장음표시 사용
311쪽
atque addendum H- bbrproducetur aequariose ἡ aa in I b M o,vel xx π ἀιε--bcujus radix est x M Uia a sevclx M - ν άaa-ώβ. Vnde radix prioris fit et M V Eaa-,a, vel et M - rae utraque hoe catu est falsa, & hae etiam via inveniri potest , nimirum supponendo et diagnare quoque desectum alicujus quantitati quae major sit quam ἱ a,utpote ponendo α. M-
Eadem ratione tolletur secundus tuminus reliquarum AEqua tionum quadratarum pag. 6 dc 7, quae similiter hae operationem reducentur, utad ipsarum radices inveniendas haec regula sus
Verum enimvero animadvertendum est, quod, sicut AEquatio Quadrata composita sublatione secundi termini ad se εγιλυ liam reducitur, in qua duo tantum sunt termini, sic nulla Cubica
312쪽
ei possunt quae hac ratione non redueatur semper ad aliquam bis trium sequentium sormularum :
Idem de Quadrato-quadratis AEquationibus, quae ex pluribus terminis sunt compositae, quarumque Αχ diverit modi extare pose sunt, est intelligendum. Cum enim per regulam pag 79 expost tam ad Cubicas reduci queant, quarum radices duas habentdsemensiones & termini omnes sunt completi, sic nulla itidem earum esse potest, quae hic sublatione non reducatur ad aliquam trium praedictarum formularum. Sic postquam AEquatio. Quadrato. quadrata I v v - - 8 α- 26 v -68 M-8Α m o per diet in regulam reducta est ad
Cubicam κε - Ioo x - 29oo --I Ooo M in qua omnes termini sunt completi, tollitur secundus terminus, hoc modo:
fietque aequatio ' - velo M - ε 33 jυ- s92 j, tertiae sermulae. Vbi notandum, dismenuonum numerum primi termini/tantum pro 3 haberi, cum non sit , x'. & x in tota summa. Id quod similiter in sublatione secundi termini aequationum Quadratarum , quarum radices duas dimensiones habent, est notandum. Qubd si vero ponatur
vi tantum disserens termino quarto, qui ibi signo adncitur, in vero signo - . Vnde fit, quod hujus aequationis silis radlaesa quales sint veris illius, & contra. Adaugendum valorem verarum radicum, & ad faetendum, ut Hradices omnes verae evadant, sciendum est, nos uti posse exemplo ab Authore proposito pag. 7sse nimirum , --nx --ε nux - 36nyx - 2I63x xx I 296n x-I776 PM ci, tanquam Nisa seu canone, ad quantitatem, qua verae radices augendae
313쪽
sunt, inveniendam , siaut annotavit Vir Nobilissimus D. Goth fridus ab Haestrecht, Mathematum cultor eximius, hujusqile scientiae peritissimus. Si enim, exempli causa, proposita sit AEqua
glectis omnibus terminis, in quibus ligna & - diversa sunt ab
iis, quae in canone reperiuntur, nempe &s, considerare in tum omnes reliquos, ut a, d, Scis. Vtpote a a. =, quia cano habetia r na Τ; & - dx A,quia in canone-1 Isu'se; nec non
ex, quia in cano --a 296n x. Qui quidem seorsim considorandi sunt,& quaerenda quantitas n,quae non sit minor quam quia in canone habetur ubi inda; AEquatione est φ de cujus quadrato-quadratum non sit minus quam quia in canone habetura 16 , ubi in data AEquatione induam non cujus sursolidum non sit minus quam quia in canone habetur I 296- , ubi in dista AEquatione cite. Quantitaten sic inventa,manifeste ex ipsa op ratione demonstratur,si ponatur' n Io x,inventum iri AEquationem , in qua nulla radix falsa esse eotest, ut in exemplo Auth ris. Quod Au thori tamfacile visum fuit, ut id explicare neglexeritia Ad multiplicationem radicum alicujus aequationis addatur sequens exemplum. Proponatur aequatio 2O - - 3 3I 2192s, cinus loco alia invenienda sit. cujus termini per num ros integros exprimantur. Sapposito igitur m i, υ, scribatur aequatio, hoc modo: i
setque squalio as se o*'- 39-- 34O M O, VcI ' M --39ed --3qo, cujus radis ne ad praecedentis radiissem Iest, ut 3 ad 1 ..iν Quae radicum multiplicatio inservire etiam potest inveniendis radicibus proxime veris . cum ipse sunt irrationales. Ut, ad inveniendam voram radicem arquationis' O 2 ooy --qoo 'uaeir rationalis est quies proxime, ita ut ditisentia millesima parte unitatis minor sit: supposito: OD IO OOI, , scribo se oΠ-2oo I-qOO ID O,
praecedentis radicis resimillecupla. Quocirca Hiciendo radicem
314쪽
COMMENTARII IN LIBRvM III 19 s
ex hac aequatione, methodo 1 Victa tradita in tractatu de Numerosa Potestatum resolutione,invenietur: major quam Is os et, di minor quam Isos 3. Quibus divisis per Iooo quia praecedentis radicem multiplicavimus per Iooo , se major quam I ri& minor quam adeo ut differentia inter hanc utramque inventam & veram millesima parte unitatis minor sit. Quod erat inveniendum. Porro quoniam aequatio proposita Τ Io zoo oo duas adhuc admittit falsas radices, quae similiter sunt irrati nates, quia ipsa per I in vel- nullo numero ultimum terminum dividente dividi potest, possunt eae cadem ratione inveniri, mutato tantum signo in- . Quarum equidem major excedet 13riis, & minor deficiet a 2. ι, componentes simul veram inventam Caeterum, sicut aequationes ope multiplicationis a fractionibus liberantur,atque ad faciliores reducuntur, ita quoque interdum licet ipsas beneficio divisionis, quando tam prolixos numeros continent, ut earum resolutio non nisi cinerosiorem industriam requirat, in faciliores transmutare. Vt si fuerit aequa-tioxy Io ro 3 Iaso: 23 37sco,& ejus loco alia desideretur, quae minoribus numeris exprimatur, dividenda est ipsa per num ros proportionales I. Ias. Is 62s. I9 312s, hoc pacto: xy B Oxx-ro 3 Ias x-23q37soO OO O,. I 2s 'st *s
--ra, cujus radices sunt - 3,& - I, quibus per Ias mul'tiplicatis quoniam prioris radices per Ias divisimus exsurgent radices prioris O, - - Ias. Vbi porro notandum , quod, postquam aequatio quaelibet as actionibus aut surdis numeris est liberata, atque in faciliorem transmutata, fieri non possit, ut ulla ex hujus radicibus, sive fursis, sive veris, sit numerus aliquis fractus. Quemadmodum iacile ex 7m Elementorum libro acmonstrari potest. Adeo ut, si illa deinde sicut pag. 77 est ostensum dividi nequeat, concedendum sit, nullam ex radicibus sive falsis sive vetis numero explicari posse, sed omnes esse irrationales. Quibus ita constitutis, ut pateat quo pacto hae radices surdis numeris sint exprimendae, visum fuit ea, quae ab ingeniosissimo Huddenio nostro circa haec excogitata sunt, in medium adducere. Hinc ut investigetur, quo patis, exempli causa, radices aequationis
315쪽
quit, per surdas quantitates exprimi possint: suppono primum e esse aequalis simplici alicui quantitati surdae, utputa, ν x, &fit z--ν x Mo. Quam, ut ad aequationem quadratam ejusdem formae perducam, in qua secundus terminus est rationalis, multiplicare debeo per α mo. Sed quoniam sic non producitur aequatio, in qua etiam tertius terminus rationalis cst, concludo radices aequationis propositae hoc modo non posse denotari sive exprimi. Idemst supponendo e M-έQuocirca statuendo nunc QMI V xseue t V armo, oportet ipsam, ut ad aequationem quadratam ascenda in qua ru sus secundus terminus sit rationalis, multiplicare per e M o, & fite: - 2Ie II m o,aequatio ejusdem formae cum
lata, & in qua item tertius terminus rationalis est. Hinc compa- .rando secundum terminum unius cum secundo alterius invenio -- 2I M - a,hoc est,I Mἱ a.Tertius autem terminus cum tertio comparatus dat II-xM- In quasi in locum I subrog
mrἱaa, habebo ἡ aa bbm x. Ac proinde cum pro quaelitis radicibus supposuerimus e v x,& e GDq- erunt iplar et M l a in Ue m -κἐa a b Eodem modo si investigare velimus, quo pacto radices aequationis indivisibilis II -bbm o per quantitates surdas e primi queant, statuatur neglecta suppositione ipsius)m R MIM-e in Ux seu' - e v xmo, eaque, ut ad aequationem quadratam assurgat,in qua rursus secundus terminus sit rationalis, multipliceturpe inc Uxmo, &fitu 2 o.
aequatio ejusdem formae cum allata, & in qua etiam tertius term nus est rationalis. Vnde comparando secundum terminum hujus cum secundo illius inventar e m la. Tertius autem terminus 'cum tertio comparatus dat x M i a a b Atque adeo, cum pro quaesitis radicibus supposuerimus I M - et x, dc Im-α-Ux, erunt ipsae: IM - ja ν - &IM-la
Similier, investigando num radices aequationis ed-ad bbm o, quam per et in vel-b M o dividere non licet, per surdas
316쪽
quantitates exprimi queant, invenitur e exprimi poste per in ἱaa-bb, dc per ' a V ea a- Eodem modo procedatur in altioribus aequatiortibus. E quibus perspicuum sit, hac ratione inveniri quoque sinplicissimos surdos numeros, quibus radices hasce exprimere licet, atque ideo hinc etiam constare, quae circa haec a D des Cartes pag. 9s referuntur, nimirum: quod natura harum radicum non permittat. ut simplicioribus terminis exprimantur. Vbi tandem etiam est advertendum, quod, quanto partes ἐ'uibus hae radices componuntur pauciores numero existunt, tanto etiam quae litiam facilius obtineri possit, ac proinde in altioribus aequationibus conducere secundum terminum tollere , ita ut deinde, si res bene inspiciatur, perpauci casus superfuturi sint.
Quae si inaequatione substituantur, habebitur .c' m o ; hoc est, communi multiplicatore 3 a)V 3 , set - 3a ab γε 3 a e V i mo: ac proinde communi divisore ι , erit 3' η - 3 aυ--ν 3 M o. Quod erat demonstran
Etenim aut quansitas cog ita hujus binomii erit ra. Lix quae sit a s aut e Equatio . per ipsam divisa, ad duas dimensiones erit reducta; ita ut deinde radix eius. per ea , quae primo libro sunt ostensa, inveniri queat. J
Huc etiam refer roductionem AEquationum Quadratarum, aquatio- cum Problema est Simplex. min: res
317쪽
FRANCISCI a s CHOOTENauisis Vt si, verbi gratia, habeatur aequatio x A M a x seu ata: -- poterit ea, invetuis ipsius ab , ultimi ter, Misis.' mini divisoribus &-dividi per binomium S--.-mo, oriturque x-ἀ-b M o. Id quod .ndit, radicen quaesitam esse M a in b, & Problema, quod ad hanc aequationem reducitur. esse Simplex, hoc est, construi posse ducendo tantum rectas lineas. Eodem modo,si fuerit seu
quoniam, ad tollcndas fractiones , multiplicata primum
atque hac, ut ante. divisa per binomiuina 'aa in am o, orituram o: liquet, Problema, quod huc pertinet, non praeter sinu. plex existere, &I esse M a, adeoque x M-. Haud secus Problema simplex erit, si obtineatur aequatio
ea per proportionales I ,a-c, dcaa - 2ae cc, siv-av- a) c-aae e mo. Quae dividi potest per binomium is e mo, oriturque1--aa M o. Vnde 'invenitur m ac, aut etiam I. Ita a a-a c: ac proinde x M , aut etiam x M a. Quorum duorum valorum ipsius x nonnisi unus tantum quaesitoProblem
iis respondet, licti uterque aequationi propositae satisfaciat. Quod ipsum ex Problemate non adeo difficile semper est dignoscere. Caeterum Problema aliquod non praeter simplex existere, vel hinc quoque inferre licet, cum, operando juxta rmulas pag. s& 7, quantitas, quae per Ct aa bbaut per V aaa -b exprimitur, omnino per extractionem radicis inveniri potest; ita ut ipsa sit rationalis, quemadmodum in allati, exemplis contingit. . Vbi porro observare licet, quod, in primo & secundo casu earundem aequationum, postquam ultimus terminus per fuerit d signatus, aut is inventione mediae proportionalis sicut pag. 2docetur ad hanc Armam fuerit reductus, nil ad ulteriorem ipsarum
318쪽
COMMENTARII IN LIBRvM III. 299
cum constructionem faciendum relinquatur , quod non per solarum rectarum linearum ductum absolvatur. Vide Exercitationum nostrarum Mathematicarum librum et , in quo de Simplicium Problematum constructione ex prosesso agitur. Vbi demum observatu dignum, in genere aequationes omnes numericas trium dictarum formularum omnino per solas rectas lineas construi posse, in quibus a Sebb non nisi numeros delignant sive integros sive fractos; aut etiam eas, in quibus hae quantitates non per diversas literas denotatae reperiuntur, etiamsi ipsis intogri aut fracti numeri praefigantur.
Vbi notandum, mei sus es dimensones tantum o H
rribus dimensiionibus habere, cum non reperiatur, nec, nec in totas ma. J Potest enim pro aequatione I ' M o substitui aequatio haec α' έ c. . MO. nimirum,supponendo e 7, atque subrogando e et in locum' ', &ψin locumr; ita ut, postquam innotuerit valor radicis et, opiis tantum sit, ex hoc invento valore extrahere radicem quadratam, ad habendum valorem radicis'. Nec aliter operandum, si habeatur - a xx sb. Possumus enim ipsius P dimensiones solummodo pro duabus dimensionibus habere, & scriber I O-ar bb, supponendo I M xx,3ca' mx',eritque radix ejus m --ἱ
adeoque radix x M V - . . Quin Ze si suerit Qq M de 3qO,supponendo a me. t. p test pro ea reponi xΤm 39x 3qo, atque adeo ipsius e dimensiones tantum pro tribus dimensionibus haberi. Eodem modo, si fuerit α' πι η - - I o x'--I6 xx-9, atque e supponatur m x x: poterit ejus loco scribie' Mη-- Io et e I se.
- 9, ita ut ipsius P dimensiones tantum pro dimensionibus habeantur. Et sic de aliis.
At verb sinullum inveniatur binomium, quod ita to- Niam AEquationis propositae summam dividerepossit certum es, Problema, quod ab ea dependet, esses Hum. IP p a Sie
319쪽
Sic quoniam aequatio m 3 oo x I 2 Oo,seu x Ro-- 3oox- Iroo M o, dividi nequit per x plus vel minus aliquo numero, ultimum terminum I roo absque fractione dividente,quin aliquid post divisionem lupersit, certum est, Problema. quod ad illam reducitur, esse Solidum. Quo aulcm pacto inveniantur numeri omnes, datum numerum absque iractione dividentes, manifestum fiet, ubi ex Sti telio exposuero rationem, inveniendi omnese iusque numeri partes aliquotas, quod unum idemque est. Eteni in, si numerus par fuerit, dividendus est per 2, & divisor reservandus; tum rursus, si quotiens est par, dividatur similitet pera ,& divisor reservetur; illudque tamdiu continuetur, donec perveniatur ad numerum imparem. Quod si vero numerus est impar, vel divitione jam facti ad numerum imparem sit perventum, dividi debet per 3, si seri potest, idque tam diu continuandum, donec proveniat quotiens, qui per 3 amplius dividi non
pol sit. Tum eadem divitio tentanda per I, 7, II, 13, IT, I9, a liumVe numerum primum, sive nullam partem aliquotam praeter unitatem habentem. Suffecerit autem id tentasse, donee ad dati numeri radicem quadratam, sive veram, sive verae proximam, perventum fuerit: cum ulteriores divisiones supervacaneae sint nabendae. Iam vero quomodo ex reservatis numeris partes aliquotae, seu divisores omnes dati cujusque numeri, inveniantur, sequenti, exempla manifestabunt. Etenim ad inveniendos divis res omne; numeriq6 2 , divido q62 per a , dc fiunt 23 I. Hinc arcservo, & 23 I divido per 3 , fiuntque 77,& 3 reservo. Postea divisis 77per 7,fiunt ii,& 7 reservo. Denique divido II per II,
defit I, & 11 reservo. Unde numeri reservati erunt 2, 3, 7,& D. E quibus divisores omnes seu partes aliquotae sic inveniuntur.
320쪽
COMMENTARII IN LIBRUM III. 3ΟΤ
Verum enimveris cum allata ratio inveniendi Binomium, per quod AEquationis propositae summa dividenda est, ad investigandum ,-utrum Problema, quod ad aequationem illam est perductum, sit Solidum, an vero Planum, & si Planum sit, ipsa ad ejusdem aequationis radices inveniendas valde videatur prolixa; praesertim cum ultimus terminus plures admittit divisores: sciendum est, quosdam ex iis seligi posse, e quibus si componatur bin mium, per quod aequationis divisio non succedat, certi esse post, mus Problema ab ea dependens Solidum einere.