장음표시 사용
491쪽
tio dictam radicem admittat: Quo saepe nonnihil laboris alis
Priusquam huic XI Regulae finem imponam,adsungam, quod, eodam modo, quo hae Regulae inventae sunt, & reliquae altiorum aequationum inveniri possint; uti & multae, ne dicam intimis aliae ad aequationes 6, & pauciorum dimensionum, quarum aliquot ex facilioribus indicare volui,praetermittens nonnullas, non quidem admodum difficiles, sed quae determinationem aliquam involvebant. Vtin x ' Parte,ubi aequationi I xx, lx,umo, loco divisoris x p a Vmo,adjungere potuitam dis visorem x-ruor quem, cum determinationem involvat, siquidem xin 3 m o, divisor aequationis a in s ue I x in i s x -- 3 o Io o, per illum inveniri neqMt omittendum duxi, praeserendo ei alterum x in ip B Voui determinationi nulli obnoxius est. . Denique , usus hujus XI Regulae se longe lateque exteret,
quod nemo facile negaverit, qui modo viderit, non necesse esse, vel fractiones, vel cognitas quantitates surdas prius ex aequatione tolli; & quot modis una eademque aequatio , praesertim valde composita, & multarum dimensionum, ex multiplicatione duarum aliarum produci queat; tumque inter omnes illas ex quibus produci possit,tantum unam requiri,in qua unus pluretve termini deficiant, ut Reductio per fias Regulas inveniatur. SEQUENT S I 2, 33, I , Is REGULAE SE EXTENDUNT AD AEQIATIONES, IN QVIBUS NEC sIGNA R A DICALI A , NEC LITER ALES FRACTIONEs INVENIUNTUR.
XII. R E G V L A si in aequatiohe Proposita reperiatur litera cognita, auae in ultimo Termino ton contineatur; si illa non nitii le- mcl in aequatione extet , vel semel tantum reperiarur secundum eundem dimensionum numerum, udinis
492쪽
. DE REDUCTI ONE AEQUATIONUM. 4s in qua d d semel duntaxat reperitur. duas habens dimensiones) aequatio semper indivisibilis erit per x, autae, &c. - ves - quantitate quaviS cognita atque rationali. XIII. RE G V L A. Si pluries in aequatione Proposita reperiatur litera cognita , quae in ultimo termino non contineatur ; si illa ubique. eodem signo - - vel - sit adsecta, ac per incognitam quantitatem , impares ubique aut ubique pares dimensiones habentem, multiplicata : aequatio illa semper indivisibilis erit per x- vel - , Vel per xx. xy, &c. - quantitate quavis cognita atque rationali. ut haec AEquatio-- dd xx - 4bbcx semo, in - 2b bd qui e bis tantism reperitur adsecta signo - - , ac multiplicata per x unius & trium dimensionum. aut haec
ubi a ter invenitur adsedia ubique signo-; aut bbissigno H-; ac ducta utraque in x . ubique habentem dimensiones impares : aut in qua etiam s bis reperitur adsecta signo', ac ducta in x, ubique pares dimensiones habentem. XIV. RE G VL A. Si in aequatione Proposita reperiatur litera cognita. quae in nullo alio quam in ultimo termino contineatur ; si ejus dimensionum numerus sit minor numero dime sonum incognitae quantitatis, ad summum considerato, ut in hac αρ-bbH hye xx bci, M o, in qua --bbcc - 1bi Μmm 1 dirum
493쪽
6o IOHANNIs HvDDENII EPIST. I. d tantum in ultimo termino continetur , habens ad summum s. & x plures, nimirum 6 dimensiones) ce tum est illam aequationem per x in vel - quantitate quavis rationali atque cognita esse indivifibilem: Si Mus
dimensionum numerus ut minor semisse numeri dimensionum incognitae quantitatis. ad summum considerati, ut in eodem exemplo si loco ultimi termini b c d Fia i ponatur b/dd - ah d certum est illam aequationem per x x-- vel quantitate quavis rationali atque cognita indivisibilem existere. Si ejus dimensionum numerus sit minor triente numeri dimensionum incognitae quantitatis , ad summum considerati. certum est illam aequationem per ψ- vel - &c. non posse dividi. atque ita porro in infinitum. XV. R E G V L A. Si in aequatione Proposita titera cognita repertatur, quae in ultimo termino non continetur, atque ea
divisibilissit per x x x. x Sc. - ver- aliqua, quantitate rationali cognita ; facile erit beneficio alterius aequationis dictum divisorem invenire
omnes quantitates, in quibus faequὰ multas habet dimen- oues nihilo aequalespouantur. atque porro inosigetur utriusique. inmotae scilicet atque Propositae aequationis.
494쪽
DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. 46ISic etiam si proponatur haec aequatio
Divisio itaque tentanda est pera: - , in eoo o; quoniam nullus praeter hunc communis divisor haberi potest. Eundem Divis rem obtinuissemus si quantitates omnes ubi aes duarum dime sonum posuissemus mo. Notandum est in his I 2, I 3, I & Is Ringulis, non opus esse, ut literales Fractiones semper prius ex aequationibus auferantur: Nam si contingat, his Fractionibus sublatis, literam, de qua ibi agitur, nihilominus tamen in ultimo Termino tantum inveniri, quemadmodum in Regula I requiri turrvel illa ablatione facta in ultimo Termino non inveniri, quod in tribus aliis requiritur 3 ablatio talium Fractionum necessaria non
est. SE Q V ENTES Is, IT, I 8, I9 ET ZO REGULAE SE EXTENDUNT ADAEQFATIONES, UBI NEC sIGNA RADICALIA, NEC FRACTIONEs LI-
TER ALES VEL NUMERALES INvENIVNTUR.
Hucusque perinde est, an Propositae aequationis omnia membra , sive terminorum partes separatae per signum -vcl-ju ctae eundem habeant dimensionum numerum vel secus t In his sequentibus vero Is, IT, I 8, I9, & 2o Regulis considerabo, brevitatis causa, esusmodi tantum aequationes , quarum omnia Membra habent eundem numerum dimensionum; potest enim omnis aequatio, hanc conditionem non habens, facile in talem permutari, ut cuique notum est.
Quomodo omnia radicalia signa ex aequatione tolli possint, iam antea ostendi. Quomodo vero omnes Fractiones tolliqueant, nihil difficultatis habet. & satis a des Cartes monstratum est in Fractionibus numeralibus , quod etiam eodem modo in literalibus Iocum habet. Sed cum in his Regulis sequentibus divisores rationales ultimi Termini necessario sciri debeant, prae mittam
495쪽
61 IOHANNIs HvDDENII EPIST. I. Modum inveniendi omnes rationales vita Des ultimi Termini surdis S Fractionibus carentis. Vltimus Τerminus aequationis Propositae aut ex uno aut ex pluribus Membris seu quantitatibus, per &-junctis constabit. Si unim tantism Membri sit, notum est qua ratione ipsius divisores inveniantur. Qubd si a tem ex pluribus Membris constiterit. saepenumero di cile est eos omnes reperire. Hinc ad eos inveniendos. considero seorsim ultimum Terminum 'quationis Pr positae, supponendo ipsum M o, atque pro lubitu eligo aliquam ex literis. quam pro incognita quantitate ii jus fictae aequationis habeo , cujus respectu fictam aequa, tionem illam in ordinem redigo.
Exempli gratia, ex ultimo Termino hujus aequationis.
3 AE accsumendo literam e pro incognita quantitate, invenio aequati nem hanc e --χact -- 3 aacc . 8ayc--qomo.
Deinde inquiro per antecedentes vel sequentes Regulas utrum haec Ficta per aliam rationalem dividi possit; Si enim hoc fieri nequeat, manifestum est ultimum Terminum aequationis Propositae nullos quoque diviseres rationales admittere nisi unitatem atque ipsum ultimum. Terminum integrum inter diviseres numerare velimus; sed hi in aequationibus literalibus. ubi omnes quantitates euniam dimensionum num rum habent, nullius usus sunt ; Quod si vero dividi possit, oportet rursus eodem modo quaerere diviseres nujus diviseris & quotientis, atque ita evidens erit. quo pacto omnes rationMes aequationes , quae hanc FLctam
496쪽
DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. 463ctam aequationem diuidere possunt , inveniri queant , quae quidem aequationes tunc fututae sunt quaesiti divisores ultimi Grmini aequationis Propositae. Por praecedentes autem uti & per sequentes Regulas omnes divisores hujus Fictae aequationis . non cognitis ejus diviseribus ultimi Termini , ut plurimum facillimo negotio inveniri poterunt , imo perpaucae aequationes occurrunt, quarum divisores ultimi Termini non per sequentem 2 i Regulam , & dicto modo inveniri posseM. Quoniam vect aliquando tales dantur, quarum divisores nec per hanc2i Reg. nec per aliquam praecedentium 'obtineri queant; ulteriit, .videsdum est. num Fietae aequationis ultimus Τerminus, un- an mra membra habeat. Si enim unum tantism membrum ii huerit , quemadmodum in hoc exemplo , in quo ultimus Terminus est - 4 , notum est quo pacto ejusdem divisores investigare liceat, possitntque deinde eorum ope per sequentes Regulas inveniri aequationes omnes rationales, per quas haec Ficti divisibilis erit, atque ita habebuntur etiam omnes divisores ultimi mini aequationis Propositae, qui requirebantur. Quod si verb ultimus aerminus Fictae aequationis
Mirium membrorum fuerit . tum rursus eundem. ut ante, supponerem zo o , aciteriuri agerem, quemadmodum jam diistum est, donec inveniatur aequatio , vel cujus rationales divisores per aliquam praecedentium, sive per et i Regulam facillime inveniuntur; vel cujus ultimus Terminus tantum unim membri existit. & ad alterutrum obtinendum parum temporis requiritur ; εc alterutro invento, Quaesitum obtineri potest, quoniam tunc per sequentes Regulas inveniri possint aequationes omnes, ultimam hanc Fictam dividentes; atque ita
inventis omnibus divisoribus ultimi Grmini proxime
497쪽
64 IOHANNIs HvDDENII EPIST. I. antecedontis Fictae aequationis possunt denuo per easdem Regulas . ope horum divisorum ultimi Τcrmini, inveniri aequationes omnes , quae huic proxime antecedentem Fidiam dividcre queunt, sicque ulterius ascendendo obtinebuntur tandem divisores Omnes, quicunque fuerint, ultimi Termini Propositae aequationis,' qui inventcndi proponebantur. .
Exempli gratia, si proponamur inveniendi divisores omnes intimi Termini hujus aequationis
de nimirum ope Regularum sequentium, aequationes omnes rati nates, per quas aliqua Proposita dividi potest, detegentium beneficio divisorum ultimi Termini: supponorius ultimum Terminum M o, atque unam ex ipsius literis considero ceu incognitam quantitatem, ut puta a, obtineoque aequationem in ordinem redactam, a ea' - Ioccaa -- 2ec da 4 ccddmo.
498쪽
DE REDvCTIONE AEQUATI NVM. abet. Constat autem quo pacto divisores hujus ultimi termini
inveniantur, qui, postquam cuniti erunt, inservire poterunt,ut eorundem ope per tequmtes gulas quaerantur, aequationes Omnes rationales, hanc ultimam Fictam cy dcc qii de dividentes, ac proinde etiam aequationes,quaec' -- c M o dividere possunt, quae quidem est ultimus Terminus Fictae aequationis proxime praecedentis
dd -- qe' - - ει dc χ cdd 24 de Inventis vero divisoribus omnibus ultimi hujus aequationis Termini , possunt denuo per easdem Regulas inveniri omnes aequationes rationales hanc ipsam dividentes; quibus cognitis inventum est, quod quaerebatur, cum aequatio haec Ficta ultimus sit Propositae aequationis Terminus. - Hine liquet per solam sequentem XVII Regulam semper omnes divisores ultimi Termini inveniri posset sed, quoniam per praecedentes uti & per reliquas sequentes Regulas saepe pri mo intuitu cernitur tales divisores non dari, si non dentur, &ii qui dantur saepe minori labore inveniuntur, poterunt&hae Regulae magno cum fructu adhiberi. ' .
modum docet in veniendi omnes aequationes ra- 'tionales , duos tantism Terminos habentes . quibus aequatio quaevis rationalis S Fractione carens, sis
titer alio e numerali Θ, dividi possit.
Fiat alia aequatio pro libitu ex duabus aut pluribus quantitatibus, aut etiam terminis Propositae aequationis; atque juxta hanc suppositionem inveniatur Valor ipsius ae vel sumatur tantum aliquis valor prox, ut libet. Deinde substituto hoc valore Ficto ipsius x, vel eo quem ex aequatione Ficta invenimus, ubique in locum
Usus x aequationis Propositae: Si termini se mutuo dc-N n n struere
499쪽
66 IOHANNIS HUD DENII EPIST. I. struere reperiantur , erit Proposita aequatio divisibilis per x - hoc Ficto valore o; si autem hi termini se nitituti non destruant, quaerantur divisores aggregati horum omnium terminorum quod quidem aggregatum , ut ab ultimo termino aequationis distinguatur, in posterum vocabo ; atque ab unoquoquc divisore unius dimensionis auferatur valor Fietiis ipsius x. at ab unoquoque divisore duarum dimensi num auferatur ejusdem valoris quadratum . &sic deinceps. Qxio peracto, videndum crit num aliqua horum reliquorum consentiant cum divisoribus ultimi IGNmini aequationis Propositae ; si cnim nulla eorum cunatis consentiant, indicio est aequationem Propositain per aliam duos tantum Terminos habentem, seu per x. aut
xx. dcc. in Vel - quantitate quavis cognita atque ra- tionali non esse divisibilem : Si vero aliqua consentiant , oportet, facto unoquoque consentiente in x earundem dimensionum, Io o , explorare per quam harum aequationum aequatio Proposita dividi possit; si enim per nullam ipsarum divisibilis ' sit., crit quoque
Propolita per x. aut x x, &c. in Vel - quavis quantitate cognita atque rationali indivisibilis. Quae quidem omnia sequenti exemplo clariora evadent. Vt ad investigandos divisores, si qui sint, hujus aequationis
vel bbae meto ab vel ad libitum quemlibet pro x valorem assumo, utputa a vel b: sed assumamusa: M 2I a xx,sivex o in Deinde subrogando ara ubique in locum x in aequatione Proposita x - 2Iaxx- bb x2o abbruo reiiciendo brevis in zo a atatis causa terminos, ex quibus aequatio Ficta est conflata, eum ipsi, dum nihilo sunt aequales positi, necessario evane ant) obtineo pro terminorum omnium aggregato - 2I a b b ΣΙ ,
500쪽
DE REDUCTIONE AEQUATIONUM. 4672 o a' - 2o abb, vel -abb - 2I, 2ciat, quod quidem aggreguum Voco Filium Terminum, cuius divisores hi quatuor existunt in a, & - a; -bb--2I, 2 o a'Sc. -bb- 2I ,2oaa. Porro subducto hoc Ficto valore aia ab utroque priorum; &ab utroque duorum sequentium ejusdem y eris quadrato, quoniam ipsi duarum sunt dimensionum; relinquentur - 2oa, - 22a; -bb - 2I tbb- I, 2I aa. Quo peracto, si videatur num aliqua horum Reliquorum consentiant cum diviso ribus ultimi Termini 2o abbaequationis Propositae, compe rietur solummodo - 2o a consentire. Quocirca ad- 2o a a dita x unius dimensionis, siquidem-2o a unius tantum dimensionis existit, explorandum duntaxat restat num aequatio Propo sita dividi possit per x-ro a. quod, si non contingat, erit ea per x, aut xx , vel - quavis alia quantitate cognita atque rationali indivisibilis, quemadmodum quoque si nulli divisores congruontes reperti fuit lent. at vero haec aequatio dividi poterit per x - 2o a, orieturque pro quo tiente xx-ax - bbm o. . Hic autem quaedam consideranda veniunt, quae breviter saltem indicabo. I. Per hanc viam omnes aequationes duorum terminorum,
quibus aequatio Proposita dividi possit, eadem opera inveniun
2. In formanda nova aequatione, aut clim ipsi x assingitur aliquis valor, observandum eli, eum brevitatis causa ita fingi posse, ut ipso in locum x subrogato resultet inde tale quantitatum aggregatum seu Fictus terminus , cujus divisores faciles sint inventu, ac pauci numero. id quod communiter levi negotio obtineri potest. 3. Saepenumero supervacaneum est , ut omnes divisores ultimi Termini aequationis Propositae quaerantur ; ut in superiore exemplo videre est, ubi quae restabant Reliqua, ex divisoribus Ficti Termini & ex assumpto Valore ipsius x & xx facta, haec erant
quorum duc posteriora non possunt congruere cum divisoribus ultimi Termini ro ab baequationis Propositae, cum duo Membra habeant , atque his terminus tantum unum. deinde apparet etiam, quod et 2 a divisor esse non possit ipsius 2oab b, quoniam numerus a 2 msor est numero zo; atque eapropicr considerare tantum opor N nn 2 tet