장음표시 사용
371쪽
plano in aggregatum eorundem laterum sit B -- C in BC , seu' quantitas q. Quod quidem ultimum factum sic quoque interpretari poteris, dicendo illud produci ex multiplicatione duorum priorum planorum in latus secundum; vel etiam ex summa duorum posteriorum planorum in latus primum: cum tria illa solida inter se aequalia sint, ut experienti constabit. Vt autem penitius haec introspiciamus, atque aequationum harum constitutionem agnoscamus,ponamus x zo di eux-d mo, di ru rsus x M-b sev x-Fbm o, ac denuo x M sev x-Fc M o, ducamusque x-d M oin x-Fb M o, tum vero quod inde fit in x in e m o , & prodibidaequatio: a: - dxx-b dx - bcui Oo,vel x D dxx - bd Fb. d. -ed -b---cd
an qua si ponaturd, verus valor radicis x, aequalis bH- c, duobus falsis valoribus ipsius x simul sumptis, tunc quidem 4-ddestruct - b-τ, fietque o x x, hoc est, evanescet adsectio sub quadrato, nec amplius sese destruent. Nam cum ex hypothesi d aequatur b - - c, communi multiplicatore d, fiet quoque d . aequaleb d -cd. At vero dd majus est quambe, quandoquidem idem valet quod bb. 2 bc-Fec, quadratum videlicet a ι - e. Quare S bd --ed majus erit quam bc, manebitque adfectio sub latere cum signo - - . Ita ut, si H-bd-Fed - bc interpreteris per H-p, S per H-q, aequatio hanc recipiat formam rae' m ερα -- q. Quam itaque constat tres admittere diversos radicis vat res, unum quidem verum seu H- quam o, S alios duos falsos seu - quam o, qui simul sumpti ipsi vero sunt aequales. Porro, ut haec aequatio tres semper ejusmodi radicis valores recipiat, requiritur, ut in illat ἱρ non sit minus quam .seu
quod idem est, ut et V ἱ ρ non sit minus quam ' , sive etiam
non minus quam Quandoquidem, si p planum in tria plana dividitur proportionalia, maximum solidum, quod fit ex ductu summae duorum priorum vel duorum posteriorum in latus secundum vel primum, est illud, quod fit, cump planum in tria plana aequalia ὸividitur.
Alias enim radix ejusdem aequationis de unico tantum valore explicabilis est, utpote vero, cum aequatio tunc non producatur
372쪽
ex ductu trium ejusmodi laterum in se invicem, nisi duo sumantur fictilia seu non existentia , quae de impossibilia appellantur. Quemadmodum in exemplum afferre licet aequationem et C IO6 o, ubi I N valet in q, cum I C o N - o mo Sigm-R dividatur per I N - qmo, oriaturque aequatio impossibilis im
I Q AN Io M o, quae nullas omnino admittit radices. si velis illas, quarum sane valor nullo modo comprehendi potest, utcunque tamen exprimere, ut scribendo I NM---6,necnon I N M- 2 - -6. Ita ut verus valor ipsius I N realis ex se stat& sit & duo falsi fictitii sint -Σ - έ-6,dc - χQuod si vero proponatur aequatio I ce m in L seu I ct ou - σκ - smo, quae per IH vel - aliquo numero, ulti mum terminum 5 dividente, dividi nequit, poterit neque radix ejus I per ullum numerum absblutum vel fractum desi- .gnari; sed verum valorem admittet, qui est irrationalis, quique
iuxta secundam Cardani regulam hic ante expositam) sic exprimitur: IMMV σε - να 2. In quo porro sensu aequatio prioris sermulae accipi debet, quae nullae determinationi est obnoxia. Nam si, verbi gratia,proponatur I Cm-3 N Iq,poterit I C o Q 3 N -I4 modi vidi per I N - Σ, & orietur aequatio impossibilis 1 .- r N
Mo. Vnde liquet I N valere tantum 2 , nec ullos alios valores admittere; nisi eos sic velis exprimere - I V - 6, 3c - I
Sin autem aequatio ejusdem sormulae sit Icem -3 ε roseu Icci oz 3κ- Io Mo, quae per I N - aliquo numero, ultimum terminum I o dividente, dividi nequit,valor quoque verus radicis nullo numero absoluto vel fracto designari poterit. Quo igitur casu explicabitur secundum priorem Cardani regulam, hoc modo: IMMνα. 26 s-ν α. ν 26- s. Sed haec mittentes veniamus ad ea, quibus secundae formuIae aequationis usum detegamus. Proponentes in eum finem hoc
373쪽
D semicircuo supra diametrum A D descripto quadrilatero A B C D. cogniti ni tria ejus latera AB, BC. C Di oporteatque invenire diametrum seu quartum latus A D.
Esto AB Da, BC Io CD me, diameter vero A D m x; ducauirque recta BD, atque in BC productam perpendicularia demittatur D E. aQuia itaque trianguIum ABD est rectangulum , ideoque R quadratum AD aequale duobus quadratis AB. BD: si a quadrato A D m xx subdiuatur quadratum A B M aa, relinquetur quadratum BD aD xx -aa. Porro quoniam obtusangulum est triangulum B D C, atque in quadratum B D majus quadratis B Q
C D limul sumptis,duplo rectangulo B C E; si i B D m
x x - a a subducamus aggi tum quadratorum B C,C D m , stestabit duplum ro ' ctangulum BC Em κα aa - bb - co. Denique cum similia sint triangula
ipsa rectangula sunt, acan- 'gulos praeterea Α & D C E' aequales habent : erit ut
DA ad ΑΒ, ita DC ad C E.Vnde cum A D sitMMA B aeq& D Caererit C Em . at si ducatur in duplam B C M a b, fiet duplum rectangulum B C E OO, . AEquandum propterea duplo rectangulo B C Eante invenio m xx - a a b --ec. mareas aequabitur
Vnde eum haee aequatio sit cubica seeundae sormulae, videndum deinceps an quadratum semissis ultimi termini sit majus cubo trientis quantitatis cc nitae penultimi, an vero ipsi aequale, an
374쪽
AEQVATIONUM RESOLUTIONE. eo minus. In quem finem quaero tam hunc cubum quam illud quadrarum. Triens autem quantitatis cognitae penultimi tremuni eth - , eius cubus
Quadratum autem semissis ultimi termini eli bbee. opo tet itaque horum utriusque relationem indagare. In quem finem
se confero, ut sequitur.3 a, b b. 3aabbee. 3bbr. sunt tres proportionales in ratio
Sic 3 aa D. 3-b ce. 3 aa .sunt tres proportionales in ratione bbade unde 3 aab' 3 aae' majus erit quam 5aabbee. Vt& 3 meo. 3 aabbcc. 3 b'σα sunt tres proportionales in ratione a a ad , , , unde 3 ree-3Doc majus erit quis 6 aabbcc. Quare & omnes simul omnibus simul erunt majores, hoe est, erit 3. b, 3 aa D 3 Hec Φ 3 bb Φ3aam 3 Pec majus quam I 8 aabbee. Vnde de illius subtriplum a b b a o P - reo b, aae' - , ee majus quam hujus subtriplum 6 aabbee. Rursus quoniam . . bb.aa D. M. sunt proportionales continuὸ in ratione a a ad bb, erit B in D majus quam a b L a ab Sic etiam quia M. D ee., bc . . sunt proportionales continia in ratione bbadesierite majus quam, re Φ bbe'. Similiter cum P. Pec. aar. H. sint troportionales continue in ratione a a ad c e, erit Pin P majus quam ae cc a a r. Quare & simul omnes simul omnibus erunt majores, hoc est, erit Σμ--Σι' majus quim a bb- aab'--b eo. bbrina ce a ac ' Quia autem hoc ipsum majus est quam 5 aabbre, ut supra ostendimus,erita P - 2- majus quam saabbee. Vnde &semissis majus quam 3aabbcc.
375쪽
APPENDI x DE CVBICAR v ME quibus liquet cubum trientis quantitatis cognitae penultimi
termini majorem esse quadrato semissis ultimi, ac propterea radicem aequationis juxta regulam Cardani inveniri non posse. Notandum autem porro est, Problema propositum solidum esse, si tria latera data A B, B C, R C D inter se inaequalia statuantur, cum ad aequationem cubicam reducatur, quae divisione ad quadratam reduci nequit. Cum vero duo quaelibet ex dieiis lateribus sunt aequalia, tunc quidem aequatio reducitur ad quadratam. Vt si h dc e aequalia fuerint, dcvenietur ad aequationem. v rabb mo, quae dividi poterit per x a m o, qua ratione ipsa reducetur ad quadratam: xx-ax - 2 bbmo, quae ulterius dividi nequit. Sin autem tria latera aequalia ponantur, tunc quidem aequatio hanc accipiet formam: xy - 3 aax - 2aΤMM,eaque dividi poterit per x-2 amo, orietur namque aequatio Ixx--2ax saxo,
duas admittens falsas radices, quae sibi invicem sunt aequales. Vnde sequitur verum valorem radicis xco casu inre 2 a, & duos falsos valores esse- a&-a. Hoc enim manifestum est, quoniam,
si tria latera A B, B C, & C D aequalia inter se extiterint, figura ABCD fit semiinexagonum regulare, in quo latus quodlibet
semidiametro est aequale. Porid si velimus ivm ProbIema per numeros resolvere, esto AB seuam 24, BC seu b Mao, CD seuem Is,d quaeratur Α D mi Hi ne,cuma a bb- cc inveniaturm Izoi,&2a b cm1-oo, exurget ejusmodi aequatio: xy M I2o I x--Iqqoci, seuxin se Oxx- iaci Ix-I-oomo. Quae dividi potest pera-as M o,uritur namque aequati Q --2s s 76Mo,seu xx Mas x 376, cujus ra*x x duos admittit valores, ut Ir έ-ν 73& 12 j- 7324. Ita ut radix praedictae aequationis xy m Iao I x- rq oo seu diameter quaesita ΑD tres recipiat diversos valores, unum verum seu in quam o, ut I 2:- έ 732 atque duos
mul sumpti ipsi vero sunt aequales. Quod si vero aequatio supra dicta x R o xx - Iaci I x - 1 oomo dividi non potuistet per quantitatem lacognitamx vel - aliquo numero ultimum terminum Iss oo dividente, a guisset id ipsum & neque ullam ex radicibus tam veram quam falsam Diqitiam by Corale
376쪽
AEQVATIONVM RESOLUTIONE. 3s sim ullo numero exprimi potuisse, sed eam hoc casu denotandam
csse per rectam datum angulum vel arcum in tres aequales partes. dividentem, vel alio denique modo, ut infra ostendetur. Vt si exempli gratia,proponaturaequatio ut m 2qῖ x I 2Is, . seu a o xx-2 3 x - I 2 I s M o,quae cum praeccdenti modo dividi nequeat, poterit neque ulla ex radicibus tam vera quam falsa ullis numeris exprimi, nec minus per latera quorundam cuborum,quorum eontentum cognoscitur, ut docet Cardani regula. Quandoquidem ad illam revocare non licet, cum hic cubus trientis numeri radicum major sit quam quadratum semissis numeri absoluti. Aded ut radix ejus per sectionem anguli in tres aequales partes sit denotanda, quemadmodum innuit Albertus Girardus. Nimirum describendo circulum cujus radius FH seu H Κ sit 9 seu Vjρ, in eoque adaptando rectam F G aequalem 1 sseu atque trifariam porro secando arcum G Κ seu angulum G FK per rectam F L, quam ait veram quantitatem ipsius radiacisx exprimere. Vbi praeterea, si centro H intervallo rectae L Κarcum descripserimus secantem ipsam F L in M & N , vel quod idem est a puncto L triangulum aequilaterum circulo inscripserimus LM N rectae F M & F N utramque salsam quantitatem I - mm'. dicis a designabunt Quod idem eum D. des Cartes in eundem fere modum licebit exsequi. Videlicet, s, i intervulo rectae F H vel H Κ Ios seu 3 ut is si describatur circulus, in quo,inscripta recta F G Io Isseucus F M G & F N G trifariam porro secentur, per rectas F M &F N, quas inquit simul sumptas radici quaesitae ess. aequales.
Sin autem ejusdem aequationis radicem juxta modum Vietae exponere lubeat, oportebit duo triangula aequic rura concipere, cruribus alterum alteri aequaIia, quorum secundi angulus, qui est
ad basin, triplus sit anguli, qui est ad basin primi, & intelligere basin quidem secundi esse 7 L seu Crus veris esse 9 seu V 2p. x autem, de qua quaeritur, esse basin primi: Quod ut cuivis obvium sit, lapponamus triangula illa esse ΑΒ C,& CDE, quorum crus quodlibet A C, C D, vel D E sitana,& basis secundi C E-: oporteatque invenire basin primi ACMaz.
377쪽
Quia itaque iamllsis ad hoe perpendicularibus BI, DK, iatriangulo rectangulo A Bbquadratum ex A IIo ἱ at subdiictum
a quadrato ex A BCO aa, relinquit quadratum ex B I et erit qua
Eodem modo, in triangulo rectangulo CD Κ, quadrato ex CKzo ibbsubducto a quadrato ex C D Ma 'relinquetur pro quadrato ex D Κ. Porro quoniam , propter similitudinem trianostoriam A BIADΚ , AI est ad I B, sicut ΑΚ ad KDteris quoque ut quad. ex AI, adaa- xx, quad. ex ' quad. ex ΑΚ, adaa-ἱb quad. ex K D. Vnde multiplicando trema,invenietur productum ἱaa xx Ab b xx aequaue a axae a ab x - ἡ aab ι - ἡ H-ἱbxy-Abs xx, produm sub mediis. Hoc est, denistis utrinque aequalibus, Et terminis omni bus per ductis, si ipli deinde ad unam partem transferantur, habebitura ba:)-3 aaxx- aabx-aabbmo. summa si porro per o dividatur, obtinebitur aequatio x3
quae superior pag. 3 s o, in qua cubus trientis quantitatis cognitae penultimi termini excedit quadratum semissis ultimi termini, e jusque aequationis vera radix illic per rectam FL, hic autem per remm Α C des natur.
Caeterum quod angulus secundi trianguli D C E, qui est ad basin, triplus sit anguli Α,qui est ad basin primi, ita patet: AEqueles enim sunt anguli Α & BCAt, propter aequalia crura ΑΒ, B C; & ob id ' externus C B D alterutrius hujus duplus. Est autem hie CBD aequalis ipsi CDB L propter aequalitatem ibnearum CB, CD. Quare&CDB, id est, CD Λ ipsius Ad plus est. Atqui si binis hisce Λ & C D Λ aequalis est externus DC E.
378쪽
AEQVATIONUM RESOLVTION T. 3s' DCE. Hinc, qualium partium angulus Α est I , talium angulus C D A erit et,& D CE 3,lioc est , triplus erit angulus D CE anguli Α. Quemadmodum fuit propositum. Denique quoniam omnes limites aequationes ad aequationem praecedentis Problematis revocari queunt, poterimus quoque ramdicem x aequationis propositae A in zo 243 x . I 2I lic interpretinrit dicentes eam esse diametrum semicirculi, supra quam descripto quadrilatero inaequalium laterum, tria superiora in se invicem ducta faciant Go7 seu e q; at vero summa quadratorum ex ipsis faciat 2 3 seu p. Vbi praeterca notandum,aequationem numericam I OMI 3Θ- Ir, a Girardo allatam, non indigere ut radix ejus hoc modo
tantum radices earum aequationum secundae sermulae juxta ali quem praecedentium modorum opus sit exprimere, in quibus constat ipsas nec numero, nec Cardani regula exprimi posse. Sed jam tempus est ut ad tertiam aequationum Cubicarum sormulam accedamus, ubi t.' aequatur ηHaec autem aequatio tres diversos radicis valores admittit, duos nempe veros & unum falsum, aequalem veris illis simul sumptis, sicut ex ejusdem aequationis constitutione agnoscere licet. Nam si
In qua si ponatur valor falsus radicis x, aequalis bine, duobus veris valoribus ipsius x simul sumptis, tunc quidem b c d struet d, fietque o xx, hoc est, evanescet adfectio sub xx, nec amplius sese destruent. Nam cum ex hymuhesi b c aequatur d, multiplicando utrinque per d, fio quoque bd -c d aequale d d. At vero ddulatus est quam be, quandoquidem tantundem valet ac bb- - 2 cc,quadratum v;delicet a b ---Quare di bd
c d maius erit quam b c , manebisque adfectio sub x cum signo--.
379쪽
Ita ut, si bd-Fed -se interpreteris per H-p, dc---bed perint, aequatio hanc induat formam: x -- q. Quam constat tres admittere differentes valores radicis x, duos quidem veros seu sequam o, unum autem falsum seu - quam o, aequalem veris illis simul sumptis. Porro ut haec aequatio recipiat semper tres ejusmodi radicis valores, requiritur ut in illa V π non sit minus quam q, seu 2 Vipnon minus quam , sive etiam . ,' 'non minus quam ob rationem supra dictam
Alias enim duo veri valores non nisi fictitii forent, nec ullus realis extaret praeter falsum, qui juxta Cardani regulam sic exprimeretur: a: MVC. I C. 'Vt in exemplum afferre licet aequationem: Ice 2D6M-qo, in qua I valet - , cum I ce o v - 6M o m o dividi queat per I M- - M o, oriaturque aequatio impossibilis rq Μ Io M o, seu I vm εκ- Io, cujus valores radicis nullo modo comprehendi potiunt, nisi eos sic exprimere velimus: m 2 - έ - 6, 3c i Mi 2-έ - Adeo ut duo veri valores ipsius t M sint tantum fictilii 2.έ - s&2-ν --6, de falsus realis sit πι - q. E quibus patet tertiae hujus atque secundae formulae aequati num convenientia mutuaque radicum suarum reciprocatio. Lubet autem in usum aequationis hujus tertiae formesae unum aut alterum Problema adducere, ut sequentia manifestiora fiant. PROBLEMA.
Circulo dato F Μ G N, in eoque inscriptd F G, trifariam secetur arcus uterque FMGgFNGin Μ SN Oporteatque iuvenire F M subtensam trientis unius F N subtensam trientis alterisI.
Esto FH seu HKma, FGm &FMMx, quaeraturque exH F & F M ceu datis juxta modum paginae si huius Geometriae inscripta F G , per inti atque ipsa esset inc itar quae ideo erit' x- - . Iam vero cum ipsa detur m Aerit et α' - - Mb. Vnde
aequalitate ordinata, x aequabitur 3 aab. Eodem
380쪽
AE .QVATIONUM RESOLUTIONE. 3εr Eodem modo, si pro F disponatur x , atque ex H F &F N quaeramus F G , incid
E quibus sequitur utramlibet subtensam F M vel F N quaesitae quantitati radicis a aequa Iem esse. Hinc eum g S aequo
tur et 3 Θ - Ia , seu i O A OO- i 3 S in I 2 aequetur Ο, ac ipsa aequatio dividi possit per I S- I DI o, & per i S- 3 mo, nec non per I S qmo: arguit id ipsum FM foret,
at vero FN 3. Porro quoniam aequationes hujus tertiae formulae aeque ac secundae formulae tres admittunt dissirentes valores radicis, quorum quidem duo simul sumpn tertio sunt aequales, ita& addendo duos veros et & 3 , fiet falsus - , seu quantitas lineae F L. quae ipsis M F & F N simul samptis ostensa est aequalis. Vnde perspicua fiunt ea, quae ab Uberto Girardo in libello supra citato allata sunt ad aequationum radices hujus tertiae sormulae inveniendas. Vbi docet, illas ad secundum casum secundae formulae revocandas esse, convertendo tantum signum - numerLabsoluti in signum se: cum in iis sicut hic cubus trientis numeri radicum non minor requiratur quam quadratum semissis numeri absoluti. Ac proinde inventis tribus valoribus radicis quaesitae, sicut in secunda formula explicuimus, oportet tantum illos ex o auferre seu eorum signa immutare, ut habeantur tres quaesti hujus , in qua duo semper veri sunt seu quam o, & tertius est falsus seu - quam o, quemadmodum est ostensum. ALI vo PROBLEMA.
In circulo. cujus diameter A D. inscriptis tribus inae-aPasibus rectis tineis A B, B C. S C D. Isbi inmitem comtiguis, quarum quidem extremae prodeunt ex diametri terminis A S D: Oportet ex iisem cognitis invenire diametrum A D. Ponatur ad hoc Λ B C M b, C D M-Α D mx. ju