장음표시 사용
361쪽
tur per ι-b, orietur ce M. Hoc est, si collocentur
quantitates onmci ad unam partem, erit
Quare postquam percurrimus omnia propositionis data, eaque sic enodavimus, ut dissicultas omnis reducta sit adaequatio nem et: --d da or superest ut ipsa contineat quaesitum
fropositionis, modo sit verum atque ex datis deduci possit. Ad quod explorandum, videri debet, num aequatio inventa dividi possit peret. - -d b M o. Quare cum reperiatur divisionem ieri posse, atque oriri et in a m o, sequitur quaesitum propositi nis esse verum, hoc est, e b aequari e --d, sive HI & M N simul sumptas aequales esse ipsis B C & E D simul sumptis. Quod erat
Vnde liquet, si Circulus non transiens per verticem Parabolae eam tangat in B vel E, hoc est, reetas C B, DE libi invicem aequales faciat, tunc HI, M N simul sumptas ipsius C B vel D Eduplas fore. Si enim in hae ultima aequatione Prod scribaturc, erit aequa tio Diuiligod by Corale
362쪽
COMMENT ARII IN LIBRUM III. 3 3
Si autem habeatur Io regula, cujus in- Y ventionem Cardanus J Qub ea, quae de exprimendis r
dicibus AEquationunti Cubicarum Α litor hic breviter perstrinxit, cuivis manifestiora fiant: visum ibit post sequentis loci illustrati nem afferre huc Appendicem, quam de Cubicarum AEquationum resolutione anno i 6 6 simul cum organica Conicarum Secti num descriptione in lucem emisimus, & nunc emendato hic illic sensu cum additione quorundam subjungimus.
Hanc autem curvam is 6 diversis Doctis serare po- . Ttest, ita ut hic sex diversae radices in et quatione haberi queant. Atque ci illam in paucioribus secat, hoc indisio est . quasdam ex hisce Adicibus inter se aequales esse, aut ipsarum aliquas esse tantis imaginarias. JQuoniam hic nonnulli scrupulum sibi ipsis injiciunt, concipiendi, qui scri possit, ut circulus aliquis hanc curvam in6 diversis punistis secet: haud abs re fore credidi,si hoc loco exemplum,quod sibi jam pridem ingeniosissimus Hud denius, ad dissicultatem hum. jus rei e medio tollendam, subjeci adducerem. Quocirca sumendo ad hoc aequationemr-2r' - ΙΘΥ-67 3I' - 1 qi v - Iq6qI Tmo, cujus radices,uto I, 2, 3,. 3, Φ, & 8, sunt omnes verae ac rationales, S ex his duae, ut 3 & 3 ,. ad calcull prolixitatem evitandam, inter se aequales: oportet, ad curvae hujus descriptionem assumere A B Gosem I Ol, . ζον seu naoέ - , &ED vel Mises r zO 67s T V m αὐ . Deinde,ut inveniatur 'η
circulus PC N, oportet, accepta BL aequali E D IO
cto Herecta perpendiculari HIM --
363쪽
Iam ut constet, circulum hunc ex I intervallo invento IΡdescriptum secare vel tangere curvam AC N in tot diversis punctis, quot aequatio inaequales habet radices, hoc est, hic in s dis vertis punistis,cum proeter duas aequales 3S 3 circulus hanc cur vam ibidem non secet sed tangat: considerandum eis, lineam IMessem - - vel' , adeoque quadratum ex IM semper esse
Ac proinde,si,tribuendo radici unumquemque ex supradictis valoribus, ex lineis hisce, per 47 primi Elem.Eucl., quaeramus lineam I Q eamque lingulis vicibus aequalem reperiamus radio ante invento I PM3
est, quod circulus P C N eandem curvam A C N, quemadmodum indicatum fuit, sit secturus vel tacturus.
adcoqueta I C. adeoque I I C. -' adeoque I I Q
Ex quibus igitur apparet, quod, assumpta qualibet ex radiciabus , linea I C semper ipsi I P inveniatur aequalis , hoc est, quod circulus,qui ex I intervallo I P describitur, curvam A CN in s diversis punctis secet vel tangat, in tot videlicet, quot aequatio proposita diversos admittit radicis valores. Quod erat ostendendum. Eodem modo liquet, si aequatio proposita 6 radices inaequales habuerit, quod tunc quoque circulus P C N curvam A C N in 6 diversis punctis secet. AP-- Diqilired by Cooste
364쪽
EuvATIO Nas Cubicae omnes , & Quadrat quadratae, quae quidem &ad Cubicas reducun-'ae ην tur, quarum radix duarum est dimensionum, semper ad aliquam trium sequentium formularum re--, duci potant. νω-μ-
In priori vitem sermula, ubi α)aequatur - regula hardant,eujus inventionem Scipioni Ferreo tribuit nos docet rin
Quemadmodum etiam si habeatur e) M in qua quadratum semissis ultimi t mini sit majus cubo trientis quantitatis cognitae penultimi termini, similis regula ostendit radicem fore
Vnde liquet in omnibus Problematibus, quorum dimcultates adaequationem hujus vel illius formulae reducuntur, ejusaequationis radices, alias numero non explicabiles, semper hoc modo juxta Cardani regulas per latera cuborum quorundam, quorum contentum cognoscitur, exprimi posse. Deinde vero si habeatur e)m --, ubi ἱqq sit minusquam fi py, ibi praedicta regula non habet locum, nec ejusdem benescio radix ullo modo intelligibili explicari potest, sicut ivi rius ostendemus. Quae quidem resolim multae fuit caliginis, Ad ut scribit Albertus Girardus in libello cui titulus: Insention n-- veri or Algebo, qui anno I 629 prodiit: hocs, in q- Autores
hiaten erunt vaiae intra ti,ta ut verumfatemr in re quam max
365쪽
tione apud praedictos Autores invenimus, ea illustrare nobis vissum fuit: praemittentes ad hoc sequentia Theoreniata demo
Τ Η Ε o R E M A I. Si fuerit triangulum aequilaterum MN L circulo inis scriptum, atque ex L educta utcunque recta LF usque: ad circumferentiam in F, quae secet Μ Nino, junctae
que rectae M F, F N: Dico F L aequalem esse ipsis ΜF FN simul sumptis.
Triangula enim L N ΟὐαLN F similia sunt cum habeant angulum ad L comm nem , & angulum L N Ο, hoc est, L MN ipsi L FN aequin lem, unde & tertius L O M. tertio L N F aequalis est. Quocirca erit ut N O ad DN, ita FN ad L F. Eodei modo cum similia sint tria
gula LMo & LF M, erit udMO ad LM seu LN, ita PMad L F. Igitur 'erit, ut No,M simul ad L N, ita FN, F M simul ad L F. AEquales autem sunt NO, Mo simul sumptae ipsi LN, aequales ergo quoque erunx F N, F M simul sumptae ipsi L F. Quod erat ostendendum.
Τ MEO REMA II Iisdem positis, dum diametro F Η Κ, sumatur ari. Os G LΚ triplus arcus LX, jungaturque GF: Dicoesmiliter arcum G Μ F arcus M F . nec non arcum G N F arcus N F triplum, esse. .
Ducatur enim diameter L H P. Hate namque secabit arcum, MF N bifariam in P. Quoniam autem propter triangulum ae quilaterum M N L circumferentia circuli dividitur in tres partem
366쪽
- micircumserentia F MKtripla arcus M P. Quocirca cum eadem ratio sit
arcus F M K ad arcum M Mius ad totum, quae arcus G L K ad asecum L Κ seu F P, ablati ad ablatum, erit quoque reliqui arcus G MF ad
reliquum arcum N F eadem ratio, quae totius ad totum η. Triplus autem est arcus F M Κ φρὸν arcus M P. Triplus ergo etiam est arcus G MFarcus M F. Quod I
Eodem modo ostenditur arcum G N F arcus NF triplum esse. THEO REMA III.
Iisdem positis, ducatur recta n N parallela F ni, currens rectae F L in N; itemque m M I parallela Fn, secans quidem rectam F L in Μ, occurrens autem ductae nN in I: Dico si ducantur H I. H N. &HΜ ipsas
inter se aequales esse, unamquamque verb aequalem re- me L K.
Quoniam enim anguli m F M & N Fn singuli circumserentiae tertiae parti inlisitant, & ob parallelas ductas angulus F M m angulo N F n aequatur, at angulus F N n angulo m F M: erunt tria gula mi F M & N Fn, quemadmodum etiam triangulum N Miaequiangula, ac proinde aequilatera. Porro cum F L aequetur ipsis Μν F, F niimul sumptis ut supra ostensum suit ; atque ablata F M . ipsi ni F, erit reliqua M L ipii Fii aequalis et cumque F N aequetur ipsi mia erunt quoque ML de mi, atque adeo omnes tres an I, n N,&M Linter se aequales. Vnde si ab his aequalibus rectis aus rantur retae inter se sequales ML S M N, remancbunt limiliter mM,nt,& NLinter se aequales. Praeterea cum m n, n L,S L mires rectae sint inter se aequales,liquet triangula mηέnL N,& LmMX x 2 inter Disitigoo by Coos e
367쪽
1inter se eonstare ex aequalibus lateribus,ipsaque ob hoc dc angulos. . singulos singulis aequales habere, hoc est, aequales inter se erunt anguli m n cn LN,& L-M. Quia autem & anguli mn H,n L H. & Lm H inter se aequales sunt, patet , si bi ex praedictis aequalibus inter se angulis demantur , reliquos itidem angulos Id n ι, H L λ& Hm M inter se aequales fore. Denique, propter aequalitatem radiorum H m,perspicuum est, triangulari nolin,& H m M habere inter se duo latera duobus lateribus, utrumquo utrique aequalia; ac insuper angulum angulo, inter aequalia lat ra contentum: unde & basim basi aequalem habebunt. atque adeo aequales inter se erunt rectae H l, H N, & H M. Quod autem praeterea unaquaeque ex ipsis aequetur restie L Κ, consequentet sic ostenditur. Producatur IH ut secet FL in Q. Haec igitur ad rectos angulos eadet in F L, atque eam bifariam secabit in Q. Quia porro , propter similitudinem triangulorum F L Κ & F QU, F Lest ad L Κ, ut F Q. ad Q H; & permutando F Liad F Q , utLK d QD, atque F L ipsius F Q est dupla: erit quoque L K ipsius
368쪽
AEQVATIONUM RESOLUTIONE. 349 dupla. Dupla autem etiamin HIipsius Q H , siquidem aequilaterum est triangulum M t Ne quare & H I nee non H Μ, H Nipsi LΚ aequales erunt. Quod erat ostendendum. Ex his perspicua sunt ea, quae ab Alberto Girardo asseruntur in libello supra eitato , ubi docet quo pacto radix aequationi i O M 13 O in t a, in qua cubus trientis numeri radicum major . est quadrato scinissis numeri ablatati, sit exprimenda. Vt autem pateat M N
aequatione, sciendum est ductis rectis H M, M Ptriangulum H M P esse aequilaterum , ac proin de quadratum M R tr plum esse quadrati H R. Quocirca cum eadem sit
ratio duplae M R, hoe est , ipsius M N ad duplam HR, hoc est, H P, quam simplae M R ad
limplam HR : erit quoque quadratum M N quadrati H P triplum. Vnde si statuamus radium circuli aequalem radici
proponebatur. Lubet autem propositum ipsius ulteriusinquirere, atque rem omnem paucis pateracere.
In quem finem ejusmodi quaestionem proponimus.
Greulo existente F G K, cujus diameter F K, meoque inscriptd F G, trifariam secetur arcus G K.4diametro' di inscripta interceptus niuaeritis Ilis L. S recta conne-Xx et Liatur
369쪽
Iungantur KL, O, & I G, ductaque F I producatur ad S , do nec angulus F S L aequetur angulo I F Lr eritque S L aequalis L F.& SI aequalis F L. AEqualisaenim est S L ipsi L F , & SI ipsi F propter triangula IL S&ΚLF, quorum duo anguli LIS & Sunius singuli sunt aequales duobus L KF & L F Κ alterius , ae praeterea latus I L lateri L Κ 3. Eodem modo, producta F G donec argutus F TI aequetur angulo G FI; erit limiliter TI aequalis 1 F,atque T G ipti L F. Porro cum similia sint triangula F H L, FLS, Ac FIT: erit ut H F ad F L, ita LF ad F S. Unde cum H F sitrua,&FLm erit F S m - , e qua si auferatur SI seu K F m relinquetur IFm V - 2 a. Eadem ratione,cum sit ut
G F M 3 x. Restat igitur, ut A - 3 a: ab aequetur ipsi G F d
in m Quare aequalitate ordinata , aequabitur 3 aax aab. Quae aquatio secundae folia mulae est , in qua qua dratum semissis ultimi termini est minus eu
gnitae penultimi et maius enim est qu--b.όν. Nam si utrobique divis
damus per e, ma a m ius quam ἡbb, cum, trinque extrahendo rindicem, a fiat majus quam seu a majus quam L . Vt est ma estum, cuma adi Diuitiam by c oste
370쪽
AEQVATIONUM RESOLUTIONE. et a diametrum circuli reserat, bautem in eodem inscriptam G F, atque diameter omnium rectarum circulo inscriptarum sit ma- 3 perruexima. Vnde si aequetur ἡ a b b, tunc quoque inscripta G F aequalis erit diametro F Κ: ita ut eo casu duae hae lineae coincidant,ae eadem fiat quaestio ac si semicircumferentia FGΚ in tres aequales partes secanda foret. Quo quidem casu radix quaesita FLtit latus trianguli ae luilateri, eodem circulo inscripti.
E quibus plana fiunt illa, quae ad culicationem radicis supradictae aequationis I Ozo i 3 ΟΦ I 2 Albertus Girardus in m dium assert. Vbi inter tertiam partem ipsius IJ &unitatem, mediam proportionalem invenita eamque semidiametrum circuli statuit FH, qua ut radio ipsum describit, ac in eo deinde lineam FG adaptat aequalem quotienti videlicet divisionis I 2 per M . In quo porro trifariam secando arcum G Κ in punctis I & L, jungendoque F L, ait F L esse valorem radicis quaesitae 1 Oaequationis propositae. Dicens praeterea alios duos valores ipsius O, per - expressos, designari per rectas FM, FN, eosque duobus modis inveniri. Iuxta priorem quidem, si centro Hin in- 3 mmn. tervallo LK arcus describatur M N, secans FL in M & N ; Iuxta 3 3 posteriorem vero, idescribendo in circulo a puncto Liriangu- uri n. lum aequilateriam LMN, jungendoque FM & FN. Illas enim' ε' utroque modo easdem inveniri, ex supra demonstratis mani se stum est. Vbi praeterea notat in aequatione et OzoI3O - Ia ostensos valores prioris aequationis radici quaesitae propositae aequationis satisfacere, si tantum eorum signa inde - immutaverimus , e que denotaverimus per - FL, --FM, &- FN. Sed hoc ex se-Zentibus perspicuum fiet. Quemadmodum etiam illud, quod 3ectit adaequationes secundae formulae, quas inquit neminem ad suum usque tempus resolvere scivisse, quae secundum Analysin speciosam Vietae ita denotantur: A cubus aequalis Quod eodem recidit ac si earundem constitutionem sic agnosceres, conciperesque e duobus lateribus, puta B & C , facta esse
tria proportionalia plana B B, B C & C C , quorum aggregatum sit BB. 'BC in CC, seu quantitas m di quod fit ex medio plano