장음표시 사용
251쪽
Asumpto extra Circulum pundio quolibet, ut Ε, ab eoque ad diametrum δε ipsamve produeham, si opus est . deducta perpendiculari Ε D, tum vero recta E F,
Circulum utcunque in F&G secante: erit rectangulum Α D B . una cum quadrato rectae D Ε, aequale rectangulo F EG. Quod similiter ut supra experiri licet, atque de
Porro sicut in allatis exemplis loca quaesitorum punctorum fuerunt ad superficies planas, easque terminatas, vel in infinitum ex tonsas; ita quoque inveniuntur loca punctorum , quae sunt ad superficies curvas, & quidem vel terminatas, vel in infinitum
Si enim,exempli caussa, in figura pag. I 23 manente recta AB, & in ea punctis Α&B , circumvolvatur semicirculus FDE, d nec ad eum locum, a quo moveri coepit, redeat, describetur sit-- perficies Sphaerica, in qua si quodlibet punctum accipiatur, ut D , ab eoque ad puncta Α & B rectae agantur D Α, D B; habebunt, ipsae datam inter se rationem, hoc est, eandem, quam P H ad Μ N. Ita ut punctum D sit ad seperficiem curvam terminatam, utpote ad superficiem Sphaericam, conversone semicirculi F D E delcriptam. Eldem ratione, si a duobus datis punctis duae inflectantur rectae Diuiti reo by COOste
252쪽
rectae lineae in data differentia : punctum ad inflexionem erit ad superficiem Hyperbolicam, positione datam. Etenim si in plano quocunque, quod per data puncta transit, describatur Huperbola, cuius foci haec puncta existant, & axis transversus disterentia data: & manentibus punctis Hyperbola circa axem circumverratur. donec ad eum locum, a quo moveri coepit, redeat; describetur superficies curva, quae in infinitum extenditur, dc Hyperbolica dicitur quippe Hyperbola in infinitum extensa , in qua si ad libitum sumatur punctum , a quo ad data punctahantur duae rectae lineae, servabunt illae inter se disserentiam da
Atque sic progrediendo curvae superficies ostendi possint, in infinitum magis magisque compositae, quae quaesitorum punctorum determinationi inserviunt. Verum cum sussciat nobis per exempla aliquot modum explicuisse , quo haec loca per calculum detegantur, & a locis planis, solidis, aliisve magis compositis discernantur: ulteriori explicationi supersedebimus. Caeterum, ne quid, quod ad hanc materiam spectare possit, desideretur, sed Geometria omnibus numeris sit absoluta, paucis subjiciam, quomodo cognosci possit, quando locus alicujus puncti est ad solidum: cum id neque ab Antiquis, neque a Recenti tibus quod sciam hactenus sit deprehensum.
Τribus igitur conditionibus deficientibus, ad punm alicujus determinationem, locus , in quo illud reperi
tur . Solidum est: & vel planis constans superficiebus , vel . Sphaerica, vel alia magis composita, vel denique mixtis ex planisci curvis. Solida autem haec vel sunt terminata, vel indaniae
Ut, si intra Tetraedram,inveniandum sit punctum, ita ut in I reuaan a perpendicularium, ab eo in quatuor ejus plana, quibus con- .. . stat, demissarum , aequetur perpendiculo Tetraedri r cadet illud quovis loco intra Tetraedrum, ita ut nullum intra ipsum punctum assumi possit, quod quaesito non satisficiat. Quod e inem modo indagatur & demonstratur , atque superias in triangulo aequilatero in ostensum. Nam, cum ad hujus puncti determin tionem tres requiramur radices seu incognitae quantitates quin
rum una inservit determinandae longitudini perpendicaearis,
253쪽
ad locum hujus perpendicularis in eodem plano determina dum , & adimpletis conditionibus omnibus tandem in aequati nem incidamus, ubi utrinque eaedem occurrunt quantitates: indicio est, incognitas quantitates ad libitum sumi posse, atque Problema propositum esse Theorema. Nihil igitur resert quoscunque intra Tetraedrum assumatur punctum, cum Omnia quaesto satisfaciant.
Non dissimili ratione demonstrare possumus: Si extra
traedrum sumatur punctium, a quo ad singula ejus plana demittantur perpendiculares , earum differentiam aequari perpendiculo Tetratari. Adeo ut, si quaestio fuerit
de invenienti puncto, a quo demissae popendiculares simul couleetae, aequentur Tetratari perpendiculo, punctum illud D turum sit in solido terminato, utpote ubique intra Tetraedrum ; si verbpostuletur, ut disserentia ipsarum eidem perpendiculo sit aequalis, reperietur punctum illud in solido indefinite extenso, atque sumi poterit extra Tetratarum, ubicunque libuerit. Idem de aliis figuris ordinatis, planisque superficiebus contentis, dici & d monstrari posse, perspicuum est. Alterum exemplum , quod hla adducemus , ex Hugeniano Problemate deduci poteit , quemadmodum praecedens Tetraedri ex triangulo aequitatem deduximus, & est huiusmodi:
Si Sphaera plano per centrum secetur. sumatur autem extra planum quodlibet punctum intra Sphaeram , ab eoque ad planum demittatur perpendicularis , per subjectum punditam in codem plano utcunque ducatur recta linea , utrinque a Sphaerae superficie terminata: erit rectangulum . stib segmentis hujus rectae comprehensam, aequale rectangulo sub segmentis rectae, utacunque per assumptum punctum ad Sphaerae supers,ciem ductae. una cum demisiae perpendicularis quadrato
Idem ferme contingit si puta mun sumatur extra Sphaeram. His addesequens Problema, quod occasone istius Hugeniani sibi ante tres annos ι vestigio inquirendum propositit Vir Celin
254쪽
COMMENTARI I IN LIBRUM ILberrimus atque undequaque Doctissimus D.Johannes gallisus, S. T. D, & in Academia Oxoniensi Geometriae Proi sor S MVII. I A N U S. Estque hujusmodi:
In circulo, cujus centrum C, assi nato ubivis pun- isto A . per quod ducta recta periplaeriae occurrat in Gnctis B, D: inveniantur alia quotlibet puncta, ita ut, si per quodvis eorum ducatur recta peripheriae occurrens in punctis L, M. quadratum dimntiae Α Ε atquetur vel disserentiae vel summae rectangulorum L ΕΜ, BAD.
Diametro A C describarur circellus, quem contingat recta in salta FAG. Dico, singula in peripheria circelli praestare primum quaesitum: quae vero in rem F G intra circulum, secvix.
dum: quae denique in eadem continuata extra circulum,tertium.
255쪽
3nt . Si in F C continuata sumatur e vel ε extra circulum, erit η λεμ Io FεGI G Αε -- FAM) - BAD Ergo BAD- λεμ Io Αε. Quod erat faciendum. Mem, mutatis paucis,procederet pariter, etiamsi punctum A extra circolum assignaretur. Quoniam situr assumpto puncto A ceu dato,puncta invenie da E cadunt in locum planum, utpote in peripheriam circelli, aut in rectam FG intra circulum, aut denique in eandem extra circulum continuatam: patet, si in locum horum circulorum accipiantur duae sphaerae, quod similiter haec puncta E ubique pio Iubitu sumi polunt in superficie convexa sphaerae Α E C, aut insuperficie plana circuli, cujus diameter FG, aut denique in e dem plano, extra hujus circumserentiam in infinitum extenso. prora scilicet, ut ante, dictorum rectangulorum vel differentia vel summa quadrato distantiae horum sumendorum punctorum E a puncto Λ requiritur aequalis. Quod si vero idem punctum Αnon unum locum obtineat, sed ubivis intra circulum S L T assis gnetur, quod tunc quidem locus puncti E ubique in solido intra vel extra superficiem sphaerae SLT, pro diversa quaesiti ratione, sit futurus. Atque ita de aliis.
Iam ver) ex hoc sola, quΘυcitur relatio, quam omnia lineae cur vaepuncta habent adpuncta omnia lineae rectae. modo illo, quem supra explicavis facile quoque es iuvenire relationem, quam habent ad omnia alia puncta datas lineas: atque exinde cognoscere diametros, axes, centra, aliasique lineas, Spuncta, ad quae unaquaequecuma linea relationem habebit spectauorem vel pticio em, quam ad aliae atque ita imaginari diversos m
dos illas describendi. ex quisses faciliores eligi possimi. J
Ita, cum relatio, quam habent puncta lineae C E, per motum regulae G L & plani rectilinei C N K L descriptae, quam superius Hyperbolam esse ostendimus ad puncta lineae rectae ΑΒ expri-
matur per aequationem Im cI cI v- , prout nimirum in ea assiimiturpunctum Α, tanquam certum ac determin iatum, a quo calculus incipiat: fucile quoque est invenire relati
nem, quam habent ad puncta ejusdem Α B, quando in ea, loro
256쪽
COMMENTARII IN LIBRUM II. 23 puncti Α , assumitur aliud punctum nenipe F, a quo calculus initium sumat. Etenim si fiat, ut NL ad L Κ, hoc est, uteiar, ita
D Λ seu a cad AF, erit ipsam V in b. E qua si dematur ΛΒ
inveniemus aequationem 3 Io P 3-ac,qua ostenditur relatio, quam habent puncta Hyperbolae C E ad puncta rectae B Α, respectu puncti F. Quae aequatio, cum praecmenti sit simplicior, arguit, Hyperbolae puncta ad puncta rectae BA specialiorem seu umpliciorem habere relationem , . quando in ΑΒ punctum Fpro certo & determinato assumitur, quam cum in ea accipitur punctum Α. Caeterism relationem , quam Hyperbolae puncta servant ad omnia alia puncta & lineas datas, cognosces ex pag. I77. Ubi ex relatione, quam habent puncta alicujus curvae ad puncta rectae
257쪽
posisne datae, datus est modus inveniendi relationem eorundem puru brum ad puncta alterius cujusi is rectae positione datae. Adeoque tot inventis aequationibus diversis, ad quot diversas re ctas cu'a illa fuerit relata, atque ex iis juxta aequalisnum resuIas extractis radicibus: constabunt totidem modi eam describendi. ex quibus faciliores siligi poterunt.
Immo vero. potest quoque ex hoc solo inveniripropemodum omne id, quod aeterminari potest, atque ad istarii. quod comprehendunt, maKnitudinem spectat: ita ut nonosus sit de his agere apertius. J Sic ad comparandam Ellipsin
cum Circulo, atque ad inveniendam relationem,quam inter se habent, prout circa eundem axem sunt descriptae: Esto axis molatus rectum pertinens ad axem rur, segmentum axis inter ve licem & utriusque ordinatam interceptum m x,ipsa vero adplicatam' Hinc cum in Circulo latus transversum live diameter aequale sit lateri recto, & aequatio exprimens relationem punctorum
Circuli ad puncta diametri vel axis situmqx-xx; at vero quae relationem exprimit punctorum Ellipsis ad puncta axis sitnm - : inter se sunt ut q ad r , hoc est, ut axis ad latus rectum pertinens ad eundem axem; quae quidem ratio duplicata est rationis, quam habet hic axis ad axem secundum, sequitur E irculum ad Ellipsin esse , ut axis primus ad axem secundum. Id quod demonstratum est ab Archimede propM 1 libri de Conoi-didis & Sphaeroidibus,ut & a nobis cap.etractatus de organica Conicarum Sectionum in plano descriptione. Poreb extendi notest hoc ipsum ad cognoscendam quoque re lationem, quam habet Sphaera ad Sphaeroides, prout cundem
Etenim, cum ostensum sit, quadrata ordinatim adplicatarum utriusque curvae esse inter se, sicut axis ad latus rectum, pertinens ad eundem axem ; & quadrata illa ad se invicem sint ut Circuli, qui ab ipsis tanquam radiis conversione semicirculi & semi-ellipsis fiunt & utramque figuram describuni r patet Sphaeram adbphaeroides esse, ut axis ad latus rectum, pertinens ad eundem axem: vel, ut quadratum ejusdem axis ad quadratum axis min
ris. aod & ab Archimede ostensum. Adeo ut non modo ex hoc solo inveniri propemodum possit
258쪽
COMMENTARII IN LIBRVM II. 239 omne id, quod determinari potest, atque ad magnitudinem sp cii, quod hae curvae comprehendunt, spe fiat, quemadmodum Auctor innuit ; sed etiam, quod spectat ad magnitudinem selidi,
a superficie aliqua curva comprehens, atque ab hujusmodi linea generati. Sic ut ex his omnibus constet, Authorem id praecipue operam dedisse, ut, nKlectis particularibus, & praesuppositis iis, quae ab aliis vel inventa vel demonstrata essent, ea tantum tradoret, quae difficilia, utilia, & maxime generalia essent, omniaque paucis comprehenderet; quae verb faciliora & levioris momenti, non nisi obiter tantum perstringeret. Quod sane rar5 ab Auet ribus hodie observatum cernimus, cum plerique id studeam, ut eorum opera in amplissima volumina excrescant. Caeterum cum ex hac spacii aut solidi magnitui ne deinceps facile sit invenire ejusdem centrum gravitatis, non is re fuerit si hic similiter modum, quo id inves aripossit, lino atque altero exemplo exponam. Igitur ad inveniendum , exempli caussa, gravitatis centrum Parabolae A B C ae eius portionis A E F C, abscisi e videlicet perrectam EF ipsi A C parallelam: suppono centrum totius ABCesse H, Parabolae autem E BF centrum esse I, 3 centrum porti
Qitibus positis, quaero rationem, quae est inter triangulum A B C& triangulum E B F. Hinc cum ex natura Parabolae quadratum
259쪽
G B: erit G B m-.Αe proinde cum A D multiplicata per D B producata at E G multiplicata per G B producat , erit rinxio trianguli A B C ad triangulum EBF quae ab ad E seu b
ade . Haec autem cum eadem sit rationi, quam inter se habent Parabolae ABC&EBF siquidem Parabola quaelibet trianguli sibi inseripti maximi est sesquitertia ): sequitur rationem .porti nis Α EF C ad Parabolam EBF eandem fore quam ' ei ad c . Porrδ eum eadem sit situs ratio centri I in Parabola EB F, quae centri H in Parabola ABC: erit DB seu a ad B H leuat, sicut G B seu ad BI . Qua subducta ex B H sev x , relinquitur IH m Denique cum IH adH Κ,hoc est, , ad', eandem habere debeat rationem, quam portio AE FC ad Parabolam EBF seu b=- et ad cy, fiet, abbreviando primum& tertium terminum per b-c, ac deinde multiplicando extremos tum medios, --M b bb cI-e', velm 1. E quibus liquet, invento H, centro gravia talis Parabolae ABC , ad inveniendum Κ, centrum gravitatis portionis A E F C. faciendum esse, ut B H sev x sit ad H sc sevs. Dcut D b c bbee adsc=--r; hoc est , inventis in ratione AD ad EG quinque continue proportionalibus, erit B H adH Κ, ut summa priorum trium ad summam duarum posteriorum. Ubi demum, ad obtinendum ipsum punctum H , opus tantum est concipere rectas A D S E G esse aequales, hoc est, brue, ita ut E G F eoincidat cum A D C, quo casu & punctum I in punctum H cadet, & Κ in D, lineaque D H seu I aequalis fiet ἰ x, hoc est, duabus tertiis ipsius H B. Quod ipsum monstrat, secta diametro B D in s aequales partes, pro linea B H sev x tunc earundem mendas esse tres. Id quod aliter quoque a nobis est ostensum in Exercitationibus nostris Mathematicis libr. s. sectione I9. Eodem modo si in Conoide Parabolico A B C & eiusdem po tione A E F C centra gravitatum H & Κ invenire velimus, oportet , iisdem quae supra positis, quaerere rationem, quae est inter
Conum Λ B C & Conum EBF: invenieturque ut, ad . Haec
260쪽
enim cum eadem quoque sit rationi, quae est inter duos Conoides ABC&EBF quandoquidem per a 3 Prop. de Conoidibus de Sphaeroidibus Archimedis Conois quilibet Para licus sesquial- 'ter esse probatur Coni, qui eandem habet basin eundemque axem cum Conoide r patet portionem Α E F C ad Conosedem EB Ffore, ut D se ad c' E quibus porro, ut supra, in venitur' m invento H , centro gravitatis Conoidis A B C, ad obtinendum K, centrum gravitatis porti nis A E F C, faciendum esse ut B H sit ad H Κ, licui b bbee ad , seu , quod idem est, ad DB & GB quaerendam esse tertiam proportionalem atque deinde faciendum ut B H sit ad FI Κ, se- ut silmma ipsarum D B, G B ad tertiam L.Ubi tandem,si ad ipsem punctum H habendum statuamus,ut ante, b Dc, invenietur ν zoj x. Quod ipsum docet diametrum B D in 3 aequales paries ege dividendam,atque pro B Ps earundem sumendas esse duas. Atque ita
Sit C E linea curva oporteatqueper punctum C, si c.J
Quae hae linea & sequentibus usque ad paginae sequentis lineam 2s continentur, in generς referri debent ad illa, quae deinceps ab Authore afferuntur usque ad pag. - , quibus in specie agit de natura quarundam curVarum, quas, postquam ad aequationes reduxit, deinde hasce aequationes cum alia comparat, nempe Συ eem aut a z. - 20 M o, aliave quae ex hac vel illa sit composita, ut inveniatur tandem quantitas incognita v.