Geometria, à Renato Des Cartes anno 1637 Gallicè edita; postea autem vnà cum notis Florimondi De Beaune, ... Gallicè conscriptis in Latinam linguam versa, & commentariis illustrata, opera atque studio Francisci à Schooten, ... Nunc demum ab eodem dil

발행: 1683년

분량: 557페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

281쪽

arcus Circuli describatur, atque ex sectionis puncto V du- catur ad Α Ο perpendicularis V R : erit ΑT, quae se hinbet ad ΑR, ut Σ ec ad 9 inventae aequationis radix. Vnde facile est invenire lineam A M. Ostensum enim est II in ΑΡ-3 bemo. Denique cum inventio supponendi duas ejusdem sermae aequationes, ad comparandum separatim omnes terminos unius cum omnibus terminis alterius, non tantum ad inveniendas tangentes aut secantes curvarum linearum, quemadmodum fuit expolitum,

adhiberi possit; sed ipsa seneralis sit atque infinitis aliis Problematis resolvendis, ut Author asserit, inservire queat: haud inuti te fuerit illa ulterius quoque exponere, quo pacto illam ad Maxi mi aut Minimi determinationem applicari posse deprehendi, pro ponendo in eum finem sequentia Problemata. Datam Disiligod by Corale

282쪽

COMMENTARII IN LIBRUM II. 263 Datam reistam lineam

A C secare in puncto B, Al- Ic ut parallelepipedum , Π quod fit sub quadrato unius partis Α Β & altera parte B C, sit omnium parallelepipedorum , sic factorum, maximum.

Esto AC ma,&ABIox: eritque B C M a . Deinde maximum solidum, cui parallelepipedum quaesitum statui potest aequale, esto Quibus sic positis,si quadratum ex A B Io x x multiplicetur per B C M a -x, proveniet a xx xt m , seux -axx bymo. Iam se x Me, seu x-em o, multiplicox-e per x-e, & fit xx - 2 ex e em O. Quam porro, ut ejusdem sit formae cum praecedente, multiplico per x L &exurgit x - 2 ex x in e ex se eefm o. Ex quarum mutua inter

se collatione eliciuntur hae tres aequationes-2 e fm -- e e- 2 efm o,& eefmbi: quae resolutae dan ODIGeseux M l . , Quod ipsum docet, ad secandam lineam A C, qualis requiritur, eandem in B ita esse divid eviam, ut A B ipsius A Ccontineat duas tertias partes; & maximum solidum, cui parallelepipedum quaesitum adaequari potest, esse h a'. Divideres planum in tria plana proportionalia, ita ut solidum, quod fit ex ductu summe duorum priorum in latus secundum vel duorum posteriorum in latus

primum, sit omnium maximum. Assiimptis ad hoc x pro latere primo,'pro latere secundo,

283쪽

xv, habebitur px-x'. Quocirca ut px-x' fiat maximum

solidum, quod esse possit, intelligatur ipsum aequale solido q: eri

quea: η -px qm o. Deinde facta ae M e seu a -em o, murutiplicox-e per x-e,& fit a x-2 ea: ee M o. Quam rursus, ut eandem formam habeat cum praecedenti, multiplico per x a G&exsurgita:)η - 3 ee a -- 2e' mo. Ex quibus binis aequationis bus, si unguli termini unius cum lingulis terminis alterius coinparentur, elicio x DV p,& q M Jρ Vip. Eodem modo invenitu M V p. Quod ipsum monstrat, ad dividendum p planum

in tria plana proportionalia, maximum solidum, quod ex ductu summae duorum priorum in latus secundum vel ex dueta duorum posteriorum in latus primum gignitur, esse illud, quod obtinetur dividendo p planum in tria plana aequalia. Et sic de aliis. Caeterum, cum allatis exemplis satis superque sit ostensum. qua ratione lineae rectae inveniri possint, secantes lineas curvas in Geometriam recipiendas in datis punctis ad angulos rectos: I bet etiam afferre modum ducendi illas in iis curvis,quas pro Ge metricis pari jure habere non licet. Qualem Dominus des Ca res excogitavit, atque jam pridem ejus exemplum R. P.Mersenno per literas ostendit in curva, quae Cycloides sive Trochoides appellatur, quam Vir Clarissimus Euangelista Tori cellius, scribit a Galilaeo Galilaei, praedecessore suo, primum fuisse consideratam ; cujusque ulteriori speculationi ipsum postea, ut& Virum Celeberrimum D. de Robervat, Mathematum in Academia Pari sensi Prosessorem Regium, se addixisse novi. originem autem ducit ex motu puncti, in rota sive circulo assumpti, superrectam aliquam lineam circumvoluti. Vt Diuili red by COOste

284쪽

Vt si super recti linea A E circumvolvatur rota sive eirculus A B C D, donec punctium ejus A, in quo dictam lineam tangit, eidem rursus occurrat in Er deseribet punctum Α hoc motu lineam curvam A F E , quae Trochoides sive Cycloides appellatur. Idem intellige de quovis alio puncto, extra vel intra rotam sive

circulum assumpto, excepto tantum ejus centro.

Iam ut in genere ostendatur , qua ratione lineae rectae duci pose sint, quae hasce curvas secent in datis punctis ad angulos re sanon abs re fuerit cum Aristotele hic exelicare, quo pacto inaequales circuli,qui circa idem centrum constituti ac conjuncti circumvolvuntur, aequales rectas lineas absolvant. BSunt ergo duo eireuli inaequales, major quidem B C D E; m nor autem FGHI, idem hanentes centrum Ar sintque diametri

285쪽

ctos secantes in A. ita ut quadrans circuli majoris sit CD; minoris vero G H. Iam igitur ut pateat ratio, qua hi circuli, simul cim cum voluti , aequales lineas absolvant; concipiatur primum mas

rem B C D E dextrorsum moveri super reeta D Κ, & minorem F G HI ad motum illius describere lineam rectam ipsi D K parallelam , quae sit H L. Vnde manifestum, cum punctum C pe venerit ad M, existente arcu D C aequali rectae D M, semidiam trum quoque Α C tunc fore perpendicularem super D K in M; ita ut coincidat cum M N,hoc est, punctum C cum puncto M, &punctum A cum puncto N. Ac proinde cum punctum G circuli minoris sit in recta Α C: sequitur ipsum Moque post hujus quadrantis devolution cadere in punctum O; ita ut semidiameter A G circuli minoris transferatur in N O. Adeo ut, N o aequali

existente & parallela ipsi AH, ipsa quoque Ho sit aequalis futura ipsi A N seu D M, & singulae rectae D M, H O separatim ab

utroque circuli quadrante eodem temporc peragrentur. Idem de integris circulis est intelliscndum. Non secus ostendetur, si moveatur circulus minor F G HI per rectam H L, secum deserens circulum majorem B C D E, sibi affixum in centro A,lineas rectas aequales absolvi. Devoluto enim

circuli minoris quadrante H G super rectam H L, ab H versus L.; ita ut rectam lineam H P sibi aequalem percurrat: ducatur per Precta Q P R, secans rectam H L ad angulos rectos in P; sed A N& D K in Q.& R. Qito facto, perspicuum est, cum punctum Gest in P, punctum quoque A esse in Q, rectamque Α G super rectam ct P. Atque ideo, cum punctum C circuli majoris existat in linea A G producta, patet, illud post hujus quadrantis devolutionem inventum iri in puncto R, rectamque D R aequalem fore rectae A seu H P, & singulas codem temporis spatio ab uir que circuli quadrante perfici. Quod&de tota circuli circumferentia concludere licet. E quibus tandem liquet, qua ratione circulus circumvolvi possir, ut rectam absolvat lineam, quae circum serentiae ejus si vel aequalis, vel major, vel minor.

Sed de supra dicta linea A F E notandum, eam duobus motibus describi , inter se distinctis ; recto nempe , quo circulus A B C D desertur ab A ad E; & circulari, quo punctum in ejus circumferentia A quod Trochoidem describit rotatur circa centrum , dum movetur per lineam rectam ipsi A E aequalem & p

286쪽

COMMENTARII IN LIBRUM II. 26

Quibus sic explicatis, ut ad proposivum redeamus, atque roetam, quae Trochoidem in dato puncto tangat, ducamus : sciendum est, lineam rostam, transeuntem per punctum dicium, ac punctum, in quo rota basim , dum punctum in Trochoide datum describitur, contingit, secare semper tangentem quaesitam ad an gulos rectOS. Vt si invenienda sit linea recta, tangens in B curvam sive Trochoidem ABC, descriptam superbasin AD per

punctum aliquod circumferentiae rotae D N C, super b sin Α D circumvolutae: Oportet tantum per punctum Brectam lineam ducere B N,

parallelam basi Λ D; & dei de ab N ubi rotae occurrit ad D, ubi rota basin tangit rectam N D ; tumque eidem parallelam B O; ac denique huic perpendis

cularem B L: Quae erit tangens quaelita. Cuius rei brevem atque ii inplicem demonstrationem affert. ut sequitur. Si super rectam lineam circumvolvatur polygonum aliquod rectilineum, erit linea curva, quae per aliquod eius punctum de scribitur, composita ex pluribus circulorum portionibus, quarum tangentes ad singula earum puncta normaliter secant lineas rectas, quae ab ipsis ad puncta, in quibus polygonum, unamquamque portionem describendo, balin contingit, ducuntur. Exempli gratia, si faciamus ut volvatur Hexago

punctum cjus Α , lineam curvam E HI A, compositam ex arcu E H, qui describitur, dum Hexagonum hoc contingit basin in puncto F quia ejusdem arcus est centrum; &ex arcu HI cujus centrum est punctum G ; ut . Ll x &ex

287쪽

& ex areu IΑ cujus centrum est punctum D : per quae centra transeunt omnes rectae, quae dictorum arcuum tangentibus ad angulos rectos occurrunt. Quod cum accidat polygono centies millenorum millium, palam est, idem convenire quoque Cir

culo.

Caeteium possem hanc tangentem alio modo, &mea senten suiboris. tia, elegantiori, magisque Geometrico demonstrare; verum quoniam prolixior sciret, & brevitati hic mihi consulendum videtur, in praesens ei describendo supersedebo. Notandum solummodo est, cum basis hujus Trochoidis aequalis est circumserentiae rotae, quam super eandem basin ad ejus descriptionem circumvolvi im ginamur,curvam hanc,a sornice circulari non absimilem figuram, referret hoc est, quod tangens utriusque ejus extremi puncti ad basin sit perpendicularis. Sed cum minor est, quod tunc utraque extremitas introrsum sit involuta, ita ut complures revolutiones hanc repraesentent figuram

Ad cujus Trochoidis

tangentes inveniendas,

atque sciendum ubi se involvere incipiat: im ginandum est, punctum D , a quo describitur,

esse extra roram. Dei

de , duae supponendae sunt bases; una Α Ε, s pra quam Trochoides

Α Β C D per punctum

Dest descripta; & altera BG, super quam r ta F G secum deferens eireulum DE sibi affixum circa ejus centrum est circumvoluta, cujusque semicircumferentia dimidiae basi AE est aequalis. Vbi sciendum, tangentes inveniri per circulum DE & punctum G, ubi rota F G basin B G contingit. Adeo ut ad ducendam lineam rectam,quae tangat hanc Trochoide ra, verbi gratia, in puncto C, opus tantum sit ducere C N parallelam basi ΛΕ, occurrentem

288쪽

COMMENTARII IN LIBRUM II. 26seirculo D E in puncto N; tum vero jun N G parallelam C Pr quae ipsi tangenti quaesitae erit perpendicularis. Ita ut perspicuum ut, punctum B, ubi haec secunda Dasis B G Trochoidi occurri sere illud, ubi ipsa se introrsum involvere incipiet et quandoqu-dem linea, quae illam ibidem tangit, ad basin Λ E perpendicularis existit. Denique si basis Trochoidis major fueris circumferentia circuli, qui per assumptum punctum, quod eam designat, circa rotae centrum describitur: binae extremitates extrorsum erunt inflexae; ita ut complures ejusmodi linearum revolutiones hanc e hibeant figuram. Cujus Troehoidis tangentes ut inveniantur, atque sci

tur ubi se inflectere incipiat, imaginandum est, punctum se quodipsam designat, esse intrar tam: adeoque secundam basin esse BG, supra quam rota F G, cujus circumferentia huic basi est aequalis, circumvolvatur, tediea dum punctum D, Trochoidem designans, super primam basin Α E describit circulum D E, circa rotae centrum. Iam ut inve niatur linea, quae ipsam in puncto C, utcunque in Trochoide assumpto, tangat: ducatur CN parallela basi, occurrens circulo

FDNE in puncto N. Fum ab N ad G, ubi rota FG basin suam contingit, ducta recta N G, agatur ipsi parallela C P: eritque recta CL, quae ad eam perpendicularis ducitur, tangens quaeuta. Porro ad inveniendum punctum H, ubi Trochoidis portio Α H

289쪽

desinit esse concava, & H C D convexa, opus tantum est a pu cio G recitam ducere G R, quae tangat circulum D R E in puncto R; tum ab R rectam R H, parallelam bali, & occurrentem Trochoidi in puncto H. Quod erit quaeilium. Vbi notandum, nullam dari lineam rectam, quae Trochoidem

hanc A H C D tangat in puncto H: quandoquidem illud ipsum

duas ejus portiones, quartam una est concava, & altera convexa , distingtiit. Deinde observandum, quod ea, quae de tangentibus Trochoidum, per rotam circularem descriptarum, hic allata sunt, etiam Omnibus aliis Trochoidibus competant, quae circumvolutione aliarum quarumlibet figurarum describuntur. Denique, qliod lineae hae sint Mechanicae, di e numero earum, quae in hae Geometria repudiantur; adeo ut nemini mirum videri debeat, quod tangentes earum non inveniantur per regulas ibi

expositas, cum ad ipsas non reserantur.

iadem ratume hi circuli inpunctis 1, 2 sese iκ- tersecabunt , per ρπae secunda haec o lis erit ducendaJ

Notavit hie Clarissimus Hugenius, secundam hanco valem quod animadversione dignum est uno casu Circulum perfectum evadere, cum nempe F Α ad A G eandem rationem habet, quam s A ad A 6. Adeoque radios lucis, ad punctum aliquod tendentes,ope superficiei Sphaericae ad datum aliud punctum omnes accurate cogi posse. Quod se apertius in tractatu de Dioptricis demonstraturum suscepit, in quo multa egregia ac ingeniose a se inventa, quae huc spectant, brevi, si volet Deus, est exhibiturus.

Et quod ex tali materia constet . ut vim horum radiorum . secundism rationem, quae inter lineas Areperitur, diminuat. Diandoquidem ex eo . quod in Dioptrica demoustravimus, hoet, hoc posito, futurum, ut etiam res ionum auuti tonsecus ac restaritionum, inaequales exsant, atque eodem modo mensurari possint. J Haec refer ad caput Dioptricae , ubi demonstratum est, reflexionis angulum anguri incidentiae esse aequalem: quoniam vis alicujus radii per reflexionem non diminu tur. Sicut per refractionem vis radii, transeundo ex uno corpore

pellucido in aliud , augetur aut diminuitur , ac propterea aim Diqitired by Cc oste

290쪽

COMMENTARII IN LIBRUM II. 2 2gulos facit inaequales. Adeo ut hinc sequatur: si speculum haberi possit, ex tali constans materia,ut vim radiorum, quos reflecteret, augeret aut diminueret omnino ut ostendit, vitrum vim radiorum, quos in se recipit, augere, eorumque refractionis causam esse et essent reflexionum anguli non secus ac refractionum inaequales: & posset eorum ratio mensurari per rationem, quae est i

ter lineas A s de As, supponendo illam eandem esse, quae est i ter vim alicujus radii antequam in speculum incideret, & inter vim, quam immediate post obtineret, cum esset reflexus. Caeterum quoniam ad radios per reflexionem ac refrastionem diversimode desorquendos Sectiones Conicae singularem habent usum, atque specula dc vitra ad ipsarum figuram expolita miros effectus praebent: haud inopportunum sere duxi, si, tum ad penitiorem intellectum eorum, quae in Dioptrica de figura vitrorum ab Authore sunt ostensa, tum ad usum eorum, quae de inveniendis tangentibus aut secantibus exposita sunt, deinceps hic adjungerem, quo pacto in axe puncta investigari possint, in quibus radii Solis, postquam in is perficiem concavam speculi Parabolici inciderunt, aut per Elliptica vel Hyperbolica vitra transierunt, re sectuntur aut colliguntur.

Vt si fuerit speculum habens figuram Parab lae A E C , cujus axis sit M Α, & vertex Α: ad i vestigandum punctum I,

ad quod radius Solis F C, qui ipsi M A est parali

Ius , reflectatur, postquam in idem speculum incidit in C, suppono, ut ante, lintus rectum πιν, M Α Io', & IA me. Gibus positis cum exsuperioribus PM fit miri&AT situ AM seo: erit P T Io Fr- 2I, S PIGolr I-ae. Quoniam autem propter aequales angulos incidentiae & reflexionis FCH&ICT, ut& rectam

Ρ C ipsi tangenti H T perpendicularem , anguli quoque F C PS P C I sunt aequales; atque horum quidem angulus F CP a gulo C PI sit aequalis: erunt pariter anguli P CI & C P I atqu

las; lineaque I G, ipsi P C perpendi ularis , rectam P C bis

SEARCH

MENU NAVIGATION