장음표시 사용
231쪽
Quod ipsam est, quod ab Apollonio est ostensum Theoremate decimotertio primi libri Conicorum, Ubi docet, reet ingulum quodvis, sub recta N E seu r sic inventa, & diametri segmento E Isev x, quod inter ejus verticem E & ordinatim adplicatam F Ιinterjicitur, comprehensum, minus rectangulo N Ο Ρ, quod sub eodem diametri segmento E f vel O P, & linea N O, ad quam O P eandem rationem habet, quam DE ad EN , continetur, quadrato ejusdem ordinatim adplicatae FI esse aequale. Ubi notandum lineam E D, sectionis diametrum, ab Apollonio vocari Latus tralasversum ut & Diametrum transversam Ellipsis , & lineam inventam N E LatuS reditam, vel etiam Lineam, juxta quam possunt, quae ad diametrum Ε D ordinatim adplicantur. a Mydorgio autem haec linea
N E Parameter appellatur. Quae porro linea, ut ante in Hymperbola, postquam linea E S ipsi A C ducta est parallela, brevius obtineri potest, si tantum ipsis BM, MA, & SE qu. aer tur quarta proportionalis : quandoquidem haec semper eadem existit, quae ipsa NE., inventa, ut supra. Sicut superi a nobis in Hyperbola est ostensum. Ex his porro facile liquet, quam inter se rationem habeant
quadrata ordinatim adplicatarum ad diametrum in unaquaque .Vide fi- harum trium sectionum. Etenim si in Parabola linea E D voce-guram x. tur & ordinatim adplicata G D vocetur v, erit, ut supra, vide fig.
O se: ac proinde II ad se, hoc est, U FI ad T G D, ut G ad , seu eade, hoc est, EI ad CD. Hoc est, in Parabola quadrata ordinatim adplicatarum FI, GD inter se sunt, sicut lineae EI, E D, quae ab ipsis ex diametro E D ad verticem E abscinduntur. Quod ipsum est , quod docet Apollonius Pror 1 libri L Conicorum. Eodem modo in Hyperbola & Ellipsi accepta pro E I alia magnitudine quam ante, ut puta et, crit in Hyperbola υν M& in Ellipsi ιυ Io Unde II ad υ ad , hoc est., ut bbin Hyperbola fit, ut
232쪽
hoc est, ut q-xx adqα-ete. Hoc est, in Hyperbola&Ellipsi quadrata ordinatim adplicatarum inter se sunt, rectangula contenta lineis, quae inter ipsas & vertices transversi lateris interjiciuntur. Denique, quia in Hyperbola TFI
utae ad bb, hoc est, ut NEU EDrpatet inutitaque figura quadrata ordinatim adplicatarum FI esse ad rectangula E ID, quae sub rectis EI, ID, inter FI & vertices transversi Iateris E, Dinterceptis, comprehenduntur, ut figurae rectum latus NE ad transvemum E D. Omnino ut habet Propn' 21 libri 1 Coni corum Apollonii. Eadem est ratio in Circulo, qui non nisi certa Ellipsis species censenda est, quippe in qua rectum latus S transeversum sunt aequalia. Ostensis igitur quo pacto Cono dato Leoque secto Lita ut sectio Parabola, Hyperbola, vel Ellipsis existat, sectionis sive figurae hujus latera inveniri queant: restat ut e contra ostendamus, qua via Conus inveniri possit, & in eo unaquaeque trium harum figurarum exhiberi, cujus latera sint datis rectis lineis aequalia. Ut ad inveniendum Conum A B C , in eoque sectionem vide GFEH , quae Parabola appellatur , cujus latus rectum sit fig -
denominatore,c- oboe. Hoc est , .divise utrobique per c si erit
dIDE. Hine assiimpto triangulo quolibet ABC, cujus latera
meter circuli sive basis Coni, & Α Β C triangulum per axem. Aeproinde si per D in plano basis hujus Coni ipsi A C ad rectos angulos ducatur G H, atque per rectas G H, D E sectio instituatur, faciens in superficie Conica curvam lineam G F E A: erit haec ipsa Parabola, cujus latus rectum N E sit datae aequalis , quem- admodum requirebatur. Quod si vero ipsa talis praeterea exhiberi debeat, ut rectae FI, quae semper ipsi GH parallelae inteli
233쪽
et I 4 FRANCis I a s CHOOTENguntur, in dato angulo ad diametrum E D adplicentur , o tantum erit angulum G D E sive E D H dato aequalem essicere, intelligendo ad id cireulum AG C H moveri circa AC, in cluam axem, eritque Problematiex omni parte satisfactism. Similiter ad inveniendum Conum ABC,'& in eo sectionem G F E H, quae sit vel Hyperbola vel Ellipsis, cujus latus rectum
Hoc est,assumptis horum quadrati erit - . .
q 3 hic numerus substituatur,habebitur M, multiplicato per crucem , erit Pcco omm qa Mecm p Db ooppe' - - Dmpye': & fit, si utrinque per o opp t.' dividatur, a. e eoomm cm p zo Unde , extrahendo οορρχ' - .mp η' utrobique radicem bi quadratam, invenitur Iob. Hincassumetis ad libitum duabus lineis A M & M C, iisque in directum seu in unam lineam positis, quarum major Α M sit zo a, &mmor M C m c, duco ex M in angulo quocunque rectam M Booέ - , jungoque BA & BC; ita ut habeatur triangulum per axe n A B C, cujus basis A C diametrum circuli reserat, qui Coni basis exilist, & punctum B verticem ipsius Coni. Deinde prodacta B C,ad Hyperbolam obtinendam,inter angulum A B D
pro utraque figura aptaoda erit recta E D M Y ν, ' , ii ita ut ipsa parallela sit lineae B M, quod facile est, continuataque occurrat rectae A M in R. Quibus sic positis, si per R in plano basis hujus Coni ipsi A M ad rectos angulos ducatur G H, atque
per rectas G H, R E sectio instituatur, faciens in superscie conica eurvam lineam F E : erit haec ipsa Huperbola vel Ellipsis quaesita, hoc est, cujus rectum latus est zo & transve sum Duiligoo by Corale
234쪽
COMMENTARII IN LIBRvMII. x Issum m V si insuper tales exhibendae sint, ut recte FI, quae semper ipsi G H parallela intelliguntur, in dato angulo ad diametrum ER adplicentur, oportet tantum ut ante in Parabola angulum G R E sive E R H datoaeciualem efficere, intelligendo ad id planum basis hujus Coni
esse mobile circa A M, tanquam axem et eruntque sic conditiones quaestionis omnes adimpletae, ita ut his primo ,secundo, 3c tertio Problematis primi libri Conicorum Apollonii satisfactum putem. Quorum quidem omnium veritas ex praecedentibus fit manifesta. Eodem modo reliquos casus Ellipseos&Hyperbolae, in quibus latera recta & transversa alias quantitates ab his diversas sortiuntur, qualesque eas in antecedentibus determinare docuimus,. pertequi licet. Denique ut appareat, qua ratione Propositiones de Hyperbolae Asymptotis agentes , de quibus Apollonius secundo atque s quentibus Conicorum libris multas egregias proprietates domonstravit, inventae fuerint , sequentia protulisse juvinit. Diuitiaces by Corale
236쪽
fila E m fm έ q. Id quod ostendit, rectas, quae orpositarum sectionum Asymptot dicuntur, in medio transversi lateris D E se invicem decussare. Ubi etiam patet, angulos, quos comprehendunt, angulo verticis trianguli T B V, eui planum harum rectionum aequi distit, esse aequales.
237쪽
2 MElem, T ZGYm M. Jam cum T E me F d, S ZG Y singula sint inventa constat ipsa inter se esse aequalia. Eadem est ratio de quibuscuὴque aliis hujusmoei rei tangulis,in infinitum assii tis. Quod ipsum est , quod docet Prop '' Io. a M libri Coniconis,
Porro, quoniam est pars rectanguli sub latere trans. verso D E co & latere recto N E,ante invento, i mani sta hinc etiam est Prop ' 1 ejusdemlibri Pta.
238쪽
COMMENTARII IN LIBRUM IL eti. ἡ Ρraeterea supponature E-Eb me
Et fius exfi- ei Mehid est, dividendo utrinque perf
-e. zmig M s. Hoc eu, g E est aequalis F h. Eadem est ratio de recta E F, quomodocunque per duo quaelibet alia puncta in Hyperbola ducta, & utrinquc Asymptotis terminata. Id quod cum octava convenit Propolitione secundi libri Conicorum Apollonii. . Ad haec fiat propter parallelas Et & F L ' ut ' E ad E F, ita ai ad i
239쪽
U-m Immn-m Inm E a & s a est aequale rectangulo sub F , & ια Omnibus aliis rectane tis , sub similibus lineis comprehensis , man prout nimirum ad hoc praeter puncta
uibus haud dissimilia sitnt ea , quae Apollonius Prop 1Σ libri 2 R Conicorum Unde demum facile est inferre cum puncta haec ulterius a que ulterius seirer in Hyperbola assumi possimi, ac inde uno i tere horum rere lorum continuε accrescente latus alterum ipsorum perpetuo 3 crescat; quod idcirco Asymptoti as MHyperbola EF m efinitum productae ad se ipsas propitis a Ndant, &ad inter et imperveniant, minus quolibet dato interrant, quae cum subiecto suo omnimode reciprocantur, & a Lopi cu proprietates V modi appellari solenti visum fuit hoe lo o
240쪽
COMMENTAR I I IN LI BRUM II. ΣΣΙ
Ut ad inquirendum, utrum pro' prietas circuli, quae declarat, quadrata ordinatim adplicatarum ad diametrum esse aequalia rectangulis sub segmentis diametet , cum circulo sit reciproca nee ne: supponaturrecta AB, & in eam perpendicula ris C D, hanc habens proprietatem, ut quadratum sirper ipsa sit aequale rectangulo sub segmentis AC, CB. Quaeritur qualis sit linea A D B. E
a a - lex, pro rerungeso A C B ; hocque ex data proprietate aequetur quadrato ex CD et erit ca-xx ODI'. Dcinde, qu niam, linea CD perpendiculari existente super ΑΒ, quadratum ex E D. per q7 Primi Elementorum Euclidis, est aequale duobus quadratis ex E C & C D: erit quadratum ex E D OO x x II. Ac proinde si in hac summa pro υ subrogetur a a-xx, habebitur quadratuni ex E D Io a a, hoc est, E D Io a. Id quod ostendit, rectis A E, E D, & E B singulis ipsi a aequalibus existentibus, lineam Α D Bese circulum, cujus centrum Ε, ac idcirco proprietatem allegarum cum circulo esse reciprocam. Quod ipsum & hoe modo eos sei potest. Advertendo scilicet, utrum proprietas proposita sine necessaria subjecti inclusione demo Hrari possit nee ne. Si enim ea absque necessaria subjecti inclusone demonstrari nequeat, proprietas erit rHiproca; sin secus, .
Ut ad intelligendum, num proprietas
haec cum triangulo rectangulo sit reci proca, nimirum: tres angulos simul sumptos aequales csse duobus rectis r advertendum tantummodo. est , utrum demonstratio illius triangulum rectangu lum praesupponat necne; ac proinde cum
'ipsa absque ulla discretione in quolibet triangulo locum obtineat, concludendum Ee cst.