장음표시 사용
391쪽
Quia itaque demissis ad hoe perpendicularibus BI, D Κ, in
triangulo rectangulo A B I, quadratum ex Λ IIo ἱ xx subductum' per ΑΤ a quadrato ex A B OD a a, relinquit quadratum ex B I r erit qua
Eodem modo, in triangulo rectangulo C D Κ, quadrato ex CKzo ebbsubducto a quadrato ex C D Maa,relinquetur - ἡ b b, pro quadrato ex D K. Porro quoniam , propter similitudinem triangulorum A BI & με Α DK , AI est ad I B, sicut A K ad K D: erit quoque ut 4 x x, quad. ex AI, adaa-ἰ x x, quad. ex IB; sic κα- bae a b' quad. ex ΑΚ, adaa-ἱb quad. ex K D. Vnde multiplicando trema,invenietur productium ἱaa xx -bb xx aequpe a a x x aab x in t aab ι - ἡ H--ἐbκ - producto sub mediis. Hoc est, denistis utrinque aequalibus, & terminis omnibus per ductis, si ipli deinde ad utiam partem transferantur, habebitur H b xy-3 aaxx- aabx-aabb oo.Quae sur ma si porro per x b Io o dividatur, obtinebitur aequatio x 3 a ax-a ab M o , seu x' m η - 3 aax aab. eadem nempe quae superior pag. 3 so, in qua cubus trientis quantitatis cognitae penultimi termini excedit quadratum semissis ultimi termini, eu- jusque aequationis vera radix illic per rectam F L, hic autem perrectam A C designatur.
Caeterum quod angulus secundi trianguli D C E, qui est ad primi basin, triplus sit anguli A,qui est ad basin primi, ita patet: IEPra L sunt anguli Α & BCA , propter aequalia crura AB, B C; & ob id ' externus C B D alterutrius hujus duplus. Est Elim. autem hic CBD aequalis ipsi CD BF, propter aequalitatem lisnearum CB, CD. are&CDB, id est, C D A ipsius A duplus est. Λtqui ' binis hisce Α & C D A aequalis est extemus DC E.
392쪽
AEQVATIONUM RESOLUTIONE. 3s DC E. Hinc, qualium partium angulus A est et, talium angulus C D A erit Σ, S D C E 3, iioc est , triplus erit angulus D C E a guli A. Quemadmodum fuit propositum.
Denique quoniam omnes similos aequationes ad aequationem praecedentis Problematis revocari queunt, poterimus quoque radicem araequationis propositaexi zo 2 3 x . I 2Is lic interpretari: dicentes eam esse diametrum 1emicirculi, supra quam descripto quadrilatero inaequalium laterum, tria superiora in se invicem ducta faciant Go7 I seu l q; at vero summa quadratorum ex ipsis faciat 243 seu p. Vbi praeterea notandum,aequationem numericam I Smi 3 S I 2 , a Girardo allatam, non indigere ut radix eius hoc modo exprimatur, cum in illa I S valeat in q, - 3 , & - I; ac ipsa ae
IS 3 M atque etiam per 3 S I x o dividi queat. Ita ut tantiim radices earum aequationum secundae formulae juxta ali quem praecedentium modorum opus sit exprimere, in quibus constat ipsas nec numero, nec Cardani regula exprimi posse.
Sed jam tempus est ut ad tertiam aequationum Cubicarum sormulam accedamus, ubi 'aequatur p e. - q. Haec autem aequatio tres diversos radicis valores admittit, duos nempe veros & unum falsum, aequalem vetis illis simul sumptis, simi ex ejusdem aridationis constitutione agnoscere licet. Nam si Ponamus ae OOHeu x-bmo,&x cscua: - cmo, atque etiam xm sev x dmo,& multiplicemus x M o per a - cmo, ac denuo quod inde super x dm o, proveniet aequatio:.π' dxx- bda: -- b c d M o, vel x M -da: a Fbda-bed. -- cd - - , -- cd
In qua si ponatur d, valor falsus radicis x, aequalis bH si duobus veris valoribus ipsius x simul sumptis, tunc quidem destruet d, fietque o x x, hoc est, evanescet adfectio sub x x, nec amplius sese destruent. Nam cum ex hypothesib Hinc aequatur d, multiplicando utrinque per d, fiet quoque bdH-cdaequale dae At vero dd Majus est quambe , quandoquidem tantundem valet ac, bin a b c - - cc,quadratum videlicet asee. Quare S bd -
c d maius erit quam b c , inanebi que adfectio sub x cum signo-.
393쪽
Ita ut, si bd -ed -se interpreteris per ἡ-p, & -bed per aequatio hanc induat formam: a: OO--q. Quam constat tres admittere driserentes valores radicis x, duos quidςm veros seu ἀ- quam o, unum autem falsum seu - quam o, aequalem veris illis simul sumptis. Porro ut haec aequatio recipiat semper tres ejusmodi radicis
valores, requiritur ut in illa ν π non sit minus quam seu a Vipnon minus quam V, sive etiam J.pynon minus quam ob rationem supra dictam.
Alias enim duo veri valores non nisi fictitii forent, nec ullus realis extaret praeter falsum, qui juxta Cardani regulam se exprimeretur: x MVC. ' Vtin exemplum aflerre licet aequationem: I cem -qo, in qua I valet - Α, cum I ct o v - σκ-- cimo dividi queat per I Μ - θ M o, oriaturque aequatio impossibilis et v - ΑΜ-HIO M o, seu I3M q*ε - Io, cujus valores radicis nullo modo comprehendi possunt, nisi eos sic exprimere velimus reto a in V - is, & 1 Mm 2-έ - 6. Adeo ut duo veri valores ipsius I Μ sint tantum fictilii 2 -- έ - σ&2-ν falsus realis sit m - q. E quibus patet tertiae hujus atque secundae formulae aequati num convenientia mutuaque radicum sumam reciprocatio. Lubet autem in usum aequationis hujus tertiae sermulae unum aut alterum Problema adducere, ut sequentia manifestiora fiant. PROBLEMA.
Circulo dato F Μ G N, in eoque inscriptd F G, trifariam secetur arcus uterque FMGgFNGin Μ SN Oporteatque invenire F Μ subtensam trientis unius FN subtensam trientis alteriuS.
Esto F Hseu HKma, FGM &FMm x, quaeraturque exHF & FM ceu datis juxta modum paginae si hujus Geometriae inscripta F G, perinde atque ipsa esset incognitar quae ideo erita a - - . Iam vero cum ipsa detur m Merit a x - - M A Vnde aequalitate ordinata, x aequabitur 3 a ax --- aa
394쪽
AE UATIONUM RESOLUTIONE. Eodem modo, si pro F Nponatur x , atque ex H F &F N quaeramus F G , incid
E quibus sequitur utramlibet subtensam F M vel F N quaesitae quantitati radicis araequalem esse. Hinc eum g S aeque tu 3 O-ia, seu Ioso - 13O- aequetur Ο, ac ipsa aequatio dividi possit per I S-I mo,&per i O- 3 fo, nec non per I S - Φ mo: arguit id ipsum F M fore 1,
at vero FN 3. Porro quoniam aequationes hujus tertiae formulae aeque ac secundae formulae tres admittunt dipserentes valores r
dicis, quorum quidem duo simul sumpti tertio sunt aequales, ita di addendo duos veros I & 3, set falsus seu quantitas lineae F L. quae ipsis M F & F N simul sumptis ostensa est aequalis. Vnde perspicua fiunt ea, quae ab Alberto Girardo in libello supra citato allata sunt ad aequationum radices hujus tertiae formulae inveniendas. Vbi docet, illas ad secundum casum secundae formulae revocandas esse, convertendo tantum signum numerLabsoluti in signum .: cum in iis sicut hic cubus trientis numeri radicum non minor requiratur quam quadratum semissis numeri absoluti. Ac proinde inventis tribus valoribus radicis quaesitae, sicut in secunda formula explicuimus, oportet tantum illos ex oauserre seu eorum signa immutare, ut habeantur tres quaesiti hujus, in qua duo semper veri sunt seu quam o, & tertius est falsus scu- quam o, quemadmodum est ostensum. ALIvD PROBLEMA.
In circulo. cujus diameter A D. inscriptis tribus in vasibus rectis lineis A B. B C mC D. Isbi istacem comtiguis, quarum quidem extremae' oriunt ex diametri terminis Α-D: Oportet ex ii em cognitis invenire diametrum A D. Ponatur ad hoc Λ B M B C ae b, C D-Α D mα jun-
395쪽
dicularis demittatur D E. , Duplex autem hic occurrit casus considerandus, juxta quem
hae inscriptae diversimode in circulo positae intelligi possunt; primus, in quo rectae ΑΒ & CDediainetri terminis prodeunt ad diversas partes; & secundus, in quo ipsae ex iisdem terminis edu- sunt ad eandem partem, se mutuo intersecantes. In priori. igitur positione si quadratum B D m x x-aa subducatur ex aggregato qliadratorum B C, C ID, b ce, relinquetur du plum rectangulum BC EOObb cc-xx--aa. Deinde, quo- 'niam triangula A B D & C E D similia sunt, cum anguli ad B S E sint recti, & B A D, E CD aequales', utpote eidem peripheriae BD insistcntes: crit ut D Α zox ad AB ma, ita DC Ioc ad
C E so P .Haec autem ducta in duplam B Cm 1 b dat duplum re-
ctangulum B C Em. - ,aequaleb, in e e - xx in a a,duplo Vse . delicet rectangulo B C E, ante invento. Vnde ordinata aeauati ne invenitur: xy M - - aax- 2 abG aequatio cubica tcrtiae for
mulae, in qua quadratum semissis ultimi termini est minus cubo quantitatis cognitae penultimi termini , ut constat ex praemisso Problemate paginae 3 sq, In secunda autem positione,s a quadrato D Cm c causerantur quadrata D B, I; C M xx-aa--bb, relinqvctur duplum rectangulum C BE M cc-xx aa-bb. Caeterum , huoniam rursus Dissiliam by Cc oste
396쪽
AE VATIONUM Rplum rectangulum CB Ezos OLUTIONE. 363 rursus propter similitudinem triangulorum A B D& C E D, A D m x est ad ΑΒ ma, sicut DC me ad C E : erit C E M subducta C B m b , rem, nebit B E M - - Haec
autem si inultiplicetur per duplam C B, proveniet du--2bbraequale duplo rectangulo CBE ante invcnto mcc-xx aa - bb. Vnde addito utrinque b b, ordinataque secundum artem aequatione, obtinebitur eadem atque tu perior :x' M--2 abc.
' Quocirca cum utroque casu in eandem incidamus aequationem, cujus radix diametrum reserat AD, sequitur quoque eam differentcm sortiri quantitatem, & ex eisdem datis inscriptis prodἴversa earum positione dupliciter inveniri. Vbi praeterea notandum est, Problema propositum esse ludum, si tres inscriptae A B, B C, & C D inaequales inter se fuerint: siquidem ad cubicam aequationem adscendit, quae divisione ad quadratam reduci nequit. Qtium vcro duae quaelibet ex inscriptis aequales ponuntur, tunc quidem aequatio inventa reducetur ad quadratam, & Proble.na crit planum. Statuendo enim b & eae qualia, exsurget aequatio talis: xy - aax rabb M o, quae di-
vidi poterit per x-m o,& orietur aequatio quadrata xx - a x- 2 bb Mo, quae ulterius non est reducibilis. Si autem juxta alterutram positionem omnes hae tres inscriptae aequales fingantur, ita ut inde deducatur aequatio at - 3aax et a ' M o, poterit haec ipsa dividi per x -- 2 a M o, orieturque aequatio xx-2axΦaaxo , quae porro dividi poterit per x-amo, di orietur x-a M o. Quoniani ucro hoc casu inscriptae cum diametro coincidere intelliguntur ac ipsi diametro esse aequales, constat aequationis radicem x, hoc est, diametrum AD duos in coL E 2 admit-Diuili od by Corale
397쪽
admittere veros valores sibi invicem aequales , qui singuli per unamquamque ex illis inscriptis designantur; ac praeterea falsum, alterutrius illius duplum. Caeterum si desideremus propositum Problema per numeros resolvere,ino ΑΒ M a , B C Oab M ao, CD Iocru Is,&
hoc est, x radix praedita aequationis I 2 o I x - IqqOo,tres ferat differentes valores, duos scillaei veros seu - - quam o, .nia
mirum H-2s majorem, &έ 732 ἡ- Ial minorem , & unum falsum seu - quam o,nimirum V 732ἰ-rr l, quiveris istissimul lamplis est aequalis. Quocirca cum tres superioris aequationis xy m Iro I x in I oo radices inventae sint - 2s , I 2 . V 732ἱ,&Ia -- 732ἰ, patet eas tantum ex o esse auserendas, seu earum signa esse immutanda, ad habendas tres radices hujsis posterioris aequationis. I Quod si vero haec ipsa aequatio xy oxa -I2o Ix IM ODO dividi non potuisset per quantitatem incognitam x vel - aliquo numero ultimum terminum I oo dividente, argumentum suis. set qubd & nulla radicum tam vera quam falsa ullo numero fuisset explicabilis, sed eam tunc designandam esse per rerum datum angulum vel arcum in tres aequales partes dividentem, vel alio donique modo, ut infra ostendetur. Vt si in exemplum proponatur aequatio ae m 27oox-3 2 Oo, seu xt oxx-27oo x - 32wo M O , quae cum iraecedenti modo dividi nequeat, poterit quoque valor radicis x, sive is verus sive falsis fuerit, nullis numeris exprimi, nec per latera quoru
dam cuborum, quorum contentum cognoscitur, ut docent Camdani regulae. Quippe illum ad has non revocare licet, cum ipsae exigant iit cubus trientis numeri radicum a quadrato semissis numeri absoluti auferatur,qui quidem cubus hic major datur. Adeo ut radices ejus per rectas subtendentes trientem anguli vel arcus dati sint denotandae, ut vult D. des Cartes, atque ut etiam Albeseius Girardus innuit. Soli et describendo circulum cujus radius
398쪽
AEQVATIONUM REs o L UTI ON E. FH seu HK sit 3o seu in eoque accommodando rei, mF G. Io 3 is seu I , atque deinde trifariam secando utrumque aris eum F M G & F N G per rectas F M & F N. Nam uti circulus, cujus radius 3 o per instriptam 3 in duos inaequales arcus disposcitur, ita quoque incognita 'uantitas x duplicem verum valorem sortitur; fitque alterutra e licitensis F M vel FN, tam trientis F M minoris areus F M G, quam trientis F N majoris F N G tFalsus autem ejusdem valhraequalis est veris illis simul sumptis, atque per rectam F L designatur. φQuos binos radicis valores cum Victa Ilia porro ratione explicare licet, ut sequi tu r. . Duo intelligantur triangula aequi crura, cruribus alterum alteri aequalia, quorum secundi angulus, qui est ad basim, sit triplus anguli, qui est ad basin primi, & basis secundi intelligatur esse 18 seu crus vero 3 o seu 3 lp. x autem de qua quaeritur,esse basin dimidiam primi, multatam continuatamve longitudine ejus re cujus quadratum est aequale triplo quadrato altitudinis primi.
Quod ut perspicuum fiat, fingantur triangula illa esse A B C &C D E quorum ut ante crus quodlibet Α B, B C, C D, vel D Est m. & basis secundi C E sit Iob b. Demissis autem in iis perpendicularibus B I, D K, sumatur B F aequalis duplae BI: eritque FI recta,cujus quadratum est aequale triplo quadrato altitudinis primi.. DQuibus ita positis, ut inveniatur AF, liquet, si pro ea ponsemus' & pro A C,ut ante,ponamus . quadratum ex BI sore m. '-ε xx, adeoque quadratum ex FI 2D3M xx. Quoniam vero
399쪽
Hoc est, ordinata aequatione, habebitura: Myx - 3 aa. Unde - II extracta radice,st x M 3 aa -ἰI'. Hinc, si inaequatione olim inventa xΤ m 3 ais x ab in locum x substituatur valor inventus ἱI A 3 a a- ZII, & in locum x' ejus cubus , qui est: a a I R 3a a V 3 aa - .D. obtinebimus aequationem M - - 3 av - aab. Cujus ideo vera radix erit linea A F. Eodem modo ad inveniendam F si pro ea ponamus e, atque ab ipsa tollamus I Cm ἱ ae, remanebit FIMe - ἱ Vnde cum
Hinc si rursus in aequatione olim inventa x'M -3aaa'-- ab in locum x subrogetur valor inventus se V 3aa-ἰee,&in locum xin ejus cubus Oa ae-et 9 3 3 aa-ἰ e e,obtinebimus aequationem et M 3 aa: -aab. Cujus ideo vera radix est linea FC. 'Ex quibus colligitur,si aequatio proposita fuerit x Mη-3- a ameandem duas admittere veras radices,quarum minor A F obtinetur, si ex AI vel I C dimidia base primi trianguli A B C auferatur recta F I, cujus quadratum sit aequale triplo quadrato ejusdem altitudinis BI; & major, si ad ΛΙ vel IC ipsa F I addatur. Omnino ut fuit propositum. Vbi porro advertendum, quod, in eadem aequatione xl m η 3 a a x - aa s,ob mutuam radicum aequationis hujus tertiae ac secundae formulae reciprocationem, tertia radix sit falsa, quae per A C, basin primi trianguli ABC, designatur, quaeque ipsis veris Α F, FC 1imul sumptis est aequalis. Et contra si aequatici fuerit xt Mη - 3 aa x- aab, quod praeter veram, quae per A C exhibetur, aliae duae extentialsae, quarum minor est A F, & major F C, quae similiter simul sumptae ipsi verae A C sunt aequales.
Denique quoniam omnes similes aequationes ad aequationem posterioris Problematis rcvocari queunt, poterimus quoque pro' positae aequationis xy M27oox-32qoo valores radicis a sic ex- primere: Dicentes cos pcr diametrum circuli Α D designari, in
quo si inscribantur tres rectae lineae inaequales A B, B C, & C D,
400쪽
sibi invicem contiguae, quarum extremae prodeunt e diametri te
ma quadratorum earundem sit O 27ooseup. Nam quemadmodum hae tres inscriptae cum diametro duobus modis girgillum roserunt, & utraque positione diameter duplicem quantitatem sortitur, ita quoque ipsa in hac vel illa positione veram semper radicem designat. salsa autem,ipsis veris adaequans,exhibetur per diametrum semicirculi, in quo descripto supra diametrum quadrilatero, tria hujus reliqua latera dictis inscriptis sumpta sint aequalia. Vt ex superioribus manifestum est. Vbi advertendum insuper restat, aequationem numericam I Om 13 O - Ir, a Girardo propositam, non requirere ut radicescius hoc modo cxprimantur: cum in illa I O valeat - q, i, &
sit. Ita ut duntaxat radices carum aequationum tertiar formulae
iuxta aliquem praecedentium modorum opus sit exprimere , in quibus constat ipsas nec numero, nec Cardani regula explicari posse. Vnde demum cum D. des Cartes concludere licet, valorem radicum aeque facile, immo quidem facilius concipi, cum ipse per subtensas arcuum designatur, quorum triplum est da um, quam is cum per latera certorum cuborum exprimitur, quori m non nisi contentum cognoscitur. Praeterquam quod ad illas subtensas non magis indigeamus aliquo charactere peculiari, quam V C. ad cxprimenda latera cubica,& V ad quadrata. Adeo ut cubicarum aequationum valores radicum, qui nec numero nec per Cardani re
gulas exprimi queunt, allatis quidem modis clare ac distincte ex- plicari possint. Caeterum ne quid hic desideretur, sed etiam appareat, quo pa
cto hae Cardani regulae suerint inventae, lubet hoc loco afferre ea, quae circa hanc rem acutissimus noster Huddenius olim adinvenit, mihique coram communicavit. Proponatur aequatio et M η-pe --q,8. si te quantitas,quam