장음표시 사용
301쪽
Dominus in Alphen, paternarum virtutum haeres unicus, ex pluribus monumentis, ad vitam communem utilillimis, & publica luce dignissimis, quae inter adversaria parentis possidet, pro sua liberalitate mihi communicavit.
A & B. societaseis ineuntes, lir crati sunt 1 2 aureos; quorum A expendit aureos s; B autem debet aureos 2, hoc est, habet-r aureos. Quaeritur quantum utri uecx stinania debeatur 3 Respondetur, solvendos esse a Bipsi A, 8 aureos, quamvis lucrum luc esse sit manifestum.
Personae duae A & B jacturam laciunt 12 aureorum,c est, habent - I 2 aur. Cum igitur A contribuit s. R B - Σ aur. , manifestum sit, ipsi A ex natura
stionis deberi - Σo aureos , R ipsi B in 8 aur. , hoc 8 aureos; etiamsi jacturam factam esse
Quamvis autem non sit usitatum, ut qui aliquid habet in bonis societatem ineat cum eo, qui minus habet qucin nihil ; tamen casus occurrere pollunt, in quibus hoc contingit. Exempli gratia: Duo mercatores Amstelodami habitantes habent quisque instrutorem suum Venetiis, &quia institoribus istis non satis sidunt, sciuntque inter ipsos esse inimicitias, mandant illis per literas, ut sibi invicem rationem reddant omnis pecuniae, ad dominos suos pertinenti , quam penes se habebunt eo tempore, quo literas
istas accipient; atque si unus sorte aliquid debeat, ut hoc ex alte rius pecunia solvatur, & cum residuo ita mercaturam faciant, ut unus nihil emat vel vendat, nisi cum alterius consensu. Ipsi autem mercatores qui certo non sciunt, quid Venetiis eo tempore sint habituri, quo literae iliae eo pervenient, talem inter se societatem ineunt,ut quisque lucrum aut damnum pro ratione pecuniae,quam tunc habuerit, sit accepturus. Quibus positis, si contingat unum habere ue ooo aureos, alium vero debere ro oo aureos, his roo ex alterius pecunia persolutis, tria tantum aureorum millia promercibus cmendis remanebunt; ex quibus si lucrum sat duodecim millium aureorum, quod cii quadruplum pecuniae: sequitur
vi societatis illum qui habuit 1 millia debere ro millia lucrari ,& aliun
302쪽
COMMENTARII IN LIPRvM III.& alium 8 millia amittere. Contra vero si damnum sit ir millium , qui habuit s millia debet amittere ro millia, quadruplum nempe suae pecuniae; alius autem S millia lucrari debet, propterea quod a priori sumpserit a millia, quae si emendis mercibus impensa filissent, damnum 8 millium ei attulissent. Porro radices Eae istae non inconvenienter in Geometria explicantur retrogrediendo, hoc est, ut, quae designantur per- , retrocedant, sicut illae, quae denotantur per , progrediuntur. Cujus rei exemplum post videbitur. Inservit autem carum cognitio ad inveniendas veras radices, quippe, falsis cognitis, aequationes facile divisionis ope ad pauci res dimensiones reducuntur, ex iisque verae cruuntur. Cujus rei exemplum in sequentibus habebitur. Accedit & hoc, quod, postquam tam salsae quam verae radices alicujus aequationis fuerint inventae, earum beneficio ad plenam totius quaestionis cognitionem atque solutionem perducamur, &casus nonnullos detcgamus, de quibus nobis antea nihil certi constabat. Cujus rei exemplum sequentia itidem suppeditabunt.
Γ uidb constat, quod uatiovis in a quae a plures radices continet, dicidi jemper possit per θλο-
nium quod composit tm est ex Pantitate incognita minus ore alicujus ex Ceris radicibus, quae v ae illa tamdem i. aut plus Calore alic0tas exsul P. J Hoc enim ex
AEquationis, quae plures radices admittit, constitutione manifestum est: cum aequatio quaevis producatur ex suis radicibus, in se invicem ductis. Quemadmodum ab Authore suit explicatum.
Vndest, ut rursus per illas dividi possit, cum id, quod multiplicatione componitur , rursus divisione resolvatur. Sic si ponatur x M a, hoc cst, x-zo o, & rursus x M b, hoc est, x-b M o, & denique x M o, hoc est, x-c M O, atque multiplicemus x-a M o per x-bmo, & rursus productum pet
uae dividi potest per x mo,per x Io O,& per x 'c mo; sed non per x plus vel minus ulla alia quantitate. Si autem eademorquatio rursus multiplicetur per II o, supponendo x desi- Nn a gnarc
303쪽
gnare quoque desectum alicujus quantitatis, utpote hoc est, . xaequari- producetur AEquatiox' - a x ab xx- abcx- abcdmo. Quae dividi potest - b b e -- a b d
Cujus disisonis ope dimens es ejus in tantum dimi
nuuntur. J Sic dividendo aequationem praecedentem, quatuor dimensiones habentem , per x m. o, orietur AEquatio x -axx-Fabx-abcruo. In qua incognita quantitas tres. -b - - be
dun taxat dimensi ines habet. Qua rursus divisa per x -- emo,pr dibit x x Emo, aequatio duarum dimensionum.Quae denuo. per x-bm o divisa exhibet x- a m o,aequationem simplicenti Unde per icere licet,. quae ratione, in qualibet AEquatione plures radices habente, quantitas cognita secundi termini, quiniis sit summae omnium radicum; & quantitas cognita tertii termini aequalis summae productorum ex singulis binis; & quantitas. cognita quarti termini, aequalis summae productorum ex singulis.lcri is, atque ita porro at vero quantitas cognita ultimi termini sive ipse ultimus terminus, aequalis producto ex omnibus. Sic cum in aequatione x' -9xx - 26x-2qMo tres radices et , 3, 3 q, quae designantur pera, b, &c: erit carum summa 9, quae denotatur per a--b - c, aequalis - 9, quantitati cognitae secundi termini - 9 xx. Summa autem productorum ex ungulis binis 26, quae denotatur per ab bc in ac, aequa lis in et quantitati cognitae tertii termini H-rs x. Et produ in ex ipsis tribus, et , quod denotatur per- abc, aequalis-2q, quantitati cognitae ultimi termini, sive ipsi ultimo terna ino. Eodem modo, si fuerit AEquatio talis 2 H-- x - I xxx Ios x. - Ι2O M o, cujus radices sunt 2, 3, ,Σ - s , atque
.esignantur per in & -d: disponatur ipsa, ut termi-
304쪽
illam hic ita considerare, ut ea, quae proponuntur, melius expi centur: quoniam hoc pacto radices, earumque producta simul addita omnino cum quantitatibus cognitis terminorum aequationis, eorumque signis conveniunt. Et manifestum est, summam harum radicum elucere , & aequalem esse Φ q, quantitati cognitae secundi termini q x'. Deinde summam productorum ex Iingulis binis efficere - I9, dc aequalem esse - 19, quantitati cognitae tertii termini I9 xx. Postea summam productorum ex singulis ternis essicere - Ios, &aequalem esse-Ios, quantistati cognitae quarti termini Ios x. Denique productum ex ipsis omnibus in se invicem ductis cilicere - I ro, & aequalem esse - Iro, quantitati cognitae ultimi termini, sive ipsi ultimo termino Iro. Quae porro, quo pacto intelligenda sint de Equationibus, in quibus non omnes termini extant, docebit appendix de Cubicarum AEquationum reselutione, quam hisce Commentariis subjunximus, ubi ista fusius pertractantur.
Ex quibus etiam cognoscitur , quot verae N quot fagae radices in unaquaque GEquatione haberi possint. Nimirum, tot in ea veras haberi posse , quot variationes reperiuntur signorum in S - s tot falseas , quot vicibus ibidem deprehenduntur duo spma - - , vel duo signa - , quae se invicem sequuntur JNotandum, haec concernere aequationes, quae producuntur exsilis radicibus, in se invicem ductis,quemadmodum pag. - & 7o est ostensum, quod & de caeteris regulis, ubi signorum & - fit mentio,est observandum. Visatis declarant priora verba quitas etram cognoscitur. quae horum verborum cum prioribus coli rentiam demonstrant: cum alias fieri posset, ut in qualibet AEquatione non tot radices haberentur, quot imognita quantitas habet
305쪽
dimensiones; neque tot vcrae, quot in ea reperiuntur variationes
signorum & -; aut tot falsae, quot vicibus deprchenduntur duo signa in vel duo signa - , quae se invicem sequantur.
Vt inaequatione xi - 6xx- - - IO OOC, quae non pro-
ducitur ex multiplicatione trium radicum, ut fit pag. 69dc7o, sed tantum ex multiplicatione aequationis impossibilis xx - x in s m o per x-2 M o. Vnde ut, quod,licet in aequatione pro
poli ta tres concipiantur verae radices, tamen una tantum ex illis sit
realis, nimirum 2, & reliquae duae non nisi imaginariae, quarum valor nullo modo comprehendi potes . Quae autem dicta sunt de aequationibus, quae ex radicibus si is in se invicem ductis procreantur, non tantum referenda sunt ad aequationes completas, hoc est, in quibus omnes termini extant, ut in exemplo ab Authore allato; sed etiam de incompletis, ubi unus vel plures termini desunt.
Vt si habeatur m -ρ et in q,&scire velim,postquam multiplicatione productam supposuerim, quot admittat veras radices, de quot falsas; scribo oeta. -υ mo. Deinde simponendo o et et esse primo signo Φ adsectum perinde enim est, sive illum signo sive signo - adsectum concipias : invenio, propter terminos oz et, eodem signo affectos, statuendam esse unam falsam radicem: similiter,prop ter terminos inod:&-pe, eodem rursus signo adfectos, statuendam esse ineram falsam : ac denique, propter terminos ἀ-pxdc- diversis signis notatos, ponendam esse unam veram radicem. Postea,supponendo secun dum terminum signo - adsci: erit. propter terminos indi &- odet, diversis nis notatos,una vera radix : &,propter termi nos- o et dic inpe, qui diversa possident signa, altera vera: ac
denique, propter terminos sep et & - q, etiam di tersis signis designatos, tertia radix vera. Aded ut ex prima suppositione eliciam duas falsas & unam veram, at ex secunda tres veras. Quas sic de ligno: Verum, quoniam, supponendo secundum terminumaste I. r. ctum esse signo sive in si ve- , certo scimus, nihil in f m proposita aequatione mutari: ideo, ut haec regula mulf υ tiplicationem, qua aequatio allata producta fuerit,v--, v nos edoceat: radices illas inter se consero.QVnde, cum deprehendam duas tantum esse, quae consentiunt, easquevcras; reliquas autem, vomodocunque collatio instituatur, ne
306쪽
quaquam consonare: concludo aequationem propositam explica bilem tantuin elle de unica radice vera, & reliquas duas non nisi imaginarias extitere ; neque ipsam aequationem magis ex multiplicatione trium radicum product uia esse , quam superiorem
Eodem modo, si habeatur etym -pe-q, scire) R o et e seo: invenio e priori suppositione tres falsas radices; e posteriori vero duas veras &unami Uam. Quibus inter se col-
I. r. latis, ut consensus carum appareat, invenio,aequati s v nem propositam unam tantum admittere radicem,s m nempe falsam; duasque reliquas esse imaginarias: ac j proinde aequationem non posse procreari multiplicintione trium radicum.
Similiter, si fuerit:)m inpet. Φθ',scue' s ore et qMO; quoniam e priori suppositione invenio duas falsas & unam verami. a. radicem; & erosteriori duas itidem falsas & unam f υ veram: cognosco, aequationem propositam, multi-υ fplicatione trium radicum, quarum duae sunt falsae & - una vera, produci posse. Non secus, si habeatur - seue)R Oee-pet -- q M o; video in priori suppositione reperiri duas veras radices, I. 2. cum una falsa, atque in posteriori similiter duas ve-' υ ras, & unam falsam: adeo ut concedendum sit, ipsam
procreari posse ex multiplicatione trium radicum,qua-- vrum duae sunt verae, & tertia falsa. Idem de aliis sei tiendum. Vbi notandum,radices veras & falsas alicujus aequationis semper ese reales, seu existentes, hoc est, quantitatem aliquam aut deseditam quantitatis designantes, quarum valor Ariti metice vel Geometrice exprimi potest ; imaginarias vero non item. Vt in aequatione x x-qa in s Mo. Quamvis enim in ea duas nobis imaginari possimus radices; tamen nulla iis respondet quantitas; nec, quocunque tandem modo vel augeantur, vel diminuantur, aliae quam imaginariae seri possiant. od sane nemini mirum videbitur, modo ex iis, quae pag. explicuimus, i tellexerit, aequationem propositam esse impossibilem; neque ullam veram nec falsam radicem admittere, adeoque nec quantitatem aliquam, quae ipsis respondeat, inveniri posse. Nisi velis, radices ejus estex Ma in V - I,&xM2 -I, quarum certCvalor
307쪽
valor nullo modo comprehendi potest. Non magis quam si ill rum quantitatem Geometrice invenire velimus. Quandoquidem in figura p.7, describendo ex centro N, intervallo lineae N L Io r, utpote aequalis semissi ipsius q, qua titatis cognitae secundi termini circulum L QR , faciendoque rectam LMm s utpote aequalem radici quadratae ultimi termini s ; circulus descriptus P L Q R. neutiquam secare aut tangere potest rectam M R, quae ipsi L M ducitur perpendicularis,ad duas in ea radices designandas. Idem de altioribus aequationibus est intelligendum pag. 8& 87, cum Circulus centro E descriptus Parabolam F A G sec o re aut tangere nequit; ut de pag. 99, cum Circulus C N Q cu
vam A neutiquam vel tangit vel secat.
Ξ Nimirum incitando signa omnia -- ζύ - quae in Σ', Α'.6' . aliisve locis reperiuntur , qVi per numeros pares de sinantum reliqui se e , , miliumque locorum, qui per impares numeros de signavise , non mutatis. JQuae locum quoque habent in aequationibus incompletis, ubi quidam ex imparibus locis desunt, qui crebra sunt supplendi. Vt si fuerit ae) mη - 8 x - 24 seu a ' si o x x 8 x -- rq M o,mutando signa & - secundi & quarti loci in contraria, sit aequatio
F Vndes ibamus umma raecedentem,subsituri do ubique prox, iuvenietur
-8mo. Vbi vera radix quae erat som est 3 propter terna tam
308쪽
COMMENTARII IN LIBRvM III. 283 narium iEsadditum. J Notandum bla est,qubd,dum,augendo
ternario veram radicem aequationis propolitae a ' inq xy -r9xx- Iosa: - 12o M o, in aequationem incidimus, tres tantum dimensiones habentem, cujus ideo non nisi tres sunt radices, numerus 3, quo vera radix aequationis proposuae est aucta, se aequalis alicui ex falsis radicibus, ut liquet ex iis, quae ab Autore p. 72 paulo post explicantur. Ita, quoniam,diminuendo ternario veras radices aequationisa' - 4x - I9xx Io6x- I 2 m o,incidimus in aequationem - - - I J -8I ODO, vel I - - 8 II- Iν - 8mo, innotescit, unam ex veris radicibus
Nimirum , diminuendo veras radices , quantitate cognita secundi termini divisa per numerum dimensonum primi, Funus ex hisce duobus terminis notatus fumrit Igno in S alter signo-.J Vel etiam hoc modo: NDmirum . diminuendo quantitatem cognitam secundi termini divisam ser numerum dimensionum primi, unaqudque verarum radicumsunus ex hisce duobus terminis notatus fuerit signo in V alter Agno -. Vt ad
secundo carens termino, & ab illa Autoris disserens tantum in rario termino, qui hic per- - denotatur, Sillic per- . Under, ut per ea, quae pag. 7o suntostensa, aequationes hae in eo tantum inter se differant, qudd falsae illius aequales sint veris hujus, &contra, atque ita radicum mutua sit reciprocatio. Quod in aliis
309쪽
Vbi porro operae pretium est considerare, quod, tollendo QIndum terminum AEquationis x 2 ax aa aceruo, quae quidem invenitur, cum pro linea CL in quae stione pagin. 83 ponitura in eandem incidamus AEquationem, quam invenimus tollendo secundum terminum praecedentis x -2ax' . A a.' - 2 a)--M o, quae ab illa omnino est diversa, resultans ex investigatione lineae D F. Deinde animadversione dignum est, quod hae sublationes iscundi termini AEquationes pagin. & 7 in faciliores sic transmutentur, ut earum radices statim se prodant, nec alia regula ad eas inveniendas opus elle videatur. Etenim, tollendo secundum terminum aequationis: d. M a b b seu ΔΕ - aQ.-o, si di vidatur a per 2 , fit I a, ac ponatur z- a Ma, sive 4M
bb, vel emta -κzaa Hro . Quae ra dices, cum vera tum falsa etiam inveniuntur tollendo secundit'. terminum, hoc pacto: ponatur a - 4. M X, seu Q M S a-x
iar b b. cadem quippe , quae invenitur ponendo Δ m quod similiter in reliquis sequentibus quadratis AEquatiombo locum habet , & fit, ut supra, xma f. ' οἰ
310쪽
- la. Quae quidem Osa&vera radix invenitur quoque tolle do secundum terminum AEquationis ratione: videlicet, se ponendo I designare etiam desectum aIicujus quantitatis , Maemajor sit quam ι , Exempli caus I Oo--ia -- s.& substituendo loco II, i
V ea a in f b. ut ante. Quem modum, tollendi secundum terminum, tanquam diversum ab eo, qui ab Authore pag. 7 3 est oste sus, notare potes, cum primus di secundus terminuseodem si o vel-sunt adfecti. Similiter, cum ad tollendum secundum terminum AEquationi dema Q. - , b, vesez-a M o, ponendum iaz-ἱ ama , vel e m x in a, di scribendum xx a x ἀ-ὶ aa proα ,