장음표시 사용
351쪽
Conicorum Apollonii, latus rectum seu a sit ad C B seu e, ut C B seu e ad A C: erit Λ C m V . Eadem ratione eum sit ut latus re- δ δ 'ehum ad DE, ita DE ad ADt erit ADM-z. Similiter, qu niam latus rectum est ad HI ut HI ad IA: erit Α Im Vnde, si auseratur Α C M - ex Α G m. relinquetur C G seu L FMx- a. Cujus quadratum x x - A addatur quadrato recta LBD--2 cIH-cc, erit summa a x- IIcc, quadratum redis FB, per q7prop. I lib. Et mentorum. Sic etiam, si addantur quadrata ipiarum AG&GF, nimirum, xx&I I, erit summa xx II quadratum F A. Quoniam autem in Circulo rectae lineae, a centro ad circumserentiam ductae, sunt aequales ; erunt quoque rectae F B F A aequa- Iehunde&earum quadrata xx- a P in δέ xx v. Quae quidem aequalitas, si rite ordinetur, dabit
352쪽
COMMENTARII I N LIBRUM III. 333GD seu Foma: - Cujus quadrato si addatur quadratum ex Eodd ad I II , erit summa xx--dd. a d quadratum ex F E. Quod
similiter adaequetur quadrato ex F Α x x I, atque aequatio rite ordinetur, ut inveniatur rursus x M . Quia vero, quae uni aequantur, illa quoque aequalia sunt inter
Ie, erit -- OO--. In qua aequatione,
si multiplicemus per crucem, atque post aequalium ex aequalibus subductionem, ita transferamus quantitates, ut utraque aequalita tis pars dividi possit per d-e, orietur edd ccdMΣa v. Suniliter, si ex ΑΙ m auferatur Α G Io x, relinquetur GI
quadratum ex HΚet. - 2Iet. I,erit aggregatum RH-xx x. - 2Id II quadratum ex H F. Quod item obrationem supradiciam quadrato ex FΑ seu ex 'I erit aequale. Quibus adaequatis, si aequatio rite ordinetur , constabit tertio
Quoniam autem primo Inventa fuit .vm ----s e
runt itidem ' '' f inter se aequalia. Quocirca, si multiplicatio fiat per crucem, atque, post aequalium ex aritualibus ablationem, quantitates transferantur, ut utra aequalitatis pars dividi possit per α - c : orietur c d t. ccc Maa v. Cum vero &sipra invenim fuerit 1 av mcdd ced, erunt itidem -ceedgedd ecd inter se aequales. Quam aequationem si porro per e dividamus, atque quantitates unius partis transferamus in aliam sub contrario signo,intra ς α :: mo. Postquam igitur evolvimus atque enodavimus propositionis data,donec tandem pervenerimus ad aequationem m. IImo, testat ut illa quaesito respondeat, atque ejus benescio propositi Tt 3 veritas Diuiligod by Corale
353쪽
veritas eluceat , modo ex datis elici possit. Ideoque tentata diviasione ejusdem aequationis peri- c-d mo, ut constet,num verum sit, quod intenditur, nempe, et aequari e d: reperitur divisionem fieri posse, & oriri et M o. Et manifestium sit, e aequarie d, sive HI aequalem ipsis BC, ED simul sumptis. Quod erat demonstrandum. Vnde patet, si Circulus, transiens per verticens Parabolae, eam in B vel E tangat, hoc est, rectas CB, D E sibi invicem aequales faciat, tunc quidem HI ipsius C B seu D E duplam fore. Si enim in hae ultima aequatione prod scribature, set aequatio de-cc- χ c c D o. Quae dividi poterit per E. - 2 cm o, & orietur ad in cocto. Id quod arguit e valere re, hoc est, HI ipsius CB seu D E duplam esse. Sed non transeat circulus H B E per verticem A, verum secet
354쪽
COMMENTARII IN LIBRUM III. Parabolam ab una parte in puncto H, & ab altera in tribus puta ctis E, B, & M: Dico similiter HI aequalem esse ipsis ED, BG & M N limul sumptis. . suis enim iisdem quae prius, esto praeterea MN M Vnde . simili ratione, qua ante, AN erit Sublata autem ΑNex AG Ioa , relinquitur N G seu P F mx-V . Cujus quadratum xx- si addatur quadrato rectae
II, erit se a xx -- 'in quadratum rectae F M. Quoniam autem in Circulo, ob aequalitatem radiorum , rectae' lineae FB & F M sunt aequales, erunt quoque eorundem quadrata in et D II aequalia. Vnde, si demantur utrinque aequales qua titates & reliquae multiplicentur per a a , atque quantitates in arductae ad unam aequationis partem transferantur, reliquae vero ad alteram, fici ρο- D et aac I -Σ a acca ae cx- 2 abbx. Dividatur jam utraque pars per c- Orietur cy -bcc ,-bbc by 2aa' ina ac ina ab M 2 ac x-aab x. Rursus dividatur utrinque per 2 ac - 2 ab , & orietur.
Eodem modo, cum rectae F E & F M sint aeliales,crnutetiam earum quadrata, nempe, xx--- - 2 Ο- II
utrobique aequalibus, reliquisque ductis in a a, transeant porro quantitates in x ductae ad unam i item,& reliquae ad alteram,fiet qued - -- 2aa6-2a a Dina add-aa, Maaddx-2abbx. Dividatur utraque pars per d-b,orieturque d)- -bdd- bbd-FD 2 avin a adH-a ab M 2 ada - 2 ab x. Rursus dividatur utrinque 2 ad 2 ab, dc habebitur
355쪽
earum quadrata E xx- Ρ - II aequalia. Vnde sublatis
utrinque aequalibus, reliquisque per a a multiplicatis, si transse rantur porro quantitates,ita ut, quae in x ducti sunt, unam faciant aequationis partem, reliquae vero alteram, fiet α' - ν' - 2aav- 2aabI--aaee --aabbm 2 ae ex rabbx. Dividatur j m utraque pars per e b, orieturque e -bete bbe-D- 2 au in a ae-a ab M 2 ad α' - 2 ab x. Et rursus utrinque per 2 ae. - 2ab, fietque α -bete in b, e - bΤ-2aa --aae-a a b
-------- - erunt quoque inter se
356쪽
Brevitatis autem causa rursus pro -- 2 av--aab scribatur ei, &-e' pro -- 2av-aab. Deinde, multiplicata utraque aequalitatis parte per 2 a, seu quod idem est , divi Hutriusque denominatore per a , fiat multiplicatio per crucem, ut fractiones evanescant, fietque -- bbee
Denique deletis rursus utrobique aequalibus, & revocatis quantitatibus in ' ductis ad unam partem aequationis, reliquis vero ad alteram, instituatur divisio per e -- c, & Orietur 2 av M Q. cce bee. - 2 b c e bcc - bbe bbe. Verum cum & supra inventum fuerit edd. - eed b d 2 c2D2 au,&,quae cidem sunt aequalia, ea quoque inter se sint aequalia, erit ced --- - 2bcα- ίcc-bbe -- bbcmeda ced - bdd 2 bed bbd. bbe--bcc. Deleantur jam utrinque aequalia, & quantitates in ec ductae unam partem aequationis constituant, reliquae veris alteram, fietque cete M Deinde dividatur utrobique --b - 2bc - - ced
Postquam igitur percurrimus data propositionis , eaque sic enodavimus , ut difficultas omnis sit translata ad aequationem e ' Σ - bd Mo, superest ut ostendamus eam quaesito pro-
positionis satisfacere, quantum quidem ex suppositis datis de-- V u duci
357쪽
duci potest. Hunc in finem tentanda erit divisio aequationis pe- .: - b - c - d Oo, ut constet n utri verum sit, quod intenditur. Q in re cum tentata divitione reperlatur divisionem fieri posse. atque oriri e d M o, sequitur quoque quaesitum propolitionis esse verum, hoc est, e aequaris sive HI aequalem esse ipsis M N, BC , α E D simul sumptis. Quod erat demo strandiis Vnde liquet, si circulus non transiens per verticem Parabolae eam tangat in M vel B, hoc est, roris N M , C B sibi invicem quales iaciat,tunc HI aeqiralem rei D E,una cum dupla ipsius. N M vel C B. Si enim in hac ultima aequatione Proescribatur l.
fiet aequatio e e - 2 b e - dd Mo, quae dividi poterit per
358쪽
Co MX ENT ARI I IN LIBRUM III. . 339 hoc est, HI aequalem esse compositae ex D E & dupla
Praeterea hinc constat, quod sanὰ animadversione dignum si recta tangens Parabolam in aliquo punira extra verticem ipsa ibi leni quoque tangatur a Circula non per verticem transcurate,quique Parabolam in eodem puncto secet, hoc est, ut rectae N M,C B, S D E omnes tres sint inter se aequales: quod tunc quidem HI miliis N M, C B, vel D E tripla sit futura. Quippe considerando N M vel C B bis sumendam esse , propter hujus rectae co 'tactum in M vel B, ac deinde adhuc semel, propWr Circuli & Parabolae in eodem puncto intersectionem. Vel etiam inaequatione inventa ei. -h Q -dd M o proc&dscribendo b, ac deinde
Q. e. - 2bd-3 bbmo dividendo per z-3 bmo.oritur namque -e--bm o. Id quod arguite valere 36hoc est, HI triplae ipuas N M, C B, vel D E esse aequalem. Denique secet Circulus HBE Parabolam extra verticem Α,
ab utraque parte axis in duobus punctis; hinc quidem in H & M; istine vero in B do E. Dico itidem HI, M N simul sumptas ipsis B C, E D simul sumptis esse aequales.. Positis enim iisdem quae prius, invenietur similiter, sicut ante ostendimus, quadratum ex FM esse xx - ' - -- -bb Et quoniam per definitionem Circuli rectae lineae FB
359쪽
xx--- - - 2 aequalia. Quare si dema tur utrobique aequales, & reliquae ducantur in a a nec non qua titates in x ductae disponantur ad unam, reliquae vcrd ad alteram aeqtiationis partem constituendam, fiet P -- - et aa aaabyrina ad d-aabbM 2 a d dx-2abbx. Dividatur jam utraque pars per d b, de proveniet dy - bdd -bbd 2 aDH-a ad-a ab M 2 ad x- 2 ab x, Sc rursus utrinque per
et ad - 2 ab , Orieturque x M - Π iis, Quia vero quae uni aequantur, illa quoquc aequalia sunt inter
causa prO - 2aaI-a ab scribatur, propter earundem 3
360쪽
COMMENTARI I IN LIBRVM III. 3 r
tis utrinque aeqtialibus, restitutoque valore quanti talis assumptae pnons lia
- - bb- 20 HII aequalia. Vnde ablatis utrinque aequali-ἔbus, reliquisque muli silicatis per a a, adhibeatur porr5 transsatio, In Aut quantitates ina ductae unam teneant aequationis partem, reli quae verbalteram, fietque t.'-D- 2aaθ-ΣaazI aade. - aabbm 2 ae ex 2 abbx. Dividatur Iam utraque pars pere-b, & orietur ety bee in bbet. - by - 2 aaν - aae a ab D 2a ex 2 ab x. Rursus dividatur utrinque Ar 2 ae in a a di habebitur x x -
Quia vero & supra quantitas x inventa fuit
tatis caussa, scribatur rursus e)pro - by et av-aab, &Η et pro b) - et aa aab, & multiplicata uir ue aequalitatis parte per a a, seu, quod idem est , diviso utriusque denomin tore per 2 a, instituatur multiplicitio per crucem, ut fractiones evanescant, fietque c-bcet --bbe. bbcet. --bν t. --aace. -aabet. Η e et se m--bcca. bbccina ace iam P e bbee a ab e B te' ου be). Ablatis porrb utrinque aequalibus, restitutisque valoribus quantitatum assia mptarum se e) N E e', set et. -
utrobique demantur aequatis, & quantitates in 1 ducta ad unam V u 3 partem Diuitigod by Corale