장음표시 사용
331쪽
hinc a puncto D versus C sumendae sunt duae luacae, quarum una est aequalis
designans lineam D F, & altera aequalis
332쪽
F & H ducendae rectae B F, B H, quarum haec secet latus Α C in I,& illa idem latus produetum in E: Eritque quaelibet intercepi rem F E, IH aequalis datae e. Porro,quoniam dicta aequatio duas quoque admittit falsas radices, quae suntla - ν ea a in Ecc- έ ἱcc - laa-la Uaa--cς, α - έ--laa -aaH-c ideo a puncto D, versus alteram partem, sumendae sunt duae lis eae, quarum una est aequalis
delignans lineam D Κ, & altera aequalis --ἰcc Iaa - Iav aa in ec, designans lineam D M. Quibus sic inventis, si ab inventis punctis K & M perpunctum B ducantur lineae occurrentes ipsi A Cproductae versus A: erit similiter u quaeque interceptarum Κ L, Μ N ipsi e aequali S.
Vnde apparet, quod, etiamsi de sola Dp invenienda quaestio fuerit, nec quicquam de interceptis IH, Κ L, & MN eogitaverimus, ipsae tamen ultro post aequationis resolutionem sese ossi rant. Ita ut constet, per harum radicum cognitionem nos deduci in notitiam uniuscujusque casus, quem Problema propositum
Iotest admittere; nec non, quo pacto quilibet ex ipsis est eo
Vt, quoniam, ad explicandas radices aequationis Q t. a a -- cc -laa - a V aa -ccm o, requiritur, ut ἱaa Zec non sit minus quam ἰaa a Uaa in eo, sive cenon minus quam 8aa sicut dictum est pag. 3os ): Sic quoque
ad ducendas interceptas KL, MN opus eli, ut ec non sit minus ruam 8aa. Quemadmodum facile demonstrari potest, duceno tantum rectam Ο Ρ ipsi B C perpendicularem: siquidem recta o P rectarum omnium, quae per punctum B duci possunt, minisma existit. Cuius quadratum cum duplum sit quadrati ex P C, dc hoc duplum quadrati ex BC, dc hoc rursus quadrati ex BD d plum t erit quadratum ipsius o P quadrati ex B D AEuplum. Hae igitur ad ducendas interceptas Κ L, M N Problemati praetagenda est determinatio. Porro, quod ad reliquas interceptas attinet, ut F E & IH, eae R e sem-Diuitigoo by Corale
333쪽
semper sie duci possunt, ut datis rectis sint aequales , nec est Pr
blema eo casu determinationi obnoxium. In numeris,esto BD Mazo 7, EFGOcm 2η fietque aequatio quaesita H- Iq xy - 478 xx -686 x - - 26OI M o. Quae cum dividi nequeat per x vel - aliquo numero, ultimum tereminum dividente, tollo secundum ejus terminum, &fit aequatio α' η - I Z t. t. -637s e. - 63os αἱ No. Quae ad tres dimensiones reducta dabit aequationem '- IIo 31 - 32937 υ- I9Iqo62s M o. Haec autem cum dividi pomi per 3I-6asM O, arguitur I esse 2s , qua mediante dividetur aequatio e I lx. R. - 637s - 6 Os Amo in duas aequationes, Le. - 2s R. - solio, & et 2s et , Ia εἰ Mor senseque radices prioris et M to7, έ - ν zo7, at posterioris et M - Iz ἱ--V 32, & QM - Ia ἱ-ν 32. Verum quoniam, ad tollendum secundum terminum primae aequationis, supposita fuit x eo t. --la: hinc radices ejus erunt
H- 6 x' - 2 x x- sqx- 8I Mo,quae similiter per x vel aliquo numero ultimum terminum 8 I dividente dividi nequit: unde sublato secundo ejus termino, fiet aequatio et η - DLex - 7s Q - Io Amo, quae ad tres dimentiones reducta, dabit aequationem Isi - 233 rm o. Haec, cum
per II-as M o dividi possit, sequitu sere f. Vnde divisa
aequatione praecedente in duas aequationes e L - - MO,&et. 1 et I Αἐmo, inveniemus et M 3 7 - 2j, vel x m V 7 - 2 έ. Quae binae tantum radices ex utraque aequatione erui possunt, cum posterior aequatio de s eH-i Mosit possibilis, per ea, quae p. Iss exposuimus, adeoque nullas a mittat radices nec veras nec falsas, sed tantum imaginarias. Quibus radicibus si addatur x ἱ quoniam ad tollendum secundum terminum primae aequationis posuimus x x et in I l ), habebitur aemu T q, vel x MU7 - I. Id quod monstrat lineam DF
sumendam esse aequalem P 7 -I,& lineam D H m V7 4. Ex
334쪽
COMMENTARII IN LIBRvM III. 3rs
quandoquidem radices aequationisee -- se in I Umo, tantummodo sunt imaginariae, & aequatio impossibilis ideo similiter nulla linea, cujus longitudo sit , per punctum B duci, atque a rectis C Α, C D intercipi possit. Caeterum, ne quid ad penitiorem intellectum harum regularum , quibus hic in reducendis ac dividendis aequationibus uti sumus, deficiat, visum fuit sequentia adjiccre. Hinc si, exempli causa, aequatio reducenda sit -p xx- q a: -- r m o, investigare oportet ex quibus binis aequationibus produci queat aequatio, quae reducendae similis existit. Quocirca
cum, supponendo x em o ac xx-Ix um Ο, ex mutua harum duarum multiplicatione producatura' ex x-zI x--υ emo,aequatio ejusdem sermae cum pro-- vposita, elicio inde tres aequationes diversas: nimirum, Q -'' - vM - p, et.' --m --vm r. E quibus deinde,si ad inveniendam quantitatem , in locum e & v subrogentur earum v lores III ip , me set aequatior δρI' - . II InVenta autem quantitate', loco
duarum praecedentium aequationum x M ac xx
xx Ix II 'i' - P; IO O. Et patet quaesitum. Idem p riter de caeteris aequationibus , quarum signa ab allatae signis sunt diversa, est intelligendum, e quibus omnibus postea inter se collatis dictarum regularum veritas penitus elucescit. Vbi etiam liquet, si valor ipsius'per divisionem superioris aequationis Cubicae inveniri possit, Prontema, quod ad aequationem propostam x' η -p xx-qx rmo perducitur,fore omnino Planum ; sin minus, illud ipsum tunc esse Solidum. Denique ex his quoque emanat, quo pacto regula generalis re ducendi omnes aequationes altiores, pag. 8q ab Authore adducta, intelligi nec non ad praxin revocari debeat.
Cum alias s spro ea supponeretur D G, must) di illas ad c quationem ,sed quaesi lici aforet, ser-
335쪽
126 FRANCIs C. I a SCHoo TENveniremus. Bod quidem his refero, ut vobis indicem. qiod, eism Problema propositum non es Solidum s quae rendo illud unὼ vid ad c quationem deveniatur valde compositam, tum communiter alia vid ad pliciorem uationem perveniri possit. J Modus autem, quo ad
AEquationem dictim pervenerim, talis est.
Iungatu L G, ductaque E H parallela ipsi C D vel A B, p
natur BD vel DC Oa, FE me, BF MI,&DGIOx. Hino cum E H aequalis sit ipsi C D vel D B, & triangulum E H G simile triangulo B D F: erit & E G aequalis B F, hoc est, Io 1. E dem modo similia sunt triangula B G E & B E H: deerit, ut BG, seu a in x, ad G E, seu); ita BE, seu e, ad EH, se . Ac proinde duuis tum mediis tum extremis in se invicem, set
Non secus,,triangula B F D & B E Hsunt similia: quare, si fiat ut BF, stur, ad BD., sma; ita BE seu 3- eadBH; erit B HM---. Subducta autem B H ex B G seu relinquetur HGM: α. Porro cum B H, H R&HG tres sint propor tionales: hine si multiplicetur B H per H G, hoc est,pςx , erit productum 'Ie et , quod fit ex HE in se, hoc est, a a ; & per consequens --M-ο --. Caeterum
336쪽
COMA ENT AR I r IN LIBRvM III. cum illa, quae eidem sunt aequalia, inter se quoque sint aequalia, it - cI.. ἡ πι- proinde ablatis utrinque aequalibus, reliquumque multiplicando pera: - a, habebitur a xx-a' macc, ideoque x x M ada in eo. Quod erat ostenden
Sed lubet hic aliud exemplum non inelegans afferre, quod mi hi a Doctissimo , ae in omni studiorum genere versatissimo D. Marco Meibomio, est suppeditatum, cujus opera Aristoxenus, Alypius, aliique Veteres Musici pristino nitori sunt restituti.
Datis trianguli rectanguli ABC. miliore latere A B, S disterentia lagmentorum basis Ε C, invenire disserenditiam laterum F Ponatur A B M a,EC Io b,
337쪽
terminus, ut reducatur ad aliam tres tantum dimensiones habe tem: quod fiet ponendo e-am x
hic post sublationem secundi termini contingit aequationem esse Quadratam, cum in ea desit non opus est ulterius progredi, cum radix ejus per ea i quae primo libro sunt ostensa inveniri possit. Erit enim. z. Maa - bb b V et aa --ἀbb.& e ID V a. bb--b V 2 aa ibb, ac proindex M-a k aa- - bb--b V 2aa--ἰbb. Vbi notandum, si pro majori latere B C ponatur x, aequationem quaesitam fore quadratam: utpote ,
jus radix est xx Maa- - V 2 aa in abb, hoc est, xm Uaa--abb-μιν et aa-Fesb. Cujus sane cum praece dente convenientia ex ipso schemate est perspicua. Quod si vero pro AE, duplo minori segmento, ponatur x, fiet Equatio xxM--bx- - 2 a a, cujus radix est x M-jb in V ibb-zaa. Quae Diuitigoo by Corale
338쪽
COMMENTARII IN LIBRUM III. 3 is
Quae loco alterius exempli haberi queunt, quorum nos admonet Author pag. 8 q. Non dissimilis erit quaestio, si datis ΑΒ ma,&DCIO b,quaeratur F C Io ae. Fiet enim aequatio 4 a xy tmo. In qua si tollatur secundus terminus, ponendo sciliceti-a M a , prodibit aequa tio . η - bbe et ' -aabb M o,siveo rub e: in .sabb,cujus radix est: ψbb buseba a ,hioc est, et ID VJbb--bU ἱb b-aa, adeoque x Io -a Vibb -bVebb -aa. Sed si quaeratur B C Io x, erit aequatio xx Io Ibb in bέ ἱbb-- ,cu;us radix est a Cuius cum praecedente consensus ex figura perspicitur. Denique si quaeratur A D, habebitur aequatio xxM - b x aa, cujus radix est x Io -ub V Ebb--aa. Quod similiter superiorum niti non inelegans est exemplum. His adde sequentem quaestionem, quam olim ab Arithmetiso subtilissimo, D. Nicolao Hubertia Persyn, Harlemensi, fautore meo honorando, solvendam accepi Invenire quatuor numeros, unitate se. invicem excedentes , qui inter se multiplicati iaciant I .
Ponatur primus x, secundus x I, tertius x - 2 , & quartus x-- 3. Ficiquς aequatio a --6x D xx-M Ioci, vel in xi . II sx -Ioo M Z. cujus ultimus terminus dividi potest per i , 2, , s , I in zo, 23, s O, Ioo. Diviso vero tentata per x R I, vel per x 2,vcl per x q&c. non succedit. Hinc sublato secundo termino, prodibit aequatio e - 2-995M o, vel a radix est a. t. πιν Io I Iἱ, hoc est,e m V Io I -- M. Ac prὁinde,cum ibi tollendo secundum terminum posuerimus xMQ-Ij, fiet xm V v ioi I ἱ- I'. Eritque quaesitorum numerorum, prismus V Wio I i i- r l, secundus V V Io I in I ε - , te tius V V io 1-Hi ἡ-μ', de quartus V o in i a b duodncile probari potest. Vbi notandum, si eum hujus quaestionis Authore pro primo
339쪽
Pro quarto A I 2, quaestionem facilius solvi posse. Invenitur enim aequatio a ' M a l xx 99 omnino ut praecedens, d nominata a radice et: unde quae liti numeri sunt ut supra. Verum
dissicile satis foret iii hasce hypotheses incidere, non secus quam in superiorem Pappi constructionem,sicut Author innuit pag. 83. Restat jam exemplum aliquod exhibendum, ubi aequationem ad Quadratam reducere non licet, & Problema Solidum existit. Quale est illud, qaod ante annos aliquot sibi ad investigandum proposuit Nobilistimus atque Amplissimus Vir D. Ioannes de M it, Consiliarius & Pensionarius sive primarius Hollandiae vest-Frisiaeque minister, Mathematum peritissimus. a quo insignem tractatum, brevi, si volet Deus, expectare poteris, in quo
Planorum atque Solidorum Locorum per artem Analyticam i ventionem aliter quam Cartesius exponit.
Datis in superiori triangulo rectangulo ABC, s mento basis DC IO', &disserentia laterum CF m
inuenire ΑΒ, latus minus. Esto A Bma fietque aequatio a ' - 4 apy x ia. 55MO- χλδ dividi nequeat per x tollo secundum
ejus terminum, statuendo e - b M at, unde emergit aequatio --aabb M o , quippe quae invenitur, quaerendo latus majus B C. Hinc porro reduco ad aliam,tres tantum dimensiones habentem, juxta regulam pag. 79., fietque aequin
nequeat per binomium aliquod, constans ex quantitate incognita 33 si quantitate cognita, ultimum terminum qibb dividente,indicio est,Problema propositum esse Solidum,adeoque non nisi per Conicas sectiones solviPosse. Neque minus vitium est,solutionem ejus post haec tentare per lineas rectas & circulos, quam adhibere Conicas sectiones ad c0nstructionem eorum, quae per lineas recta.& Circulos construi possunt, ut monet D. des Cartes pag. 79. In numeris, esto DCCos, CFM2, AB ODI eritque aequatio IH 8 α- in z-84 2D o. Quae cum di vidi non possit per I ae plus vel minus aliquo numero, ultimum terminum 8 dividente, ausem secundum terminum 8 ce, & fit,
340쪽
COMMENTARII IN LIBRUM III. 32I
M o. quae eum similiter dividi non possit per xxis vel--s iam numero, ultimum terminum dividenter sequitur Problema in datis mameris esse Solidum , Iuleamque A B per planorum Geom uiam sive per regulas primo libro expositas non posse inveniri. Non dissimiliserit quaestio, si, datis Α D M a, F QMw,quaeratur B C m x. Invenitur enim aequatio m O. Vnde pontradox m Q -s,emerget aequatio - 2 aae Q -2aal et aabbio. eadem nempe, quae provenit, quaerendo Α B M e. Porro, si exemplorum copiam desideres, potes rursus ex iisdem
datis quaerere E C m x, & habebis x' - -8 ab , x V aD o. Cujus secundum
Vbi si denique quaeras B D, invenies hanc aequationem et T. T. ιιH- obb xx --am αδ Sed iure Arsan ni-
mia videbuntur. E quibus colligere licet: quod, Problemate aliquo solido existente, si per viam aliquam perveniatur ad AEquationem valde compositam, communiter etiam per aliam viam ad simpliciorem deveniri possit, veruntamen pauciores quam tres dimensiones non habentem.
Iam vera E quam compertrem est. Problema propositum esse Solidum ; ec quatio terquam iuua quaeritur, ad Badrato-quadratum ascendat s sive 'sa non altius quam ad cibum assurgat:potes semper radix e sinueniri per aliquam Iriam Conicarum sectionum, q-eunque illa tande trae. J Ex his notandum est, quoties in
proposita quaestione data est aliqua Conica sectio, S AEquatio ad 3 vel A tantum dimensiones ascendit, tunc eam semper ope illius datae clanicae sectionis per solam regulam & circinum solvi posso. Adeo ut pro Plano Problemate haberi quodammodo possit, etiamsi revera fit Solidum, ut etiam ab Authoro hic appellatur. Ss H