장음표시 사용
421쪽
388 ADDITA MENTUM.metri facit ut etiam lisea P Y producta ipsius VX dupla sit futura , adeoque P Y ae lusis V X.
M Atque in locum v substituatur J Convincitur autem
N Cujus aequationis radix fes -E ,
seu . J Notandum hic , aequationem aliam adhue admittere radicem , net 6 81-t 6 81 νε si ' - - 3'φ g 2 Lditu aea, quae habentur pag. 7. Quam quidem radicem, cum major sit qu/m V M , , cu ius non nisi partem designare debet , Author merito neglexit.
Esse autem g Τ Τ majorem, patet,
si reducantur ad eandem denominationem , utpote ponendo
elevationis Poli, videseret 8o grad. min. circiter.
422쪽
2 rum IT X velP Gumatur pro radio, erit TR pvHγὴ tangens anguli TXR vel TP R, grad. I9,S27 min. circiter, distantiae loci Solis in Ecliptica ab.
Equatore. IJ Cum enim pro T X inventa sit ν 18o 646ε -- V 463 o 118 ooo, quae in rationalibus sere est 42 22, 7 i' i , & pro TR, 7119σrs - s 373, quκ in rationalibus est 1q9I , 3 7 circiter: hinc, sitiat ut TXqχχχ, 7 I 'r' ad radium Ioo ooo, ita TR I 9I,3 7 ad quartum 3s 3I8; erit 313I8 ; tanpens anguli TXR vel Y P R , congruens quam proxime tangenti grad. I9. αχ7 min. Et tantum de solutione Problematis, quod in specimen hae jus Methodi asserre visum suit: quae cum talis sit, ut ad Arithmeticae quaestiones enodandas , non minus quam ad Geometriae Problemata resolvenda atque construenda deserviat, non abs re fuerit , si Coronidis loco hla subjiciam regulam quandam generalem, ex eadem Methodo depromptam, extrahe di radices quasi bet ex quibuscunque Binomiis, radicem bin miam habentibus, quae una cum praecedenti solutione tunc temporis prodiit; praesertim cum illa a nemine quod sciam antea iit inventa, nec ab aliquo ea in re cuiquam satisfactum , cujus demonstrationem, qualis a me inventa est, breviter sum suta juncturus.
Regula generalis extrahendi quastibet raὰices ex quibuscunque Binomiis, radicem binomiam hasentibus.
PR EPARATIO. ΡRimo, si in dato Binomio reperiantur fractiones, oportet iulas, multiplicando binomium per illarum denominatorem, eximere. Vt, exempli gratia, ad extrahendam V O ex V et α. - Izι, multiplico binomium per 2 ,&fit V 968-Fas. Simili, primum multiplico binomium per
423쪽
Deinde, si neutra pars binomii rationalis fuerit, reducendum est per multiplicationem aut divisionem ad aliud binomium , cujus altera pars sit rationalis. Id quod per multiplicationem alie utrius partis semper fieri potest; sed brevius plerumque per minoris numeri multiplicationem aut divisionem. Quemadmodum
V 2 et in V et 3 multiplicari ciuidem potest per V 2 2,& fit et α Vs 88os ; sed compendiosius per V 2, dc provenit 22 V 86. Eodem modo V 399 3 Si 7378lias potest bis multiplicari per V 3 99 3, di producitur aliud binomium, cujus absolutus numerus est 3 99 3 ; sed brevius per V O 9; & adhuc brevius.
si dividatur per se S 3, fietque i i V irs
Vbi notandum, postquam habetur binomium, cujus una pars est rationalis, tunc quoque quadratum alterius partis rationale esse debere; aut nullam ex eo radicem, nec etiam ex alio bino mio, utramque partem irrationalem habente, a quo per multipliscationem aut divisionem deductum est, extrahi posse. Tertio, ad extrahendam V S, oportet primo radicem qua dratam extrahere, & deinde ex hac V S. Et ad extrahendam V ct oportet bis extrahere V O. Et sic de reliquis radicibus,quae per numeros compositos, hoc est,qui per alios dividi possunt, de signantur. Radicem vero quadratam quod attinet, regula ad trulam extrahendam satis nota est: quapropter hic tantum opus est, ut doceam,quo pacto extrahendae sint v S,U S,VO, V Θ, similes aliae, quae per numeros primos, hoc est, qui per alios dis
Postremo ad extrahendam M O, V S, V O, aut similem per
numerum primum designatam, explorandum primo est, utrum radix Binomium esse possit, cujus una pars sit rationalis. Id quod innotescit subducendo quadrata partium a se invicem, &ex reliquo extrahendo radicem, nempe cubicam si ex dato binomio
S sit extrahenda; aut surdesolidam,si V Ssit extrahenda,& scde caeteris. Quod ita in posterum, ubi radix aliqua extrahi debet, intelligendum est, licet expresse non dicatur. Etenim si radix haec numerus rationalis non fuerit, certo constat, radicem quaesitam parte rationali carere. Sed cun3 binomium adhuc esse poses Dissiligoo by Cooste
424쪽
ADDITA MENTUM. .. 39rsit, cuius utraque pars sit irrationalis r hinc ad eam extrahendam datum binomium per differentiam quadratorum partium erit multiplicandum, si de radice cubica extrahenda quaestio fuerit;
aut per quadratum hujus differentiae, si de V S; aut per ejusdem cubum, ii de V aut per ipsius surdes olidum, si de V Θ qtiaeratur, atque ita de caeteris. a ratione aliud semper binomium habebitur, in quo radix differentiae quadratorum partium erit diseierentia quadratorum partium prioris binomii. Ut ad extrahendam radicem cubicam ex as V 968, subduco primum 62s, quadratum ex 2 s, a 968, & remanent 3, cujus numeri radix cubica est 7, numerus nimirum rationalis. Id quod arguit, radicem, modo cx dato binomio extrahi possit, sore binomiam, cujus una pars futura sit rationalis. Similiter ad extrahendam V ex 22 - έq86, oportet q84, quadratum a 22, subducere ex 486, & ex reliquo 1 clicere radicem cubicam. Quoniam vero id fieri non potest, constat radicem cubicam ex 22 --V q86 parterationali carere: ac propterea 2 2-έ 486 per a multiplicandam esse, ut habeatur binomium V I9 4, in quo radix differcntiae quadratorum partium est 2. Sic ad extrahendam radicem sese solidam ex II in v I 2s , quoniam subductis I 2I a I 2s, remanent 4,qui numerus surdesolidus non est: hinc II - - έ 12 s multiplicari debet per I 6, quadratum ex Α , ut proveniat IT 3 - ν 3ro oo. In quo radix sursolida differentiae quadratorum partium est . Denique ad extrahendam U S ex 3 33 -- έ iiq*qa,
in quo differentia quadratorum partium est 2,quoniam hic numerus B-surde lidus non est: ideo datum binomium multiplicari
debet per 8, hoc est, per cubum ex 2, & fit 27oq- έ73II 488, in quo V O differentiae quadratorum partium est 2. R E G V L A.
Per praecedentem praeparationem semper invenitur binomium, cujus una pars, & alterius partis quadratum, nec non radix diffinrentiae quadratorum partium, sunt numeri rationales integri; ex
quo V O, ui V S, aut V 2, &c. extrahi debet.
In quem finem inveniendus est numerus rationalis radice quaesta paulo major; ita ut differentia non major sit quam , Quod facile per vulgarem Arithmeticam fieri potest.
425쪽
392 ADDITA MENTUM. Iam si pars rationalis dati binomii reliqua parte major fuerit,
oportet huic radici rationali addere radicem differentiae quadratorum partium, divisam per eandem radicem rationalem: eritque semissis maximi integri numeri, in aggregato contenti, pars rationalis radicis quaesitae. A cujus partis quadrato si auferatur radix differentiae quadratorum partium, habebitur reliquae partis quadratum dummodo radix ex dato binomio extrahi possit. Id quod facile per multiplicationem huius inventae radicis experiri licet, quae datum binomium, si aliqua ex eo extrahi possit, pr
Verita , si dati binomii pars rationalis reliqua parte minor
fuerit, oportet a radice rationali, quam ex toto binomio extraximus , si oducere radicem differentiae quadratorum partium, divisam per eandem radicem rationalem : critque media pars maximi integri numeri in reliquo contenti, pars rationalis, radicis
quaesitae. Ad cujus partis quadratum si addatur radix differentiae quadratorum partium, habebitur quadratum reliquae partis; modo radix suerit binomium. Quod ex multiplicatione cui supra manifestum fiet. Exempli causa, ad extrahendam radicem cubicam ex HisV 968, cognito jam radicem cubicam disterentiae quadratorum partium esse 7, cxtraho radicem quadratam ex V 968, quae estniajor quam 3 I , at minor quam 3 2 ; deinde ad 2 s , numerum ab solutum, addo 3I aut 32, & fit summa s Caut 17. Ex qua radicem cubicam extraho, quae quidem minor est quam at major quam 3l; ita ut sit numerus quaesitus rationalis, vera radice paulo major. Postea ex subtraho ἰ hoc est, I, radicem cubicam diseserentiae quadratorum partium, postquam per radicem inventam est divisa , & remanent ab Subtraho autem, quoniam nume rus absolutus a s minor est quam V 968 si enim esset major ad-' denda fuisset. Maximus vero integer numerus in et a contentus, est et, cujus semissis est et , pars rationalis, radicis. Cujus quadrato I, addo 7, g O nempe disserentiae quadratorum partium,& fit summa 8, quadratum alterius partis. Ita ut I - - ν 8 iit V ex as- έ 968, nimirum si v ex eo extrahi possit. Quod ut cognoscatur,oporiet per multiplicationem investigare cubum ex IH 8; aut si brevitati consulamus , tantum ejus partem rationalem: quod fit addendo I, cubum partis rationalis radicis, ad triplum ejus-Dj0itigeo by Gorale
426쪽
ejusdem partis I, multiplicatae per 8, inadratum alterius partis. Quod quia cum a s parte rationali dati binomii conveniri constat, 8 esse veram radicem: si vero non conveniret, radicem extrahi non posse, liquido constaret. Eodem modo ad extriuendam Φ V r9-: radix cubica disserentiae quadratorum partium est et, & radix quadrata ex I9 major quam qq, at minor quam qs. Quam addo num ro absoluto 4 α fit summa 88 au t89,cujus VS major est quamq, & minor quam Α . Quapropter subtracta ἔ, radice differentiae quadratorum partium, divisa per radicem rationalem, ex εέ, pro radice rationali assumpta, remanent qA. Et fit 2, semissis ex Α, pars rationalis radicis. cujus quadrato , si addatur et , radix differentiae, prodibit quadratum reliquae partis. Vt patet, addendo S ad ter 2, multiplicatum peris, hoc est, 32; &st sit ma 4 , pars rationalis binomii dati: adeoque 2 - ν s radix quaesita. Ad extrahendam ex r7 ς ε 3 32ocio; cadix sursolida diseferentiae quadratorum partium est 6; radix autem sursolida rationalis ex dato binomio est 3 b unde subductis vi divisis per 34, hoe
est, I , remanebunt a Semissis vero ex 2 est I, cujus quadratum et additum ad efficit s , di fit x --ν s, ra x sursolida quaesita ex x76 -- έ32ooo; saltem si aliqua inveniri possit. Id quod totius binomii multiplicatione indagari potest, vel brevius, addendo simul, lardes idum partis rationalis, radicis; decuplum
cubum ejusdem, multiplicatum per quadratum alterius partis; dc quintuplum partis rationalis, multiplicatum per quadrato-qu dratum ejusdem alterius partis. Nimirum addendo et, so, & Ia s, unde exsurgunt Im. Quod cum parti rationali dati binomii
sit aevale, sevhur et in v s proptati binomii esse veram radicem.
sida disserentiae quadratorum partium est 2; radix autem B-su solida rationalis totius binomii est 3Z, cui addo quoniam hic numerus absolutus major est , de fit summa 4 is: ac proinde et radicis pars rationalis. A cujus quadrato 6 iubtraho et, radicem B-sursolidam disserentiae quadratorum partium, & relinquetur alae rius partis quadratum 2. porr5 multiplico χ-a B- si1rsolide,
427쪽
tum exu 2s II do, trigesies& quinquies cubum ex et, multipliscatum per quadrat quadratum ex V 2; & II 2, septies 2, multia plicatum per quadrato-cubum ex V 2, & provenient 27oq. Vnde manifestum fin 2 - 2 esse radicem quaesitam. Caeterum observandum hic est, postquam datum binomium per numerum aliquem multiplicatum aut divisum fuerit, atque ad aliud reductum, cujus radix iam sit inventa, quod, ad prioris binomii radicem obtinendam , radicem inventam dividere aut multiplicare oporteat per radicem numeri, per quem binomium multiplicatum suit aut divisum. ,
Sie quoniam ad extrahendam V O V 2 et in I 24, ipsum per Σ multiplicavimus, & deinde hujus posterioris binomii radicem invenimes esse I ---8 ; dividendum erit i 3 8 per ν Oex 2,&fiet v I 28, radix cubica ex V 242 Ia b
per χ; unde fit ut inventa radix cubicaa H. V ὸ dividenda sit per
tiplicavimus per is, ad extrahendam V S: qu enecesse est i ventam radicem I U s dividere per V S 16, de multiplicare per κ Θ 3, ut habeatur vera radix satiositaex dato binomio. SEQUITUR D E M O 'ST ILAT I O. IN primis est ostendendum, quod, si binomium aliquod in se
multiplicetur cubice, proveniat semeer aliud binomium, in jus partium quadrata, a se invicem sub icta, relinquant cubum . di entiae, quadratorum partium radicis sive primi binomii. Id Diuitiaco by Corali
428쪽
ADDITA MENTUM. 39s quod manifestum sit, supponendo binomium illud desinari pera R Hibe,quod in se multiplicatum quadrate producit binomium B ra e, & hoc rursus per a RV b c, producit bino-miuma' - 3 9 3 --; utpote cubum ex a RVbi notandum, quod , licet in binomio plures reperiantur partes, tamen non nisi pro in abus lint habendae, quarum una. utpote, a) -- 3 abc, designet numerum rationalem , at vero 3 aa --bc, numerum irrationalem seu surdum. Deinde constat, partem rationalem a) - 3 abe, compositam esse excubo partis rationalis radicis, & ex triplo solido, quod sit ex eadem hac parte in quadratum reliquae partis radicis: ac denique, si dietarum partium a)--3 ab c&3 aa - bc g b c quadrata
In numeris. Esto a V 2, V bc MV6. Hinc malit plicato binomio 1 in se cub;ce, fit binomium q4 - - I9qq: in quo Διπι ρ partium quadrata, 19 3 & I9qq, a se invicem subducta, tali n- νη quunt 8, cubum differentiae quadratorum partium. Deinde ostendendum , binomium multiplicatum per disserentiam quadratorum partium producere semper aliud bino- λιιιν Mamium, in quo ditarentia quadratorum rartium sit numerus cubicus
Quod patet si multiplicetur binomium a R V be, per bc, .me s.
differentiam quadratorum partium. Exsurgit enim binomium - abesi V a' b c . et aabbc et cujus partium quadrata, et a b c a abbee dea be et aabbee. b'cuse invicem subducta, relinquunt 3 a b c Φ3aabbce b c , num rum cubicum, cujus radix cubica ah Ibe,est,ut supra, dissere
tia quadratorum partium prioris binomii a R V be. Innumeris. Silam 22,& Vbem V Vnde multiplicato binomio ΣΣ --ν 86 per differentiam quadratorum partium 2, prodibit binomium -- έ I9 . in quo disserentia quadrat rum partium est 8, utpote cubus disserentiae et , quae est inter q8 di q86, partium quadrata prioris binomii et 2 - - έ 86. Quibus expositis, ad extrahendam VO ex binomio 2o-μ
429쪽
ADDITA MENTUM. cogitetura' in 3 abcessero,& 3 3aa,ita ut datum binomium zo Φέ392, &radix eius cubicaa - έ be ipsam radicem quaerendam, cujus maior pars sit a. & minor 3 b c. Tum operare secundum regulam.
subtii: quadrata partium a se invicem
. 2Adde d ro, partem rationalem binomiis --- I9, praeter propter valorem partis irrationalis., & fit 3 9 , valor dati binomii in rationalibus, circiter. utpote a vero unitate non discedens , quippe qui inter 39 & consistit. Vnde radix cubita fit major quam 3 & minor 'um 3 , ita ut 3 2 radicem veram non supra i excecat. Sumatur autem quasi esset vera, & aequalis a --b e. Eidiviae a, hoc est,aa-bς, per qZ, hoc&fit , sive a -- έ bc add. 3I, hoc est, a Ubc,& sit summa - . sive 2 a, duplum partis rationalis, radicis. Lipponendo 3 a esse veram radicem. Sed cum 3 ὲ sit major radice vera; ita tamen , ut disserentia non sit sipraέ, sit, ut Ais quoque duplo partis rati lἱs major existat, & differentia minor quam x. sicut inserius ostensiri sumus. Vnde cum eadem pars sit numerus rationalis integer, sequitur duplum ejus fore utpote maximum integrum numerum in εὐ contentum, adeo que ipsam dictam partem fore 2. Qua inventa, ficile est reliquam invenire. Etenim, si Α, quadrato ejusdem partis, subducatur 2 , radix cubica differentiae quadratorum partium dati bis nomii, resinquetura, quadratum alterius partis et Ita uvradixi vem sit a
430쪽
Vbi notandum, operationem hane sufficere ad investigandam radicem, cum constat illam binomiam esse; sed quando id incertum fuerit, explorari poterit per multiplicationem inventibin Mi in se cubice, ut etiam brevius per sequentem operationem. Divid. 4o , hoc est,ta is ab cper ψ, hoc est, in& fit quotiens i o, sive a a - 3 b c. Cui addatur ter et, seu is, hoc est, 3 aa- 3 b & provenit iri live qaa: quod est quadratum superioris , nimirum duplum partis rationalis inventae a. Vnde radix binomiaerit, & duplum ejusdein partis Ar adeoque 2 rindix quaesita-Vel etiam hoc modo et Ad 8, hoe est, a add. I 2, hoc est. 3 a b e r& provenit zo, sive a) - 3 a b c. quod cum sit pars rationalis dati binomii: sequitur 2 in V 2 esse radicem quaesitam omnino ut supra fuit expositum.
Similiter, ad extrahendam f O ex I9v, in quo pars rationalis est minor reliqua parte v I9-;cogitetur ut supra
designet datum binomium V I9 ε, & illius radix cubicaa -- έ be hujus radicem quaerenaam, cujus asit minor pars, &kb c major. Tum operare secundum regulam.
a , radix eubica reliqui, sive be--α
4 Adde ad partem rationalem binomii . - - - , praeter propter valorem partis irrationalis ii V di sit 88, valor binomii dati in rationalibus, circiter. quippe qui a vero unitate non absit, cum inter 83 & 89 consistat.