Geometria, à Renato Des Cartes anno 1637 Gallicè edita; postea autem vnà cum notis Florimondi De Beaune, ... Gallicè conscriptis in Latinam linguam versa, & commentariis illustrata, opera atque studio Francisci à Schooten, ... Nunc demum ab eodem dil

441쪽

Ο8 IOHAsNIs HvDDENII EPIs T. Icaput est . quod hominis seret otio suo abutentis, eas tibi: cui. quicquid in athesi inaccessum aliis videtur, perspectum est,) transmittere. Et ut distinctius meos conceptus exprimam, primo restringam meas Regulas ad eas aequationes, in quibus

una tanti, in incognita quantitas reperitur, quam semper nominabox; & in quibus Primus Terminus Primum Terminum eum dico, in quo x plurimarum est dimensionum; Secundum, ubi x est una dimensione minor. 8 . sic porrb non est multiplicatus aut divisus

per aliquam cognitam quantitatem, atque semper assectus signo --: Quia non tantum hoc pacto omnes aequationes considerare consuevimus, sea etiam quia nullo , aut parvo admodum labore , ut cuilibet notum est, ad talem formam, si eam non habeant. redigi possunt.

AD OMNEM AEQUATIONEM , SIVE IN EA IRRATIONALES QUANTITATES ET FRACTIONES, SIVE NULLAE IN VENIANT V R.

Si in aequatione literati una uri plures alterae seu

quantitates cognitae supponantur m o, atque eo ultimus Termissus non evanescat. neque aequatio. quae hinc resultat, reducibilis sit, certum est neque Pror sitam aequationem reducibilem fore: at vero si ultimus Terminus mane sim . atque etiam inde Resultans aequatio non existat reducibilis aequatio Proposita ad pauciores dimensiones quam ista resultans reduci non poterit. Exem

442쪽

DE REDUCTIONE AEQUATIONUM 4o9 Exemplum, ubi ultimin Terminus non evanesit.

Exemplum, ubi ultimus Terminus mansit.

supponantur d&amo, resultat inde xy-6 ct m o. Quia verbiaee aequatio trium dimensionum reduci nequit, argumentum est neque Propositam ad pauciores dimensiones quam ad tres, red eibilem fore. Sic etiam supponendo d&bmo, vel tantum e M o, orientur duae aequationes x - 3 aax -- e xx-I 2aae M o. x fabae bba xx σψbx - 6aab'mo. - 3a a Quae si reduci non poterunt, denotabunt Propositam aequati nem, ad pauciores dimensiones quam ad s, reduci non posse. Dico, illam non ad pauciores dimensiones reducibile ore, quippe aliquando contingere potest, ut Proposita aequatio ad eundem dimensionum numerum sit reducibilis. quemadmodum contingit in hac H - qax - Α a axx- - 2 by x-q aby mo, supponendo a m o: exsurgit enim x --χbyx o, quae non potest reduci, &tamen aequatio Proposita est reducibilis per x- 2 a M o.

II. R E G V L A. Si in aequatione literati pro una , vel pluribus , vel omnibus literis seu quantitatibus cognitis , supponan-

443쪽

ro IOHANNIS HUD DENII EPIST. I. tur numeri, vel aliae quantitates ad libitum, atque eo ut timus Terminus non evanescat, neque aequatio, sive numeralis, sive literatis. quae hinc resultat, reducibilis sit, certum est, neque Pr ositam aequationem reducibilem fore; si vero ultimus Terminus evanescat, atque etiam. inde Resultans aequatio non existat reducibilis , aequatio Proposita ad pauciores dimensioneS, quam ista Resultans, reduci non poterit. Exempla, tibi ultimus Terminus non evanescit. x. Si in hac aequatione xy - 2 a xx 3bbx- 3 Mo sur b b - 3bΤ

se 9 abbponatur a m I, & b M I, resultabit inde aequatio numeralis - 3 xx Ioa - mo. Quae,quoniam non est reducibilis,lndicabit, neque Propolitam aequationem reducibilem esse. 2.Sic etiam, si habeamus hanc ηηη Mabb- I o a b oo,

mo. Quia vero haec aequatio reduci non potest, certum est, neque Propositam reducibilem fore. 3 .Non secus,si in aequationea Τη -8ata x ψυ)-2a3MMo

seu d m -- , fiet index= η ηη 8 a' mo. Quoniam vero haec aequatio non reducibilis existit, certum est, tac. . Eodem modo se res habet in aequationibus, ubi quantitates Irrationales reperiuntur: nam, exempli gratia, si detur haec aeruatio x η xx Via a b ab abbMO, upponendo ἰ a a b b M o, seu bbM -iaa, resultabit x a3 b ς. a m o. quae, quoniam reduci non

444쪽

Exempla, ubi aequatio Resistans pauciores quam Propossa dimensiones habet.

de supponatura-bbmo,scuam resultabit xy 3. a 'MO. quae etiam non poterit reduci, ideoque indicabit Propositam aequationem ad pauciores quam ad tres dimensiones reduci non posse. Dicon in adpauciores Hmensiones Ham reducibili ore , quippe aliquando contingere potest, ut Proposita aequatio ad eundem dimensionum numerum sit reducibilis. Quod etiam in 1 Regula locum habuit, ibique explicatum est. Sed si roges, quot ego dimensiones et is huic exemplo adscribam λ respondeo, me tot dimensiones cuilibet aequationi adscribere , quot ejus incognita quantitas ad summum dimensiones habet , dempto omni ligno radicali, quod illam incognitam quantitatem includit: ideoque illud 24' exemplum habiturum 6 dimensiones,postquam signum radicate ante quantitatem incognitam, nempe x x in a a - bablatum fuerit.

N o et duae in hanc IS II Regulam.

I. Notandum est, utramque hanc Regulam non tantum magnum habere usum in inquirendo, utrum aequatio aliqua literatis reducibilis sit, verum etiam eodem modo inquiri posse: I N. Num arquatio illa vel etiam quantitas quaevis composita, per aliam aequationem vel quantitatem, quae rationalis sit, dividi

possit. Num admittat radicem quadratam, cubicam, vel aliam.

445쪽

Num duae vel plures aequationes, vel quantitates di ,

admittant communem aliquem divisorem. Nam,finon admutant diviserem ratunatim, vel aerem aboraram, vel communem divisorem,illud plerumque,monstratam jam ineu

do viam, vel uno intuitu, vel saltem admodum facile, innotescet; praesertim in aequationibus vel quantitatibus valde compositis, atque ex multis diversiis literis constantibus , quod saepenumero ineundo aliam viam valde dissicile inventu esset, magnumque &laborem & industriam requirerct. Haec enim Methodus tantum exigit, ut aequationes, Vel quantitates dictae, determinentur sup ponendo unam vel plures literas nihilo, vel unitati, vel numero,

vel quantitati, ad libitum sumendis, aequales, ad alias , quas

aliunde scimus non admittere reductionem, vel rationalem divisorem, vel radicem aliquam , vel communem divisorem. Quod omne, exemplis explicare, supervacuum erit, quemadmodum etiam omnem ejus methodi usum enumerare, quem fatis in gnem esse jam patuit; ac vel eo nomine, quod itia nec fractiones,

nec irrationales quantitates moretur, non raro magnum adsertcompendium. Denique,s aequationes, vel qua titates composita, admistant redu-

nem Hvisorem, possunt etiam illa omnia in multis casibus hac Methodo satis compendiose inveniri. sed haec non sunt hujus loci,

posthac sortassis aliquid de iis indicabo.

II. Quid velim per aequationem ex Fraposita Resiustorem, necessarium videtur, ut paulo clarius exponam: maxime quia id etiam insequentibus Regulis, ubilitera aliquam o supponitur, usum suum habebit. Quando enim una pluresve literae vel quantit tes M o sumuntur, liquet, omnes quantitates, ex multiplicatione harum per alias productas, etiam aequales nihilo fieri; ideoque in Propolita aequatione necessarib evanescere. quemadmodum in allatis exemplis quoque est videre. Adeo utinaequationibus,quae literales fractiones non includunt, pateat, quid per aequationem Resultantem intelligam. Sed si literatis fractiones dantur, tunc quidem facile, nisi quis probe animum advertat, error committi posset. Etenim fractionis numeratore M o existente, tollenda est ista fractio ex Proposita aequatione; at denominatore Ioci existe te, Oportet terminos omnes aequationis primibn per ejusmodi

446쪽

denominatores muItiplicare. Quo peracto, erit aequatio haec, in qua scilicet nulla amplius reperitur fractio literatis, cujus den minator est M o, & in qua conditiones omnes assumptae,sive suppositiones , sunt adimpletat, illa, quam ex Proposita resultare dico.

Exempla.

Nec tantum hoc observandum m aequationibus, sed etiam inquantitatibus compositis, quarum communis mensura, vel divisor, vel radix petitur. Vt, exempli gratia, si inquirere velis, num V dextrahi possit ex e c-2 e d dd - --- Σ-& in eum finem supposuisses c c - 2 e d . iamo: retinendum esset brunon autem a b Si enim a bit retineres, concludendum foret, Fff 3 meam Diqitired by GOrale

447쪽

III. R E G V Lmae modum docet reducendi onium aequationem, ae

rum v literam atquam non continetur ; S-ae diem non babet eundem dimens um numerum inciVersi Term Sunoono omnes Propositae aequationis quantitates .

in qu tus eadem litera

id interdum variis modis fieri potest , quo calu illi praecae eris em veniunt, qui facissimas ae uationes

ministra t. vel quibuS

situm nervenire licet. Et, si Proposita aequatio excluabus enismodi dictis aequationibuS produci poterit .criam pepsquam harum fictarum Iuationum , Inouibus dictae literae sunt sublatae, divisibilis erit. ex Horum . in quibus Propositae qumtiones de numeras nec siterales' citreinei connuent. IIae -i Gaac Φε8 a b c lsaa -8a ab in I a c

448쪽

DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. AIs Primo itaque periculum faciam in litera a, supponendo

- I sayx- - O O. Quae sunt omnes quantitates per a)divisibiles, quae in Proposita aequatione inveniuntur, & in quibus secta divisione litera a evanescit: oritur enim- Usa - 3 2 c Mo, scii, dividendo per -I6,x - 2 cmo. Iam tento,num Proposita aequatio dividi queat per x-2 cmo.

Nam si per hanc dividi non possit,uti hac x-2 c Moab omni factione non isbe fuisset, quod huic quidem primo exemplorum g neri est proprium ad aliam literam transissem. Quamvis enim aliae adhuc quantitates inaequatione reperiantur, in quibus a continetur, quaeque omnes per aliam quam a in dividi possunt, sic ut li

tamen id uno modo in hae Regula tentasse lassicit. Hine eum Pr posita aequatio pera: - 2 e Mo divisibilis non sit,transeo ad aliam literam, puta b. Quoniam autem hic una tantum quantitas cxistit, in qua bb reperitur, nempe I 6bbca, idcirco & hanc transeo, quandoquidem per I 6 bbea nullus valor ipsius x obtineri potest, di considero literam c, ponendoqbcxx- I 6 abcx Isbbae M o. Haec igitur cum absque

fractione dividatur per ψ b c a' ,ac oriatur ara: - bmo: 8a a quirendum ulterius restat, an Proposita aequatio dividi possit per xx - qax ab M o. inveniturque divisionem fieri posse.

8a a Dixi in Regula,quod sussciat,re vulis lueris uno totum modo tentasse, cit quod ista modipra cateris ellends veniant, quifacissimas aequationes subministrant, vel quibus omnium brevissime ad quaesitum pervenare licet. Sic enim breviorem viam ingressus estem, H quanti tales sumpsissem, in quibus a ubique unam tantum dimensonem habet. Nam quoniam tunc obtineo -6ax'--χ ac xx V -

16 abc x irabo Mo, primo intuitu apparet,cum per 5 dividi nequeat, quod hae quatilitates non sine I actione dividi possint.

449쪽

quia quantitas -2a ab in ea sola reperitur, in qua a duas habet dimentiones; & quantitas 3 abbsola, inquab duas dimensi nes habet: idcirco transeo ad literam o , obtineoque - 3 cxx -6 ac x Do seu - 3 cx Fac M o. Id quod divisum -9bc -9bc per 3 c, dat x-2 amo. Cujus ope Proposita aequatio dividi

potest. Quod, si aliter evenisset, postquam jam periculum in omnibus factuin esset literis, indicio fuisset, aequationem Propositam ex duabus ejusmodi aliis, quales supra determinavi, pr duci non posse. 3. Similiter examinaturas hanc aequationem x --b x x ab V ab 3bbmx bbWab- 3bbaeo, - έab--3bb - 8M exordiens Iliteraa, invenio aequationem - V ab - 3bo in xx,

per-v ab 3 bb,&evanescita, obtineoque hanc x x - 2bx 6b bmo ; per quam Proposita dividi potest. Quod si vero haec. divisio non neri potuisset, proεrediendum fuisset ad literam b. Quia autem liquet per b, secundum singulas etiam suas dimensi nes considerata, non posse aliquem ipsius x valorem invenirit conclusissem, ut ante, aequationem Propositam ex duabus ejusmodi aliis, quales supra determinavi, produci non posse. . Nec aliter se res habet in hac aequatione . '--ν--a-2 cxx 2 Uxx---- cx V 3 cc aainv H amo. 2 a -- --3-x --3 - g 3ιπ' --ν 3 ec MNam primo video literam a negligi posse, quia sola -3 aax r peritur, nec ulla alia, quae per a a sic dividi possit, ut ipsa a prorsus evanescat. Transeo itaque ad literam e , supponendo

450쪽

DE REDUCTIONE AEQUAT IONVM. 4I7 ope Propositam aequationem dividere licet. Quae si per hane d vidi non potuisset, quia jam res singulis literis tentata esset, conclusissem, ut prius, Propositam aequationem, &c.

Σ - genus exemplorum. in quibus Propositae aequationes reactiones continent.

Inter haec & praecedentia exempla, nulla alia disserentia respectu operationis existit, quam quod Ficta aequatio , perquam divisio Propositae tentatur, non necessario, sicut ibi, ab omni se ctione libera esse debeat. Quocirca unicum exemplum in medium adduxisse sussecerit. Proponatur aequatio ac)-- sata H--x -m O.

Transeo literam a , pr is ter quantitatem a', quoniam a nusquam amplius 3 dimentionum reperitur. Hinc transien ad b, i venio 2b xx ab x -2aab - 2 ς'mo,seu dividens ubique per 2b, xx--raa --aa Mo , per quam Proposita dividi po-

test Quod si vero haec divisio fieri non potuisset, conclusissem; cum tantum per literam c adhuc explorandum foret, atque haec ipsa e non magis quam literaa, sicut ex quantitate - χ es, manifestum est, ad rem quidquam faciat; aequationem Propositam ex duabus ejusmodi aliis, quales supra determinavi, produci non posse. ordo vero, quem in hac inquisitione, an nimirum Proposita aequatio per hujusmodi Fictas divisibilis sit, observo, talis est: Primum inquiro, an nullae aliae quantitates, in quibus haec abi ta litera reperitur, in Ρroposita aequatione existant. Si enim plures reperiantur, tum ipsas omnes, quae ita per illam dividi pose sunt, ut ea ubique evanescat, in unam summam colligo. ut in hoc exemplo, quantitates omnes in quibus , duas dimensiones habet. Qtio peracto, si quotiens non idem sit cum praecedenti, per quod divisio examinatur, concludo,hanc divisionem fieri non