장음표시 사용
321쪽
Sie eum in sit periori aequatione xy m η 3oo Iaco , vel xΤ R o xx - 3oo.x- I 2oo M o, tr inta sint numeri,ultimum terminum I 2oo absque seactione dividentes, atque hinc divitio vel sexagies esset tentanda, antequam certo constaret, Problema esse Solidum; sciendum est non opus cse nisi tres vel quatuor ex iis considerare, ut Iue, & 2o, atque reliquos insuper habere. Qucmadmodum ex sequentibussiet manifestum. Etenim si numerus 3 oo vo-
l tur q& juxta id, quod docetura i l pag. 93 , circulus describatur
F G N, cujus radius F H sit 1 o. utpote M V p, & in eo recta inscribatur FG M Ia, quippem - , ac deinde singuli arcus
tres aequales partes dividantur per rectas F M, FN, & F L: designabunt duae rectar F M & F N quantitatem utriusque falsae rindicis, & FLquantitatem verae. Adeo ut, ad eligendos divisores, qui ad aequationem dividendam utiles conseri possunt, opus tan tum lit considerare eos, tui inventis lineis F M, F N, & F L quam
proxime accedunt, nulla reliquorum habita ratione i adeoque divisionem tentandam tantum esse per x Mo,vel per x I smo, vel per x-2o M o. Ac proinde cum tentata divisione aliquid supersit: sequitur, Problema, quod ad aequationem propositam perducitur, esse Solidum, nec ullam radicem sive veram sive falsam, quae numero exprimi queat, admittere; sed omnes esse irrationales, earumque valorem esse exprimendam per quantitatem linea
radius FH sit 1 o seu V ἱρ, in quo inscripta recta F G M I 2 sta, si secentur singuli arcus F M G, F N G, & G L Κ in tres aequales partes, designabunt F M, F N utramque veram radicem, &FLialiam. Adeo ut, cum divisio aequationis xy
322쪽
COMMENTARII IN LIBRvM III. 3o3
I2oo M o tentata per x-q m o, per x- as m o, di per 2 o M o non succedat, concedendum stillam admittere nullam radicem, nec veram nec falsam, quae munero exprimi queat; sed omnes esse irrationalest adeoque earum valorem non aliter
quam per quantitatem linearum FM, FN,&FL esse exprimendum, re Problema, unde allata aequatio deducta fuit, Solis dum esse. Sed licet haec aliter adhue & quidem generalius incere. Vt si habeatur AEquatio primae sermulae xt m η- 8 x- 24, cujus investigandae sint radices. Quoniam igitur ultimus tei misnus 2 octo admittit divisores, qui sunt I. 2.3. q. 6. 8. 2.24 rhine octies forte divisio tentanda est et antequam radicem proposita AEquationis sic invenire possumus. Velum susscit semel vel bis id experiri, cum certi quidam ex inventis hisce divisoribus seligi posunt, per quos si divisio non succedat, cuti reddamur r dicem esse irrationalem. . Cogitetur AEquatio allata hujus esse Armae xy m η -i , x
με, 6. eadem nempe quae Xymη-apx a aq; in qua a pro unitate assumpta vadet 2, pq, δέ q6. Qua AEquatione iuxta r
gulam pag. 886, 87, & 88 resoluta, invenitur radicem quaesitam designari per Iineam FL. Postea exploretur quisnam ex inventis divisoribus huic lineae proxime accedat, ut seligantur per quos divisio sit tentanda , neglectis reliquis. Postquam autem comperium fuerit nullum ex ipsis propius huic lineae congruere quam
323쪽
quam divisorem 2, & quidem AEquationem propositain xin se oam 8 x- χἡMo dividi poste per x - 2 mo,& prodire AEqua-tioinem impostibilem xx - 2 x M o,quae per x vel - aliquo numero, ultimum terminum dividente, ulterius dividi no luit : sequitur radiccin quaesitam fore 2 , neque ullam aliam ext re, cum reliquae duae in hac formula semper sint imaginariae. Nec aliter fit, si fuerit xi Io - 8 x- et , quae est AEquatio unam habens radicem falsam, nempe 2, de duas imaginarias: cum producatur ex multiplicatione AEquationisii os Iibilis xx - r x- - I 2 M o per x - - 2 M o. Vbi observandum, quod, licet D. des Cartes ejusmodi AEquationis formulam inter Cubicas non repositerit, sed tantum eas, in quibus bini posteriores termini per aut per in & - juncti sunt, ipsa tamen nihilominus eodem modo, qtio praecedens, resolvi, atque radix ejus exprimi possit. quod&de aequatione quadrata rem -at. - bbIO O supra monuimus. Hinc si fuerit xt Io - 3 x - I O, seu xt o x x -- 3 x I O ODO, quae per x - - aliquo numero ultimum terminum dividente dividi nequit: sequitur radicem ejus csse irrationalem , eamque iuxta
primam Cardani regulam, pastin. 9χ descriptam, sic exprimi xM -V C.V 26-- -ν E. V 26- 3. nempe mutatis tantum signis - -&- utriusque partis. Idem intellige de Equatio nibus xt m - 8, aut x M - Io,quarum radices sunt x M - 2,& x M - V C. IO. Eodem modo operandum erit in Fquatione primi casus secundae sermulae, puta xy M - 8 .v- - 2 , ubi majus quam Quoniam enim dividi nequit per x - M o, qui divisor ad quantitatem radicis proxime accedisinon opus est ut ulterius pro grediamur, siquidem binae reliquae radices hujus casias sempersunt imaginariae. Qtiare radix quaesita erit irrationalis, quae juxta secundam Cardani regulam, pag. 9 et exhibitam, iic exprimetur r
catur composita ex duabus lineis , quarum una est prima duarum mediarum proportionalium inter unitatem & lineam Ia
- V ir s , & altera prima duarum mediarum proportion lium inter unitatem & lineam i 2 - έ Ia s , . E quibus perspi cita sunt illa, quae habcntur pag. 92 & 9s. Notandum vero, me potui sic quidem accipere apro I , ita utptitura hi isset 8,&qr :
324쪽
COMMENTARII IN LIBRvM III. 3os
quoniam hic liberum est assumere pro unitate, qualem libuerit. quantitatem ; verum quia praxis aliquo modo accommodatior visa est, si pro a ponatur 2, non I, malui illam hypothel in Euic posthabere. Vbi porro advertendum, radieibus AEquationum ita implicatis existentibus , simplicius censendum esse, earundem habitudinem ex sola AEquationum constitutione innuere, quam ipsas praedicto modo exprimere. Vt in hac ultima xy Io 8x- 2 , dicendo es talem esse, ut in se Cubice ducta tantundem iaciat ac si per 3 multiplicetur, ac deinde ei quod fit addatur et q. Quippe sic ejus habitudinem longe simplicius concipere valemus, quam si candem hoc modo exprimeremus: x OO V C. 12 -- v I 2 bH--C. I 2 -V I 2 s , 'quod similiter de . Equatione x ' Io- 3 a: -- Io potest intelligi, cujus radix juxta primam Cardani
cum illius habitudinem, quam cx squationis constitutione in duit, multo facilisis concipiamus, prout eandem in se Cubice ductam idem producere intelligimus, quod I o minus ipsius triplo. Et sic de aliis. MPorro si habeatura io xx Aox Is; supposita a mr,erita a m 8, setque aequatio x M , s .va: f, Ioa - - , et , ejusdem Arna cum A OO άp xx ά ά qu- - a' r, in qua p idem valet quod s , qidem quod io, de ridem
uod a. Deinde inventis numeris ultimum terminum I sdivientibus , utpote I, 2,q, 8,&a 6, aequationem resolvo juxta
regulam ab Authore pag. 8s, 8 87, & 88 ostensam, critque ve- Via fit ra radix FL, & falsa GK. Denique, examinando ordine divi-ra m
fores inventos, explorando quinam ex ipsis ab inventis radici--
bus F L quam minimum discedant; invenio divisionem
solummodo tentandam esse per x - ψ Mo, aut per A in I 2D O. Ac proinde cum neutra harum divisionum succedat, concludo, AEquationem propositam, unam admittere veram radicem, & hi nam falsam, quarum utraque est irrationalis; ac rcliquas duas esse imaginarias. Haud secus si fuerit aequatio 'M -- ,ox. V Tqoox 3 cooo,
325쪽
, zo, Ias, IV, iso, Ico, I 8o, et is, 22s, '3Oo, 3 6o, 37s,Mo, 3 48o,soo, scio, Tro, IOOo, IIas, I zoO, Iqqo, Is Oo, I 8oo, 2 Ozo, aso, a qOO, 3 ooo, 36oo,qooo,' oo,s Ooo, roo, socio, Irooo, 18ooo,& 36ooo, fingo a esse io, ac proinde aequati nem propositam esse hanc H M - x x 7 q - 1 α ,3 6,hoc est,ipsani esse hujus formae a m -0xx ina a q x ala ;uaut, secto latere recto a in io aequales partes, p earundem faciat 6, q , & r 36. Qua deinde juxta regulam pag. 81, 86, 87 &88 constructa, invenio ipsam sicut antecedentem non nisi unam veram radicem admittere, utputa FL, &unam falsam, utpote K G, quarum longitudo ad partes lateris recti ceu scalae relata ostendit divisionem aequationis propositae solummodo tentassedam esse per x - 2omo aut per x in s m o. Hinc cum ipsa div di possit per sero mo& oriatur aequatio xΤ - 2o so x I8oo M o, non autem per a - - M o quin aliquid post divisi nem relinquatur: concludo veram eius radicem esse ro , & falsam
esse irrationalem, cujus valor seu quantitas, dum per longitudi'
326쪽
COMMENTARII IN LIBRvM II i. 3 or
nem solius inventae rectae K G accuraia exhibetur, propter husus cum reliquis asymmetriam , numero tantum quadaiuentis ex ipsius ad hasce relatione innoteicit. Eodem modo investigiri queunt radices aequationum, plures pauciorel ve dimetitiones ha
Caeterum cum radicum inventio res magni sit momenti, atque corum, circa quae Algebra versatur , praecipua: alium modum s ligendi divisores, qui ad aequatiotiem dividendam utiles iudicari possunt, subiungam,quem communicavit Iacobus a maesten aer, Vltralectinus, Geometra peritissimus, atque in hac Cartesialia Methodo versatissimus. Inveniantur radices aequationis x' - Ixx - 3o x in 72 mo,
cujus ultimus terminus dividi potest per I, 2, 6, 8,', I 2, 18, 2 36, 7a. Vnde aestuatio proposita dividenda est per x B i, vel perci: Σ,&c. Verum cum complures hic sint divisores, & tantum tres hic esse possint, per quos divisio fieri queati constat, di visionem pluries esse tentandam, antequam sorte incideremus in aliquem, qui quaesito satisfacere posset. Quapropter ut seligantur illi, quorum prae caeteris est ratio habenda: augendae sunt radices verae certa quadam quantitate, hoc est, transmutanda est aequatio in aliam, cujus verae radices sint dato numero majores. Conmmodissimum autem suerit ad id assumere I vel io: quia cdm multiplicatio alicujus numeri instituitur per I, vel Io, numerus ille sic non mutatur, sed ipsi tantum in sine cyphra adjungitur. Vnde
ponendo Io x-- I ,sivea: MI- I, exsurget aequatio Τ -- 2 Ioo M O, cujus verae radices unitate majores sunt veris
prioris & falsae contra unitae minores falsis. Quia vero in hac aequatione,numeri ultimum terminum Ioo dividentes, sunt I, 2, s, Io,2o,2s,so,too: ideo dividenda foret per R i,vel per 'r, vel per' A q, &c. quod cum non minorem quam insuperiori re quirat laborem, oportet similiter ex iis quosdam seligere. Atque ade , cum cognoscatur, ad inveniendas veras radices, divisore hujus unitate debere tae maiores divisoribus prioris aequationis, facile constat, si ex inventis, I, 2,q,s, IO, zo, rs, s O, IOo aliqui idonei sunt ad posteriorem aequationem dividendam , aliquos etiam inter eosdem unitate diminutos, nempe inter o, I , 3 9, 19, q9, 99, ad priorem aequationem dividendam utiles futuros. Qui ut inveniantur , conserendi sunt iidem divisores
327쪽
18,2 . 36, 72, sumendique qui sibi invicem respondeiit, caeteris neglectis. Ac proinde cum bic quinque sint qui concordant,nempe 1, 3, 4, 9, & 2q, oportet, ad inveniendas veras radices, divisi
x-2q;auhad obtinendasfalsas, quae quidem hac auctione inta tum sunt diminutae, per x -- 2 , per x - 3, de per x in C. Quod si vero id nimis longum videatur, quandoquidem aequatio quaelibet
tot tantum radices ad summum habere potest, quot incognita quantitas habet dimentiones, ita ut hic non ultra tres inveniantur poterimus veras radices prioris aequationis unitate diminuere, supponendo videlicet et M -a,fiv ex 2Dein I,& prodibit aequatio d) -- 2 ed - 29 e 42 M o. Cujus ultimus terminus dividi potest per I, 2, 3,6 7,Iq,2I,42, qui unitate aucti efficiunt divis res 2, 3 4 , 7, 8, Is, 22,q3. Iam verbcum ex prioribus quinque
I, 3. 4 , 9, 2ψ bini tantum sint, utpote 3&q, qui cum binis horum consentiunt, eo deventum est, ut ad inveniendas veras radices opus tantum sit divisionem tentare per x - 3 , vel per A -q; aut, ad obtinendas falsas, quae hac diminutione verarum unitate
- 7r m o dividi possit per x - 3 I o, atque oriatur xx ina xx- 24 M o, cujus radices sunt in q, & - ς; vel etiam xi I x x- 3ox in 72 M o dividi possit per x- M o, & proveniat xx 3. : - Ι 8Mo,cujus radices sunt in 3 & -q; vel denique xy - I xx-3o A in 72 Mo dividi possit per x in m o,& resultet xx-7 x I 2 mo, cujus radices sunt μ&--3 ; sequitur, radices propositae aequationis esse ε 3 - , & - s. Vbi notandum , in hujusmodi praxi seligendi divisores, non opus esse rotius Operationis , quae ad inveniendas posteriores hasce aequationes requiritur, rationem habere; sed tantum quatenus ad ultimum terminum inveniendum inservire possit. Ad quem obtinendum, quando prioris radices unitate augentur vel diminuuntur, numeri inaequatione dati solummodo addendi sunt vel subtrahendi,prout signa in & - indicant. At vero cum per denarium aliumve numerum augentur vel diminuuntur, tum prius cyphrae ipsis in fine apponendae sunt, vel ipsi per datos numeros sunt multiplicandi, antequam addantur vel a se invicem subtrahantur. quod usus edocebit.
328쪽
COMMENTARII IN LIInvM III. 3os Vbi tandem notandum, ad seligendos divisores divisionesque supersuas evitandas, spectari etiam posse ea, quae Vir Clarissimus D. de Beaune de limitibus AEquationis, intra quos ejus radices
cadunt, tradidit. Qualia ista in Σ - tractatu continentur, qui una cum primo de natura & constitutione AEquationum huic editioni nunc accessit.
Quae quidem primi vel tertii casiis csse potest aequationum Qua dratarum pag. & 7. Primi videlicet, sita a est minus quam cc, quo casu I V aa-μcc-μέ - aa - c cin qaέ aa- - designabit verum valorem radicis e , & Iavaa cc - - aἡ a a si falsum valorem,juxta ea quαpaS.I62 annotavimus. At tertii, sita a majus fuerit quamcc, quo casu utraque radix est vera. Vbi porro notandum, aequationem posteriorem te in e V a aH-ccH- .aa -'a V aa- -ccm O, postquam . a a - c c non suerit minus quam ἰ a a aY aa -- cc,sive, quod idem est,ce non minus quam 8aa, duas ad mittere falsas radices, quemadmodum p. I 6s monuimus, quae sunt - V a a -- c c - aa -- cc-- a Uaa--cc, &-IV aa--cc-έ- Iaa --ἱcc- a Uaa -- cc. Ita ut quatuor sint radices binarum praecedentium aequationum sive ae quationis
329쪽
3ro FRANCIS cI scito ortu notescit, quantitatem x. ad quGm cognoscendam neshase operationes instituimus . esse
'Vt liquet ex iis,quae proxime annotata sunt.
Vbiperpraecedentes regulas cognoscitur radicem eius,
quae est longitudo lineae D V esse a in Cia a ic c
. V icc--Za a Iaga a cc. J Vbi patet, quod ex quatuor radicibus supra exposivis, aequationis x raxi t '' i -2ayx a GD O, quarum binae priores semper verae sitiit, his flaum seu plus quam o, D. des Cartes eam tantum sibi delegerit, quae p .3 'quantitatem lineae DF, pro qua invenienda x pomerat designandam inservire possit, de reliquam veram la κε Uicc-Zaa - 'av aa- - cc neglexerit, eo quod lineam ipsa D C majorem exhil eat. Potest autem hic eleganter ostendi usus, quem radices tam fissae quam verae alicus is aequationis in Geometria habent, ac quo pacto earum ope ad plenam alicujus Problematis cognitionem perducamur; sic ut nestus casus exiitat, quem non detegamus, atque ejusdem determinationem non inveniamus. Sciendum enima cit, qudd, quemadmodum verae radices in Arithmetica ut supra indicavimus quantitatem aliquam designant, maiorem quam ni hil , & salsae defectum alicujus quantitatis, seu quanto nihilo sunt minores, sic in Geometria verae radices eas communiter lineas designent, sensit illo, quales inveniendae proponuntur , at vero falsae, sensu contrario. Adeo ut si verae accipiantur in data recta indefinita, a dato puncto versus aliquod in ea punctum designatum, progrediendo, falsae in ipsa ab eodem puncto iunii debeant versus contrarium punctum, regrediendo.
330쪽
Vt, quoniam in exposito Problemate, adinveniendam qua titatem lineae D F zox,sive ad cognoscendum quanta sumi debeat Iongitudo a puncto D versiis C, ut sani quae quaeruntur, inventa est aequatio x - 2 a x ina' mo, quae duas admittit veras radices, v tpote