장음표시 사용
111쪽
recta D Α, quae perpendicularis erit ad B C. Nam duo latera Α D, D B, trian suli A D B, aequalia sunt duobus lateribus A D, D C, tria neuti A D C ; & basis A B, basi A C, aequalis ponitur . Igitur duo anguli A D A, A D C , aequa-ses erunt, & ob id per definitionem
uterque rcctus . Perficiatur parallelogramum rectangulum A D C E . Quoniamisitur triangulum A D B , triangulo 1 D C, est aequale: Eidem Que triangulo A D C, aequale est triagulum ACE;
erunt per communem sententiam tria
pula A D B , Α C E , inter se aequalia. Quare, addito comuni triagulo A D C, erit parallelogrammum A D C E quale triangulo ABC. Et quia duo latera A E, D C, parallelogrammi, cum inter 34 primi. se aequalia sint, simul sumpta aequalia sunt lateri B C , trianguli ABC; Reliqua vero duo latera A D, C E, parallelogrami A D C E, propterea quod opponatur minoribus angulis, nempe acutis, in triangulis A D B, A C E, minora sunt ry.primi. reliquis duobus lateribus A B, A C, trianguli A B C, quod haec in eisdem triangulis opponantur maioribus anguli , nempe rcctis: crit ambitus parallelogrammi A D C E, minor ambitu trianguli A B C. Quamobrem, ut ambitus parali logrammi fiat aequalis ambitui trianguli, producenda crunt latera D A , CE,
ad aequalitatem laterum A B, A C. Sit igitur recta D A G, aequalis lateri A B, ct recta C E F, aequalis lateri A C, ducaturque recta F G . Ex quibus efficitur, parallelostraminum C F G D , & triangulum A B C,esse isoperimetra . Quoniam vero parallelogrammum C F G D, superat parallelogrammum A D C E, quantitate A E F G, ostensumque est parallelogrammum A D C E, triangulo Α Β C, aequale I maius quoque erit parallelogrammum idem C F G D , quam
triangulum A B C, eadem quantitate A E F G . Quapropter constat, heuram quadrilateram capaciorem esse s ra triangulari sibi isopcrimetra, quod erat ostendendum . Cum igitur eadem esse videatur ratio in alijs figuris rectilineis plurium latcrum,isoperimetris tamen; Quo enim plures habet angulos figura, eo pluribus in locis latera eius recedunt a centro,& medio , ac propterea capacior existit: Perspicuum est circulum , quod infinitos quodammodo includat angulos,&latera, omnibusque punctis aequaliter recedat a centro, omnium figurarum isoperimetrarum esse catacissimum . Idem quoque dicendum erit de sphaera, si eum alijs corporibus i i ii operimetris comparctur. iniis fini. RURSUS Isoperimetrarum figurarum rectilinearum latera numero equaia, Isopetiis lia habentium , maior est illa,quae & Iatera habet aequalia, & angulos aequales. meuM rem Esto enim quadratum aliquod habens in quolibet latere 6. ita ut totus eius am- is En is' bitus contineata . Erit area huius quadrati, iuxta precepta Arithmeticoruιν lumatiel 36. Ita enim vides, quadratum totum diuisum e sic in I s. quadrata paruula . Ioi h - : Esto quoque aliquod parallelogrammum rectangulum habens, unumquodque ς P Q, Ddς duorum laterum oppolitorum 1 o. reliquorum vero duorum quod libe t 2. xt st-ὰui es t ambitui illius aequalis ambitus quadrati. Quo posito, area huius parallelogramesi mi comprehendet tantummodo ao. quadrata paruula ex illis 26. quet quadratum in se continet. Hoc autem ideo euenit,quoniam paralicio ramnium non. v. est aequilaterum,sed altera parte longius, quamuis aequiangulum sit; quadratum
112쪽
autem Sc aequilaterum,& :equiangiit si est. S it preterea aliud parallelogrammum rectangulum, cuius unumquodque duorum laterum oppositorum sit 9. aliorum vero clitoriam s. ut quadrati, & parallelogrammi huius ambitus quoque sint
equales. Comprehendet igitur area huius parallelogrammi solum 17. quadrata ex illis 36. qu in quadrato diximus contineri. Pari ratione, si parallelogrammi
alicuius unumquodque duorum laterum oppositorum esset S. & aliorum duo rum 4. esset quidem ipsuin quadrato isoperimetrum , sed eius area continerct duntaxat 32. quadrata . Item, si duo latera alicuius parallelogrammi opposita ,singula haberent 7. alia vero duo singula s. esset etiam quadrato imperimetru, area autem illius includeret tantum 3 s. quadrata,&e. Vbi clare vidos, quo magis figure ii operimetre accedunt ad qui latera, cui sunt isopcrimore, co ctiam malorem comprehendunt aream,& minus disserunt in capacitate a figura etqui
latcra . Quoa si aliquod parallelogrammum rectangulum altera parte longius eiusdem sit capacitatis cum quadrato , illud maiorem ambitum continere ne eesse est . Ut si parallelogrami alicuius quodlibet duorum oppositora la-
tersi contineat II. aliorum vero duorum quodlibet et . erit quidem area it. lius equalis arcet quadrati, cum contineat 3 6. quadratula : At vero ambitus ipsus superabit ambitum quadrati: Ille enim erit 3 o. hic autem l . Qui omnia peripicua sunt in appositis figuris. SIT iam parallelogrammum inequalium angulorum ABCD, & a punctis C, D, educantur perpendiculares lineae C F, & D E, ad rectam C D: Pr ducta igitur A B, usque ad F , erit parallelogrammum ABCD, quale parallelogrammo CD EF , cum sint ii e parallelogramma inter easdem paral- 3ser m 'lelas C D, A F, & super eandem basin CD, constituta . Et quoniam latera 34 .pr mi. B C, A D, quet equalia inter sunt, quod utrumque εquale sit lateri C D, ob 1 9. primε. . paralle
113쪽
parallelogramma D B, D F, maiora sunt lateribus C F, D E, erit ambitus parallelogrammi C D E F , minor ambitu parallelogrammi ABCD. V n de si
producantur CF , D E, ad G, & H, ita ut C G , aequalis sit ipsi B C,& D H , ipsi A D, perficiaturque pa rallelogrammum C D H G, ducta vidclicet recta GH, erit parallelogrammum C D H G , ii operimeti im parallelogrammo ABCD. Est qu-tem papallelogrammum C D.H'G, maius quam parallelogiamum C DE F , hoc est, quam parallelogram-mum ABCD, qualitate E F G H. Constat igitur inter Iloperimetras figuras rectilineas cam , quar& a qui latera , de aequiangula existit, omnium
esse mxximam: vadem evim est ratio habenda de sguris It operimetris, quae plura latera, pluresque angulos cotinent. Quamobrem, cum circulus infinita propemodum latera aequalia, infinitos quoque angulos quodammodo aequales c prehcndat, eo quod eius circunserentia semper curvetur aequalitcr, efficitur, ut sit inter omnos figuras Imperimetras capacissimus . Atque his cc potissimum
rationibus nituntur nonnulli auctores confirmare, circulum csse maxime capacem: Ex quibus manifestum arbitror relinqui,quidnam sibi velit auctor noster in secunda hac ratione desiimpta a commoditate, in qua mentionem fecit figura-xum Imperimetrarum. - - - V E R V M quoniam praedictas rationes eoniecturae potius , quam demon strationes sunt appellandaeo: Neque enim circulus angulos ullos, aut latera continet, quibuς componatur, quemadmodum in praelatis rationibus assumebatur: Immo vero,etiamsi de angulos, de latera haberet propemodum infinita, non est tamen in uniuersum demonstratione confrinatum, eam semper figuram,riuae plures habet angulos, siue latera, atque adeo eam , quae dc latcra de angulos habet aequales, inter imperimetras figuras esse capacissimam; sed hoc tantum ostensum est in triangulo Iibi cele, vel Aequitatem y Inmrallelogrammo conferatur,& in parallelogrammis; noniautem in figuris,ctu' plura continent latera . Idcirco non abs re me sici uni iudicaui, si noc loco interponam tractationem perbrcuem de figuris Isopcrimetris, in qui euidentissimc demonstratur, circulum inter figuras planas is operimetras esse eapacissimum; Itemque sphaeram maiorem esse omnibus alijs figuris solidis sibi imperimetris. Quamuis enim haec omnia a Theonc quoque in commentarijs , quos in Ptolemaei Almage num composuit, Geometrice sint confirmata; tamen quia non omnibus in promptu habentur eius demonstrationes, Graecus cnim tantum codex reperitur dc obscuro admodum , atque succincte ab eo omnia demonstrantur ;ideo conabor, quoad cius seri poterit, aliquam lucem hisce demonstrationibus afferre , ut vel illis satisfecisse videamur , qui plurimum demonstrationibus Geometricis delectantur. Caeterum licet in hoc tractatu solum demonstretur, isphaeram esse maiorem corpore quolibet sibi Itbperimetro, in quo sphaera aliqua aescribi possit,& quod contineatur vel superficiebus planis, vel conicis,ut suo loco apparebite Pappus tamen idem de omni corpore domonstrauit 7 o. pr
114쪽
S OPERIMET R E figuraedicit, quae εν es
1 1 I. . iratum fi .gurata per
c E UT MV M figurae regularis dicitur punctam illad, quod cem tinentes. trum es circuli figura inscripti, vel circunscripti.
o M' E Iolidum rectangulum cuius nimirum bases aequidistantes sunt, squales, latera ad bases recta, quale est Parallelepipedum,contineri dicitur sub laltera basiam, ac perpendiaulari ab illa basi ad ali
RE A cuiuslibit trianguli aequalis es rectangulo compre- α IRhenso sub perpendicularia vortice ad basim protracta , ct eui tectan- dimidiata parte balis G tuea
SIT triansulum A BCέ ex euius vertice: A , ad basini v C , ducatur pe
115쪽
si, b perpendi lari AD, &dimidio basis P D, aestu est,to gul'AB I bi Diuidat secundo perpendicularis A D, SD BC, non his uium, vel etiam e dat in basim C B, protractam , ut in 1. & 3. figura ; Et per A ducatur ruina
Α F, in utramque partem aequi distan, Actae B C , compleaturque rectangulum . A D CF Diuisa deinde B C, bifariam in G , ducantur rectae B E , G H, ipsi 3 p A n, et vidi nante erit due G n, .aequalis perpcndiculari A D . Quoniam igi- η δρο- tur rectanetitum B C F F, duplum est itianguli A B C; Item duplum Actans 34 p li B E H G; erit rectangulum B EHG, quod continetur sub perpendicula ri G H, vel A D, 3c dimidio basi B G, aequale triangulo ABC. Area igitur euiuslibet trianguli aequalis est,&c. quod erat ostendundum .
Retularis R E A cuiuslibet feturae regularis aequalis est rectangulo contento 2' sub perpendiculari a centro figurae ad Nnum latus ducta, Iab dimidiato
xectangulo ambitu eiu dempssurae..
SIT figura terularis quae nque A B C D E F, & centrum eius punctum G, a quo ducatur G H. perpendicularis ad unum latus , nempe ad A B i Sit quoque tectangulum IX L M, contentum sub I K, quae aequalis si perpendicu i. ri,i lar G H,& sub KL, recta, quae aequalit ponatur dimidiae parti ambitus figurae A B C D E F . Dico huic rectangulo aequalem esse figuram regularem A B CD E F . Ducantur enim ex G, ad singulos angulos lineae rectae, ut tota sigura in triangula resoluatur, quae omnia aequalia inter se erunt, ut in corollario propos. 8. lib. t. tues. dei non st a tum isti nobis; propterea quod omnia latera triangulorum a puncto G, excuncta sint inter se aequalia , habeantqbe bases aequades, nempe latera figurae regularis . Hinc enim esscitur, omnes angulos t. pr mi. ad G, ae ualcs csse, ac proinde, ex dicto corollario, triangula ipsa inter se quoq; esse aequalia . QEoniam igitur rectangulum contentum tib G H, perpendicum Iaris
116쪽
lari , 3e medietate bici H ci ut ἰ tibi IA B, per t. propos. hu ius aequale est triangulo iii A B G ; si sumantur tot huiusmodi rectangula, in luot triangula diuisa est
gura requiaris, erunt on qnia sinus figurae Α Β CD E F , aequalia; propte
rea quod omnia triangula ostensa sint aequalia trian,
pterea quod K L, aequalia. s ponitur dimidio amui . seundi
THEOR. 3. PROPOS. 3.essiti libis figurae res,laris eq fh estina uti rectangulo, Regularis mirus unum latus circa amimn rectum squale est perpendiculari d crero Murg ad νnum latus ducte, alterum vero squale ambitui eiusdem Murg. 'riangulos ID u, sistum tegularis ABC lles Eri emttuli, D,l; quo perpendku- Gurn a uicua si ia
117쪽
Cittatua ARE A cuiuslibet cla si viri est recta Myla coimprehensio Ob
D nTF eomprehensum sub DB, ineuit 'ti 'Π E ; recta, qtrae aequalis sit dimidiatae emunserentiae tubili Oi aream cireuli A BC, aequa-
118쪽
Iem esse rectangulo D B EF. Producatur enim BE, in continuum,ponaturq;E G, aequalis ipsi B E , ut sit B G , recta aequalis toti circunserentiae circuli. Coniungantur denique puncta D, G, recta D G . Quoniam igitur per i .propos. Archimedis de Diinensione circuli circulus A, B C, aequalis est triansulo
rectanguli ivbi ostendunus, triangulum D E F, aequale spe rectangulo D EH i: erit quoque cirςulus A B Grectangulo D R E P, aequalis. Arca ergo cuiuslibet circuli equalis est rectangulo,&c. quod ostendendum erat
I omni triangulo rectangulo, si ab uno acutoruti angulorum πι- proprieta cunque ad latus opposittim linea recta ducatur, erit mutor proportio m Q. butys lateris ad eius sumentum , quod prue angulumiectum exi- ἔ-v. fit, quam anguli acuti priadicti ad eius partem dicto segmento lat ris oppositam.
SIT triangaeum rectangulum ABC, euius angulus Ceret rectust ; due turque ab acuto angulo A, ad latus oppositum B C, recta A D, ytcunque. Di . co maiorem esse proportionem rectae B C,ad rectam C D, quam anguli B AC, ad angulum C AD . Quoniam enim recta r AD, maior quidem est, 'quam A C , minor . . . ivero , quam A B; si centro A , interuallo autem A D, circulus describatur, secabit is rectam AC, protractam infra punctum C, ut in E , at ucro rectam A B, supra punctum B, ut in F. Et quia maior est proporti inanguli B A D, ad sectorem F A D, quam triari , guli D A C, ad sectorem D A E, propterca i I quod ibi in proportio maioris inaequalitatis, hic autem minoris inaequalitatis , erit quom uiti upermutando maior proportio trianguli B AD , ad triangulum D A C., quam sectori, F A D, ad sectorem D A E. componendo igitur maior quoque erit proportio triansuli B A C, ad triangulum D AC, hoc est, rectae B C , ad rectam C D , habent enim triangula BAC, D AC, eandem proportionem , quam bases B C., C D. quam sectoris F A E , ad sectorem DA E, hoc est, quam anguli B A C, ad angulum C A D ; quod ex c0 oll. i. pi poc. 3 3. lib. 6.
Is o P ER I MYT RARU M figurarum regularium maior es illa, qua plures conti et a Plos, plura γe latera. L F a s IN T
tu es angui ,seu late. ra continet.
119쪽
SINT duae fisturae regulares isoperimetrae A. B C, D E F, habeatque plura latera, siue angulos figura ABC, quam DEF. Dico ABC, maiorem esse,
quam D E F. Describantur enim circa figuras circuli, a quorum centris G, H3. tertii. . ducantur ad B C, E F, perpendicularcs G I, H Κ, quae diuident rectit B C
v p, bisariam . Quoniam igiturςpura ABC, plura habet latera, quam DEF,
mi isoperimetes,cmeitur, ut latus B C, saepius repetitum metiatur ambitum fi- gurae A B C, qu,nsatus E F, ambitum figurae D E F. Quare latus B C, mirus erit latcre E F, ideoque B I, medietas lateris B C, minor, quam E K , medictas lateris E F . Ponatur KL, aequalis ipsi BI, & dueantur rectae L H, H E, a. teri ..H F, G B, G C. Et quia omnes arcus circuli D E F, sunt Mualos, quod & re ctae subtensae aequales ponantur; erit recta E F, ita submultiplex ambitus f in D E F, ut arcus E F , submultiplex est circunserentiae circuli D E F : Eademque ratione ita multiplex ambitus figurae ABC, rectae B C , sicut multiplex est circunferentia A B C,arcus B C : Vt autem arcu E F, ad circunferentiam circuli DEF, ita est ex coroll. i. propos. 33. lib. 6. Eucl. angulus E H F, ad quatuor rectos . Igitur erit quoque , ut' recta E F , ad ambitum figurae DEF, hoe est, ad ambatumsgurae A v C, illi aquale,ita antulus E H F, ad quatuor rectos: Vt autem ambitus figurae A B C, ad rectam B C, ita circun sirentia circuli A B C, ad arcum B C, Doc est, ita quatuor recti ex eodem coroll. 2.propos. 3 . lib. s. Eucl. ad angulum B G C . Ex muci igitur virecta 1 i quinti EF, ad rectam B C, hoc est, ut recta E K. ad rectam BI, hoc est , ad rectam Ix quint KL, ita an illux E H F, ad angulum B G c, hoc est, ista angulus E HK, ad an 'ultim BGI. Est autem maior proportio rectae E K. ad rcctam Κ L, per . propo huius quam anguli E H K, ad angulum Κ Η L . Quare maior erit 3 3. quinti proportio quoque anetuli E H K, ad angulum BGI, quam liusdem angulixo. quinta EII K, ad angulum KHL; ideoque maior erit angulus K H L, quam angulus BGI. . Cum igitur anguli H K. L, GIB, sint aequales, utpote recti, erit 33.primi. reliquus angulus H L Κ, minor reliquo angulo G Η I. Fiat letitur a gulus K L Μ, aequalis angulo G R. I; cadetque L M , extra L la; conueniet ue cum K H , producta ultra H , in puncto M . Quoniam igitur duo anguli B , I, trianguli G BI, aequales sunt duobus anguli L , Κ, trianguli .primi. . Mi K, & latcra BI, L Κ, aequaliK, erunt restae GI, M Κ, aequales. Recta
120쪽
ergo G I, maior est quam recta HK. Quamobrem tectangulum sub G I, Aedimidio ambitu fgura: ABC, contentum maius .erit restingulo contento sub H Κ & dimidio ambitu figurae D E C,qui aequali ponitur dimidio ambitus figum AB C. Quocirca cum illud reflanguluin ostensum sit, in z. propos . huius,aequale sgura: ABC, hoc autem figurae D E aequale ; maior quoque crit figura ABC, quam sgura D E F . Isoperimetra in ergo figurarum regularium maior est illa,&c.quod erat ostendendum.
P R o P O S IT O triangulo, cuius duo latera sint inaequalia, s pra reliquum latus triangulum priori Goperimetrum, ac duo babens latera aequalia, describere.
sIT triangulum ABC, cuius duo latera A B, B coent inaequalia, nempe Α B, maius,quam B C; oporteatquc fu pra A C, construere triangulum Isosce-lcs,,tque imperimetrum trianquio ABC. Sumatur' recta DE, Mualis duo bus lateribus R.B, C simul,Aui- idaturque biseriam in F. Et quonialatera A p, B C,simul maiora sunt latere A C, erit quoque dimidium illorum, nempe U F, vcl F E,ma ius,quam dimidium lateris,A C: Atque ob id tres linc A C, D F,
Ε Ε, ita sese habebunt, ut quaelibet duae sint reliquq maiores. St. ioctauae lint rcuquq nram S. PI A igitur ex ipsis consciatur triangulum A G C , essectum erit, quod
xx primL proponitur . Erunt cnim latcra A G, G C,&inter se aequalia,&,simuraumpta aequaliae lateribus A B, B C, simul sumptis: addito igitur communi A C,erunt triangula A B C, Α G C, imperimetra . Proposito igitur triangulo , cuius duo latera sint inaequalia , supra reliquum latus triangulum,&c.descripsimus .quod iaciendum erat. S C H o L i' v Μ . '
CADET autem neesario ponsum G, extra triangulum A B C : Si namque eader/t in latus A B, ut ad punctum H, est ducta recta H C. minor quam H B, x primi. B C simul, er ob id triangul-m A H C, non est isoperimetrum triangulo ABC. eatu. contrarium ex eoHiructione est demonstratum . Misito minus eadet punctum G, 3ntra triangulum A B C . Q ἀre extra e det. quod est propostum.
T II EO R. 7. PROPOSITIO g. DVO RV M triangulorum i operimarorum eandem habentium basim, quorum πmus duo latera Di squalia, alterius vero inaequalia; maius erit illuc cuius duo latera aequalia sunt.