장음표시 사용
291쪽
IT sit aequalis, erit ν - 2I-- Vnde, dempto utrinque 2 1, & reliquis per a divitis , invenitur et M tr. Quod ipsum, cum de quovis radio ipsi axi parallelo similiter intelligendum sit, nos docet, radios Solis, axi parallelos, ubi in superficiem concavam speculi Parabolici inciderunt, omnes ad idem axis punctum Irenecti, distans a vertice quarta parte lateris recti.
Vnde porr5 fit manifestum, cum lucente Sole, beneficio hujus speculi, prout ipsi directe est obversum, aliquid in I accendatur, quam ob rationem idem speculum ustorium dictum fuerit, pu iamque I Foei nomine appellari consueverit. Deinde si fuerit vitrum, habens Armam Ellipsis D B Κ, cujus maxima diameter sit D K: ad investigandum quo modo radius A B, qui in aere existens ipsi D Κ est paralicius, tendere debea postquam intravit ejus saperficiem convexam, & in quo vitro refractiones sic fieri intelliguntur, ut, juxta ea, quae in Dioptricis tradita sunt, illae omnes mensurari possint per rationem, quae est inter lineas d & e, facio D H vel IKzoa, HIM et,&DF zor, eritque H F mr-a vela-I,&FI M Iveb-a
Quibus positis, si Ellipsis D B Κ descripta esse intelligatur ope fili
H BI, haud secus ac illud Capite 8 'Dioptrices ab Authore aut etiam a nobis in omanica Conicarum Sectionum deseriptione expositum fuit, erit,iacta BIGO a ,B H M 2 a-α -x. Vnde jam facile est invenire quantitatem , assumptis scilicet quantitatibus x&e, uterenitis. Etenim si a quadrato B H. 6 aa Α a e
292쪽
xx-aa-2ι - 2v-υ, pro quadrato BF. Hinc cum habeatur aequatio inter quadruum BF bis inventum,
invenietur,ordinata aequalitate,I MEsto jam DNm λ&NBMA eritque F N m υ , . E quibus rursus facile est invenire quantitatem 1, iuppositis quantitatibus v dc s. Si enim a quadrato B N. II abstulero quadratum F N. --χυ II, renianebit ιι-ου--χυI -1', pro quadrato B F. Vnde fari aequatione inter hane summam & posteriorem. duarum praecedentium habebitur mgQuibus jam inter se aequatis , & aequatione de xx ordinata, fiet xxx - qavx - σι e
Porro ut inveniantur quantitates v &s, positaxmfmultiplicetur a -fm o per x -mo, defit xx-x V M o, seu xx M 2 D: - aequatio ejusdem formae cum praecedente. Vnde, comparando secundum terminum unius cum secundo est rius, emergit v, hoc est, D N M- ά. - . aD I seu a e ablata relinquit NIM NE . Denique cum ibnea N Q vel F B de linea N M eandem inter se rationem hisbeant, quam lineae . quae refractionem vitri DBK mensurant; quidem F B ad N M sit, ut BI ad IN: superest ut d sit ad e,
293쪽
DΚm Et patet D Κ adHIesse, ut et ad ad 2ar, hoe est, ut d ad e. Quod ipsus', cum de quovis radio A B ipsi D K parallelo similiter intelligendum sit, nos docet, ope vitri Elliptici D B Κ in quo D K ad HI eandem habet rationem, quam d ad e,
hoc est, eandemquam inter se servant lineae, quae hujus vitri refractionem metiuntur radios , qui in aere existentes diametro
DK sunt paralleli, omnes ita detorqueri, ut, postquam superficiem ejus convexam D B Κ transierunt, colligantur simul iapuncto I. Denique si fuerit vitrum, habens fguram Hyperbolae DB, cujus axis sit D K: ad investigandum, quo pacto radius Α Β , qui in vitro existens ipsi DK est parallelus, se inflectere debeat, postquam superficiem ejus convexam D B erit egressus, supponendo ejusdem vitri refractionem esse eam, quae est inter lineas d & e, facio H D vel KI M a, HIM e, & D F M 1: eritque F hi M'-a vel a , & FI mx- - a. Quibus politis, si Hyperbola D Bdescripta intelligatur beneficio fili, quemadmodum Capite
Dioptrices ab Authore fuit indicatum, vel etiam a nobis libro Exercitationum nostrarum Mathematicarum, erit, facta BI M a B H mx--χa. Vnde jam facile est invenire quantitatem , supponendo quippe quantitates x & et esse cognitae. Si enim a
294쪽
COMMENTARII IN LIBRUM II. 2 sinter quadratum FB dupliciter inventum, invenietur, ordinata aequalitate,' M -----. Ello jam D N m υ& N B ML eritque N F M υ - . E quibus rursus facile est invenire quantitatem, suppositis quantitatibus υ&s. Etenim si a quadrato N B. s s detraxero quadratum N F. v v - 2 v I ,re manebit ss-vv - 2 vI II, pro quadrato F B. Vnde facta aequatione inter hanc summam &posteriorem duarum praeceden
jam inter se aquatis, & aequatione de x x ordinata, fiet Quibus
Porro ut innotescant quantitates v&s posita x rus, multipli- cox-fmo per x-fruo, & fit xx-2 10 Vmo, seu xx M a ' HL aequatio similis praecedenti. Vn de ,comparando secundum terminum unius cum secundo alterius, invenitur υ, hoe est,D N m ' . Cui si addatur DI. t. , habebitur N I MDenique cum linea N M ad NVvel FB eam habeat rationem, quam inter se habent lineae refractionem vitri D B mensurantes; & quidem N M ad N Q vel F B sit. ut NI ad I Br relinquitur, ut d sit ad e, sicut -- ad x. Et sit, multiplicando extremos, tum medios, d x M Vsoluta aequalitate,invepitur HI seu em . E qua ablatis H D& ΚI seu 2 a, erit reliqua D KN Et manifestum est HI ad DK esse, ut 2 ad ad 2 ae vel ut d ade. Id quod, dum de quolibet M m a radio
295쪽
FR. a SCHOO TEN COMM. IN LIB. II. radio ΑΒ ipsi DK parallelo perinde est intelligendum, nobis monstrat, beneficio vitri Hyperbolici DB, in quo HI ad DK
eam obtinet rationem, quam d ad e, quae est ejusdem vitri mensura refractionis, radios, qui in vitro DB existentes axi DK sint paralleli, egrediendo superficiem ejus convexam D Bita flexum iatri, ut egretii omnes coeant in punctum I.
sp Cujus figura est A qvae undique es convexa ;Fraeterquam versus A, ubilaululum concava existit taut i apariter atquepraecedens cordi haud sit ab milis 3
296쪽
riunt ad Auroris Methodum, qua in resolvendis' n- struendis Geon rem Probismatis utitur, ibidemque simul ostensa est ratio construendi Problemata Plana, hoc est, qua reduci possunt is aequationei suadratas,quaque rectarum linearum atque circuli circumferentiarum opesemiposunti,aecedi deinceps ad Sobdorum'Linearium coninructionei,hoc est, qua ad aquaiiones Cubicas altiorumvegraduum assendunt,'ad quorum eon ustiones,st tionibus Conicis, aliisque curvis lineis magis compos iis uti necessarium est. Vbi observandum est, quod, cum pecc.rtumsit non leve apud Pometras, Problema Planum construereper Conica aut Linearia, hoc est, ipsium per impropris olueregenui, ita quoque sit cavendum ne in construEhonem Uus adhibeamus lineam aliquam curvam, qua magis sit composita, quam ipsius natura admittit. uuocirca, postqv.im secundo libro ostensium est, quo pacto curva
lineae, mediantibus aquationibus, quae exhibent relationem, quam
ipsarum puncta habent ad puncta linea recta, disiumpossint in certa gens , arque exinde cognosci, quanam illarum magis sint composita; superest ut explicemus, quomodo stiraposiit, utrum Problema ahquod
sit vel P unum, vel Solidum , vel denique Linerest Arguitur aurem Problema Planum esse, cum aquatio, ad quam perducitur, pos- quam ad simplicis imos terminos est reducta, atque amplius reducι n quit, Plana existιt,hoc est,ut incognita quantιtas ad quadratum adscendat, duasve habeat dimensiones, illaqueper rectas lineas'circulorum circumferentias invenirapositi, quemadmodum primo bbro fuit ostensum. At vero Sotidum esse, quando aquatio, quae ex eo deducitur ,postquam adsimplicisiimos terminos reducta est, talis existit, ut incognita
quantitas ad Cubum aut uuadrato quadrarum , hoc est , ad 3 aut dimensiones adscendat, ipsaque non nisi Conicam abquam sectionem inconstructionem adhibendo inveniri quear. Ac Lineare denique, ubi aequatis illa, postquam non amplius reducibilis est,plus quam Sotida exi- sit ,Uincognita quantit.is ad s aut 6 dimensiones assurgin, vel etiam ad 7 aut 3 ; υὼ ad 9 aut io dimensiones, atque itaporro in infinitum; ipsaque non m si per curvam secundi, aut tertis, aut stuperioris deniquegeneras, inveniri potest.
297쪽
Ex quibuspressisuum est, quὸd, etiamsilinea cuma omnes, q--- tu aliquo ordinato et ror posent, in Geometriamsint recipienda, non ideo tamen indifferenter prima , qua ora. occurrat, ad constructionem
c usique Problematis uti liceat; sed eligendam esse semper Amplicis mam, per quam possibile sit illAd Usum resolvere. Ataue pro si Mestimas non habendas esse illas, qua facissime omηium describi possum, sive qua Problematis constructionem aut demonstrationemfacitiorem reddunt; sedprasertim illas, quasi bosum Funigenem, ta ad umsitam tineam determinandam inservire queunt. Ita ut , si peccatumsit in Geometris squemadmodumsepra diximus) Problema ahquodpropositum construere per genus Linearum curva rum, magis compositum, quam natura Uus permittit; contra qηoque pro vitio habendum sit, si quis inutiliter desudet is illud ipsum, pergeη- aliquod lineainum sim-Pocius, quam natura ejus iamrtit, construendum. suapropter ut utrumque vanum evitara, ac unumquodque Pr
blema ex proprio seuo linearum genere solvi possis ,postquam tam Probi
matrs quam 3 iud curva cognitionem ab aquatronum cognitione dependere est ostensum; hιηc ad expiscandam aequationum naturam progre-dιtur, docens, uvamquamque tot admirereposse diversa. radices ive disserentes vesores quantitatis incognita, quot ipsa habet dimensiones . earumque ιnterdum quasdam e ,quaralya existunt vel nihil unt minores; interdum etiam, qua plane ima naria; sicut etiam qua ratione Usa aquationes producantur ex suis radicibus in se invicem ductis,sta ut per illus rursus sint divisibilei. Q divisiones subinde utiles ostendit aia explorandum utrum certa quadam quantitates sint aequationis L s nec ne, tum ratam ad ipsad indaganaad, ac denique ad aequationem ad p.iuciores dimensiones reducendam. Deιnde, postquam ostendit quot veraqquot falsa radices in unaquaque aquatione h.ιberi possini, sicut etiam quo paElo false reddantur νς , cs vere falsa, docet, quo pasto quatibet aquatio transimulari positi in aliam, ita ut radices ejus sint certa quadam quantitate majores vel minores, quam radices prioris; c, quidem quoties id sit, ut quaedam ex illis sint vera , quadam vero falsa, quod tum augendo veras, fripa tantundem diminuantur, cs contra. 2Gbm explicatis, tradit, qua ratione, ad abbreviandam
termιnorum multituinem, secundus terminus ιn quatibet aquatione
vepraedictae transimulat ιonis tolli posit; ita ut in Ouadratis aequationiabui asse tiones sub latere, in Cubicis Fub quadrato, in Q sadrato-qu driatis sub cubo, tac. evanescant. Post haec,'uando quaacim ex radicibuε
vera I nt, quadam vero fuse, id quod exsignorumserie manifestum sit in declarat, facile esse 9usdem transmutationis beneficio emere, ni
298쪽
COMMENTARII EN LIBRUM III. 27'
rassioremnes madant vera. Porro quemadmodum aquationes Cubicae atque uadrato quadrasa omnes per eandem curvam laneam solvi polunt, utpoteper aliquam trium Conisentionum; ta rursus Surdesitida atque Ouadrato-cubica omnes per aliam curvam , qua uno gradu mesu est composita quamsetitiones Conica, atques culterius ;sicut biva priores juxta eandem regulam consui queant , sicut etiam bina posteriores per Mam regulam '. Attamen civm in his risioribus aequationibus ob multitudinem terminorum G variasionem signorum P cs plurι-
ma inde ut iuximus nascantur formulae, regulaque ilia valdeforeti ilis ac longa : docet quo pa9o aquationes stas attolgere liceat, hoc est, Surdejotidas reducere ad uuadrato cubicas, atque simul eficere , ut os quae terminorum loca in iis desint, ipsa repleta exsiant, ut tandem, si quaedam ex radicibusfalsa, quaedam autem verasint, Usa
aquationes transimularipos ivt in altas, ubι radices omne int vera, Fiaque secundum eandem constru tionis re uiam inveniri psint. Pra-rerra, quonιam aquationes frequentem Damonibus V μrdis numeris
involsta occurrunt,aut ipse etiam prolixos numeros continent, quo si,ut aut minus expedire resolvantu taciterque explicentur, aut ut non nisi operosiorem in resolvendo industi iam requirant: docet Ginceps, quo pacto ad evitandin fractιones illas atquesurdos numeros, sicut etiam ad transmutandos vastos illos numeros in facitiores, radices earum muli
plicari aut dividiposnt per quantιtatem aliquam cognitam sive num rum. Id quod inservire insuper potest ad inveniendas radices proximas
veris, alioquin irrationales; quemadmodum etiam ad reddendam quantitatem cognitam ali ullus Iermini in aquatione aqualem cuidam alteri
data. Caterum ne quid desit, quod aa intestigendas radices alicujus aquationis requiratur, sendit ipsas interdum e veras sives μι βο- ίummodo imaginarias esse. Ita ut, licet semper in qualibet equatiove
tot talesque, quales supra diximus, ιm.ssanara ticeat, nonnunquam tamen nugam reperiamus quantitatem, qua aliquibus ex ipsis respondeat. Fostquam igitur ea, qua ad aequatιonum recogniIIcnem atque emendationem pertinent , expositasunt, ta quidem ex aquaIionum cognitione sui pura admonuimus dependeat quoque Problematum cognitio, ac prout aequatio est vel Ouadrata, vel Cubicia aut uuadrato quadrata , vel Surdesolida auι uuadrato cubica, ves plurium denique dimensionum, Problema , quod ad ipsam reducitur , dicatur vel Planum, vel Sol dum, tac , illudque exinde construi queat vel perrectas lineas ta Circulos, vel per Metiones Conicas, vel per tineam curvam uno vel pluribus gradibus magis compositam : Hinc , priusquam ad aqua ιιοnum resolutionem accessit , ac Problema propositum extrurio μοLL
299쪽
Linearumgenere solvit, tradis, quo pactops ira mutationes requi
sal quamdo Problema est Planum V aquatro ad Cubum aut Quadria quadratum adscendit, ν adiviri atque reduc possit ad Quadratum, ta ut deinde regula accircinx beneficio, sicut primo libro monstratum fuit, resolvi quear ; ac denuque quui 3ngenere observandumsit circa r liquissuperiores aequationes. Ita ut post institutas illas divisiones, quam- do equatio ad tres quatuorve iumensiones assurgit ipsaque amplius diavidi nequit, asserere liceat, Problema,quod ad aquaisonem asiampeiam Eumfuit, Solidum existere, nec ιnde minus vitium reputandum esse, illud per rectas tineas circularer expedire velis, quam adhibere Coxia cassectiones in constructionem eorum, qua per regulam circinum so
Opossunt. Gibus explicatis, accingit se deincepi ad Solidorum Froblematum
constructionem, postquam reducta sunt ad aquationem trium aut quatuor dimensionum, in aquationesecundus terminus es Ablatus. ELque ita praeparata, docet, unica regula ope Parabolae facile ae expedite'
posse construi. In quo sine eximium atque summi jur ingenii animcium elucet, a nullo quod Alim aηte vel excogitatum vel senseum. Cate ιm ut huyus regulafacilitas acusius in Solidorum Problematum
constructionibus eniteat, ipsam deinde , in semendis nobilistimis bianis assis, ac celebratis, nec non antiquitus usque adeo agitaris Probi malimi altero scilicet de duabus medus proportionalibus inter duas datas inveniendus; altero autem de Hurdendo angulo intres aquai sparia
res, adhibet. Oua brevius expeditiusque, quam ab aliqao hactenus ostensium est,flius Circuli cs' Parabola ope ,ριentisic . atque Geometriaca ratione resolvit. Vbi tandem declarat squod animadversione diagnum ) in Problemaribus Solidis omnibus, postquam ad aquationem
trium quatuorve dimensionum reducta sunt, non stcui hanc regulam ad explic.rndas earum Giuces requiri, quam quatenus ipsa adhibenda est ad inveniendas duas messias proportionales rvter duas datas tineas , aut ad siecandum datum angulum intres aequales partes. Quandoquiadem natura illarum nonsinit, ut terminis simplicioribus,quam per certa quaedam Cuborum latera, quorum contentum cognoscitur, aut per pub- tensis quoru=rdam arcuum, quorum triplum aetrum est, exprimantur; neque etiamper constructionem aliquam, quae uigeneralior c simpliciorsit, determinentur. Finita HeroSolidorum Problematum constructione,aggreditur demum Surdesolidorum constructionem,hoc est,eorum qua ad aquationem 3 aut 6 dimensionum reducuntur, ta ad quarum constructionem curva linea
adhibenda est, qua unogradu magii est composita quam sectioneiConica. Quam
300쪽
Guam ut bremiserae unius reguti beneficio resolvere doceat, obo variost ea , quaesegra monuimus. imirum uta ruationes quinque dimen sonum attolgantur adsex dimensiones, freque demum bi opus est,trans t mutentur in alias , quinum radices omnes t ver agens autem ta quantum in hisce Problematis construendis Geometram seprodiderit Auritor, sines id ipsum exseverioribusperspicere cuipiam non conti l Etad demum vel ex hac sola artifici arque plane stupenda eorum constru tione Geometrica , antea ne cogitata quidem, nedum . inventa,larere ipsum non potest. E mbus tandem colligerelicet, D LE' postquam omnia Geometriae Problemata ad unum quasi Problema r vocatafuerint, quod est, ut quaeratur tantummodo singitudo quaru iam linearum recitarum, quae abcujus aequarionissint radices, reduruinque ad eandem constructionem, qua ejusdemgeneris existunt, traditai semul via Ouem resisendi. Adeo ut nullum P roblematam docile velarduum, mMo aquarionem s aut 6 dimensionum non excedat, rem periri queat , quod huyus Geometria Methodo solvi seu construi non
non inepte ex plicatur per eum, qui plus do bet quam est solvendo; vel, cum id, quod reliquatur, de
ERuM accidit . qu)d quaedam Aharum radicum nGaI , seu minores quam nihil: ut .s s ponatur x de ignare quoque deferitam alicujus quantitatis , puta s. J Hoc est,quod x