장음표시 사용
271쪽
habebitur m ee, hoc est, sube dem denomiiratore
nominatore, adhibitaque decenti transpositione, ut quantitas unam constituat aequationis partem, reliquae vero alteram; divi datur utrinque per e', invenieturque u M b in
substituendor in locum quantitatis suppositae G v M b in
Eodem modo si reliquus terminus cum repquo comparetur, invenietur quantitas incognita s. Quia vero quantitas inventa vsatis determinat punctum P, quod modo in recta A G quaerebatur; & tantum ab invento puncto P rectam lineam P C ducere oportet, ut quaestioni satisfiat: ulteriori operationi incumbere sapervacaneum fuerit. Vt vero ad demonstrationem supra dictae eo structionis accedamus , producatur inventa linea
C F donee secet Λ G pr ductam in P, atque per Lagatur recta L H parallela Λ G, occurrens ipsi P Cin Hr unde ducta H I ipsi CG parallela, quae secet Λ P in I; Dico A P seu υ ae-
Cum enim, propter si militudinem triangulorum B C L, A G L B C sit ad C L, hoc esto adc, sicut A G, hoc es b,ad G L: erit G L M V . Deinde, quia, propter similia triangula CDE &CLH,CDm est ad DF seu GLM γ, sicut CL me ad DH:
272쪽
C D sit ad D F seu G L , hoe est,r ad , sicut hi I seu G L, hoe ad I P: erit I P eto . Qitare si ducatur recta GC, incaque assimatur C D aequalis C B, ac deinde ex puncto D recta agatur D F aequalis GL, & parallela ΑG: manifestum est, rectam, quae puncta F, C, connectit, esse lineam quaesitam, quippe quae Conchoidem secat ad angulos rectos. Quanaoquidem, si
producatur ad P,G I sitso , I P m-,atque adeo tota A Peto b --. Quod erat faciendum. Porro, ut constructio adhuc brevior evadat, operae pretium est considerare, rectam ab H ad G ductam ipsi G C esse perpendicularem. Id quod, ab acutissimo nostro Hugenio primum o servatum, deinde sic verum deprehendi rQuoniam enim L H ipsi A G est parallela, erit angulus H L Gaequalis anguI LG A. Deinde, quoniam G A Io b mltiplicata
per L H zo P facit , qu draxum ipsius GL, quae est v i
erit AG ad GL, sicut GL ad L H. Vnde cum in triangulis A GL, L GH latcra circa aequales angulos ad G & L sint proportionalia, erunt itidem anguli G AL & L SH aequales. Est autem G A L rectus. Quare & L G H rectus erit. Hinc talis emergit constructior
Ducta C G. secante AB in L. agatur ex L ipsi A Gparallela L H . donec occurrat perpendiculari G H in H: eritque recta H C, quae ex H per C ducitur, seca
quaesita. Non dissimili ratione invenire licet constructionem exempli. Verum enimvero quoniam lineae C P alio quoque modo investigari queunt, beneficio Methodi de Maximis & Minimis, cujus Author est Vir Clarissimus D. de Fermat, in Partamcnto Tolosano Consiliarius, quam Herigonius in supplemcnto Curius sui Mathematici exemplis aliquot illustravit, atque ibidem etiam adinveniendas tangentes adhibere docuit: haud abs re fore duxi, si
273쪽
hoc Ioco viam, qua lineae CP ope ejusdem Methodi sint inveniendae, sequenti calculo exposuero. Esto, ut supra, G A G Α E vel L e me, A M ao1, & P Αίου: eritque G M ob I, & PM M υ Deinde quaero quadratum ex P C, supponendo illud esse minimum quadratorum omnium, quae fiunt a lineis ex P ad Conchoidem ductis. Hoe
274쪽
COMMENTARI I IN LIBR-vM II. 23 pHine dempto utrobique - bb-2-υ - 2 remanebit
Hoc est,multiplicato per crucem, erit bbc cII in a b c Τ eer a bbce υ- - bccec cery bbcce e. 2 bcce coeenm bbcc' - - 2 bc cy' - 2 bcee II 2 cc Ny ccev ab υ'- be Τ - 2 bet I 2 evriqe ev)- 2 e v . Ac proinde sublatis utrinqtie aequalibus,restabit a b bccer 2bccu', b c c e e 2 b c c e v m-2 ber hbeeIΤ-2 be I F2ev1' e e et ' 24' vII. Diviso jam ubique per e, reserventur qua titates in v ductae ad unam partem, netque, transsatis reliquis, et et '' qeυ ΤΦ2 ee Dym 2 bbcc - 2 bocv- bbcce 2 cry 2 br Ity 2bee ' .Vnde neglectis iis,quae ine auteeductae sunt,obtinebitur a rema bbcer abeen 2 U. Et sit,dividendo utrinque per Σ1 , νM--b.utante Vbistaendum, calculum multo abbreviari posse,si in secunda hac operatione multiplicationes,quibus ad e e auti ascenditur, continuc Omittantur. Atthaec quidem via est,quam & Hugenium secutum futue confido. prout tangente' curvarum linearum se aliter quam Ferm tius ope hujus ipsius Methodi quaesivisse mihi asseveravit. Quam viam ut omnium maxime contrahantus, poterimus , invento, ut prius, quadrato ex P C, cum subtilissimo ac lapita laudato nostro Huddenio secundam hanc operationem omnino insuper habere, atque rejectis quantitatibus eqs b,v v, & si reliquas per ipsius. I dimensiones multiplicare, invertendo porro signa in & - qua ritatum, per ν&II diviserum. Perinde, ut hic videre est. PC. - ince-b et D in uvina ramis Mult. per Σ
275쪽
Caeterum quod ad alias Methodos attinet, quibus tum Maximi& Minimi determinatio, tum tangentium sive secantium harum inventio, tum etiam infinitorum aliorum dissiciliorum Probi matum solutio obtineri queunt, poteris eas ab eodem Huddenis cxpectare; qui adeo multa ac praeclara circa haec invenit, ut neminem putem repertum iri, qui cum eo in his sit aequiparandus. quippe is non tantum Maximi aut Minimi determinationem, cum quistio non nisi unum tale agnoscit, exhibere valet; sed etiam, quando complura nec non vario modo infinita Maxima aut MNnima admittit, via omnium simplicillima elicere novit.
Ad haec si superiori modo ipsam tangentem Conchoidis C Tinvestigare lubeat, ponatur, ut ante, G A IOAA E vel L C Io GC M vel A B Io x,M A vel B C Met,E T ME S IV: eritque ME Io e-MT Io e- v. Tum fiat,propter similitudinem trianguloriun S T E & C T Λ ut T E ad E S, hoc est, v adj ita T M, hoc est, c-3 -υ, ad M C. zo x. Hinc cum& supra inventum sit a 'πι - 2M - ,
Deinde, ad inveniendas quantitates υ dispositυ zo e, stur e
276쪽
COMMENTARII IN LIBRUM II. 23 7
minus, qui hic est quintus, dat g g M- , , quartias dat
tionis, numeratorem prioris & denominatorem posterioris se ctionis per e b, ac deinde denominatorem prioris & numerat rem pollerioris fractionis per e ev cee-e , mussiete'-be -- c cee - 3 bcce M v ce bcce. cc υ bc .Fieisque, ordinata aequestrate, umseu, quia' est M e, erit υ m . Denique, inventa quantitate υ, sicile est invenire quantit tem s Si enim in superiori aequationem in locum ti br getur valor ejus nunc inventus, obtinebitur Quod ad constructionem hujus attinet, quoniam ipsa, quam inveni, haud inconcinna mihi est uda, placuit eam hic paucis subnectere.
277쪽
Duisti ex C super G Ε pernendiculari C Μ, agatur G C secans A B in L; S ex L ducatur L K parallela G Ε, occurrens ipsi CΜ in K. Deinde ex K demissa K Npem pendiculari ad C G , jungatur N Μ: eritque C Τ huic
Quibus explicatis facile etiam est hic ostendere, quonam pacto punctum Conchoidis C, quod duas ejus portiones, concavam&convexam, a se invicem distinguit, investigari queat. De quo egit Nobilissimus D. Hugenius ultimo Problematum Ili strium, quae de Circuli magnitudine inventis adjecit. Etenim inventa ad hoc, ut ante, aequatione 1 --ccvvv-2 bccvυ-bbccisaeo, - ΣυJ bbου
quoniam ex puncto T, utcunque in producta G E accepto, nulla recta duci potest, Conchoidem in aliquo puncto tangenS, quae, seu postquam est producta, hanc ipsam in alio puncto non secat, excepta tantum recta, quae per flexus punctum ducitur: requiritur ut dicta aequatio ad punta hujus determinationem tres admit
278쪽
COMMENTARII IN LIBRUM II. I. sytat radicis valores , qui omnes inter se sint aequales. Quod ipsum ut fiat , consero aequationem superiorem cum aequationeat - 3 UI e N e'M O,in qu tres habet valores aequales, qui singuli lant m e. Hanc autem,ut ad aeque multas dimensiones ascendat, &ejusdem cum praecedenti sitsormae, multiplico per I 1. & prodit aequatio 1 - 3 υ' - 3 eeD-e'I-M O.
Cujus termini si cum alterius terminis comparentur, invenientur
seu, qui est me ΤM - 3 DI abcc. - Quoniam autem haec aequatio Cubica est, neque ad Quadr tam reduci potest , sit perest ut valorem radicis 3 per feetiones Conicas determinemus. At vero cum aequationes omnes inseriores construi etiam queant beneficio linearum curvarum, quae sunt superiorum generum, non ingratum fore judicavi, si hic ulterius exponerem, quo pacto ope datae Conchoidis C E Problema propositum solvi potui, sicut ad construdionem ejus non nisi regula atque circino utamur, haud secus ac si Problema seret Planum. Quemadmodum id ab eruditissimo ac praestantissimo Vir I vene D. Henrico van Heuraei, Hartemo-Batavo, inventum suit, mihique ab eo communicatum.
279쪽
tio duas habet veras radices, quippe quae ad duas tangentes, ex eodem puncto ad utramque portionem ductas, pertinent; quae si aequales fuerint , tanget T C utramque portionem in eodem puncto.
280쪽
COMMENTARII IN LIBRVM IL 16t Igitur si in aequatione πι--- 36M o in locum e su
2x- - 2 bHine cum termini hujus aequationis cum terminis proxime antecedentis sint comparandi, & quidem ad inveniendas quantitates x Sc ' tres essent aequationes quaerendae: facio ut in eadem aequatione tertius terminus sit ad quartum, sicut tertius hujus est ad quartum. In quem finem secundum illius terminum multiplico