장음표시 사용
101쪽
SECTIONUM CONICARUM tam rectangulum ex CT in CG , quam rectangulum ex CS in Co . Quare erit rectan. gulum ex CT in CG aequale rectangulo ex
CS in Cor Sc propterea erit, ut CG ad Co, ita CS ad CT . VII. VII. Huae autemsequitur primo, quod si
, --iis' eadem tangens MS conveniat cum directriceor rurium Tu in puncto Κ , ct cum axe conjugato PQ
p tii in puHAO R , rectangulum ex MO in ΤΚ sit ad CP quadratum, ut est Go ad CG. Quum enim CG si ad CO , ut est CS ad CT ; erit convertendo , ut CG ad Go, ita CS ad TS . Sed, ob triangula aequiangula CR S , TΚS, CS est ad TS , ut CR ad I K. Quare erit ex aequali, ut CR ad ΤΚ , ita CG ad GO , & invertendo erit etiam , ut ΤΚ ad CR, ita Go ad C G.
Praeterea , demissa ad axem coniugatum
PQ ordinata MLέ erit, ob tangentem MR, ut CR ad CP , ita CP ad CL . Unde rectangulum ex CR in CL , sive Mo aequale erit quadrato , quod fit ex CP t S propterea reis ctangulum ex Mo in TΚ erit ad CP quadratum , ut est idem rectangulum ex Mo in TK ad rectangulum ex CR in Mo. Jam , ob communem altitudinem MO. rectangulum ex Mo in TΚ est ad rectangi tum ex CR in Mo, ut est ΤΚ ad CR. Ostensum est autem, T Κ esse ad CR, ut est Co ad CG. Quare erit ex aequali, ut rectangulum ex Mo in TΚ ad rectangulum ex CR in Mo, ita GO ad CG ; & consequenter in hac
eadem ratione erit etiam rectangulum ex
102쪽
VIII. Unde sequitur secundo , rectanguin M. Ium ex Mo in Tκ aequale esse rediangulo TGO ; atque adeo esse, ut TG ad , ita pio. s. Mo ad GO.
Otium enim recta ET contingat elliis psim , & ex puncto contactus E demissa sit ad axem ordinata EG; erit, ex superius ostensis , rectangulum TCC aequale rectangulo AGB . Sed tectangulum AGBadaequat quaris tam partem figurae axis AB . sive etiam qua ἀdratum , quod fit ex CP, dimidio axis coniugati . Quare rectangulum TGC eidem CΡquadrato pariter aequale erit.
Hinc erit , ut rectangulum TGO ad re- Elangulum TGC , ita idem rediangulum . TGO ad CP quadratum. Sed, ob communem altitudinem TG , rectangulum TGo est ad rectangulum TCC. ut est Go ad GC. Quare erit ex aequali, ut Go ad GC , ita rectanguintum TGΟ ad CP quadratum. Et quoniam ostensum est , Go esse ad CC , ut est rectangulum ex Mo in TΚ ad
CP quadratum ἔ erit rursus ex aequali, ut reinctangulum ex Mo in TK ad CP quadratum. ita rectangulum TGO ad idem CP quadratum. Unde rectangulum ex Mo in TΚ aequale erit rectangulo TGO. IX. Atque hinc sequitur demsm , qu0d e, I .ia junctis rectis GK , GM , teinis sit angulus ,' 'i. '
ΚGM, quod sub iis continetur. FIG. s. Quum enim ostensum sit rectangulum
ex Mo in TK aequale rectangulo TUO; erit, ut TG ad I K , ita Mo ad GO . Unde trianis Eula duo rectangula GTΚ , MOG habebunt
103쪽
reo SECTIONUM CONICA RuM circa angulos rectos latera proportionalia , Scconsequenter aequiangula erunt.
Angulus igitur TGΚ aequalis erit a gulo GMO. Unde, apposito communi OGM, erunt duo anguli ΤGΚ , OGM aequales duobus angulis G MO , OG M. Sed isti duo simul
sumpti unum rectum adaequant. Quare etiam uni tecto aequales erunt priores duo I atque adeo angulus ΚGM pariter rectus erit.
X. His praemissis , facile modo erit Ueu-d re proprietatem illam fetularem , qua pertinea ad directricem ellipsis. Illiusmodi proprietas haec est , quod si per socorum alterum G ducatur recta MN , utrinque ad ellipsin terminata, ct rectae M S , NX contingant ellipsim in punctis M. & N ; tangent ps istae super dire Ettice TV sibi mutuo occurrant. Si enim fieri potest, secent tangentes illa directricem TU in punctis divcrsis : nimirum tangens quidem MS in puncto Κ , tangens vero NX in puncto Ι . Tum jungantur rectae GK, Gl. Et quoniam recta MΚ est tangens ellipsis , eaque occurrit directrici in puncto Κ ; erit angulus ΚGM rectus; adeoque rectus pariter angulus ΚGN , qui ad partcm alteram existi t. Eadem ratione , quia recta NX est tangens ollipsis , eademque secat directricem in puncto i, erit angulus IGN smiliter rectus. Unde duo anguli ΚGN , IGN aequales erunt inter se. Quod fieri non potest.
XI. Hinc vero alia etiam proprietas vati
de elegoni fait: nimirum , quod si per soco-
104쪽
ad ellipsim terminata 3 & actis tangentibus M Κ , NK , sibi mutuo occurreutibus in K , jungatur recta GK τ haee perpendicularis esse F - s. debeat ad ipsam MN. Reserat namque recta TU directile ellipsis. Et, per ostensam proprietatem . in ea locabitur punctum Κ , in quo tangentes duae sibi mutuo occurrunt. Unde per ea, quae paulo ante ostensa sunt, omnino necesse est, ut rectus sit uterque angulorum ΚGM . ΚGN; atque adeo. ut ipsa GK perpendicula. tis sit ad rectam MN. Hoe idem erui quoque potest ex proprietate illa generali, superius ostensa , quod recta GK bifariam dividat angulum, conten tum sub rectis G M, GN. Inde enim sequitur, eandem rectam GK aequales semper angulos constituere cum rectis G M, GN ; atque adeo rectos esse angulos illos , ubi ipsae GM , GNiacent in directum. XII. Caeterum ex iis , quae modo ostenta xv. sunt, datis focis, ct directrice, nullo negotio ducetur tangens as ρσodlibet ellipsis pun. u. . 9uum . Referat enim recta TV directricem ellipsis , sintque soci ejusdem puncta G , & H.
Oportet ad punctum N tangentem ducere. u. . . Ad focorum alterum G ducatur ex pun- FIG. s.cto N recta NG . Tum ei ex eodem foco G perpendicularis erigatur GK , conveniens cum directrice in puncto Κ . Jungantur dentiaque puncta N , & Κ per rectam NK . Et erit tecta ista NK tangens quaesita. Si enim fieri potest . contingat ellia
105쪽
x ex sΕCTIO Nuia cnNICA Ru Mpsim in puncto N recta quaevis alia NI, quae conveniat cuna directrice in puncto I. Tum ex foco G ad punctum I ducatur recta GI. Et , ex ostensis, rectus erit angulus I GN. Sed ex constructione rectus etiam est anguis lus ΚGN. Quare duo anguli IGN, EGNaequales inter se erunt. Quod fieri non potest.
Demonsrantur focorum Θperbolae proprietates Ieuer ales.
. I. C lmiliter in hyperbola soci, sive unia D i .isis o bilici dicuntur duo illa axis pane set quibus ordinatae correspoπdenter fimisem p
A a ... rametri ejusdem axis adaequant.
r: Ita , si AB sit axis hyperbolae , Sc AD
2 a.is Peranaeter ejuS , capianturque in axe illo ABFio. 6 duo puncta G, S H adeo quidem, ut ordina. tae EG , FH , punctis illis correspondenteS . ad aequant semissem ipsus AD; dicentur puncta G , S H soci , sive umbilici ipsius hyper-
Unde liquet,socos G, ct H aequaliter dἰ-
stare, tam a centro hyperbolae C, quam ab axis verticibus A.&B. Nam, quemadmodum aequa lia sunt quadratu EG, FH ; ita quoque aequalia erunt rectangula AGB . AHB , quae iis quadratis proportione correspondent. Hinc . addendo aequalia ista rectangula
ACB, AHA aequalibus quadratia CA, CB see: quae
106쪽
ΕLEMENTA. 1e 3 quadratum ex CG aequale etiam quadrato ex CH r ct propterea aequales erunt intellse, tam duae CG, CH, quam duae AG, B H. II. Ex ipsa autem focorum definitione II. liquet, rectangulum sub axis portionibus, perso rum alteram abscisis, quadrantem Agu ae ' -0 dem axis adaequare. Maneant enim Omnia, μut supra. Dico, tam rectangulum AGB, quam Fio. 6. rectangulum ΑΗΛ aequale esse quartae par ti figurae axis AB , quae consti tuitur per reinctangulum D AB. Nam, propter hyperbolam EG quadratum est ad rectangulum AGB, ut AD ad AB ; sive etiam, ut AD quadratum ad rectangulum D AB . Sed EG quadratum est quarta Pars quadrati, quod sit ex AD; quum ex constructione EG semissem adaequet ipsius A D. Quare etiam rectangulum AGB quarta pars erit rectanguli DAB. iEadem ratione, propter hyperbolam,FH quadratum est ad rectangulum AHB , ut AD ad AB ; sive etiam , ut AD quadratum ad remctangulum DAB . Sed FH quadratum est quarta pars quadrati, quod fit ex AD; quum ex constructione FH semissem adaequet ipsiusAD . Quare etiam rectangulum AHB quarta pars erit rectanguli DAB. III. Ducantur nunc ad vertiees A .& B m.
tangentes A X, BZ, quae conventant cum tangente quavis tertia MXZ in punctis X, S Z. Et facile eris ostendere , quod si ex focorum altero G ducantur rectae G X , CZ , angulus Fra.47, XGZ . sub ipsis comprehensus , perpetuo rectus esse debeat, ubicunque merit punctum
107쪽
io4 sECTIONUM CONICΑxu MNam rectangulum ex AX in BZ , velut aequale quadrato, quod fit ex dimidio axis conjugati . adaequat quartam partem figulae axis AB . Sed eiusdem figurae quadranti aequale est quoque rectangulum AGB . Quare erit rectangulum ex AX in BZ aequale reiactangulo AGB : & propterea erit, ut A X ad AG, ita BG ad BZ. Hinc duo triangula rectangula XAG, GBZ aequiangula erunt; adeoque erit angulus AX G aequalis angulo BGZ. Et,apposito cominamini AGK, erunt etiam duo anguli AxG. AGX aequales duobus angulis BGZ , AG X,
Sed priores duo unum rectum adaequant. Quare uni recto pariter aequales erunt poste riores duo; &consequenter angulus XG ex iis compositus, rectus erit. 1 v. IV. Eadem autem ratione ostendemus,
,- Vctum esse angulum XHZ , quem continent
. 'ii, dem punci a X , ct Z . Unde sequitur quoque, Fio. . quod si ex puncto Κ , in quo rectae duae GT, HX se mutuo secant , ducatur ad punctum contactus M recta ΚM , haec perpendicularis sit ad tangentcm MZ. Si enim fieri potest, sit ΚΟ perpendicu Iaris ad XZ . Et quoniam rectus est , tam angulus X GZ , quam angulus XHZς circulus. descriptus super XZ,velut diametro,transbie per socos G , & H . Unde erit angulus HGZaequalis angulo HXZ. sive ΚXO. Sed angulus HGZ aequalis best angulo AX G . Quare duo anguli AX G ,ΚXO aequales erunt inter seria propterea, ob triangula aequiangula AG
108쪽
Praeterea,demissa ad axem ordinata MN, erit, ob tangentem MT , ut CN ad C A , ita CA ad CT . Unde,eonvertendo primum, erit,
ut CN ad AN , ita C A ad AT , & addendo
deinde antecedentes consequentibus , et te
quoque , ut CN ad BN , ita C A ad B T iproindeque, per otilinatam rationem, erit, ut
AN ad BN ita AT ad BT.Sed AN est ad BN, ut MX ad MZ. Et AT est ad BT, ut A X ad BZ . Quare ex aequali erit, ut A X ad BZ, ita MX ad MZ. Quum igitur in eadem ratione rem rumΑX , BZ sit, tam OX ad OZ , quam MX ad M Z ; erit rursus ex aequali , ut OX ad ΟΖ,
ita MX ad ME . Unde , subducendo antecedentes ex consequenti hus , erit , ut XZ ad
NE aequales erunt inter se . Quod fieri nota potest. V. Atque hinc sequitur etiam, rectas M G. NH, quae ex puncto contactus M ad focos inclinantur . aequales cum tangente M Z anguialos constituere , hoc est angulum G MX ae. qualem esse angulo HM Z. Quum enim rectus se , tam angulus
CX, quam angulua ΚMX 3 circulus, deinserie
109쪽
οε SECTIO NuΜ CONICARUM scriptus super ΚX , velut diametro, transibἰe per puncta G, & M: proindeque erit angulus G MX aequalis angulo GKX . Eadem ratione, quia rectus est uterque angulorum ΚHZ , ΚM Z ς semicirculus . dein scriptus super ΚΖ , velut diametro , transibit per puncta H , S M . Quare erit angulusHM Z aequalis angulo HRZ, sive GKX. Eidem igitur angulo GKX aequalis est, tam angulus GMX , quam angulus HM Z. Quare erit angulus G MX aequalis angulo HMZ: ct propterea rectae duae MG, M H cum
tangente M Z aequales angulos constituent. VI. Inde vero deducitur praeterea, Hem rectas MG, M H continere rectangulum,quod quartam partem adaequat figurae diametri transeuntis per punctum contactus M . Nam , ex superius ostensis , si ex centro
hyperbolae C ad puncta X, S Z intelligantur
ductae ted hae CX , CZ , eae exhibebunt nobis duas hyperbolae diametros conjugatas . Quare rectangulum XM Z aequale erit quadrato,' quod fit ex dimidio coniugatae illius diame tri , quae pertinet ad punctum M. Jam quadratum istud adaequat quartam partem figurae eiusdem diametri. Unde eo stabit, rectangulum G M H aequale esse quadranti figurae diametri, transeuntis per punctum M . si utique ostendi possit, rectangulum GM H aequale esse rectangulo XMZ.
Id vero ostendemus in hunc modum. Quoniam rectus est uterque angui
tum ΚGX . ΚMX ; erunt alii duci anguli M , CXM duobus tediis aequales. Et si,
110쪽
ELEMENTA. io'mἰliter quia rectus est , tam angulus RHZ, quam angulus RME ; erunt alii duo anguli M , MHZ duobus rectis pariter aequaleS. Hinc duo anguli GKM , GXM aequales erunt duobus angulis GKM, MHZt proindeque, ablato communi GKM, remanebit anguis
lus GXM aequalis angulo M HY . Unde triangula duo G MX , HM Z aequiangit Iaerunt: S propterea , quum sit , ut MX ad MG, ita M H ad MZ; erit terungulum G M Haequale rem neu lo X ME.
VII. Exinde colligitur pariter , differen- VI . tiam rectarum M G, M H aequalem esse axi AB . Ducantur enim unt earum , veluti MG, ν -
parallelae CR, HS. Tum iungantur rectae AR, HR, BR. Et quoniam eidem angulo G MX aequalis est , tam angulus HMS , quam angulus HS M, erunt duo anguli HMS, HS M aequales inter se et Sc propte tua triangulum M HS i sceles erit. Sed has s ejus MS hi secta est perrectam HR; quum sit, ut RM ad RS, ita CG ad CH. Quare erit HR perpendicularis ad ipsam M S. Hinc , ob cIrculum, transeuntem me quatuor puncta A , R , H , X , erit angulus ARX aequalIs angulo AHX . Et smiliter, ob
Circulum, transeuntem Per puncta quatuor
B , H , Σ , R , erit angulus BR X aequalis angulo BHZ . Unde angulus ARB aequalis erit angulo XHZ, atque adeo rectus erit. Id quum ita sit, semicirculus, descriptus super AB , velut diametro, transibit per punctum Ri S propterea recta CR ipsi in , vel