장음표시 사용
121쪽
ii ii, ut iri L sis triangulum n C, cuius latus A B, malus si latere B C, eonminatu. .u tuaturque supCr basim A C , per praecedentem propos. triangulo ABC, triangulost triangulum Ithperimetrum A D C, habens latera A D, D C , aequalia & inter se,&lateribus A B, B C,simul sumptis. Dico triangulum A D C, maius esse triagulo ABC. Producatur enim A D , ad partes D , sitque D E, aequalis ipsi A D, siue ipsi D C. Ducantur quoque rectae D B, B E . Quoniam igitur A B, B E , maiores sunt quam A E , hoc est, ram AD, D C , simul, hoc est,quam AB, C , simul, ablata communi AB, erit B E , maior quam B C . Et quia latera E D , D B , trianguli E D B , aequalia sunt lateribus C D . D B , trianguli CD B. Cuin ergo basis B E , base B C, maior sit, erit angulus ED B , maior angulo C D B. iare angulus ED B, ma- M i. ior est, quam dimidium istuli E D C: Est aue primi rem angulus D A C, dimidium anguli E D Q
les sunt ,& his simul sumptis aequalis quoque externus angulus E D C. Maior igitur erit angulus E DB, angulo DA C. Fiat angulus E DF, aequalis angulo in-2 8.prami.
terno D A C; cadetque D F , recta supra rectam D B, aequidi stabitque rectae A C. Producatur D F, donec cum A B,protracta conueniat in F , ducaturque 37orim. recta F C. intoniam igitur triangula A DC, A F C, aequalia sunt: trianeulum autem A F C, maius, est triangulo AI C; maius quoque erit triangulii ADC, triangulo A RC. Quam ob rem duoru riangulorum Isoperimetrorum cin ecm habentium basim, &c. quod de Grancum crat.
a. ' 'A, I similibus triangulis rectangulis quadratum a lateribus, que am ut uum re gulis rectis subicnd utitur, tanquam ab Vna linea, desicriptum aequale est similier quadratis duobus simul, s a reliquis homologis Iateribus, tanquam ex duabus lineis, ita H quaelibet duo latera homologa conficiant unam lianeam rectam, describuntur.
SINT triangula rectangula similia Α Β C, D E F , ita vi inguli B, & E ,
snt recti, anguli vero C, & F,inter se aequales; itemque anguli A, Ze D,inter se aequales; homologaque latera A B, DE; Item BC, EF,&AC, DF. Dico quadratum ex A C, D F, tamquam ex linea una , descriptum aequale esse duobus quadratis quorum unum ex Α B, D E, tanquam ex una linea, alterum vero ex B C, E F, tanquam ex una quoque linea, describitur. Producta namque
D E, ad partes E, sumatur E G, aequalis rectae A B, & ducatur G H,recta qui distans rcctae EF, donec cum D F , producta conueniat in puncto H , Deinde Ier F, ducatur recta FI, aequidistans rectae E G. Erit igitur triangulum FI H,
122쪽
aequiangulum triangulo DEF , hoe est, trian pulo ABC; Nam angulus FI H, aequalis est ansulo G, ct hic aequalis a gulo D EF, hoc est, angulo B; angulus vero H , aequalis est angulo D F E , hoe est , angulo C; ac proinde & angulus IF H , angulo A : Sunt autem & latera Α B, F Ι, aequalia; Nam F I, est equalis rectae E G, haec autem rectae A B, sumpta fuit aequalis . Igitur & latera B C , I H, item Α C , F H , aequalia inter se erunt. Quare recta D H, composita erit ex A C,& D F ; Recta vero D G, ex AB, DE; Recta denique GH, o BC, EF; quod G I, recta aequalis si rectae EF . Et quoniam quadratum rectae D H , equale est quadratis rectarum D G , G H , simul,
constat verum esse , quod proponitur. In similibus igitur triangulis rectangulis quadratum a lateribus , quae angulis rectis subtenduntur, &c. quod erat demonstrandum
P R O B L. a. P R O P O S. Io. DAT Is duobus triangulis Moscelibus, quorum bases ins quales existant, duoque latera νnius aqualia sint duobus lateribus alterius ;Super ebdem basibus duo alia triangula foscelia inter se quidem similia,
prioribus vero Isoperimetra, constituere. SINT super bases inaequales Α Β , C D , duo trianguli uostella A E B,
C F D, sintque quatuor lineae Α Ε, E B, C F, F D, inter se aequales; maior autem si basis A B, bast C D. quibus positis , erit angulus E , maior anstulo F 4
ideoque triaci Dgula non simisa, cum nec aequiangula . Oporteat iasuper bases easdem A B,
CD, eonst tuere alia duo triangula is Rclia inter se quidem similia, isoperimetra vero simul sumpta prioribus triangulis simul sumptis. Pona-
quidem in ter se. Ita. per euavem alii a duobus lis seelibiu
123쪽
t o. sexti. cto Κ, ut esset recta composita ex Α Β, & C D, diuisa in puncto B, hoc est, ct ea proportio G Κ, ad K H, quae est Α Β, ad C D. Et quia maior Ost rccta A B, qua recta C D , maior quoque crit recta GK. uua recta Κ H, cum Vtrobique I sit proportio
maloris inaequalitatis . Diuidatur v-
riam in punctis L, &M. Itaque eu sit ut G K , ad x H, ita AB, ad C D, criteoponendo,ut G H, ad Κ Η, ita A B, C D,simul ad C D: Est aute G H, maior. o primi. quim A B,C D, simul,quod & quatuor rectae A E,E B, C F, F D, quae aequalet
1 sunt rectae GH, maiores sint, quam A B, CD. Igitur & X H , maior erit quam CD; eademque ratione maior erit G h, quam A B . Quonia igitur triti rectarii A n , G L , L k , duae reliqua sunt maiores omnifariam sumptae; Duae enim GL, L X,maiores xiit quam A B,quod tota G F, maior sit,quam A B, ut modorix trim. tur ex tribus rectis A B, G L , L X, triangulum AN B, quod erit Isosccles , . eadetque punctum N, extra triangulum A EB, cum A E, E B, simul dimidium constituant rectae G H; at vero A N ,N B , simul maius cssiciant, quam dimi- . dium rectae G H. Rursus ex tribus rectis CD, Κ Μ, M H , constituatur quoq; triangulum C OD, quod Isosceles erit, cadetque punctuin O, intra trianguluCF D, eo quod CF, FD,simul aequales sint dimidio rectae G H;at C O , o D, smul minores sint dimidio rector G H. Et quoniam quatuor latera Α E , E B, C F, F D, simul; Item A N, N B, C O , o D, simul aequalia sunt recti G H , erunt priora quatuor simul, posterioribus quatuor simul squalia r additis ergo communibu A B, C D, sent sex latera A E, EB, BA, CF, FD, DC, simul squalia sex lateribus A N, N B, BA, CO, OD, DC, smul ; ideoque triansula AN B, C O D , simul imperimetra erunt triangulis A EB, C F D. simus Dico iam quod& similia inter se sunt triangula AN B, COD. Nam i e. uinti quoniam est, ut A B, ad C D, ita G K, ad K H , hoc est, ita G L , ad K M , hoe est, ita AN, ad C O,&N B, ad OD, erit permutando, ut A B,ad AN, ii, C D, ad C O; & ut A N, ad N B, ita C O, ad O D. Proportionalia ergos. sexti. sunt latera triangulorum A N B, C O D; ac proinde aequiangula inter se erunt& ideirco similia. Quare datis duobus triangulis Isoscelibus, quorum basis iii- aequales existant, &c. constituimus. quod faciendum crat.
DV o triangula Uoscelia similia super inaequalibiti basibus connitu
124쪽
ta, utraquesimul maiora sunt duobus triangulis Uoscelibus, utrisque βι- τ Ἀηιμ' in i, quae babeant easdem bases cum prioribus, senis dissimilia quidem basim ita ivt se, at Hoperimetra prioribus duobus, nec non quatuor latera inter sy ' - se habeant aqualia.
s V P E R basibus inaequalibus A C, C E, sint duo triansula I seelia inter . I 'se non similia Α Β C, C D E, ita vi quatuor latera AB, B C; CD, DE, in- int isopse ter se sint aequalia. Atque supercisdem basibus Α C , C E , per praecedentem D propos. constituantur alia duo triangula Isoscelia A F C, C G E,similia inter se, & isoperimetra siimul prioribus mansulis simul. Dico duo triangula A F C, aem. CGE, simul maiorai esse duobus triangulis A B C, C D E, siuaul. Ponantur enim A C, C E,secundum lineam recta unam, sitq; A C. basis maior base C E. Deinde ex F,per B, du, catur recta F B X, secans rectam A C , in puncto k; Item ex D, per G, punctum duca-- tur recta D G H, se- . caris rectam C E , in. H. Et quia latera A F,
F B, trianguli A F B, . aequalia sunt lateribus ε
anguli ad K, aequales quoque , hoc est , recti. Eadem ratiocinat ne e ri
lis rectae D H , & extendatur a puncto L , per punctum C recta L C N
125쪽
C X , in aliquo puncto inter puncta C , & X., quod sit M . Quoniam vero rectae Α Β B C, C D, D E, simul aequales sunt rectis A F, F C, C G,G E, simul,
propter triagula isoperimetra, erunt quoque dimidia earum aequalia inter se, nimirum rectet B C, C D, hoc est, B C, C L , simul aequales ipsis F C , C G, si-aolrimi. mul: Sunt autem rectae B C, CL, simul maiores recta B L. Igitur &F C, C G, simul maiores erunt eadem recta B L I ideoque quadratum ex F C, C G,
tanquam ex una linea, descriptum maius critquadrato B L . Quod autem ex F C , C G,
describitur quadratii, aequale est per propos. 9.huius quadrato ex FΚ, GH, tanqua. ex una linea dese mpto , una cum quadrato,quod cx K C, CH,
deseribitur: Quadratvi vero ex L B, descriptuaequale est per candes. propos. huius quadrato ex B K , L H. . hoc est, ex B X, D H,
tanquam ex una linea, descripto , una cum
quadrato, quod ex K M, M H,tanquam ex una linea, describitum, eo quod tria I sirimi. gula rectangula B K M, L H M, sint similia inter se . Sunt enim anguli M, ad 3 2. trimi. Verticem equales,&anguli Κ, H, recti,ideoque & reliqui X B M,H L M, aequales. Igitur quadratum ex F Κ, G H, tanquam ex una linea,descriptum, & quadratum cx KC, C H, tanquam ex una linea, descriptum, hoc est, quadratum Κ H, utraque simul maiora sunt quadrato ex B E , D H, tanquam ex una li- mea, descripto,& quadrato ex K M, M H, tanquam ex una linea descripto, hoe est, quadrato Κ H, virisque simul. Abllato ergo communi quadrato ΚH, erit quadratu ex F κ , G H, tanquam ex una linza descriptum maius quadrato ex B X, D H, tanquam ex una linea, descripto; ideoque maiores erunt rectae linea F Κ, G H, simul rectis B X , D H, simul: Ac propterea, demptis communi bus B Κ, G H, erit F B, reliqua maior quam reliqua D G. Est autem & 2 C, maior quam H C, eo quod tota A C, cuius dimicitum est K C, maior ponitur, i quam tota C E, cuius dimidium est H C . Quaproprer rectangulum sub F B, H. C, contentum, maius erit rectangulo sub D G, H C , contento . Et quoniatriangulum F B C, dimidium est rectanguli si1b F B, K C, contenti; Nam si si per F B, constituatur rectangulum altitudinem habens X C, ita ut triangulum, . . Hmῖ. ct rectangulum inter easdem sint parallelas; erit triangulum parallelogrammi di midium . quod quidem parallelogrammum idem est , quod rectangulum sub F Η, Κ C, contentum, ut constat. Triangulum vero D G C , dimidium est rectanguli contenti sub D G, H C; si enim super D G , constituatur remisegulum
126쪽
. illum altitudinem habes H C, sit, ut triangulum,& rectangullam inter dacium iiiii parallelari erit triangulum parallelogr.mmi dimidium. quod quidem paral- t trimi. et rammum idem est,quod rectangulum sub D G, H C, contentum, ut consul. etit quoque triangulum .F R C, maius triangulo D G C , ac propterea duplum trianguli F yC , vim um rectilii cum A F C B A , maius erit duplo trianguli D G C, utpote re i nco C D E G C. Quocirca, addito communi .eotapolito ex triangulis A B C, C G erunt triangula A F C, C G E, utra uia i , . a que simul maiora triangulis A B C, C D L, utrisque simul. Duo ervo triangula 1ioieeli similia super inaequalibus basibu constituta, &c. quod ostendet.
IS OPE 'I M'si reci R V M figurarum latera numero aqualia
Libentium maxima assuilatera est, ct aequiangula. guras aequa
ESTO fgura quotcunque laterum ABCDEV, maxima inter omnes hibente, latotidem laterum sibi isbperimenas, ita ut maior dati non possit. Dico eam csse tela maxi aequilateram , & aequiangulam .
Sit enim, si fieri putest, primum mon aequilatera, sed sine latera. ΑΒ, BC, proxima inaequalial. 2 Ductat itu recta A C,si constituatur iuper A C, per et L propos. huius. triangulum Ii Oic te, A G C, qu0diit isoperim rerum: triangulo ABC, erit toti
figura A G C D E F, operimetra figurae A B C D E F. Et quia triangulum A G C., maius est
e per 3. Propos. huius driangulo in in Cui addatur commune po
lygonian R C D E F, erit figurii A GC DEF , maior quam figuras A B OD E Fi, quod est
epntrarium D pothesi. Non cr-r inaequalia sunt latera AC, sed aequalia. Eademque ratione ostenacmus, latera proxi
proxi*3 dei acces aequali csse Hudi, in xima igitur ιῖgura inter ubi iωpem cras aequalia . numer A . titera 'Rhentes aequilatera est . quod est Primum.
Sit doinde si fieri potest, figura AB CD PF , aequilatera quidem, . ηemonstrδ MKest, a non Pse Sulδ, sed *nguliR,D, non proximi ina
proximi inaequalesta Disiligor by COOQ
127쪽
snt, maiorq; angulus B, quam angulus D. Quoniam igitur domon sinitum 'est,siguram maximam esse aequi lateram , erunt duo triangura ABC, C D E, Iio- stella, ita ut duo latera AB, BC, aequalia sint duobus lateribus
C D, DE; Ponitur autem angulus B, maior angulo D, erit r m A C, maior, quam recta C E. Si igitur constituantur superbases A C, C E, perit. propos. huius alia duo trian laetiisse Ii, A C, C H E, similia inter se , & Isoperimetra triangulis A BC, CDE, erunt triangulλ δε G C, CH E, utra Fie simul per praecedentem props, Cui
iora triangulis A n c , c D E,
utrisque limul. t Staginti addatur commune polagonum AC E F, aerit fietura A so C H E F,maior, quam figura A B C D E F, quod i cum hvpothesi pugnat', quod
. haec omnium maxima ponatur. Non ergo uae ualcv iunt anguli, B, D,1 d aequales. Eademq; ratione ostendemus , annulos non
proximus C, E, 'quales csic, Mianos alios quo suis non ip noxis mos. Ex quo ei scitur, totam Gguram aequi angularti esse, nempe proximos etiam angulos inter se
esse aequales . si enim v. g. angulus B, non dicatur aequalis ci se angulo C; cum angulus C, aequalis sit non proximo angulo Evcrit quoquo angulus B, angusor, non aequalis. quod absurdum est. Bini enim anguli no proximi inter se aequales sunt, ut ostendimus. Maxima ergo figura inter sibi Isopcrimetras aequalia numero latcra habentes non soluin aequilatera, scd & aequiangula est. Quocirca Imperimetrarum sigurarum latera numero aequaliae habentium maxima & aequi lateries,& aequi angula. quod demonstrandum erat.
128쪽
ὐι ne ι progrediemur, donee ad duo latera proxima in aquatia ventam s , qua ψ Iulum constituant. Neeessario autem ad duo bviusmodi latera perueniemus : ψγ- fgura esset aequi latera. quod non conceditur. i. v.OD,γero ad posteriorιs partis demos rationem attinet, aduertendis m eΠ, in Huru mulsitat eris accipiendos eje duos angulos inaequales non preximos inὐer se , ara it .inter ipsos nus vel plures anguli interponantur , quales sunt angula accutis, D, xnter quos peritu angulus C. LIae nim raimone duae re Aa A C, 'C E, dictos angulos subtendentes se mutiso non interseabunt,toisit in turi: duae figur. A B
x m3 inter se sumere utar, ut con stat . Non est autem in dubium vertendum, ara ta- ἐπι duo angvii possint accipi . ln omni enim figura multi latera non cou angula necessurio erunx aliqui duo anguli non proximi inter se in Mairr, Nam inproPUM Hura A B C D E F, eomparabimus angulum B, cum omniἷus non pro imis a gulis D , E , F, qu 3 necessario duo erunt in tentuo . in hexavno Hro ιyes, t de. incepi. Quod si m alicui eorum suerit inaequa iis, baiabimus 3am duos angulς norastro imos intersa inaequales, nempe ans.lum B, m id mi , cui inaequalis est : ver Ommbus dιcatur aequalis, ersi tune auxistiti B, sollem alteri proximorum D equali salia figura esset AEquiangula . Si ergo in aeqnam fuerit angulo A, erit angulus Asiam angulo E, Pam angulo D, non proximo in qua IM, cum νι rauis horum re aliponatur angu ju, B: Si vero inaequalis fuerat angulo C, erit angulua C, tam an μωE, quam augulo F, non proxsmo inaruab , quod νινι uti borum angulus B , Iouμι ur urite . - SED quoniam propositis hie d/monstrata lauta es in figuris multi lateris, r.e, i constaι , θωα proxime de duobin angialis non proximis inaeqstalibus diximu/ ira triangulis eniti , o quadrilateris figuris aquilateris angisIι eiusmodι reperro norat uni, eum n triangulis aquila term omnes anguli sint aequales, ut ex coro .propos. . lib. I. Eucl.patet; in quadrilateris aut e figuris omma latera babentibus aquatia,
quoniam necessario sunt parallelogramma, ut in scholio 'ropos 34. lib. i. Eu Lastit dimi singub opposim tuter se sint aquai s idcirco totam banc propo*ionem 3 4. primῖ.
in triangulis, π qmadrilateri Huris it a demonstrabimu . rut primum triangulum Α Β C, inter sibi isper metra tria uola maximum .,Dιco leudaru alterum esse G aequiangulum. Si enim
non est aeqviliter . si latera A B, B C, sunt naquasta s Mup.r basem Λ C, costituatur, per propos. 7. hxtus, ινι angulum Goseeles A D C, ita ut latera A D, D C, simul aequa. tia snt lateribus ΑΒ, BC, simul, erunt triangula A BC, A D C, Uperimetra, atq- adis , ter trues s. huiuι. A D C, mali quam A u C. quod ai contra Dpoth. . Non ergo in q-atia sunt latera A B, B C, sed aequalia. Ead j ratio est de eaetem . AEquitate'uni raro est triangWl mΛ b C. uitur, ex eo roster vos s. lib. I. Excl. v armauulu A. quod est ' ρ ρ si iii. . Gita DEINDE
129쪽
DE N D E si quadrilaterum ABCD, inter omnia sibi Uoperimet amixti.
mum. D/eo idud esse V aquilaterum tar aquiangulum. S emm non es aquilaterum,
Citeul omnies figurarum testilinrarum regularium sibi isopera
Ig. tertii. 3. teri . quadrilate νε Α BCD. quod est contra hypothesin,eum A n C D, maumum pona fur. Non ergo inaequaba sunt ratera A B, B C, sed aequalia. Ea moraris est da eoteris . Tqisilatera ergo es figura ABCD. a a SIT iam quadrilatera figura ABCD, omnium isoperimetrarum maxima, aequi uicta ι osti uni chat nou aequiangula.sed anguli B Α D, C D A, inaequales sim Quoniam igitur figura Ad CD, cum sit qui latera,para Pelogrammum est, ut in scholio propos 3 4 lib. I . EAE cI. d. nstrauimus: si educantur ex Α, D, .uae lineaferpendiculares Α H, D G, oecurrentes laterr B C, in II, in G, erit quos A H GD. parallelogrammism. Qu- eris latera A B, D C, maiorasunt lateribus Α H, D G, prodaeqntur hae v fant rem A. E, D F. laterib- A B, D C, aequales,iungatur θνecta E F. Quo facto, erit figura A E F D, isoperimetra parallelogrammo A BCDs eum lathra A E, D v, lateribus A B, D C, aqMalsa sint, latos vero A D, comm.-ne , latus E F, lateri B C, aequale , quod imirumque aquale sit lateri opposito A D. Cum ergo Dura A E F D, maior sit parallelox rammo A H G D , hoc autem aequalest parallelogrammo ABC Di erit quoque figura A E F D, maior parallelo. Iram o ABCD. Quare eum eidem sit isoperimetra, non erit ABCD, figura quadrata teris intersti Voperimetr, maxima. quod est eontra Dpothesm. Non ergo naequales s ni angisli s A D, C D A, sed aequales:atque adeo eum A B C D, sieparallelogrammum, erunt anguli opposit B, C, anguli D, A, at ale=,proptereas Ma figura aequiangula eris. quod estproposum.
cI RcVLVS omnibus figuris rectilineis regularibus sibi UUM
rimetris maior est. E Sal O circulus A BC, fgura autem eguiads quotcunque latcrum ei imperii tra D E F. Dico eirculum en maiorem figura D E F. Sit enim G, eentrum cir di s C; centi iei figure 6 E l Deseribaturi cinea ei eulum A b C, figura B IN V, tot laterum,& angulorum aequalium, quot con tinet figura D E F, id est, sinulis figura: D EF , per ea , quae Campano docuia is inicholio I. propos. 16. lib. q. Euin Deinde ex puncto contactus Α, ad centrum G, ducatur recta A G, quae perpendicularis crit ad I K. Ducatur rursus II D, ad LN, perpςndiculariri Diuidentq; rectae G A, H D, rectas Ili L M, bifariam, vi ς sta si figuris I I K C, D E F, circumscribantur,circuli,
130쪽
Dueantur quoque rectae GI, HL, quae diuident angulos I, S L , bifariam, venianisellum est ex demonstratione propol. L1. lib.J4. Eues. Quoniam igitur toti anguli I. & L , sunt squales , propter similitudinem fgur Ium , erunt
etiam Ipsorum dimidia, vidcliret angili A I G, D L Π, aequalia . Cum ergo &anguli I A G, L D H, sint aequales, opote recti, seuot triagula AI G D Lm k quiangula . Quia vero ambitus figura B I K C, maior est per i .propos. lib. i. s '' Archimessis de sphera,& eylindro ambitu circuit A B C; Ambitus autent cidiculi equalis ponitur ambitui figure D E F; erit quoque ambitus figuret B IK C, maior ambitu figuret D E F . Cum igitur figure sint regulares , di similes, erit etiam latus I K, latete L M, maius; ει ideo I A, dimidium lateris I K , maius, quam L D,dimidium lateris L M. Rursus quonia est,ut I A , ad A G , ita L D, P . ad D H ; Et est I A, maior quam L D, erit quoque A G , maior, quam D H . 'Quamobrem rectangulum contentum sub A G, de dimidio ambitu circuli A u G, hoc est per η. propos. huius area eireuli ABC, maius est, quam rectangulum contentum sub D H, & dimidio ambitu figurae D E F, hoe est, per x. Dropos . huius quam area figur D E F . irculus isitur omnibus figuris rectilineis tegularibus sibi Iloperimetris maior est.quod ostendendum erat.
I iE X omnibus ijs, quae demonstrata sunt, perspicuum est, circu- el ea ualum absolute omnium figurarum rectilinearum sibi i perimetra D R sirum maximum esse. t r.