장음표시 사용
341쪽
Hujus rei elegans exemplum suggerere potest Problema Apollonii de Parabola, lib. s Conicorum, de quo meminit Parpus Alexandrinus in scholio Prop 3o libri Collectionum Mathematicarum. In cujus solutionem eos, qui id per Conica vel Linearia, hoc est, per improprium genus solvere quaesiverunt, dum illud pro Plano Problemate habet, merito reprehendit. Quoniam autem vir doctissimus ac de Mathematicis studiis peri de meritus Alexander Ander 'u in exercitatione sua ue dictum Problema non levibus in is sequentis argumenti fili se innuit, seque ibidem scribit Analytica sua duce tandem reperisse absque solida inclinatione sui Pappus loquitur non posse definiri: visum fuit id ipsum hic loci, in hoc rationum aequilis brio autoribus istis sic dissentientibus, cuivis inquirendum pro-
Parabola data, e pumis, intra vel extra eam dato, rectam lineam ducere , quae Parabolae ad rectos angulos occurrat. Etenim si in huju Problematis solutione investiganda , rectam , quae ad axem e puncto in Parabola, ad quod quaesita recta duci debet, perpendicularis demittitur, pro incognita quantitate
accipiamus: incidemus in aequationem Cubicam, quae nullo modo erit reducibilis, & tamen secundum regulam generalem p. 8 sope ejusdem datae Parabolae quam facillime conitrui poterit, tendo tantum rectis lineis & circulo. Cujus porro demonstrati nem universalem, quam sibi vulgari modo Geometrarum, continuae contemplationi figurae obnoxiam, acutissimus pariter atque eruditissimus noster Chr. Hugenius concinnavit, cum ipsa jampridem nobis aliisque ab eo communicata fuerit, nec illa etiam huius loci existat, eandem hic praetereundam duximus.
Atque ita e fuatio reducenda ad hanc formam: zo ' a ρ α. a a q, si incognita quantitas tres tantiim dimensones habeat s aut ad hanc: α' Io ' a p α α G a q m. r. s quatuor obtineat dimensiones s seu, sumendo a pro unitate . ad hanc e M' p α. g s aut ad hane : Io P m m. q r. J Vbi apparet, hujus
342쪽
COMMENTARII IN LIBRUM III. 323Geometriae Methodum requirere, ut, literae, quae in priori aequatione pro unitate est accepta, quadratum reperiatur in ultimo termino; in posteriori vcro aequatione, ut literae, quae pro unit te in termino te est accepta, quadratum reperiatur in termino e , ac eius cubus in termino ultimo. Etenim si habeatur aequatioey 2Dη ac illius loco alia desideretur, cuius penultimus terminus habeat a, ac ultimus a a: Fiat uta ad b, sic , ad quartam, quae Vocriurp: eritque ap mi Rutius, fiat ut a a ad ce , sice ad
quartam, quaesitq; sive etiam quod eisdem redit ut a ad e, sic ead tertiam, quae vocetur ac denuo uta add, sic cad critque a aqDo c).Vnde pro me' scribi poterit d. a aer, sive, sumendo a pro unitate: t. IONec aliter fit si habeatur et 'Io bbet. . Substituto enim apin locum, b, & aaqiniscum c ut ante , faciendum est, ut a ad d, sic d ad quartam, quae vocetur eritque ae 2Ddd, ide quea aee zod . Vbi rutius, si fiat, ut a ad e, ita e ad tertiam, quae vocetur erit ar 2D ee,ac proinde a r OD d Ata ut pro aequatione proposita Oo reponi possit Io η ape e. μ A g Q. r, sive , sumendo a pro unitate et et ' M pe. r. Quod erat ostendendum. Eadem est ratio aequationis p g. 97. E quibus liquido constat, quanti sit momenti in Geometria concipere unitatem, cum, praeter ejus utilitatem, primo libro ostensam, non solum ejus beneficio aequationes 3 & q, ut& sdimensionum ita praeparentur. ut hae juxta unam & illae juxta aliam regulam resolvi queant; sed ipsae etiam hoc pacto designatae ad numeros reserri, atque ad ipsarum radices explicandas in servire possint , adeoque, quaenam inter Arithmeticam dc Geometriam relatio ac conventcntia existat, edoceant.
Deinde supponendo Parabolam F AG jam descri- Vstam esse, S axem ejus esse ACB L latusque rectum
aseu I. J Vbi liquet, quod , postquam in aequatione resolvenda quantitatem a seu unitatem, ut proxime est explicatum,subromvimus, eamque juxta regulam pro latere recto Parabolae F Α G asesumpsimus, quo pacto Problemata omnia Solida unius ejusdemque Parabolae ope solvi possint. Cum enim reduci semper queant adaequationem trium aut quatuor dimensionum, superiorum sor- Ss a mula-
343쪽
mularurn, de una eademque quantitas a in earundem aequationum terminis silbrogari semper possit,evidens est,ipsam unius qusdemque Parabolae ope conurui posse. Idem intelligendum quoque est de aequationibus numericis trium quatuorve dimensionum, qua .rum nulla ex radicibus est rationalis, . quarumque valor seniliter per sectionem Conicam est determinandus Vt supra fuit ostenes
κιδεμ Caeteritin ut haec regula cuivis perspecta reddatur, concipiamuz.-j Parabola descripta F A G,cujus latus rectum sit zo a, seu 3,&' in axe ejus Α D Κ L assiimpta A D m fingatur ex D eidem perpendicularis esse erecta D E M centroque E intervallo E rim d descriptus eirculus F H G, qui Parabolam ab utraque parte axis secet in c. Fe oporteatque investigare aequationem, cujus radix si perpendicularis G Κ aut F L m e. Ad quam inveniendam, dividature quadratum ex G Κ, per
hoc est, ordinata aequalitate, habebitur aequatio κε - 2aased Eadem quippe,quae in
venitur, ponendo F Lm--Hine si, exempli caussa, aequatis. proposita construenda fuerit et ' Dη - - apt. t. aaqQ a reterit, facta separatim comparatione inter singulos terminos unius
quod Authoris regula faciendum praecipit. Eodem modo reliquorum casuum conuiuetio inveniri potest. Idem intellige deco structione aequationis pq 97, aliarumqueasic sequentium.
V V ut haec regula omnium, psas assiquis exoptare.
344쪽
COMMENTARIT IN LIBRUM III. 3 2ς
opacto Solida Problemata etiam Hyperbolae & Circuli ben ricio, postquam ad aequationem trium quatuorve dimensionum sunt reducta, construi possint, intelligere non modo jucundum quin imo utile existit etvisum fuit hoc loco afferre regulam, ab ingeniosissimo atque integerrimo nostro Huddenio inventam, quaciusdem aequationis radices, prout ipsa ad hanc formam e -p e e. -rz fm Oaut adhanc et et in q e-r m o inrevocata, ita ut omnes termini per ligna in & -- se invicem se quantur, inveniri valeant.
CONSTRVCrIO MEVOTIONIS Duistis AB, AC, rectum angulum A efficientibus sumptaque in ΑΒ linea AD m V, agatur ex Dipsi AC parallela D P. Deinde in hac invento punctis Ε, ita ut id, quod sub A D. D Ε continetur, sit m ν f. describatur per B circa Asymptotos AB, AC Hyperbola H Ε h.
345쪽
316 FRAN cI SCI a Sc Hoo TENPorro assumpta D F m jungatur A F; & super A Fdescripto semicirculo Α D F.collocetur in eo A G Io v q, centroque F circulus describatur. transiens per inven- . tum pulictuna G. Qui quidem Circulus Hyperbolam secabit vel tanget in tot pundiis, quot aequatio diversas radices admittet, a quibus si ad lineam A C demittan, tur perpendiculares HI, h i, : erunt ipsae radices quaesitae. Vbi notandum, si A G major inveniretur, quam ut semicirculo super A F descripto inscribi posset; aut etiam Circulus G H h adeti parvus esset. ut Hyperbolam H Ε hin nullo prorsus puncto secaret vel tangeret , nullam itidem tunc fore radicem in aequatione, quae non esset imaginaria. Den stratio.
Etenim linea IH existente M e, cum id, quod sub Α D, D Evel sub ΑΙ, IH continetur, sit m Is erit A I seu D Κ mVnde cum D F & D K a se invicem subductae relinquant K F, dc
, p - e, ac proinde T KH semper OD L: - p e ἱpp. Hinc summa utriusque simul, hoc est, I F H erit m A
346쪽
Duistis, ut ante, AB. AC, & in Α Β assumpta A Dzorq, agatur ex D ipsi A C parallela D F. Deinde in hac acceptis D Em ,&ΕFetos, describatur per Εcirca Asymptotos AB, AC Hyperbola EhH. Porros secta D F bifariam in G,
centro G S intervallo GE describatur circulus
perbolam in tot punctis praeter E secabit vel tam get, quot aequatio dive sas radices admittet , equibus si ad lineam Α Β demittantur perpendiculares hi I, h i, erunt ipse radices quaesitae. Tmonstratio. Quoniam,HI existente zo MA I,per supra dicta,est Iosen & eadem ab A D subducti relinquit ID vel H φοῦ
quetur EΚ eritq- Et sit, ordinata aequalitate, a ' - - α - - qex,-2rα-- m Quae Diuiliroes by Corale
347쪽
se Moo TENQuae aequatio dividi potest per e -
-r m o, aequatio proposita. Vnde liquet HI esse m e. His subjunge sequentem regulam, a me inventam, qua ope Circuli & Parabolae AEquationes Cubicae,in quibus terminus non est shblatus, conitrui possunt, prout ipsae ad hane Armam
α.3 aut ad hancet.)mpete .aar; sive etiam sumendo a pro uni te ad hanc α' rupe Q. qe.r, aut ad hancr, sunt reducti. Eaautem talis esti Diuili eo by Corale
348쪽
latus rei am M a seu I, erigo ex vertice Α, ad dextram
Parabolae, super axe, perpendicularem A C zos; &ex C ducta C D ipsi Α Β parallela . donec Parabolae occurrat in D, dum ex D ipsi A C parallelam D B, occurrentem axi in B. Dehinc in linea A B, continuata versus B, sumendo ΒΕ m x. oportet facere Ε F meamque ulterita in illa versus hanc eangem partem Iumere, si habeatur H-e in aequatione; sed versus alteram partem, si habeatur- reb secta A F bisariam, aut
Α Ε, si q sit nulla: in G, si habeatur -ρ, & ρ & r diversis fgnissint adsectae; aut etiam si habeatur p. 8cq8crii em signis denotatae fuerint, erigenda est ex G petaT t pendi.
349쪽
pendicularis G K M aut Io I r,si ρ nulla sit,caque ad dextram collocanda, si ρ & r diversa signa habeant, aut ad sinistram. si cadem. VcI contra, si habeatur - p, dc ρ & r iisdem signis adficiantur; aut etiam si habeatur Μυ, δέ q&r diversis signis designentur, oportet sacere G K Io , aut Io I r, si q nulla sit, eamque, ut ante, ad dextram sinistramve collocare, si r sit major quamsq; vcl contra, si r minor sit quam Pq. Quo peracto, si ex K circulus describatur , transienS per punctum D, secabit is vel tanget Parabolam in tot punctis
praeter D , quot aequatio alversas radices admittet ; e quibus si ad axem demittantur perpendiculares, Obtinebuntur omnes aequationis radices. tam salsae, quam, Verae. Quarum quidem verae, ut Μ L, ad dextram cadent , &salsae, ut N Ο, ad sinistram. si habeatur p in aequatione. Sed contra, si habeatur ibi ins, verae cadent ad sinistram, de falsae ad dextram,Cujus quidem demonstretionem, cum eodem modo fieri posisit, quo illa Authoris paginae 89, brevitatis studio hic omittimus.
Vbi demum advertendum, regulam hanc habere etiam locumi AEquationitrus Cubicis, quarum 2 t terminus est λblatus, si uintum in iis p intellig. amus. esse M o , & veras radices ex eiaca, parte Parabolae este sumendas , qua erecta est perpendicularis c Κ, & fusas ex altera, cum habetur--r in aequatione; aut contra, si in ca habetur- r. Caeterum cum & alias regulas huc afferre possem , quibus hae eaedem aequationes sicut & superiores Quadrat quadratae construi queunt: tamen, ne in iis hie recensendis nimis longus sim quandoquidem infinitas invenire licet , suffecerit jam allatas, . tanquam taciliores exposuisse, caeterasque etiam aliis quaerendas
Falsa autem FL aequalis est driabus hisce S NV simulsi ptis quemadmodum ex calculo facile es videreJ
350쪽
COMMENTARD IN LIBRUM III. 33tctor, & ad quam investigandam me ante annos aliquot Parisiis i stigavit Doctissimus, ac Mathematum peritia, non minus quam omnigenaevirtute, ornatissimus vir D. Claudius Mylon,I. C,sicut .a me tum inventa sitit, sequenti Theoremate exponam.
THEO REM A. Si circulus Parabolam in pluribus punctis secuerit, quibus ad axem ex utraque parte perpendiculares demittantur: erit ea, quae ab una parte axis reperitur, ae-
qualis illis, quae sunt ab altera parte. Quod si vero ab utraque parte in duobus puniris illam secet: erunt Gmiliter duae ab una parte aequales duabus ab altera
parte. Sit Parabola H ΑΒΕ, eujus axis AI, vertex A, Circulus autemissam secans H B E. Qui quidem primo transeat per verticem, decetque Parabolam ab una parte in puncto H, & ab altera in. Punctis B&E. Demissis autem ex punctis H, B, SE in axem perpendicularibus HI, BC, & ΕDr ostendendumen, H Iqualem esse ipsis B C & E D simul sumptis. Estolatus rectum Parabolae αγιι, CB me, DEV 4HI me, Λ GMor,&FGMI. Hinc cum, per II propositionem x libri T i a Conse