장음표시 사용
241쪽
,ΣΣ2 FRANCI sc I a Se Hoo TENest eandem non nisi pro communi trianguli rectanguli proprietate
esse habendam. Ita etiam considerando demonstrationem supradictari proprietatis circuli, quoniam ipsa radiorum aequalitatem, in qua circuli
natura conlistit, omnino exposcit, convincitur eandem propri tatem soli circulo competere ac cum eodem reciprocari. Iti.
Similiter, si quis naturam demonstrationis perpendat, qua ostcnditur, quadrata ordinatim adplicatarum inter se esse, sicut
rectangula sub scgmentis diametri et comperietur , eandem demonii rationcm radiorum aequalitatem non includere, adeoque proprietarum hanc non nisi communem proprietatem circuli exi-Here: quandoquidem & Ellipsit, cujus Circulus non hi sit speciem
Sed & ii sum horum perpendere, cum in univcrsa Mathesi haud cxigui sit momenti, non inutile fuerit sequentia, quibus eundem quadantenus indicasse existi inamus, in medium aflerre. Primo itaque , postquam in quaerenda aequatione proprietas reciproca adhibita fuit, cccii fumus totam subjecti naturam haeratione in ea esse inclusim; adeoque , ad aliam adhuc aequationem a praecedenti diversam obtinendam, non licere ut ad id alia ejus dem subjecti proprietas adhibeatur, nisi accedat aliquid, quod in praecedenti aequatione nondum sit involutum: quandoquidem se circulum cornmixti manifestum cst. Theoremata omnia, quae ncccssitatem subjecti inserunt ex proprietate iam ostensa, ut, verbi gratia, Prop. 48. primi liabi i Elcmentorum quaeque ut plurimum indirecte per deducti nem ad absurdum demonstrari solent , possunt directe demonstrari, dummodo hstendatur, proprietatem illam cum subjecto
Si quis ad solvenda Problemata naturam subjecti retinere velit, commodissime id praestare poterit, retinendo tantum proprietatem aliquam, cum eodem subject ieciprocam, quae aut omnium facillime memoriae mandari queat aut etiam simplicissima existat: cum minime nccessiim sit, ut is retinendis omnibus illius Theorematis aggravetur, quippe quae omnia Gepmetriae hujus Methodo certa arte ex hujusinodi proprietate deducuntur. - Α , Hinc etiam perspicuum est,quam parum necesse sit,libros, qui Theorematibus reserti sint, conscribere, quae aut usum nul-
242쪽
COMMENTARII IN LIBRUM II. 223. Ium habent, aut dissiculter retineri possunt, aut etiamdi scio alicuius facilioris sive simplicioris proprietatis reciprocaeenatura
subjeini sui nullo negotio eruuntur.
irum silatus hocce recta at tur W8-- latro resum erit 3 I Qui termini hoc
etiam pacto scribi possunt ὁ Γο quemadmodum postea in demonstratione pag. 3 3 a Domino de Martes sunt assumpti. Similiter , si habeatur, ut paulo superius, poterit eius loco scribi E
sin. 3r :possimus eius loco scribere toN Iendo stilicet ex signo radicati quicquid est rationale. Haud secus
sit, cum pro E scribitur P V 3. Quae stribendi ratio non
inepte quoque ad radicum commensurabilium species sive operistiones adhiberi potest. Ur,ad addendum 27 ad V 7 s : quoniam
ma earum erit 8 Q 3, & disserentia a V 3, productum verb multiplicationis I 1, 3 seu As; & quotiens ex divisione maioris per minorem ἰ seu 3j. Sic ad multiplicandum per a se 1 A . Ari ρου. Similiter ad dividendum fractiones Φ, i, & ε perr3 , multiplicί earum denominatores per g 3, & fiunt quotientes A, Vuώρ-
ιν 3νη - , perinde enim est sive hoe sive illo modo scribantur. Idem de sequentibus sermulis, quas hic subiungere visum fuit, intellige. Ut si h beatur Mae, eius loco scrubere possumus a Ua , vel e κθ. Et si habeatur - scribi ejusti, eo potest bνθ; aded sit, si habeatur - ,eius loco sub
stitiai possit 4 af a a e c. Ita pro bWA ponere licet V ac . nec
243쪽
non pro z-π- reponere ,- ν ac. Similiter pro a
sci ibi potest a Sie etiam loco d -- tibi potest
sub eodem denominatore reducti faciant
hi denique pro A scribere possumus
P ς Et sic de aliis, ut passim in hisce commentariis est videre.
Sed si sinione 'perbiad existense Sc. J Notandum hic,
appliearum esse Hyperbolam ei linearum positioni,cuipostea Circulum quadrare ab Authore ostenditur. Quod tam perspicuit tis quam brevitatis studiosectum; quandoquidemea, cam literae Α, Β, C, D, &c. in iisdem omnium figurarum locis reperiuntur, quae ibidem scripsit, sic faciluis intelligi possunt, quam si nunc in uno , nunc in alio essent quaerendae. Etenim cum requiritur, ut productum, quod oritur ex multiplicatione C B per C F, aequale sit ei, quod fit ex ductu C D in C H, oportet lineam illam curvam transire per quatuor inters dirimim puncta datarum linearum: nimirum, per intersectionem Α, linearum D Α, A B quoniam eo easu itheae B C & C D nulla sunt, ac proinde singulα, in singulas ex reliquis ducta, nihil producunt , & per intersectionem G linearum Α B, G H, quo casu lineae C H & C B nullae sunt : nec non per utramque relliquam,
utpote ipsarum F E , G H quo casu C F & C H nullae sunt , &insarum D A , E F quo casu C D & CF nullae sunt , quae in hac
rigura non sunt expressae , sed in Circulo observatae apparent. Unde, cum D 'des Cartes, brevitati studens, reserre voluerit casus omnes ad unum exemplum, figurae nempe pag. I a. mirum videri non debet, quod, postquam hujus exempli locum Circolum esse ostendit, nec in quaestione quicquam mutavit, ei em ibnearum positioni non Hyperbola sicut Circulus responderit.Nec etiam hinc ullus sequitur error, quandoquidem tota quaestio non dum determinata existit, sed pagin. 33 primo determinatur. Quippe fieri potest, ut, paucis in ea mutatis, eidem linearum positioni, cui Circulus competit, quadret Hyperbola; & quidem Hyperbola, quae non transeat per ullas datarum linearum intem, secti . Diuitig Coos e
244쪽
sectiones. Ut , exempli eausa; si rectan lum ex F Cin CD d beat esse maius, quam rectangulum ex CB in CH, data quadam quantitate, vel aliud quid simile: sequitur eam sic applicari posse, ut, manentibus literis I, Κ , L, B, C, D,&c. suis locis, ea pauca, quae de Hyperbola asserre voluit, facilius intelligantur, quam si figura mutata suisset. Eiusdem brevitatis studio nulla etiam illa mentio fit oppositarum Hyeerbolarum, non quod ab Authore ignorentur, utpote qui paulo post pig. 37. quatuor lineas Hyperbolae affines, inter se oppositas , exhibuit : Sed quod faciliora fere semper in hae
Geometria neglexerit. In difficilioribus certe , quae tractanda suscepit, nihil omisit. Atque idcirco hic maluit eam linearum positionem exhibere, cui conveniret Circulus, quam cui competeret Ellipsis, aut Hyperbola, quia ejus inventio peculiarem habet difficultatem.
2uippe haec loca nihil aliud unt.quam cstm in quaesione
aliqua est inmeniendumpunctum . qua una deficit conditio.ut i aprorsussi determinata. J Nimirum, ubi ad in v
niendum illud punctum duas supponere oportet lineas incognitas,& materia tantum pro una aequatione suppetit.Ut in hoc ex emplo, ubi ad determinandum punctum C, duae supponendae sunt inc gnitae lineae A B & B C; quarum una ostendat, ad quod punctum lineae AB duci debeat recta B C in dato angulo; & alicra, ubinam illud ipsum in eadem recta sit sumendum. Ubi porrb, postquam co ditiones omnes sunt adimpletae , inventa est aequatio
tales ineognitas x &I. Adeo ut, eum in ipsa una desit conditio ut sit prorsus determinata, quantitatem aliquam cogi itam pro arbitrio assumere liceat pro incognita x, cui non rei pondet aliqua aequatio, atque tot inde invenire puncta C, quot ipsi radici x tribuerimus diversos valores. ιCaeterum quoniam haec quaestio exteddi potest ad omnes lineas curvas, quae sub calculum cadunt, atque in Geometriam
recipi possunt: ita ut nulla sit linea curva primi generis. quae ad illam non sit utilis, quando in quatuor lineis proponitur: nec ulla
245쪽
Sapponantur anguli BAI, D CB aequales angusis F, G; &
secundi, quando in 8 lineis: nec ulla tertii, quando in ri lineis est proposita, atque ita porro: placuit hic quoque subjungere casum, quando in duabus tantum lineis est proposita, qui quidem omnium simplicissimus existit.
Datis positione duabus rectis lineis AB, C D, inter se parallelis, aut concurrentibus in puncto D; punctum extra ipsas invenire, ut Ε . a quo si in datis angulis F &G ad positione datas A B , C D . duae ducantur rectae lineae E H . E C , ipse datam inter se habeant ratio nem r ad G
246쪽
COMMENTARII IN LIBRUM II. v concurrant rectae AI, CB, ubicunque hosce aequales angulos ad positione datas constituentes in punctum I. Deinde ratio, uam H E ad E C servare debet, detur ut ΑI ad K, vel si non ita
eruti ad hanc Armam reducatur.
Restiario. Puta factum esse,quod quultu ponaturque B C M q, ΑΙ m r,Κ msBI mi, & BEM a .Unde,cum propter triangulorum BI A, B E H similitudinem,B I sit ad I Α,hoc est, radr, sicut BEsni ae ad Erierit ED M - . Deinde quoniam AI est ad
ductum seb extremis r-ra , aequale producto sub mediis ' .Αe proinde si utrinque dividatur per r, atque multiplicetur per
aequatio erit1x-tae mi q. Hoc est, revocata aequalitate ad proportionem, erit ut 1 tadi, itaqadae. Unde talis emergit Con-
fructio. Fiat,ut excessus,quo K excedit BI, ad BI; ita B C ad B E. Tum per E ducatur E d ipsi AB seu C D parallela ut in prima . ; aut ex D per E agatur recta D E indesnhe ut in secunda
fg r Dico si ex quolibet ejus puncto, ute, ad positione datas A B, C D,duae ducantur rectae lineae e in datis angulis F & G, hoc est, ipsis AI, IC parallelae, dictas lineas datam inter se rati nem servaturas,hoc est, h e fore ad e e , sicut AI ad K, seu r ad Demonstrario. Quoniam enim est, ut excessas, quo K excedit BI, ad BI, ita B C ad B E : erit quoque componendo Κ ad BI, sicut CE ad EB. Unde eum ratio CE ad EB composita sit ex ratione CE ad EH, & ex ratione H E ad E B seu AI ad I B: erit quoque ratio Κ ad BI ex eis dum rationibus composita. Eodem modo, quoniam item ratio Κ ad BI componitur ex ratione Κ ad AI, & ex ratione A I ad I B: erit ratio composita ex ratione C Ead E H, & ex ratione Α I ad I B, eadem cum ratione, quae com ponitur ex K ad AI, & ex AI ad I B. Quare si communis auferatur ratio AI ad I B, erit quoque reliqua ratio C E ad E H e dem reliquae rationi Κ ad ΑΙ, seu fad r. Quod erat faciendum Eadem est ratio ubicunque tandem in recta d E punctum e assumatur. Unde manifestum fit, punctum quaesitum e rectam lineam contingere D E, positione datam, ac proinde in loco plano esse. Omitto reliquos hujus quaestionis casus, cum a quovis ad horum imitationem facile construi possint.
247쪽
. . A veris duabus conditionibus deficientibus ad hujus puncti determination., locus,in quo illud reperitur,sk- perficies est, quae iliter aut plana, aut Sphaerica , aut magis compo Pa essepotes. J Quae verba, ut recte intelligantur, exemplis sequelaetibus illustrare conabimur.
Lino ad Dato triangulo aequitatem AB C. a cujus vertice Bad basin ΑC dentissa sit perpendicularis BD: oporteat intra ipsum invenire punetiam, ut Ε, a quo si ad opposta latera deducantur perpendiculares Ε F , Ε G . &Ε H, ipsae simul sumptae aequentur perpendiculari B D.
Factum jam sit, & pr ducta F E, usque dum secet latus AB in I , B CVero productum in K; ponatur Α D seu D Cta a, DBOO AF Malidi F E my. Hinc cum Gmilia sint triangula A DB,& A FI, erit sicut A Dad D B, hoς est, a ad b, ita Α F sev x ad FI ; quae ideo erit - . E qua si auferatur F E MI , relinquetur EI M S militer, quoniam similia sunt triangula C D B & C F Κ, erit C Dad D B, hoc est, a ad ut C F seu 2 a-x ad F K; quae ideo erit
Eodem modo cum, propter similitudinem triangulorum Α D B, E GI, A B sit ad A D, hoc est, x a ad a, seu a ad I, sicut IE seu
ad EG;erit EG M 3 - l . Non secus , cum similia
snt triangula EΚΗ & DBC, erit ut B C ad C D, hoe est, et aada, seu a ad I, ita E K. seu 2b- Ἱ-I ad EH; quae ideo
248쪽
COMMENTARII IN LIBRVMIL 22 erit b- η - D. Adeoque si addantur perpendiculares inventae
E F, E G, & E H, erit earum summa aequalis perpendiculo trianguli AB C. Ubi pater, quod, postquam incidimus in aequationem, in qua
ab utraque parte reperitur eadem quantitas, quaestio propolita non sit Problema, sed Theorema; seu quod conditio , ex qua haec aequatio deducta fuit, in questionis datis sit comprehensa, neque unquam sine hae conditione esse possit: Atque adeo, duas in ea conditiones desiderari, ad 4ieti puncti determinationem ; unam, ad aequationem pro at inveniendam, qua innotescat,
ad quod punctum lineae A C duci debet perpendicularis E F; atque alteram, ad aequationem pro I inveniendam, qua cognoscatur,ubinam illud ipium in hac perpendiculari sit sumendum : qui bus mediantibus quaestio penitus determinata reddatur. Quare, His eagostquam conditiones in quaestione praestandae exsecutae sunt, neutri linearum incognitarum Λ F, F E aequatio respondet, poterunt illae ad arbitrium accipi, atque idcirco quaesitum punctum ' E ubique intra triangulum ABC assumi. Cujus demonstratio facilis est. 3Ducantur enim rectae ΑΕ, ΕΒ,&E C , ut constituantur tria
triangula AEC, ΑΕΒ,&BL C. Quoniam igitur horum triangulorum bases fiant aequales, ac quaelibet ex ipsis aequalis basi trianguli ΑΒ C; habebunt ipsa ad triangulum ABC eandem rationem, quam perpendicula F E, E G, & E H. Quare cum triangula AEC, ΑΕΒ, & BEC simul sumpta ipsi triangulo ABC sint aequalia: erunt quoque perpendiculares E F, E G, & E FI simul sumptae ipsi perpendiculari B Daequales. Quod erat demonstrandum. Pored notandum est, quod , quemadmodum punctiim E,intra . triangulum ABC assimplum, exhibet semper eandem summam perpendicularium EF, EG&EH, quae ab eo ad trianguli lat ra deducuntur, & aequalem perpendiculari B D, ita contra , si sumatur extra triangulum ABC, atque ab eo ad ingula ejus latera, si opus est, produω perpendiculares denuitantur, obtineatur semper eadem perpendicularium disterentia, quae rursus perpendiculari B D sit aequalis. Oportet autem perpendicularem, quae
ducitur in latus subtensum angulo,intra quem punctum sumptum
249쪽
erit, auferti ex summa duarum reliquarum. Quae simili ratione aliis quoque figuris rectilineis ordinatis competunt, cum eadem in omnibus sit demonstratio. Alterum exemplum, quod hic asserendum duxi, desumpsi ex inventis Nobilissimi &praeclari Juvenis D. Christiani Hugenii, quibus sibi jam pridem apud Dinctos tantam paravit Iaudem a
que admirationem, ut non nisi magna quaeque ab eo expectanda esse assirmare non veriti fuerint.
Dato Circulo Α G B, dataque positione diametro A B: invenire extra ipsam punctum Ε, a quo si ad A Bdemittatur perpendicularis E D. N per idem punctum
Natur re sta quaedam linea F G utrinque a circumserentia terminata. ut rectangulum F Ε G, sub segmentis ejus F Ε, Ε G comprehensum, una cum quadrato perpendicularis demissae Ε D . aequetur rectangulo Α D B, sub segmentis diametri AD , D B.
250쪽
COMMENTARII IN LIBRvM II. 23 Irectangulum KEI seu FEGMaa 3-xx. Cui si addatur
ia igitur hic utrinque eaedem reperiuntur quantitates, &adimpletis omnibus conditionibus nulla amplius inveniri potest aequatio, qua innotescat utraque incognita quantitas x & 3: liquςteas ad arbitrium sumi posse, atque Problema propositum esse Theorema. Defectus itaque duarum in hac quaestione conditionum , ad determinandum punctum Ε, ostcodit,illud ubique extra diametrum, intra circulum cadere posse, & locum ejus esse ad su-
perficiem Circuli. Id quod facile demonstrari potest. Quoniam enim CH perpendicularis est ad K I, secabit re- , τὸ ω clam K I bifariam in H. Unde cum in E quoque inaequaliter sit Elem. secta , erit rectangulum K E I, sub inaequalibus segmentis comprehensum, seu, quod idem est rectangulum F E G, una cum quadrato segmenti intermedii E H, aequale quadrato dimidiae lineae HI. Eodem modo, quoniam recta ΑΒ bifariam divisa est in C, & non bifariam in D: erit rectangulum A D B una cum quadrato interseumenti D C, aequale quadrato ex C B seu CI. Quare cum quadratum C I aequetur quoque quadratis C H, H I, quorum quidem quadratum H I aequale est ostensum rectangulo F E G, una cum quadrato E H: sequitur rectangulum A D B una cum quadrato D C seu EH aequari rectangulo F EG una cum duobus quadratis C H, E H. Ac proinde,dempto communi quadrato E H , remanebit rectangulum A D B aequale rectangulo F E G, una cum quadrato C H seu E D. Quod erat demonstrandum. Non secus demonstrabitur,omne aliud punctum, intra Circulum extra diametrum A B assiimptum, praestare id quod quae itur: Quocirca, Si in Circulo extra diametrum. sumatur
aliquod punistum, a quo ad diametrum demittatur per- 'pendicularis. & per idem punctum agatur recta linea a
circumserentia utrinque terminata : crit rectangulum
sib segmentis hujus rectae comprehensum , unI cum quadrato perpendicularis demissae , aequale rectangulo