장음표시 사용
381쪽
APPENDI x DE CvBI CARvM ganturque AC, BD,&in BC, productMn, si opus sit, perpe dicularis demittatur D E. Duplex autem hic occurrit casus considerandus, juxta quem hae inscriptae diversimode in circulo positae intelligi possunt; primus, in quo rectae ΑΒ & CDe diametri terminis prodeunt ad diversas partes; & secundus, in quo ipsae ex iisdem terminis eductae sunt ad eandem partem, se mutuo intersecantes. In priori. igitur positione si quadratum BD mxx-aalubducatur exaggregato quadratorum B C, CD kb - ce, relinquetur du plum rectangillum B C E M bl ce-A Deinde, quo
niam triangula A BD & C E D similia sunt, cum anguli ad B & Esint recti, & B A D, E C D aequales φ, utpote eidem peripheriae B D insistentes: erit ut D A Io x ad A B Ioa, ita D C IO cadC E M .Haec autem ducta in duplam B Crux bdat duplum re
mulae, in qua quadratum semissis ultimi termini est minus cubo quantitatis cognitae penultimi termini , ut constat ex praemisso Problemate paginae 3 sq, In secunda autem positione,s a quadrato D C m e causerantur quadrata D B, BC mxx-aa -bb , relinquetur duplum rectangulum CBEM cc-xx aa-bb. Caeterum , quoniam rursus Diqilired by GO le
382쪽
KQvATIONUM REsoLVTIONE. 363 rursus propter similitudinem triangulorum Λ B DS CED, AD ma est ad A B Io a, sicut D C II ead
subducta C B M b , rem, nebit B E M - - b. Haec
autem si multiplicetur per duplam C B, proveniet du-- 2bbraequale duplo re stangulo C BE ante invento M cc-xx - aa - bb. Vnde addito utrinque b b, ordinataque secundum artem aequatione, obtinebitur eadem atque superior: x M - aiax - 2 abc.
' Quocirca cum utroque casu in eandem incidamus aequatio nem, cujus radix diamctrum roserat AD, sequitur quoque eam differentem sortiri quantitatem, Sex eisdem datis inscriptis prodIversa earum positione dupliciter inveniri. Vbi praeterea notandum est, Problema propos tum esse ludum, si tres inser tae A B, B C, & CD inaequales inter se fuerint: siquidem ad cubicam aequationem adscendit, quae divisione ad quadratam reduci nequit. Qitum vero duae quaelibet ex inscriptis
aequales ponuntur, tunc quidem aequatio inventa reducetur ad quadratam, & Proble.na erit planum. Statuendo enim b Reae qualia, exsurget aequatio talis: a ' - aax rabb M o, quae di-- 2 bbvidi poterit per x- a m o,& orietur aequatio quadrata xxέ- a x- 2bbruo, quae ulterius non est reducibilis. Si autem juxta alterutram positionem omnes hae tres inscriptae aequales fingantur, ita ut inde deducatur aequatio a ' - 3aax et a ' M o, poterit haec ipsa dividi per A - 2 a M o, orieturque aequatio Azv-2ax Φ.ramo , quae porro dividi poterit per x-amo, di orietur x - a m o. Ioniam vero hoc casu inscriptae cum dia metro coincidere intelliguntur ac ipsi diametro esse aequales, constat aequationis radicem hoc est, diametrum AD duos in eo Z 2 2 ad mi γ
383쪽
admittere vero' valores sibi invicem aequales , qui singuli per unamquamque ex illis inscriptis designantur; ac praeterea falsum, alterutrius illius duplum. Caeteriam si desideremus propositum Problema per numeros resolvere,esto A B M azo 24, B Cisero, C D IO cmi 1,&
scit x x 2D - 2 s x -- s 76. Cujus porro vera radix est 7 3 et ἱ ir', & falsa - έ 732ἱ- iri. Ita ut diameter quaesita AD, hoc est, x radix praedita aequationis x Io Iro I x-Iqquo, tres ferat differentes valores, duos scilicet veros seu quam o, .nia mirum ἡ-2s majorem, & 3 732ἰ- Iz lminorem , & unum falsum seu - quam o,nimirum-έ 732ἱ-I 2 l, qui veris istissimul sumptis est aequalis. Quocirca cum tres superioris aequationis xy Io Iro I x in I oo radices inventae sint - 2s, I 2 Za 732ἰ,&Ir: - έ732ἰ, patri eas tantum ex o esse auferendas, seu earum signa esse immutanda, ad habendas tres radices hujueis posterioris aequationis. Quod si vero haec ipsa aequatio xy R oxa Izo Ix IMoo is dividi non potuisset per quantitatem incognitam x vel - aliquo numero ultimum terminum I oci dividente, argumentum suis. set quod & nulla radicum tam vera quam falsa ullo numero fuisset explicabilis, sed eam tunc designandam csse per rerum datum angulum vel arcum in tres aequales partes dividentem, vel alio de nique modo, ut infra ostendetur. Vt si in exemplum proponatur aequatio xy m 27ooa-3 2qoo, seu xy R Oxx- 27oo x - 3 24oo M o , quae cum praecedenti modo dividi nequeat, poterit quoque valor radicis x, uve is verus sive falsus fuerit, nullis numeris exprimi, nec per latera quoru
dam cuborum, quorum contentum cognoscitur, ut docent Camdata regulae. Quippe illum ad has non revocare licet, cum ipsae exigant ut cubus trientis numeri radicum a quadrato semissis numeri absolu ti auferatur,qui quidem cubus hic major datur. Adeo ut radices ejus per rectas subtendentes trientem anguli vel arcus dati sint denotandae, ut vult D. des Cartes, atque ut etiam Alberius Girardus innuit. Scilicet describendo circulam cujus radius
384쪽
AEQVATIONUM REsoLVTIONE. 363 FH seu HK sit 3o seu V in eoque accommodando rectam F G. M 3 6 seu ra , atque deinde trifariam secando utrumque aris eum FM G&FN G per rectas F M & F N. Nam uti circulus, cujus radius 3 o per inscriptam 3 8 in duos inaequales arcus disposcitur, ita quoque incognita quantitas x duplicem verum valorem sortitur; mque alterutra e sistensis F M vel FN, tam trientis F M minoris arcus F M G, quam trientis F N majoris F N G rFalsus autem ejusdem vatur aequalis est veris illis simul sumptis, atque per rectam F L designatur. φQuos binos radicis vadores cum Vieta lia porro ratione explicare licet, ut sequitur. ν. Duo intelligantur triangula aequierura, cruribus alterum alteri
aequalia, quorum secundi angulus, qui est ad basin, sit triplus anguli, qui est ad basin primi, & basis secundi intelligatur esse 18
erus vero 3 o seu a: autem de qua quaeritur,esse basin dimidiam primi, multatam continuatamve longitudine ejus re me, cujus quadratum est aequale triplo quadrato antitudinis primi.
Quod ut perspicuum fiat, fingantur triangula illa esse Α Β C &C D E quorum ut ante) crus quodlibet Α B, B C, C D, vel D E. sit m a dc basis secundi C E sit Gob b. Demissis autem in iis perpen dicularibus BI, D Κ . sumatur B F aequalis duplae BI: eritque F Irecta,cujus quadratum est aequale triplo quadrato altitudinis primi.. DQuibus ita positis, ut inveniatur AF, liquet, si pro ea ponamus & pro A C,ut ante,ponamus x, quadratum ex BI sore Maa --ἡ ae, adeoque quadratum ex FI M3M xx. Quoniam vero
385쪽
fm --3av-a ab. Cujus ideo vera radix erit linea A F. Eodem modo ad inveniendam F pro ea ponamust atque ab ipsa tollamus I CCo x, remanebit FI Me-lx. Vnde cum quadratum ejus sit eυ- x e x x: erit itidem de - α x xM 3 aa -ἰ xx. Hoc est, ordinata aequatione, habebitur xx Mex 3 a a.Et si extracta radice a M Ie B V 3aa - cet.
Hinc si rursus in aequatione olim inventa x'm --3aax a ab in locum x subrogetur valor inventus te se V 3 aa-Zee,& in locum x in ejus cubus I a ad- ΔΤ 9 3 a a V 3aa-Zee,obtinebimus aequationem α)M 3 aa: -aab. Cujus ideo vera radix est linea FC. 'Ex quibus colligitur,si aequatio proposita fuerit x Mη-3-xa ameandem duas admittere veras radices,quarum minor A F obtinetur, si ex AI vel I C dimidia base primi trianguli AB C au feratur recta F I, cujus quadratum sit aequale triplo quadrato ejusdem altitudinis BI; & major, si ad AI vel IC ipsa FI addatur. Omnino ut fuit propositum. Vbi porro advertendum, quod, in eadem aequatione a 3 Io η aax-a ab, ob mutuam radicum aequationis hujus tertiae ac secundae formulae reciprocationem, tertia radix sit falsa, quae per A C, basin primi trianguli ABC, designatur, quaeque ipsis veris Λ F, FC simul sumptis est aequalis. Et contra si aequatici fuerit ut m η - 3 a a x a a b, quod praeter veram, quae per Α C exhibetur, aliae duae extent falsae, quarum minor est A F, & major F C. quae similiter simul sumptae ipsi verae A C sunt aequales. Denique quoniam omnes similes aequationes ad aequationem posterioris Problematis revocari queunt, poterimus quoque pro positae aequationis xy M 27Oox-324Oo valores radicis A sic ex- .primere: Dicentes cos per diametrum circuli Α D designari, in
quo si inscribantur tres rectae lineae inaequales A B, B C, & C D,
386쪽
sibi invicem contiguae, quarum extremae prodeunt e diametri te minis Α & D, solidum ex ipsis tribus sit m 1 Saoo seu & summa quadratorum earundem sit M 27oo seu p. Nam quemadmodum hae tres inscriptae cum diametro duobus modis girgillum referunt, & utraque positione diameter duplicem quantitatem sortitur, ita quoque ipsa in hac vel illa positione veram semper radicem desisnat. Falsa autem,ipsis veris adaequans,exhibetur per diametrum semicirculi, in quo descripto supra diametrum quadrilatero, tria hujus reliqua latera dictis inscriptis sumpta sint aequalia. V t ex superioribus manifestum est. Vbi advertendum insuper restat, aequationem numericam I SCI I3 S - 12, a Girardo propositam, non requirere ut radicescius hoc modo cxprimantur: cum in illa I S valeat - q, I, &
sit. Ita ut duntaxat radices earum aequationum tertiae formulae
juxta aliquem praecedentium inodorum opsis sit exprimere , in quibus constat ipsas nec numero, nec Cardani regula explicari posse. Vnde demum cum D. des Cartes concludere licet, valorem radicum aeque facile, immo quidem facilius concipi, cum ipse per subtensas arcuum designatur, quorum triplum est da um, quam cum per latera certorum cuborum exprimitur, quori mnon nisi contentum cognoscitur. Praeterquam quod ad illas subtensas non rugis indigeamus aliquo charactere peculiari, quam V C. ad ex primenda latera cubica,& V ad quadrata. Adeo ut cubicarum aequationum valores radicum, qui nec numero nec per Cardani regulas exprimi queunt, allatis quidem modis clare ac distincte ex- plicari possint. Caeterum ne quid hic desideretur, sed etiam appareat, quo pa
cto hae Cardani regulae fuerint inventae, lubet hoc loco afferre ea, quae circa hanc rem acutissimus noster Huddenius olim adinve
387쪽
In semicircuo supra diametrum A D descripto quadrilasero A B C D. cognitas ni tria ejus latera ΑΒ. BC, C Di Oporteatque in venire diametrum seu quartum latus A D.
Esto ABnoa, BCzo CD me, diameter vero A D m x; ducaturque recta BD, atque in BC productam perpendicularis demittatur DE. a Quia itaque i triangulam Α Β D est restingulum , ideoque 'quadratum AD aequale duobus quadratis AB. BD: si a quadrato ADm xx subducatur quadratum AB Maa, relinquetur quadra m BD in xx-aa. Porro quoniam obtusangulum est triangulum B D C, atque t quadratum B D majus quadratis BC, C D simul sumptis,duplo retiangulo B C E ; si a quadrato B D mxx -aa subducamus aggrmatum quadratorum B C,C D m b bl . restabit duplum reo elangulum B C E M .ea: -
cum similia sint triangula A B D & C E D, siquidemi ipsa rectangula sunt, ac an-II 'gulos praeterea Α & D C E aeqvdes habent e erit ut
DA ad ΑΒ, ita DC ad C E.Vnde cum A D silma Α Β ma,& D Cme:erit C Em 3 . Quae si ducatur in duplam B C m a b, fiet duplum rei tangulum
B CHOO-- . a quandum propterea duplis rectangulo B C E
Vnde eum haee aequatio sit cubica secundae formulae, videndum deinceps an quadratum semissis ultimi termini sit majus cubo trientis quantitatis cognitae penultimi, an vero ipsi aequale, an
388쪽
AEqvΛTIoNvΜ RE S O L V TI O NE. 3sseo minus. In quem finem quaero tam hunc cubum quam illud quadratum. Triens autem quantitatis cognitae penultimi tremu
adratum autem semissis ultimi termini est sabbee. Oportet itaque horum utriusque relationem indagare. In quem finem productas quantitates 3 aebb - 3 a 3μ - 3--μμ esa abbee- 3 Dce 3 aac' 3 bbo' in & 27aabbee inter se confero, ut sequitur.3 a b b. 3 aabbee. l bbr. sunt tres proportionales in rationea a adeo, unde 3 a ιb- 3 bbe' majus erit quam Gaabbeci
Sic 3 aab'. 3 a b bee. 3 aac'. sunt tres proportionales in rationes, aderi unde 3 aab' 3 aac' majus erit quam 5aabbee. Ve& 3 3 aabbcc. 3 sunt tres proportionales in ratione a a ad', unde 3 mee -3 Dcc majus erit quam 6 aabbcc. Quare & omnes simul omnibus simul erum majores, hoe est, erit 3 Ubb- 3 aab -- 3 Mec Φ 3 bb Φ3a ar Φ3 Dee majus quam I 8 bbcc. Vnde & illius subtriplum a', b a o D in reo in b, aar b' ee majus quam hujus subtriplum 6 aabbee. Rursus quoniam P. M bb.aa D. sunt proportionales continue in ratione a a ad bb, erit --M majus quam a' ιε a a M. Sic etiam quia M. D ee. bbes. . sunt proportionales continuE in ratione bbataee, erit majus quam'c c bSimiliter cum .ree. aar. H. sint proportionales eontinuὰ in ratione a a ad c c, erit H majus quam in cc a a e . Quare & simul omnes simul omnibus erunt majores, hoc est, erit 1 - 2b' 2 majus quam bb a ab'- ι' eo . bbr Mee a a M. Quia autem - ipsum majus est quam saabbre, ut supra ostendimus,erit a P - 2 β 2 majus quam saabbec. Vnde & semissis majus quam 3 aabbce.
389쪽
E quibus liquet cubum trientis quantitatis cognitae penultimi termini majorem esse quadrato semissis ultimi, ac propterea radicem aequationis juxta regulam Cardani inveniri non posse. Notandum autem porro est, Problema propositum solidum esse, si tria latera data Α B, B C, R C D inter se inaequalia statua
tur, cum ad aequationem cubicam reducatur, quae divisione ad quadratam reduci nequit. Cum vero duo quaelibet ex dictis lateribus sunt aequalia, tunc quidem aequatio reducitur ad quadratam. Vt si b & e aequalia tuerint, devenietur ad aequationem. iu - 2 mo, quae dividi poterit per x a m o, qua ratione ipsa reducetur ad quadratam: xx-ax-2'MO, quae ulterius dividi nequit. Sin autem tria latera aequalia ponantur, tunc quidem aequatio hanc accipiet formam: α' - 3 aax-2at MD,eaque dividi poterit per x-2amo, Orietur namque aequatio : xx 2ax amo,
duas admittens falsas radices, quae sibi invicem sunt aequales. Vnde sequitur verum valorem radicis a eo casu scire a a, & duos falsos valores esse- a&-a. Hoc enim manifestum est, quoniam,
si tria latera AB, BC, & CD aequalia inter se extiterint, figura ABCD fit semi-hexagonum regulare, in quo latus quodlibet
semidiametro est aequale. Porto si velimus ivm Ρroblema per numeros resta vere, esto AB seuam a , BCscub M ao, C Durae M Is, de quaeratur
Α D m x. Hinc,cuma a --bb cc inveniaturm Izoi,&2ab em I oo, exurget eiusmodi aequatio m Izo I x-- I oci, seu a 3 -I2o I x-I ocimo. Quae dividi potest pero: - 2s M o, oritur namque aequatio xx-2 sa -s 76 M o,scua a Ma s x ue 76, cujus radix x duos admittit valores, ut ΙΣ , Φέ73 a Z&121-V 7322. Ita ut radix praedictae aequationis xyx Iao I x rq oo seu diameter quaesita ΑD tres recipiat diversos via res, unum verum seu quam o, ut I 24- έ 7324; atque duos
salsos seu - quam o,ut - et s&Ia - 3 732 . Qui quidem Gmul sumpti ipsi vero sunt aequales. Quod si vero aequatio supra dicta x R o xx -- Iaci I x - 1 oomo dividi non potuisset per quantitatemkcognitam: --
vel - aliquo numero ultimum terminum Iss oo dividente, a
guisset id ipsum & neque ullam ex radicibus tam veram quam fal-
390쪽
AEQVATIONUM RESOLUTIONE. 33 7sam ullo numero exprimi potuisse, sed eam hoc casu denotandam
esse per rectam datum angulum vel arcum in tres aequales partes. dividentem, vel alio denique modo, ut infra ostendctur. V t si,exempli gratia,proponaturaequati OxΤ M 243 x I 2Is, . seu xy R o xx-243 x - I 2Is M Ο,quae cum praecedenti modo dividi nequeat, poterit neque ulla ex radicibus tam vera quam falsa ullis numeris exprimi, nec minus per latera quorundam cuborum,quorum contentum cognoscitur, ut docet Cardani regu-Ia. Quandoquidem ad illam revocare non licet, cum hic cubus trientis numeri radicum major sit quam quadratum semissis numeri absoluti. Αdeis ut radix ejus per sectionem anguli in tres aequales partes sit denotanda, quemadmodum innuit Albertus Girardus. Nimirum describendo circulum cujus radius F H seu H Κ sit 9 seu Vo, in eoque adaptando rectam F G aequalem is seu atque trifariam porro secando arcum GK seu angulum G FK per rectam F L, quam ait veram quantitatem ipsius radicisx exprimere. Vbi praeterea, si centro Hintervallo rectae L Κarcum descripserimus secantem ipsam F L in M & N , vel quod sit infiidem est a puncto L triangulum aequilaterum circulo inscripterimus L M N ' , rectae F M & F N utramque falsam quantitatem radicis x designabunt. 'Quod idem eam D. des Cartes in eundem fere modum licebit exsequi. Videlicet, si, intervolo rectae F H vel H Κ zos seu 3 - ut is fit describatur circulus, in quo,inscripta recta F G Io Isseu cusFMG & FN G trifariam porro secentur, perrectas FMdcF N, quas inquit simul sumptas radici quaesitae esse aequales.
Sin autem ejusdem aequationis radicem juxta modum Vietae exponere lubeat, oportebit duo triangula aequic rura concipere, Cruribus alterum alteri aequalia, quorum secundi angulus, qui est
ad basin, triplus sit anguli, qui est ad basin primi, &intelligere
basin quidem secundi esse 7 L seu G, crus vero esse 9 seu U ἱρ
at autem, de qua quari itur, esse basin primi. Quod ut cuivis obvium sit, lapponamus triangula illa esse