장음표시 사용
451쪽
posse. Denique,si nullae ampli ira in Proposita auluatione supersint quantitates, in quibus dicta litera reperitur, divido ultimo per illam Fictam aequationem omnes reliquas quantitates, in quibus litera illa non reperitur; quaeque simul per dictam Fictam divisibiles sunt futurae, ii quidem Proposita aequatio pet eam divitibilis
ilemq;S;-- - x zabboc odiv.per i ,sit ----- o. Si igitur hoc quotiens cum praecedenti non convenisset, etiam Proposita aequatio per xx -- a amo divili bilis non fuisset.
Quoniam autem conveniunt, & nullae amplius quantitates in Proposita aequatione supersunt, in quibus litera b reperitur, inquiro tandem, num omnes reliquae etiam per xx- Iax- aam
dividi possint. Hine cum reliquae quantitates, in quibus b non re peritur, sint x - - aax- Ia , ipsaeque per xx in lax a a
dividi queant, ac oriatur x -la; idcirco & Proposita aequatio per x x εἱa x a a m o dividi poterit. Quae alias, ut manis
stum est, per illam non divisibilis suisset, si ultima haee divisio fieri. non potuisset; Quotiens vero est x - a --- - 2 b zo cuIV. R E G V L a. modum docet reducendi omnem et rationem, quae produci potes ex maltiplisatione duarum alimrum , quarum una literam aliquam , quae in altera non continetur; quaeque hit ma in aliquo termino tot dimensiones habet, quot in nasio alio. Suppono omnes Propositae aequationis quantitates, in quibus eadem litera reperitur , quaeque simul sic divi,
452쪽
DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. 4 I9di possunt, ut illa titera evanescat, Io o. Atque hoc in Angulis titeris facio, verum non uno duntaxat modo, sicut
in praecedenti 3 Regula, sed modis omnibus , quibus id feri potes. EtsProposita AEquatio ex duabus ejusmodidit his aequationibus produci poterit, erit etiam divisibilis per aliquam harum Fictarum AEquationum , in quibus dictae litterae sunt sublatae.
. Quoniam autem haec Regula omnino eadem facienda praescribit, quae praecedens 3 '; hoc tantum excepto, quod illic insingulis diversis literis duntaxat uno modo, uti dictum est, hic modis omnibus sit tentandum; susscit uno exemplo rem declarare. Proponatur itaque haec aequatio
quit quod ipsum in hoc exemplo vel hincapparet, quoa hic ultimus terminus - ultimum terminum Propositae aequationis
non absque literati fractione dividat . Iam, non quidem ad aliam literam transeo, quemadmodum in praecedenti Regula, sed tamdiu considerabo eandem a , quamdiu adhuc aliae quantitates inaequationerxtant,in quisus illa plurium aut pauciorum stimensionum reperitur. Atque ideo cum ipsa a hic adhuc 1 dimensionum repertatur, suppono similiter quantitates omnes, in quibus a dimensiones habet, Io o : nimirum,la axa: - ἱaab-; suemo, seu xx-lbx-ἱbbmo, quae Propositam aequationem divid re potest. Quod sit secus evenisset, ad aliam literam transiissem, quandoquidem omnes quantitates, inquibus a continetur, s lummodo dividi possunt per a , vel a a. Quocirca facto periculo in singulis literis ,& omnibus modis, si comperiatur, divisionem aequationis Propositae per nullam Fictarum succedere , certum est, neque Propositam. aequationem, ex duabus ejusmodi aliis,
quales supra determinavi,produci posse.
453쪽
V. 'R E G V L A, modum docet reducendi omnem aequationem,
quae produci potest ex multiplicatione duarum alia
rum , quarum una literam aliquam comprehendit, quae in altera non continetur. Supponatur aliqua litera m o ; investigeturque num aequatio , quae hinc resultat, habeat cum Proposita communem divisorem. Si non habeat, supponatur iterum alia litera m o, investigeturque. num ista Resultans habeat communem divisorem: atque sic porro, donec aut communis reperiatur divisor. aut nulla amplius litera supersit, quae non supposita sit Io o. Et si non inveniatur communis divisor , signum erit, aequationem Propositam, ex multiplicatione duarum aliarum , quarum una literam si drai' comprehendit, quae in altera non continetur. produci non posse.
Ex. gratia, si proponatur haec aequatio . . x3 - - a b x 3 3 abyMo,bb--- Ta' in Iois supponaturque litera am o, resultabit index η-μbbx - - 3 obbb xxx o, quaecum Proposita communem habet divisorem, nempe xx- 3 bx- Io bbm o. Quod, si aliter evenisset, aliam literari, nimirum b, posuissem M o. di si inde Resultans aequatio
etiam non habuisset communem divisorem, conclusissem aequationem Propositam , quoniam tantum duas illas a & b diversas habet literas, non resultare posse ex multiplicatione duarum ali rum, &c. Res eodem modo se habet in aequationibus, quae irration tes quantitates includunt, ita ut non opus sit alia exempla ad jungere. Disiligis by Coogk
454쪽
. VI. R E G V L Pq, modum docet reducendi omnem aequationemmae proAcipotest ex multiplicatione duarum aliarum quarum una irrationalem aliquam quantitatem comprehendit, quae in altera non continetur; quaeque quantitas non eundem dimen um numerum in diversu Terminis habet. - Suppono, &c.
VII. R E G V L A, Oιae modum docet reducendi omnem aequationem, quae produci potest ex multiplicatione duarum aliarum, quarum una irrationalem aliquam quantitatem comprehendit . quae in altera non continetur s quaeque quantitas in albuo Termino tot habet dimen ues,' quot in nulta alio.
VIII. R E G V L A, modum docet reducendi omiam aequationem, quae produci potest ex multiplicatione duarum aliartim,
quarum una irrationalem aliquam quantitatem comprehendit , quae in altera non continetur.
supponatur, &c. Quoniam inter hane & 3 Regulam, & inter ς , nec non inter 8 & haud magna disparitas existit, &tantum pro Mera poni debet irrationatis quamlitas; erunt hae Regu-
455쪽
IO MANNIs HvDDENIT EPIST. I. per illas jam explicatae. Si enim pro unaquaque diversa quantitate irrationali duntaxat diversam literam concipias aut ponas, evadent hae cum illis plane eaedem. Atque idcirco haec verba in
6 Regula : quque quantitas aeque mustarum dimensionum in diversis terminis non exstit; & haec in 7 et quaque quantitin anatiquo ter mino talem dimensionum numerum habet, qualem in nulta abo; itemque quid sit quantitas aha irrationalis, nulla explicatione indigent. Et Corollarii loco hic annotari posset, hanc 8 Regulam etiam comprehendere Reductionem Omnis aequationis, quae produci potest ex multiplicatione duarum aliarum, quarum una est rationatu, hoc est, in qua nullum e gnum raduale, & altera irra
Quia vero haec ue & 8 Regula praesupponunt inventionem communis duarum aequationum divisoris, adjungam hic, quo
Modum octiendi maximum duarum suelplurium Deaequationumstve quantitatum, divisorem communem.
Proponatur , exempli causa, inveniendus maximus communis divisor duarum sequentium aequationum vel quantitatum, considero enim quantitates haud secus atque aequationes, supponendo se . illas M o: cum suppositio haec, ad inveniendum earum communem divisorem, nullum errorem inferre possit. d e cdd 2 bc 2MMODO,&. Pe biad ais e dumo. Primo itaque inquiro, num aliqua litera vel numerus reperiatur, cujus ope singuli utriusque aequationis termini dividi queant. Hoc enim si contingat, oportet prius ejusmodi divisionem instituere, ut hic per literam e , suntque a Mώ--χ- 2abdmo, de d bbia Mu a mo. Deinde ad libitum sumatur aliqua litera, quae in utraque harum aequationum reperiatur,ut ιιιι, vel A Atque considerando ipsam, puta d, tanquam incognitam quantitatem, redigatur utraque in ordinem, habebiturque I AEquatio 24 AEquatio 'd' add-χabd-F2 aabmo. d η-bb d d abbmo.
Porro valor ipsius d , per I aequationemiuventus, substia
456쪽
tione, habebitur a ad -- 2 ab d 2 a ab M o. Denique substituatur ipsius valor a in ejus locum in hac ultima, obtinebitur a)-ay-2aab--2a ab M o. In hac igitur cum termini omnes se mutuo destruant,indicio est tam aequationem d)-add- bd - - 2 a ab M o quam
d - autriusque maximum communemdivisorem existere. Atque adeo, cum duae Propositae aequationes vel quantitates prius per e sint divisae, manifestum est earundem maximum communem divisorem sere d-a in si seu-- a c. Quodsi autem aliam bteram quam ceu incognitam quantitatem consideremus, licebit similiter illius ope eosdem semper diviseres invenire. Exempli gratia, sia ut inec iis quantitas con sideretur, obtinebitur pro I AEq. - da in rimo. -- Vel a a d d mo,seu a amdd uela dm o, seu a Ma. Subrogetur jam valor ipsius aa, per χ' aequationem inve ius,in K cum a a primae aequationis, & invenietur pro ipsa
457쪽
In hac igitur cum rursus termini omnes se mutuo tollane, ar-. gumentum est, utramque aequationem, ut ante, S c. Eadem est ratio,quaecunque tandem litera pro incognita qua titate sumattar.
Si vero accidisset, ut nee per subrogationem valoris ipsius d), nec ipsius ιid, nec denique ipsius d , termini omnes se uiu tuo destruxissent, argumentum fuisset, quod duae illae aequationes di - add- 2 ab d et aabae o,& d' - bbdd --abbaeo
nullum communem divisorem habuissent, & quod duarum Pr positarum aequationum, quae prius per c fuerunt divisae, nullus communis divisor praetere extitisset. Excepto tantiim, ubi diu sio fieri potest per ejusmodi quantitates, quae simul possunt fieri M o, atque in causa esse, quod valor ejus literae, quae tanquam incognita quantitas consideratur, per 'm aequationem inveniri non possit. Exempli gratia, si in Propositu aequationibus literam b, ut incognitam quantitatem considerassem, obtinuissem pro I pro a M
vel brud. Vbi videmus, valores ipsus b, nempe rud,se invicem non tollere, ideoque coneludendum esset, has duas aequationes non habere communem divisorem , si nempe ejusmodi quantitates non reperirentur, quae, dum M o ponuntur, efficiunt, ut valor ipsius b inveniri nequeat. Quemadmodum si ponatur d-a mo, non poterit valor ipsius b per I aequationem inveniri: quippe tum dierit madae Priusquam itaque eoncludatur, iis lari duarum sive aequati num sive quantitatum communem aliquem divisorem: I' observandum venit, num ejusmodi quantitates in aequatione repe
runtur, quae in causa esse possunt, ubi valor incognitae liter seu
458쪽
DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. 42s
seu instar incognitae consideratae, per istam aequationem inveniri nequeat. 2 inli reperiantur , num utramque aequationem diu, dant. quemadmodamin hoc exemplo, ubi reperitur d - a m o, cujus ope utraque aequatio dividitur, quod, subrogando a in locum d , uno intuitu videre est. At vero si aliter evenisset, conclusissem, non dari, &c. Vnum adhuc exemplum adjungam. Proponamus inveniendum esse maximum communem divisorem harum duarum aequationum sive quantitatum
Quoniam autem hae non divisibiles sunt per aliquam literam nec per numerum, considero literam aliquam, ad libitum sumendam, tanquam incognitam quantitatem , purax, atque Operationem porro instituo, ut sequitur
Substituatur iam hic valor ipsius xym ejus locum in alterutra quatione, utpote prima quamvis autem in hoc exemplo parum intersit, potcst tamen in multis casibus magnum esse discrimen, tunc enim oportet, brevitatis causa, eligere eam, per quam operatio facillime procedit; quemadmodum vulgo, cum duae sunt, dimensionibus differentes, ea, quae pauciores habet, eligenda vonit , obtinebiturque xx Max - 6 a a. Substituatur rurius hic valor ipsius x x ubique in ejus locum in una praecedentium aequationum, sumendo, brevitatis causi. praecedentem 3 dimensionum, invenietur Eq. x Maxx - saax seu
In qua videmus terminos omnes se invicem tollere, quod arguit, hasce Propositas aequationes sive quantitates divisibiles esse
459쪽
per xx-ax - 6aa; quae ideo aiaximus est earum communis divisor. Porro manifestum est, si quis omnes duarum velpluriumstae Equationum e cuat titatum communes diviseres invenire velit, tantum inveniendos elle aerisores omnes Maximi earum communis Δυι oris. Praeterea etiam liquet, non tantum in multis casibus, per I& Σ Regillam cuti annotatum est) uno intuitu videri posse, duas AEquationes vel Quantitates non habere communem at quem .divisorem; verum etiam Regulas omnes, de Reduetion aequationum agentes, ad inveniendos omnes ipsarum communes
IX. R E G V L A, Eae modum docet reducendi omnem aequationem. e literalem sue numeralem, quaester aliam, cujus solummodo unus terminus datus est, dividipotes.
Ostendam hoc in uno aut altero tantum exemplo , quoniam generalis modus ex iis deprehendi satis poterit. Proponatur itaque aequatio x ar Ux I Ixx-7. 3 MO, deturque illam dividi posse per aliam duarum dimensionum, cujus ultimus Terminus iit - 2. Esto autem illa xx 'a - 2 CD O, seu, x x zo x 2. Hunc valorem ipsius xx ubique substituo in ejus locum, aliamque aequationem loco Propositae obtineo, inqua x tantum unius dimentionis reperitur e nimirum ,3 io II 1 II sina ,-2Υ- 'ID--m quemadmodum ex sequenti operatione videre est. -
460쪽
Deinde considero unumquemque terminum separatum aequintionis hujus deductis Io o, & cum hic duo tantum sint termini, habebo inde hasce duas aequationes
sit per x x- 2 a - 2 2D O. Eodem modo, proponatur haec aequatio P - 2aa: --Σaaxx-Σa x .emo, deturque ipsam dividi
posse per aequationem duarum dimensionum, cujus ultimus terminus sit in . Esto autcm aequatio illa a x I x ina a Mo,ade que xx OO x-aa. Hinc,subrogato hoc valore in locum xx, obtinebitur Leo Propolitae aequationis alia, in qua x unius tan-άim erit dimensionis, nempe -It x - aa'IM O. - 2 a1'-ia' ' cc' ina acc