장음표시 사용
261쪽
, 2 FRANCI sex a s C Moo TENpro latere recto habeat r pro transverso autem qfet per 13- Theoremaelibri Conicorum Apollonii: xx zordi I D. unde touendo x x, restabit ππ- αυ - , vel
bio. J Etenim A D latere existente recto 2O r,eoque ad A G pe pendiculari : erit, propter triangulorum G A D, D H F similitudinem,ut G Α ad A D. γc ad ri ita H F seu M A,hoc est,st,ad F D,quae ideo est - . Quam si per H F multiplicemus,fiet rectangulum H F D so
Deinde quoniam pera 3 Prop. 13 libri Conicorum Apollonii rectangulum M AD , minus rectangulo H F D, aequatur quadrato ex C M; & F quidem rectangulum so M AD sit rν rerit rin
eoaequatio talis: ο-- fm 3 hoc est, ν'- - mss-υυ- άυν-11: quippe quod similiter ipsi xx est aequale. Haeea
remae alio ut ad superiorem reducatur , oportebit utrobique per a multiplicare,ut fractio evanescat:
Lo ου - ζευγ- 0. Denique facta transpositione, ut qua
titates in x ν ductae unam teneant aequationis partem, reliquae autem alteram, dividatur utrinque per q-r, babebiturque v x qCaetera , quae huc spectant , inveniuntur inter Im. 2 I. pag. 6sia& lin.9. p qis: quae, cum satis sint clara, explicatione non egent.
Eodem modos C E fit curva linealer motum Parabo D descripta,Se. Num enim,propter sim tudine anguim
262쪽
fiet KB M . Jam vero, quia, per ii Prop libri I Conicorum Apollonu, in Parabola CΚ rectingulum sub di i metri segmento K B &Iatere eius recto d aequa tur quadrato ipsius C B, quae ad eandem diametrum ordinatim est a plicata: hine si multipli-
Unde multiplicando trinque per . - , set' deι de ν λαγ co θ'
- Famque transe sitione, ut dae' unam teneat aequationis partem, erit
una parte habeantur, invenieturque eebbaeo.
bb 'γResiqua hue spectantia invenientur , lin. 9. pag. 46. utque ad lineam ultimam paginae sequentis, quae explicatione non indigenti - . ' Quoniam autem inventio harum linearum non solum elegans ac subtilis, verum etiam per se iucunda atque utilis existit: non ingratum iaturum confido , quibus haec exercere volupe est, si ustendero quo pactoan Hyperbola & Parabola nec non in Come ide sint inveniendae. ' .
263쪽
244 FRANCI sc I SCROOTENSittitus transversum AG q, reetiam vero ae r , C M veIAB Ioa MAvel BC MI, PAM v,&PC MI Deinde, pr ἀπι-- pter similitudinem triangulorum G A D, D F H, fiat, ut G A ad Ma. - Α D, hoc est, q ad δε ita H F seu M Α,hoc esto, ad F D , quae ideo erit . Haec si multiplicetur per H F MI,prodibit rectangulum H FD m P . Cui porro si addatur rectangulum D M, mrmiat rectangulum M A F m V rI. Jam vero, quia, per Iam Prop- 1 libri Conicorum Apollonii, rectangulum M A F
quale est quadrato ex M C seu a x , erit aequatio - Um xx
264쪽
COMMINTARII IN LIBRUM II. 2 iDeinde, ad inveniendam quantitatem quaesitam v, comparetur aequatio inventa cum aequatione ejusdem formae 'I - 2 est ' O o, ubiI aequature. Quare cum utriusque primus terminnus plane sit idem, comparetur secundus cstm secundo, nempe, cum-χυ, vel, quod idem est, cum - aer ac idcirco multiplicetur utrinque per g -- r, &set -- r
tem dividatur utrinque pera θ', fietque: r e M v, vel οO I -- j r, quandoquidem e ipis supposita est aequalis. E quibus patet, ad inveniendam rectam P C, latus rectum A Dsecandum esse bifariam in I, & rectam P M ipsi I Fsumendam esse aequalem. Quod in Ellipsi quoque est observandum
His adde sequentem co structionem, quam vir insimis ac Geometra praestantissimus D. Auzotius utri que huic sectioni pariter convenientem invenit, ejusque me quinquennio abhine per literas participem fieri ivtauit, & talis est. Existente Α D , ut ante, latere recto , & Α G latere transverso, ad inveniendam
natim ad Λ G k iunctaque e m. . G D , agatur per centrum lectionis K eidem parallela ΚI, scans C M in L. Dein assumpta. P M aequali M L, jungatur P C, eritque secans quaesita. Quod ita patet. Est enim propter similitudinem triangulorum G Α D, Κ M L, .
265쪽
Ubi porro animadvertere licet, si expuncto P ceu dato recta P C sit ducenda, quae utramque sectionem vel earum continge tes ad rectos angulos secet, sivc ut circulus, qui ex P ejus intervabio describitur, utramque curvam tangat, opus tantum esse ducere
P L, ita ut angulus A P L sit semissis anguli A M C: si enim per L. ubi haec recta ipsi KI L occurrit, ducatur M LC ordinatim ad AG, hoc est, ipsi AD parallela, erit juncta P C secans quaesita,
sive circulus ex P intervallo P C descriptus utramque curvam in C continget, ut requirebatur. In Parm Sit latus rectum A D m r, C M vel A B eto x,M Α vel B C m uePAM v,&PCrus. Quoniam igitur per II ' Prop' . I libri Conicorum Apollonii rectansulum sub segmento diametri MA & latere recto AD aequatur quadrato ordinatim applica re C M : erit rI M xx , Vel
* v I II in locum xx. Deinde quantitatibus omnis bus ab una parte in alteram transsatis , ut γ' sit adsecta signo - - , habebitur aequatio
. Quam si porrδ compares cum aequatione I I - δ e I -eem o, ubi I de e sunt aequales, conserendo nempe singulos terminos unius cum singulis alterius: nimirum,secundum in r-a Deum secundo - 2 e,inve nieturum e lr, velum ν tr. E quibus manifestum fit, adducendam rectam P C, opus tantum esse, dividere latus rectum
Λ D bifariam in puncto I, atque deinde assumere P M ipsi AI seu
Quod si verδ ipsa tangens C T sit invel μ- gand poterimus, ut a te, supponendo latus re
266쪽
COMMENTARII IN LIBRUM II. 247Fiat propter similitudinem triangulorum AST&MCT, ut AT ad A S, hoe est, vada, sic MI ,hocesto v, ad M C. Quae ideo erit Unde cum &MCM M a , crit Z - - mx. Hoc est, ducta utraque parte in se quadrase, habebitur .
- - - x xx. Quoniam autem, multiplicata M Aler latus rectum,rectangulum υ, quod inde sit, similiter ipsi xx, oc est,quadrato ex MC est aequale : erit pariter
queoninibus ad unam partem transpositis, fitII
m o. Quam si porro compares cum aequatione II-2 e I eemo, conserendo singulos terminos unius cum singulis alterius, tertium videliere cum terti obtinebitur vet.m e Gnoc est, v m e. Ae proinde si in locum e substituatur': fiet v MI. Id quod ostendit, ad ducendam rerum C T ad datum punctum C, opus tantummodo esse assumere Λ T aequalem Λ M , atque connectere puncta C & T. Quod si autem quaeratur A S, poterimus secundum terminum cum secundo comparare, subrogando I in locum v, ut&I in lacum et invenieturques MEodem modo procedendo in binis reliquis sectionibus, in
Porro ut appareat, quo pacto e puncto T , in axe ves diametro dato, recta T C sit ducendar oportet duntaxat, assumpta quant late v ceu data, quaerere 3 , reliquis manentibus invariatis. Ac proinde, cum in P abosa v aequentur, Opus tantum eris ac
267쪽
Pari ratione si quaeratur Μ Α in Hyperbola erit ipsa m . Ubi liquet, adducendam expuncto T rectam T C, quae tangat Hyperbolam Α E C, quantitatem v sive lineam Α T minorem senwr debere dari quam ἰὴ hoc est, minorem semisse lateris transversi, cum alias propter Asymptotos Problema hoc impossis bile sit futurum. Quae determinatio, cum in Parabola & Ellipsi nullum locum habeat, ostendit, quod in duabus hisce sectionibus eiusmodi Asymptotae non sint suspiciendae ; sed in iis ex omni puncto, ubi libet in producta ΜΑ assiimpto, rectas duci posse,
quae easdem sectiones contingant. Ad haec, sex punctoo, extra axem vel diametrum dato, re ctam lineam ducere velimuis, ut O C, quae Parabolam C E contingat et ponatur, ut sit pra, latus rectum m r, M A m y, M C M a ,ΑNma,&NΟrub, critque ex jam inventis M T M 2 3 &NT m y- a. Deinde cum propter similitudinem triangulorum M C T
ad N T, hoe est , b ad I - a : erit x - a x , productum sub extremis , aequale ab I, producto sub mediis. Quoniam vero ex natura Parabolae, rI, ut supra, aequatur xx, hoc est, di videndo utrinque per in aequalis -- : hinc si in aequatione
268쪽
COMMENTA Rrr IN LIBRvM II. Hoc e dividendo ubique per x, & mul
Quae est aequatio primi casus quadratarum pag.π& 7, admittens unam veram radicem, quae est b Vob--ar, &unam falsam, seu minorem quam nihil, quae est b - έ bb ar. Sicut ibidem annotavimus. Cujus utriusque usus porrδlnc eleganter clucet. Nam si ad ducendam O C, assumpta N B aequali r, hoc est,m lateri recto Parabolae,super tota A B describatur semicirculus,
secans O N productam in D: erit N D m V ar. Qua posita ab N ad F, si jungatur O F, erit ipsa m V bb - ar. Ac proinde si centro O intervallo OF circulus describatur, secans N Ohinc inde productam in punctis G, g, designabit N G verum valorem inventum b- έ bb --a r,& Naratorem falsum b-V bb- an Vnde ducendo ex punctis G, g rectas G C,ge, ipsi A M paralle-Ias, donec Parabolae occurrant: obtinebuntur duo simul puncta C, cin quibus recte ex o ducendae candem contingent. Simili modo in reliquis sectionibus est procedendum.
Epo Corima Conchoides Veterum, cujus Polus G. N
Ia cujus ope duecta es. t AB ; ita ut rectae
versis G , atque intra curvam C E U
ut aequales. Oporteat autem rectam li
neam ducer CFθ. quamonchoidem hanc ad angulos rectos δε
per praecedentem me thodum quaeratur pun
269쪽
Σ FRANCIsCI 1 sc Moo TENin recta AB, per quod quaesita linea CP transire debet,
calculus occurrat nullo antecedentium brevior, licet constructioo sit valde brevis. Oportet enim tantum in recta CG sumere
CD, aequalem C B, quae perpendicularis est ad AB; deinde expuncto D rectam ducere S F, parasielam ipsi AG. atque aequalem G L: habebiturque hac ratione Iunctam F, per quod quaesita tinea CP erit ducenda. JQuoniam autem in hoc exemplo calculus multo est brevior, si in recta A G quaeratur punctum P, per quod linea quaesta C P tra sire debet, quὶm si quaeratur in recta A B, atque etiam constructio allata ex illo facilius potest ostendi: visum fuit breviorem hic sub ingere, atque constructionem ex eo patefacer:
Cujus quadratum D 93 si subtrahatur a quadrato roctae P C mss, relinquetur quadratum rectae CM Mss-ωυ- avr I. Vnde cum C M sit m ab& quadratum ejus M x x di
Eodem modo, si in triangulo rectangulo B C L a quadrato exH L C m ecauseratur quadratum rectae B C MI ,relinquetur quadratum rectae B L m cc I: adeoqueipsa B Lm -υ τqua ab ΑΒ mx sublata, restabit ALMA - έ cc I. Iam vero, cum, propter similia triangula G M C & GA L , G M sit ad M C, hoc est, b radat, sicut G A ad AL , hoc est,.
x3IDVbbcc-- abccI 2 bf-r. Deinde ut evanescatsgnum radicate, ducatur utraque pars in se quadrate, atque adtollendum xx substituatur ejus locoH νυ - 2 v I I, fiet
Vbi si utrinque auferatur γ' , & fiat transpositio ut quantitates in γ' ductae unam obtineant aequationis par-
270쪽
COMMENTARII IN LIBRτMII. tenae, reliquae vero alteram, ac demum utraque pars dividatur per
Quae aequatio relationem ostendit, quam puncta Conchoidis C E habent ad puncta lineaeiectae B A. Quare, postquam in ipsa quantitavi est data, quandoquidem puniatum C datum est, superest ut inveniamus quantitates v &1 determinantes pum tum quae situm P. Hunc in finem aliam aequationem instituo, quae aeque multas habeat dimensiones, &inqua duas valeat quantitates, quae sibi invicem sint aequales. Ideoque supponendo I m e , sive' emo: duco 3-e in se,&sitv - aer eemo. aequatio duas habens radices aequales. Hainc porris multiplico per) H, ut ascendat ad aliam triumlimensionum, ejusdemque sermae cum praecedente , de provenitaquativi t Cujus terminos separatim confero cum terminis praecedentis - bb
de cum primus terminus in utraque aequatione sit idem, comparo secundum cum secundo,ac reliquos cum reliquis. Adeb