Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

91쪽

ss SECTIONUM CONICA Ru Mducantur ad puncta contactus rectae G M, GN , angulus M GN bifariam sit sectus per tectam GK . Jungantur enim puncta M , & N per re Etam MN, cui per socum G , S centrum C

parallela: agantur OR, XZ, cum tangentibus convenientes . Jungantur quoque rectae H M. HN ι & eonveniat cum axe , tangenS quidem

NK in puncto T , tangens vero NK in pu uricto S. Et quonἰam HM est ad G M , ut TH ad TGδ erit componendo , ut AB ad GH . Ita summa duarum TH, TG ad ipsam i S m-piendo antecedentium dimidia erit quoque,

ut CA ad G M , ita CT ad TG. Sed CT est ad TG, ut CX ad GO . Quare erit ex aequali, ut CA ad G M, ita CX ad Go.

Eadem ratione ostendemus , C A esse a

GN , ut est CZ ad GR . Unde, quia GM est ad G N in ratione composita ex GM ad CA.& ex CA ad GN , habebit quoque G M al N rationem compositam ex Go ad CX , Rex CZ ad CR. Jam diameter , quae bisecat rerum MN,

eamque velut suam ordinatam agnoscit, transis

ire debet per punctum K , in quo tangentes duae MK , NΚ sibi mutuo occurrunt. Quam re eadem diameter bisecabit quoque rectam XZ i ct propterea , quum aequales sint duae CX, CE; erit G M ad G N in simplici ratione, quam habet Go ad GR. Ponamus modo, rerum GK ipsi MN occurrere in L . Et quoniam Go est ad GR.

92쪽

x L E M E N et Α. εν Η, ita ML ad N L: proindeque angulusMGN sectus erit bifariam per rectam GK. XII. Sed hanc aliam proprietatem nec a Letiam silentio praeteribimus, quod si per so- a. ι'. I. cum aliquem G ducatur tecta MN , utrinque

ad elliptim terminata; ea sit tertia proportio- istis mnalis post axem AB , R diametrum KL, ipsi MN parallelam. Ducantur enim ad puncta M , S N tangentes MT, NS , convenientes cum axe AB in punctis T.& S , cumque diametro KL in punctis X , & Z . Tum ex iisdem punctis M. S N demittantiit ad diametrum KL ordinatae MO, N R. Et quoniam, ut paulo ante vidimus, CAest ad G M , ut CT ad TG ; erit quoque, ut in ad G M , ita CX ad eandem GM . Quare

duae CA, CX aequales erunt inter se. Quum inque eadem ratione etiam CZ ipsi CA aequalis comperiatur, erit tota XZ aequat s axi ΑΒ. Quia autem tangens MX eurrit diametro KL in puncto X , R ex puncto contarictus M ducta est ad eandem diametrum ordiis nata MO; erit, ut CX ad CΚ, ita CK ad Co S duplicando terminos omnes , erit quoques

ut XZ ad KL, ita KL ad OR. Jam , quemadmodum XZ est aequalis axἐM , ita OR aequalis est rectae MN . Quare erit,ut AB ad KL, ita ΚL ad MN & propterea recta MN , ducta per focum G , S utrinisque ad ellipsim terminata, erit tertia proportionalis post axem AB , ct diametrum KL, ipsi MN parallel m. XIII XIII. Hine autem prono alveo fuit, quod c.istia

si per

93쪽

so SECTIO NuM CONICARUMνλα, ε si Per eundem lacum, vel etiam per utrumque ducantur rectae duae MN , PQ . utrinque ad om .is ellipsim terminatae, eae sint inter se,ut quadra-Fici ab i. t di/mς trorum, quae ipsis sunt parallelae.' Quum enim MN sit tertia proportiona. Iis post axem AB, & diametrum KL, ipsi MN parallelam i erit KL quadratum aequale rectangulo ex AB in MN . Et eadem ratione ,

quia PQ est tertia proportionalis post axem ΑΒ , & diametrum EF , ipsi PQ aequi distantem ς erit EF quadratum aequale reetangulo ex AB in PQ. Inde autem erit , ut KL quadratum ad EF quadratum , Ita rectangulum ex AB in MN ad rectangulum ex AB in P Sed , ob

communem altitudinem AB, rectangulum ex

AB in MN est ad tectangulum ex AB in PQ, ut MN ad PQ. Quare erit ex aequali, ut MN ad PQ, ita KL quadratum ad EF qua

dratum .

Quum igitur, ex supellus ostensis, reinctangula, quae fiunt ex segmentis duarum seis cantium, sint inter se , ut quadrata ex conjugatiS earum diametrorum, ad quas secantes ilistae velut ordinatae reseruntur ; erunt nunc illa eadem rectangula , ut earundem diametrorum ordinatae illae, quae transeunt per focos .

xiv. XIV. Denique hanc quoque proprietatem notamur silentio committere, quod si recta XTellipsim contingat in M, ct ducta ex focorum altero G ad punctum contactus M tecta GM, FI .. 42. huic per vertices axis parallelae agantur AX, BZ , cum tangente convenientes ἔ quod , in quam , demissa ad axem ordinata MN . sint

94쪽

ELEMENTA. Iipsae AX , BZ aequales portionibus ax II AN, BN Extendatur enim tangens MX, usque donec convcniat cum axe AB in puncto T. Et, ut paulo superius ostensiim est, C A erit

ad G M, ut est CT ad TG. Sed dum CL ipsi GM parallela, CT est ad FG , vi CL ad G M. Igitur erit ex aequali, ut CA ad G M , ita CL ad eandem G M t & propterea GL ipsi CR

aequalis erit.

Jam, ob tangentem MT, CT est ad C A. ut CA ad CN.Quare convertendo erit, ut CT ad AT , ita CA , si ve CL ad AN ; ct permutando, ut CT ad CL,ita AT ad AN . Sed CT est ad CL, ut AT ad A X. Et igitur ex aequali erit, ut AT ad AX, ita AT ad ΑN: proindeque Ax ipsi AN aequalis erit. Erigantur deinde ex punctIs A, S B perpendicula AI, ΒΚ . Et quoniam in eadem illa ratione , quam habet AI ad MI , est etiam BK ad MΚ ; erit ex aequali , ut AI ad Mi, ita ΕΚ ad MK; & permutando, ut Al ad ΒΚ, ita

Quare erit rursus ex aequali, ut A X ad BZ, ita AN ad BN : S propterea . quemadmodum AX ostensa est aequalis ipsi AN , sie etiam Baeipsi BN aequalia erit.

95쪽

C A P. II. Foeorum elli P proprietates

feriales osenduntur.

I. D Raeeedenti eapite ostensae lane focorum ellipsis proprietates generales , hoc est , eae quae obtinent in quolibet ellipsis puncto 3 nunc eas ostendemus , quae speciales sunt , ct ad illud dumtaxat punisitum pertinent, quod coniungitur cum altero socorum per rectam , axi perpendiculare Sit Igitur AB axis major ellipsis , sint que etiam G, & H foci ipsius. Ex focorum altero G perpendicularis ad axem erigatur GE , ellipsi occurrens in E. Tum ad punctum

E ducatur tangentes ET, cum eodem axa conveniens in T.

Ac primo quidem ostendemus, quod ereis ctis ex verticibus axis A, & B ad tangentem usque perpendicularibus AX, BZ, eae sint aequales portionibus AG , BG , abscisiis ex axe AB per socum G. Jam enim rectae AX , BZ parallelae lane ipsi EG . Qua te eaedem, ex ostensis , aequales esse dehent iis portionibus , In quas dividitur xis per ordinatam , demissam ex puncto Ε . Sed ordinata ista est ipsa EG . Itaque rectae AX , BZ aequales esse debent portionibus ΑG, BG.

Hoc idem ostendi quoque potest in

hunc.

96쪽

hunc modum. Quoniam ΑX , EX sunt tanis gentes duae ἔ per ea, quae superius ostensa sunt, secabitur angulus AGE bifariam per reis clam UX . Unde, quum angulus AGE sit re-etus 3 erit semirecto aequalis , tam angulus AUX , quam angulus A XG; ct consequenter ouae AX , AG aequales erunt inter se . Simili ratione, quoniam BZ , EZ su ne tangentes duae 3 secahitur angulus BGE bifa- 'er rfam CZ . Uude , quum angulus BGE sit remis erit semirecto aequalis , tam angulus BGZ , quam angulus BZG; atque adeo duae BZ, BG aequales erunt inter se. III Hinc autem ostendemus fecundo loco, quod si ex alio ellipss puncto M dueatur ad με - . axem AB ordinata MN , quae conveniat, tam cum tangente, quam cum ellipsi ad partem

MRo sit aequale quadrato, quod fit eκ interiecta axi 1 portione GN., P r superiuS ostensa , rectanguis Iuni MRo est ad quadratum tangentis ER, ut est quadratum ex axe conjugato ad qua oratum ex coniugata diametri , quae tran. st per punctum E. Sed in hac eadem ratio ne est etiam quadratum tangentis A X ad quadratum tangentis EX . Quare erit exaequali, ut rectangulum M RO ad ER uuadratum , ita Αx quadratum ad Ex uuadra

tum a

lam , permutando, rectangulum M ROerit ad A X quadratum, ut est ER quadra.

97쪽

ν4 SECTIONUM CONICARUM quadratum , ut CN quadratum ad AG quadratum . Quare erit rursus ex aequali , ut rectangulum M Ro ad A X quadratum, ita GNquadratum ad AG quadratum ἰ S propterea, quemadmodum aequalia sunt quadrata duo AX, AG, ita quoque erit rectangulum M Roaequale quadrato, quod fit ex GN. α -- . IV. Atque hinc sequitur tertio . quod si jungatur punctum M cum foco G per recta in μει m. M G, haec sit semper aequalis rectae NR , ubi-FιG-ψῖ. cumque sumptum fuerit punctum M. Jam enim rectangulum M RO ostensum est aequale quadrato, quod fit ex GN. Quare, apposito communi quadrato ex MN , erit reis ctangulum M Ro una cum MN quadrato aequale duobus quadratis GN. MN. Quoniam autem Mo est secta bifariam in puncto N ; et it rectangulum M Ro una cum MN quadrato aequale quadrato ex N R. Et quoniam angulus G NM est rectus . erunt quadrata duo GN , MN aequalia quadrato ex ipsa MG . Hinc erit NR quadratum aequale quadrato ex MG : S propterea duae N R.

MG aequales erunt inter se. Hujus autem proprietatis oste, datis axe,

O scis, facile erit lavenire longitudinem oris dinatae . quae cuilibet axis abscissa correspondet. Sit enim axis AB, sintque G . & H mei.

Et oporteat invenire ordinatam , quae correspondet ah seisae AN. Erigantur ex punctis A , & B perpendiculares A X, BZ aequales ipsis AG , BG . Tum, iuncta XZ, erigatur ex puncto N pe Pendicularis altera NR , ei occurreus in R.

98쪽

ELEMENTA. Denique centro G , S intervallo ipsus NR describatur arcus,eandem NR secans in M, &erit MN ordinata quaesita . IV. Iisdem, ut supra manentibus , eriga tur modo ex puncto T, dia quo tangens ET secat axem AB , perpendicularis ad ipsum axem TV . Et quemadmodum perpendicula.

rem istam TU ellipsis direTricem deinceps appellabimus , sic relate ad eam plures ellipsi proprietates competant. Nimirum primo, demissa ad directricem perpendiculari EF , erit, ut EF ad EG , ita AT ad AG . Nam, ob parallelogrammum FG, duae EF, G T inter se sunt aequales. Quale erit, ut EF ad EG , ita GT ad EG . Sed, obtriangula aequiangula TG Ε . TAX , GT est ad EG , ut AT ad A X. Et, ob aequales AX . AG , ut est AT ad A X , ita est AT ad AG . Quare erit ex aequali, ut EF ad EG, ita AT ad AG. Secundo . demissa ex alio quovis ellipsis puncto M ad eandem directricem perpendicu lati MS , erit, ut MS ad MG , ita AT ad AG. Nam . ducta ad axem ordinata MN . eaque producta ad tangentem usque in puncto R; erit, ut TN ad N R, ita AT ad A X, sive AG. Sed TN est ad N R , ut MS ad MG ; quum sint aequales , tam duae TN , MS , quam duae N R , MG. igitur erit ex aequali, ut in ad MG, ita AT ad AG.

Tertio , id verum erit etiam relate alat um axis verticem B; quandoquidem erit,ut BT ad BG, ita AT ad AG. Nam, ob trianguin

99쪽

νε SEeTIO NuM CONICΛRuM BZ, ita est AT ad A X. Sed, ex superius ostensis, aequales sunt inter se , tam duae AX, AG, quam duae BZ , BG . Quare erit quoque

ut B T ad BG , ita AT ad AG. Quarto , si duo in ellipsi capiantur puncta M , & Ρ , & eκ iis perpendiculares ad directricem demittantur MS , PQ erit, ut MS ad PQ Uta MG ad BG. Nam in eadem ratione, quam habet AT ad AG, est, tam NS ad ad MG , quam PQ ad PG . Igitur erit ex aequali, ut MS ad MG, ita PQ ad PG , &Permutando erit etiam , ut M S ad PQ, ita

ducantur ad directricem aliae duae rectae MI, PL, quae inter se sine parallelae , erit quoque ut MI ad PL, ita MG ad ΡG. Nam, ob trianis

gula aequiangula MSI, POL , ut est MI ad PL , ita est MS ad PQ. Sed , ex ostensis, M sest ad PQ, ut est MG ad ΡG . Igitur erit exaequali, ut HI ad PL, ita MG ad PG.

ciis. νis. V. Recta igitur, quae ex quolibet ellipsis 'M rem puncto perpendiculariter demittitur ad dire- .mo 2 ctricem, est ad rectam, quae ex codem puncta is, ducitur ad lacum G , in eadem illa ratione .m uis dis. quam habet AT ad AG . Sed circa proprieta, FIG.qq. rem istam duo occurrant, notatu digna. Primum est, quod ratio, quam habet AT ad AG , sit majoris ad minus ' adeo nem

Pe , ut perpendicularis demissa ad directricemst semper major recta, quae ducitur ad lacumG.ob tangentem enim ET,ut est CT ad CA, ita est CA ad CG . Qi s re convertendo erit

100쪽

ELEMENTA. 'ν CT major est, quam C A. Et igitur ΑΤ etiam major erit , quam AG . Alterum est , quod eadem illa ratio sit aequalis et , quam habet axis AB ad distantiam , quae inter utrumque socum existit.

Nam, ob tangentem ET , ut est CT ad C A. ita est CA ad CG . Quare , dividendo , erit , ut AP ad C A , ita AG ad CG ς & permutando erit quoque , ut AT ad AG , ita CA ad CG . Jam vero CA est ad CG, ut AB ad G H. Et igitur ex aequali AT erit ad AG,ut est AB ad GH. VI. Ad direEtricem ellipss alia et am Pro ut

prietas pertinet valde singularis . Sed ad eam Z mmis ν ostendendam, stirnendum es prius, velut sim-ms, seqsuns tBeorema, quod si ad aliquod elli- Πν ει - ..is psis punctum M ducatur tangens MS , conveniens cum axe AB in puncto S , S ex pun- ς cto contactus M demittatur ad eundem axem

ordinata Mo ς quod, inquam , CG si ad Co, ut est CS ad CT.

Quum enim recta ET contingat ellipsim.& ex puncto contactus E ducta sit ad axem ordinata EG ς erit . ex superius ostensis , ut CT ad CA , ita C A ad CG i proindeque rectangulum ex CT in CG aequale erit quadrato, quod fit ex CA. Similiter, quoniam recta Ms est tangens ellipsis , ct ex puncto contactus M ducta est ad axem ordinata Mo per ea, quae superius ostensa sunt, erit, ut CS ad C A , ita C A ad Co. Quare rectangulum ex CS in Co aequale erit quadrato , quod sit ex C q. E dem igitur CA quadrato aequale est, Tom. II. G tam