장음표시 사용
461쪽
Cujus si unusquisque separatus terminus rursus consideretur habebimus has duas aequationes
3 dimensionum, cujus tertius terminus sit -2aax: pono pro
Quoniam autem haec aequatio 3 habet separatos terminos, hae bebuntur inde hae 3 aequationes
Quarum duarum maxima communis mensura per superiorem' me . Disitired by Corale
462쪽
DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. 429
methodum Mo, ideoque 'ma; cumque sit M 3Habb-χa', erit inde e etiam M AEquatio autem, per quam Proposita dividi potest , posita erata: -- Ixx 2aax cruo. Gocirca si in hac subrogenturvatores quantitatum incognitarum 18cet, invenietur pro ipsa xy -- a x x zaax 2 abb OO. Atque ita de aliis omnibus Propositis aequationibus sive rationalibus sive irrationalibus, & vel aliquam vel nullam fractionem habentibus ; atque etiam sive ultimus Terminus, sive aliquis alius, quem libuerit, aequationis, per quam Propositae dividiqueunt, datus fuerit,sive alicui quantitati ut in his exemplis ), sive nihilo aequalis sit; cujus quidem generis nullum exemplum affero, cum operatio haudquaquam diversa existat. Id tantum ad dam, haec omnia etiam ex comparatione terminorum duarum ejusdem formae aequationum inveniri posse.
Io , RT II R E G V L AE SE EXTENDUNT AD OMNEM AERVATIONEM, SIUE IN EA IRRATIONALEs Qv ANTITAT Es ET FRACTIONES, s LVE NvLLAE REPERIANTUR, EXCEPTIS TANTUM ILLIS QI A T I o N I B V S , IN Qv I Bus sIGNA RADICALIA SUNT, QJAE INCOGNITAM QUANTITATEM INCLvDVNT.
Cum autem hae duae Regulae Methodum requirant, qua omnia signae radicalia, quae incognitam quantitatem includunt, si inaequatione Proposita talia forte fuerint, primum tollantur; sequentes vero Regulae , quibus omnia signa sine discrimine prismum auserantur: praemittam
Modum tollendi rariealia ex qualibet
aequatione Progosta. Proponatur, verbi grati aequatio η me
in qua I '. quaelibet litera quantitatem delignet, si*no radicati k qadfectam. Multiplicetur utraque pars quadrate, & evane scet lignum quantitatis n. Quoniam autem reliquae literae e ,g, h,. m, &c. aut unam aut duas dimensiones habebunt, signumque radicate, in quantum duas habent, evanescet; manifestum est, ob-
463쪽
tineri posse aequationem, in quae aequatur aliis terminis, inquAbiise non comprehcnditur. Quae aequatio ii tu Ilus eodem modo iii se ducatur quadrate, evanescet pariter tignum radicate ipsius ea de quoniam in hac ulcima aequatio De rimc rc liquae literae habebunt. aut l, aut 2, aut 3 , aut qd in cubones, ac ipsae in quantum ex paribus dimentionibus con itant nullum sigma in radicate habent, de quantum cx imparibus cor stant ratione tollcndi signi radicalis solum nodo conliderandae sunt tanquam una duntaxat dimensi ne constatues, cum duae signo radicati semper carent: manis
stum est rursus inveniri polle aequationem, in qu ag sit aequalis aliquot terminis, in quibus g non comprehenditur. Qua aequatione denuo quadrata, sublatum item crit signum radicate ipsius e Atque ita facile est intelligere,qualibet quadratione unum lignum radicate tolli. ' . . , Majoris perspicuitatis ergo addatur sequens operatio, existen- ubi quadrando utramque partem aequa tionis prodit aequatiotin me e gg hhH- - - 2 re .rgh Brevitatis autem causa, pro
sive e Vnde quadrando rursus utramque partem invenitur: p --hb ethh μέ -etypt ety Ih Vph e iubi ubbl ubi χ
-gg-hι---2gh - 2 g - 2hlbine emo. Supponatur, ut ante, brevitatis causa,
464쪽
Supponatur rursus, brevitatis causa,
& invenietur υ ' m hh L: Quae aequatio ab omnibus mgnis radicalibus liberata est. Deinde ponatur unaquaeque litera aequationis superiorisum e , g it,dce. designare quantitatem signo radicali ν C. adfectam. In hac igitur si loco quadratae multiplicationis utraque pars multiplicetur cubice, evanei et signum radicate ipsiusn, &unaquaeque reliquarum literarum, Gg, h, &c. acquiret I, 2, aut 3 dimensiones. In quantum autem tres dimensiones habent, in tantum carent etiam signo radicali, adeo ut hac ratione obtineri queat aequatio, in qua e non niti I aut a dimensiones habere potest. Quocirca multiplicando omnes hosce terminos per e, obtinebitur aequatio, in quae praeter I, 2,& 3 dimensiones habere nequit. In quantum autem 3 habet, in tantum quoque signum radicate, uti dictum est, evanescit; ac proinde ipsae in hac aequatione etiam non nisi et & 2 dimensiones retinere poterit. Hinc si ope hujus aquationis quaeratur valor ipsius ae, isque in locum erpraecedentis substituatur , obtinebitur aequatio in qua e unam tantum dimensionem habebit, atque ideo inveniri poterit e aequalis aliquot terminis, in quibus ipsa non comprehenditur. Quae . aequatio, si deinde cubetur, dabit aliam, in qua similiter signum radicate ipsius e prorsus evanescet. vel polcitru in peremulisericari, & valore ede novo inveniri, qui iterum, ut antea , politus ocoee, habes valorem ipsius e alio adhuc modo; ideoque duo hivatores invicem comparati , aequationem dabunt, in qua
465쪽
ipsius e non reperies. Atque sic omnia alia signa radicalia ex aequiistione tolli possunt; quod facillime perspicitur, si tantum adve tamuS, quod, verbi gratia, solummodo habendae sint prog,gg, cum signum radicale d ponat. Quae ut magis perspicua evadant, sequentem operationem adjicere visum fuit. Sit ex. gr. nt m H 3 e -gΤM3
Esto jam, brevitatis causa, - et, rus', 'uoniam ipsae Asymmetria carent, fietque o 3 3
Denique ponatur, brevitatis causa, f) -μ 3 2ορ', &f H-3s' singulae lignum radicate deponant, eritque
& Quae aequatio ab Asymmetria libera est. Vel hoc modo: multiplicetur M e per e, erit-m e o; & qu niaminVenta estfym 3gee- - 3gge, seu, -- L mee
idem ab omni signo radicali libera est. Pari
466쪽
- Pari ratione tolli quoque pollunt signa quaevis altiora, sive illa ejusdem, sive diversae dimerisionis sitiat. Sed notandum est, quod signa liaec, sive ipsa cognitis, sive incognitis quantitatibus praesi-gantur, per hunc modum semper quidem tolli posuit, sed eum 1arpillime non esse brevissimum, quando scilicet signa radicalia ad
quantitates cognitas pertinent ; quemadmodum pag. 7s Geometriae cernere licet, ubi constat, quaedam signa tolli posse multiplicando radicem aequationis per certam aliquam quantitatem, quo opere ipsa in aliam aequationem transmutatur, sequὸ multas dimensiones habentem. Dantur praeterea adhuc alia compendia, quorum supra allatum exemplum specimen erit: haec enim aequatio fimiai visa per n ab una parte , N per e in g aequalis est n, ab altera parte, dat M 3ge, cujus partes cubice multiplic
taedabunt o 27gye aequationem, in qua nullum signum radicate invenitur: Sed quoniam proposui tantummodo hic generalem modum indicare, quo semper omnia signa radicalia tolliqueant, & non compendia, quibus in multis casibus facilius eo pervenire posses, monstrare; ideo huic rei finem imponam, & ad
X. R E G V L A. 2ud moduin docet reducendi o vem aequationem, si iterasem , ve numeralem, cujus incognita qu-titas , vel atia titera quae tauquam incognita consideraripotest duos velptares aequales habet valores.
Primo si in Proposita aequatione duae aequales radices cxistant, multiplico cana per Arithmeticam Progressionem pro libitii assumptam: nimirum, terminum aequationis per i 'o terminum progressionis, Σ terminum aequationis per D ' terminum progres
sionis. & sic deinceps; & Productium , quod inde fit,
467쪽
3 IOHANNIs HVD DENII EPIs T. I. quaero. per Methodum superius explicatam, maximum earum communem diviserem; atque hujus ope aequationem Propositam toties divido , quoties id fieri po
test. Exempli grvia troponatur haec aequatioxy xx s-2mo, in qua duae sunt aequales radices. Multiplico ergo ipsam per Α-rithmeticam Progressionem qualemcunque, hoc est, cujus incrementum vel decrementum sit vel x, vel 2 , vel 3 , vel alius quil bet numerus; & cujus primus terminus sit velo, vel , vel quam ci: Ita ut semper ejus ope talis terminus aequationis tolli possit, qualem quis voluerit, collocando tantis s ub eo Vt si, exempli causa, ultimum ejus terminum auferre velim, multiplicatio neri potest ipsius x -- xx- - x - 2 Moper hanc progressionem 3. 2. I. Osetque 3 xΤ- 8xx--sx η M o. Maxima autem communis divisor huius & Propositae aequationis est x- I M o, per quam Proposita bis dividi potest; ita ut ejusdem radices sint I, I, & 2. Sie si cupiam x aequationis terminum auferre, multiplicatio institui potest ipsius x - qxx - 1 x - 2 M oper hanc progressionem O. I. . 2. 3.& fit η- xx Iox'-6M C. Cujus quidem ac Propositae aequationis maximus communiudivisor, ut antea, est x - I M o.
Similiter si Σ-- terminum tollere lubeat, multiplicatici fieri potest, hoc pacto: xy - q. x. sκ - 2 mo
Vbi notandum, non necessarium esse, semper uti Progressione cujus excessus sit I, quanquam ea communiter sit optima. Caeterum notandum, inter omnes has divcrsas operationes , quamvis eundem communem divisorem maximum exhibeant, tamen alias aliis saepe esse praeferendas, quandoquidem unius term ni destructione saepenumero multo facilius ad finem pervenitur
468쪽
DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. 43s
uam alterius. Neque etiam tenemur hunc divisorem immedi te ex Proposita aequatione dc aliqua hujusmodi Progressione genita inveuigare: cum duae ex his eligi possint, quarum beneficio eum invenire liceat. Vt sumendo, verbi gratia, 3 xx - 8a - Ο Ο & - xxH- Iox-6 M o, vel 3 xx ae Io o &xt - s x ' M o, vel - xx-- tox,-6mo & x s x- qmo. Et saepe etiam longe compendiosius est, duo hujusmodi producta sibi eligere, ac deinde illorum communem divisorem quaerere, quam uti uno aliquo producto & ae luatione Proposita. Quae quidem omnia usus hujus Regulae abunde docebit. Quemadmodum autem in hoc exemplo, ita in quovis alio Proposito procedo: cum perinde sit, sive aequatio numerica, sive literatis fuerit, & sive fractiones aut surdas suantitates includat, ve non; modo incognita quantitas inter surdas non contineatur tita ut superfluum sit plura exempla hac de re afferre. Quocirca ad alteram hujus Regulae partem transeo.
1- Si in Proposita aequatione 3 aequales radicessuerint, multiplico illam per Arithmeticam Progressionem, ut antea; eritque Productum m o: Hoc Productum rursus multiplico per Arithmeticam Progressionem ; eritque hoc secundum Productum etiam m o. Si aequatio Proposita radices aequales habeat, ter multiplico ; si s , quater; & ita semper obtinebuntur tot' aequationes, quot radices aequales in aequatione Proposita continentur. Exempli grati detur haec aequatio a' - x x -- 8 -3 Mo, habens 3 aequales radices. Primo multiplico eam per O. I. 2. 3. q
Hoc productum iterum multiplico per O. I. Σ& provenit assa: - 26M . eritque communis divisor x - I M o,
Ita ut Proposita aequatio habeat has ε radices I, I, Et sic de aliis omnibus.
469쪽
Quod vero usum hujus Methodi concernit, is tantus est, in i veniendis Tangentibus, determinandis Maximis & Minimis, &quibusvis extremis, ut, quamvis se ad alia non extenderet, immensus tamen dici posset. Etenim reductis talibus Problematis ad AEquationem, in qua haec sola conditio ad elus determinati nem adbuc requiritur, ut incognita quantitas aut alia quaevis libtera, quae ut incognita consideratur ad duas aequales radices de terminetur : poterit Quaeisitum beneficio hujus Methodi quam facillime inveniri. quippe nihil aliud opus cst, quam aequati nem dicto modo per Arithmeticam Progressionem multiplica
re: cum duae hae aequationes tunc omnes Problematis conditi nes sint comprehensurae, ita ut ipsae tantum resolvendae restent.
Et notandum est, hoc saepe benescio solius productae aequationis, nullo, aut exiguo admodum labore, praestari posse; quod patet in omnibus illis exemplis, quae de inveniendis tangentibus pa-gin. qo, qt, & q2 aD 'des Cartes in sua Geometria sunt allata , in quibus udes incognitae existunt quidem cognita, sed
quae ut incognita consideratur: omnes enim illorum Problamatum conditiones aequationibus erunt comprehensae, si illae ipsae aequationes sic determinentur, ut dicta quantitas a duas aequales radices obtineat. Primum dictorum exemplorum est yy IO o. Multiplico per meam Methodum per 2. o -- .. si seu 2'' exemplum est
470쪽
DE REDUCTIONE AE VATION vin 3 Dixidendo jam per a d b dc transserendo v ad alteram partem, obtinebitur
36- autem exemplum ejusdem est naturae cum I R. Vbi patet, in omnibus hisce exemplis Quaesitum ex sola Producta aequatione uno intuitu inveniri s enim cognita est, atquc 'quae erat incognita ac sola quaerebatur, jam etiam innotuit. At vero saepe etiam accidit, ut Quaesitum ex sola hac Producta aequatione inveniri nequeat; quemadmodum contingit si valo rem quantitatis incognitae invcstigare velimus. Quippe tunc valor ipsius o iis prima aequatione in ejus Iocum subrogandus est, vel potisis in alia aequati'ne, per aliam Progressionem producta, cujus beneficio ex illa prima terminus aliquis pro lubitu excepto eo, qui per I Progressionem est sublatus tolli potest. Exempli gratia, in I ' exemplo multiplicatum fuit per 2, I, o,
ac inde inventum v MI- 'ἱ r; Iam si multiplicetur
Quocirca si in hac aequatione hi locum υ υ sarmetur ejus valor, innotescet inde etiam quantitas s. . Eodem modo, multiplicando in zφ' exemplo per hanc Pr gressionem 3, 2, I, O, - I, - 2 , 3 , inveniri potest valor quantitatis s. Vbi si similiter inlbeum υ υ, ejus valor substitu tur, quantitas ν inde innotescet. Quod si vero contingat, aequationem, perquam v quaeritur, esse talem, ut valor ipsius υ per eandem aequationem solam sine