ -I. Quia ver) in 'perbola rectangulum IC Baequatur rectangulo DEA, per I o prop. 2 libri Conicorum Apollonii; ideo si multiplicetur IC per CB, hoc est, a rectangulum I CB, --ns aequale rectangulo DE A seu ae, hoe est, eiquod fit ex ductis ipsius D E seu G Α in E A. -e ordinariaequatione, factaque
transpositione, ut II unam obtineat aequationis partem, inve nieturII OO cI - - - aI - ac. Iae aequatio eadem quae supra ex motu regulae GL & rectae lineae CΚ fuit inventa. Adeo ut affirmare liceat, descriptam lineam curvam C E Hype bolam esse , cujus Asymptoti A F, FD quemadmodum surposuimus. Quorum pleniorem demonstrationem. qui desiderat, . consillat eaput O tractatus nostri de Organtea Conicarum Sinctionum in plano descriptione, ubi casus omnes prosecuti sumus. Sed utile suerit unum aut inerum Problema simile alum
In plano quocunque concipiatur m eri A B regula , .mobilis. cirea punctum fixum Α , atque huic rUulla affixa alia aequalis reis gula BD, in puncto B , ut similiter circa punctum B in eodem. plano moveri possit. Assumpto autem in B D inter B & D quo vis puncto E, & commoto .puncto D per rectam lineam AD Quaeritur cujus generis sit curva linea, quam punctum Emotu illo describit pQuoniam igitur ad hanc quaest Ionem oportet cognoscerere . lationem, quam huius curvae puncta habent ad puncta lineae rectae
AD, in qua punctum A est datum: suppono ex puncto E, ad
192쪽
qiunt instrumenrum tale eurvae deseribendae inserviens est ad .plicatum, demissam esse super Α D perpendicularem E N. Et quidem cum E N, N Α duae sint quantitates indeterminatae acine unitae; voco unam x. & alteram'. Deinde, ut relationem unius ad alteram investigm , considero etiam quantiti S c
gnitas Α B vel B D, & D E ,. sae hujus ae descriptiόnem d terminant; illamque appelloa; hanc vero λ Tum quia trim tum N E Dest reciangulum, a quadrato ex D E , hoc est b, a fero quadratum ex N E, hoc ere, xx, & relinquitur quadratum N D, seu bb--x cujus radix V ιι xx est ipsa linea No. Porro demissa ex B super AD perpendiculari B , secabiturr AD ab ipsa bifariam in q,propter aequalitatem regularum Α Β& B D , fientque triangula B DSEN D similia. Vnde erit ut DE ad D N, hoe est, bad V bb-x x; ita D B,hoc est, Mad D se --ι xx.& fit A D m V b xx. Caeterum cum Α Nsit Ioh&NDI Ubι--xx littora ΛD MI Ubb-xx. Adeo ut habeauit aequatio inter Α D bis inuitiam, hoc est, inter
,-- ἶ-a, seu ν Π -- κ. Et multiplicata utraque aequalitatis parte in se, ut signa radicalia evanescant, & aequatio
ab asymmetria liberetur,fit aa - ab bb - - γ-xx MII. Quae aequatis si per transpositionem ac divisionem V 3 ordi
193쪽
ordinetur, ita ut x x unam teneat aequationis partem si sita: quam invenire volumus, relinquendo' indeterminatam , invenietur
Vnde cum aequatio non ascendat ultra qua satum unius ex quantitatibus indcterminatis, quemadmodum se superius in Hyperbolaevenit: constat, lineatri curvam descriptam esse primi gcn ris, quippe quae alia non est quam Ellipsis, juxta ea quae secundo capite tractatus nostri de organica Conicarum sectionum descriptione demonstravimus. Vbi advertere licet praxin quam &Clavius lib. i. suae Gnom. aflere prop. et in deicribendi Ellipsin per puncta, quae ex inventa aequatione colligi potest, quaeque lignariis & caemcntariis in extruendis fornicibus familiaris est, atque in orthograplueis Sphaerae delineationibus usum habet insi- gnem. Nam ii producta A B ad I, ut BI sit aequalis B E, centro Aintervallo A I circulus describatur, secans Α D, hinc inde produnctam, in L & K 'erit L Κ axis traniversus Ellipsiis. Rectus autem invenitur, si cx eodem centro, intervallo DE, circulus describa-
turpG Fg, secans AI in F. Erit enim A G semissis axis recti. Et ita puncto F ipii AD ducatur F E parallela, secans IN in E: erit punctum E unum ex punctis, per quod Ellipsis transire debet. Quo quidem modo ins nita alia punissi' inveniuntur. inod & ex calculo sit manifestum: Est enim AI 2a-& A N3; estque ut A I seu et a-s ad AN seu , ita Α F seu b d Α η,.quae ideo est
Eodem modo operaberis in quaestione sequeὴti, quae ultima est propositio lib. V collectionum Mathematicarum Pappi Al
Quaeritur cujus generis sit curva linea Α F D B, cujus haec est proprietas : ut , deuncta, a quolibet ejus puncto, ut D, pe pendiculari D C, in rectam A B, positione & magnitudine datam , id quod sub perpendiculari D C & alia quadam data linea continetur, aequale sit rectangulo, quod sub segmentis Α C, C B comprehenditur. Secta
194쪽
CD A bdi i eritque A Coo C B coa O. Cum igitur eiusmodi sit relatio punctorum dictae Α D R id puncta rectae puncta referse polo: qualia, idem1 ω Me iniindeterminatae ex . Goae ad omnes lineas EC, CD appli cari possunt. Exceptis punctis F&E, quo casu quantitas mul
Problematis est' intelligendum. Caete cum in aequatione inventa a a II D x ima quantitariim incognirarum' adscendat ad quadratum, indicio δ, lineam curvam esse primi generis Quam aliam non esse, quam Parabolam, demonstravit Pappus lo
Non aliter concludes , aequatione existentet a I M a vel xymby - arx, lineam curvam,quae hanc aequationem produxit, este primi generis e cum tantum ascendat ad rectangulum duarum quantitatum indeterminatarum x&' ' Esiautem curva illa iIinea Hyperbola. Quod faeile intelligetur , si in prima aequatione, ubi x3 ID concipiamus a b constituere rectangulum aliquod paralIelogrammum Α Β C D, cujus unum latus A B sita, .& alterum B C urb ; atque per punctum C circa Asymptotos D A, AB Hyperbolen describamus C F; ac denique a quovis in .
195쪽
ea puncto F agamus duas rectas lineas FG, FE, ipsis AB, BC parallelas: Erit enim parallelogrammum Α E F G parallel P-mo A B C D aequale,per i et prop. 2- libri Conicorum Apollonii. Adeo ut A E N E F sumi possint pro duabus quantitatibus indoterminatis 3 & x, quae in se invicem ductae iniciant υ M a Aquod exigebat proposita aequatio. Eodem modo , si aequatio suerita I M'-ax, & prodiaca tur rectae D C, E F, donec concurrant in punctum Hr erit itidem
parallelogrammum D H F G parallelogrammo C H E B aeqqale. Ac proinde si D C ponatur m a, & C B M ut ante & binaequantitates indeterminatae 3 de x ad binas lineas CH & H F r terantur , atque D H seu a - 1 ducatur in H F seu xt erit recta gulum DF sev x ax aequale rectangulo CE seu br, utpote quod invenitur multiplicando C B seu b per C H seu3. Adeoque si utrinque auferatur ax, relinquetur x MD-ax. Quae est aequatio posterior. E quibus manifestum sis, qudd, licet plurimi reserat, quaenam rectae pro quarvitatibus indeterminatis sumantur, ut aequatio brevis atque facilis reddatur, scara tamen linea esusdem generis
appareat, quocunque tandem modo sumantur. Omitto alios aequationum modos seu formulas, eandem cur vam designantes , quandoquidem complures sant. In genere hoc dicam, totam aequationum illarum varietatem oriri tantum ex vinria harum curvarum ad diversas rectas lineas relatione. Nam, ut ostendatur quaenam disserentia obtineri possit, cum curva linea ad diversas rectas lineas resertur: Sunto duae rectae lineae positi
ne datae AB, DF, sibi mutuo occurrentes in D; punctum a
196쪽
COMMENTAR. II IN LIBRUM II. 177tem incurva sit C. Et in A B quidem puncto A exi- e stente dato, & in ipsam a j puncto C demissa perpe Z dieulari C B, ad reseret
4 λ ή R punctuin C ad esse quod punctum ipsius ΑΒ:voco AB, x; & BC, I. v Deinde, quoniam, propterpositione datas AB, DF, datum est punctum inte . sectionis D , data quoque erit recta D Α, nec non A F, quae ipsi A B est perpendicularis,secans D Hin F. Denique, demina ex puncto C super D H perpendiculari C G, producatur C B, donec occurrat rectae D F in puncto H. Quibus positis, ut inveniantur rectae D G, G C, ostendentes relationem, quam habet punctum C ad punctum G;ponatur D Α m MA F zo AHinc, cum A B sit m x, erit D B M a - - x. Iam verbquia propter similitudinem triangulorum D AF, DBRDΑ est ad AF, hoe est,
a ad A sicut D B, hoc est, a x, ad B H,erit B H m . Cui si addatur C B zor, set tota CHm b in v. Porro quoniam
rectangulum est triangulum D AF, erit quadratum ex D F aequale quadratis ex D Α & A F ; ideoque D F m V ---bb. Hinc cum D A sit ad DF, hoc est,aad V a a b b, sicut D B, hoc est, a x, ad DH; erit ipsam - έ aa--bb seu U aa in b, -κ a a b b. similiter, ob similitudinem triangulorum F Α D,
197쪽
spicuum fit, differentiam omnem, quae in reserendis curvae punctis C, tum ad puncta rectae A B, tum ad puncta rectae D F, obtineri potest, in eo tantum consistere, quod, cum A B indetermia nata relinquitur,C B exprimatur perI; sed C G per ae ,
& D G per V - . Ita ut sim speciem induat, quae tiex
proprietate curvae convenit; constabit simul relatio, quam cur vae puncta C obtinebunt ad puncta utriusque rectae AB, D F. Id quod eodem modo in omni alia datarum linearum positione ostendi posset, nisi breviores esse vellemus.
Saltem uno rems quantitatem e m majorem quam e g. nam si minor foret , mutanda essent omnia signa
S-. J Existente enim ei. minore quam Q, dc multiplicando trobique per e , ret ex minor quam V e .Quo casu omnes quoiaque numeratoris termini, qui signo adficiuntur, minores erunt illis,qui signo adficiuntur; aded ut tantum mutanda sint omnia signa.AEquationem autem hoc facto illaesam manere,ita ostenditur.
Esto 1 m- lassicit enim id per facile aliquod exemplum ostendere , suppositaque minori quam e, mutentur onusia mgna & -: fietque' MQuoniam enim ex hypothes multiplicando utrinque per d-e, 0- 2DD-d Vnde facta transpositione, ut totum aequetur nihilo, erit dI-e I - se d GDo. 'Transferantur rursus v in alteram aequationis partem,
defiet-D d GD--dI V. Quae aequatio a praecedenti non differt, nisi quod termini omnes contrariis signis sint adfecti. Quare si utraque aequalitatis pars dividatur per-d in e, prodibit
I M αἴS . ut erat propositum. Vnde colligere licet: Si quantitates quaedam signis in& - junctae aequentur aliis quibusdam quantitatibus etiam signis -- &-junctis: erunt quoque eaedem contrariis signis affectae inter se aequales.
198쪽
Vnde si in hac aequatione quantitas nulla sit, aut g gminor quam nihil, postquam punctum C supposuimus is angulo D AG , oporteret S illud supponere in angulo D AE, aut E A R, aut RAG, mutandosigna in prout ad effectum hunc requireretur. Obds veris inquatuor hisce positionibus valor i us I nullus rereriretur, indicio esset, quaestionem casu proposito esse impos
bilem. J Sciendum hic ab Autore obiter notari, ad plenam com- Vide fit. positionem loci, in quem cadit quaesitum punctum C, opus esse p-g k- ut investigemus id ipsum in omnibus e angulis D A G, D A E,E A R, di R A G, quaerendo nempe ad hoc q' aequationes diversas. Id quod notat facile esse, una aequatione iam inventa,qu niam ad reliquas obtinendas tantummodo mutare oportet signa & - , pro diversa habitudine quantitatum inventarum ad figurae lineas ; ut punctum C, quando cadit intra angulum D A E, aut E A R , aut it A G quaeratur eadem ratione, qua illud hic invcnire docuit, cum intra angulum D A G cadere supponitur. Mansescstum enim est, quod, si in ' hisce positionibus valor ipsius 3 nullus reperiatur, quaestio proposita futura sit impossibilis. Quod
ipsum hic in genere de puncto C intelligi debet, etiamsi quaestio
alias conditiones praesupponat: cum illa vix alioquin Autori ob exiguam ejus utilitatem istius momenti visa sit, ut in constructione hujus loci totus estet, nisi quatenus hic una limul compositionem Locorum Planorum S: Solidorum traderet, sicut ipsus
verba indicant p. I 2 & 34. Quippe alias in hac positione datarum linearum contingit, quando videlicet rectangulum sub C B, C Fponitur aequale retiangulo sub C D, C H, ut punctum C non tantum ubivis cadat in Circulum, qui transit per puncta A, G, duas intersectiones linearum F E, G H, & ipsarum D A, F E ;verum etiam in utramque duarum oppositarum Hyperbolarum,
quarum una transit per A & G puncta, & altera per duas reliquas in ersectiones dictas. Quemadmodum etiam, si duae ex datis lineis sunt parallelae, seri potest, ut punctum C ubi libet cadat in duas oppositas Hyperbolas & insuper in Parabolam vel in duas alias oppositas Hyperbolas; aut etiam in duas oppositas Hypembolas & in rectam lineam, ubi videlicet bina sunt parallelarum paria sese intersecantia. atque ita de aliis. Idem observare licet
199쪽
in Apollonii Locis Planis, a me restitutis, in quorum nonnullis, ad plenam loci compositionem, quaesitum punctum praeter lineas iam expressas etiam alia plana loca contingit, quae pari facilitate investigari & construi possunt, prout nimirum idem punctum ad id in aliis tantum angulis suppositum fuerit, quemadmodum Scibidem sitit indicatum. His similia notare quoque licet circa Problemata omnino de terminata,in quibus non nisi certus est punctorum numerus. C iusmodi est sequens
N reista interminata assignatis duobus punctis A, B, in eadem aliud assignare punctium C, ut rectangulum A C B , quod fit sub rems AC, C B, ad assignata puncta A, B abscissis, dato spatio daequale sit . quia i men minus sit quarta parte quadrati ex A B.
quae sit m a. Quoniam hic iuxta mentem Problematis punimam C iud terminatum est respectu puncti A , ut & respectit puncti B, hoc
est, indeterminatum quo magis ad dextram quam ad sinistram utriusque cadat, hinc u concipiatur determinatum inter Α& B, aequatio huc pertinens comprehendet plus quam oportet, neque Iegitima erit, si ei soli aequiescere velimus. Quocirca & illud ipsum extra Α & B ab utraque parte supponendum est , si velimus ut solutio Problematis omnibus numeris sit absoluta Vnde supponendo C primum cadere extra Α B ad finistrami us Α,erit, assumpta x pro Ac, xx -ax O d; ac deinde supponendo C cadere inter Α & B, erit a x-xx rudi & denique supponendo e cadere extra A Bad dextram ipsius B erit xx xma. Hoc est in numeris, si a sit Mao,dm 96, habebitur xπι-2Φ,xm I 2Ixm 8;xM2q,&xM- . Quae quidem omnes sunt radices , quae ad propositum Problema pertinent.
200쪽
qualis ipsa sumenda est ab A versus sinistram, & quatuor relsequae, qualis ipsa sumi debet ab A versus dextram, cadente puncto C inter Α & B, vel ultra adeo ut in toto sint ediversa puncta, quae quaesito satisfaciant.
Id quod etiam universalius fieri potest multiplicando C Bae ro se a. per A C M x,obtinebitur enim Arox Rx x M96. Quae aequatio praeter radices superiores etiam continet xm - 8, & xm - Ia, quippe quae eliciuntur ex aequatione
Vbi demum notandum ex aequatione inventa Arox Axx Mys facile quoque cile aliam vulgari modo affectam invenire , quae omnes easdem radices cum illa comprehendat, utpote multiplicando utramque partem in se quadrate, & fit qoo x x A qo xy- x' M 9216. Vnde servata A qo ab una parte, & deinde utraque rursus quadrata , invenitur aequatio α - - 8oo xβ - I Is 68 a '- 73728oo xx 849366 6mo, cuius radices eaedem sunt quae praecedentis aequationis A rox R xx m 96, quas enumeravimus. Ratio autem, cur D. des Cartes hujusmodi aequationibus ad solutionem quaestionis ex Pappo allatae non fuerit usus, vel ea videtur, quod alias tum vulgares, tum etiam a
quolibet facilius perceptibiles animadverterit; ita ut, dum quae-uio per se satis dissicilis existit, praestare judicaverit , specialem aequationem pro C puncto investigare, postquam illud in angulo D A G supponitur, ulteriusque tantum digito indicare, si Pr blemati penitus satisfaciendum sit, eodem modo in reliquis angulis DAE, EAR,&RAG esse procedendum ; quam aequationem universalem,quae omnia simul puncta respiceret, invenire.
Hinc nihil mihi ampliys resare video pro linea L CIraeter hosce terminos: LC M v mm Ox- xx.