장음표시 사용
111쪽
ios SECTIONUM CONI c Axu MCB aequalis erit. Sed, ob rectam GH bisectam
In C , est MG dupla ipsius CI, & M H dupla
ipsius Mi, si ve I R. Itaque disserentia dua istum M G , M H dupla erit ipsius CR ; atque adeo aequalis axi AB. VIII. H ine vero alia nobis suboritur ratis describendi operbolam in plano, datir Deircum longitudine axis . Sit enim AB axis hyperbolae , sintque puncta G, & H ejusdem soci, seu umbilici. Oportet, in subjecto plano hyperbolam describere. Ad alterum focorum H aptetur regula HL,quae longior sit axe AB. Tum,sumpi filo,cujus longitudo minor sit longitudine regulae per aκem AB , alligentur extrema ejus punctis G , S L . Circumducatur deinde reis
gula HL circa secum H , ct ope stili setatue
etiam filum cum ipsa regula , ea lege, ut por tiones ejus maneant continuo tenta . Dico ,
curvam, quae per stilum in subjecto plano deis scribitur, csse hyperbolam quaesitam . Jam enim ex ipsa curvae descriptione luquet , eius naturam hanc esse, ut different Iarediarum, quae ex aliquo ejus puncto ducuntur ad puncta G , S H , adaequet differentiam, quae inter regulam, & filum existit. Sed ex constructione differentia ista aequalis est axi AB. Quare eidem axi AB aequalis quoque erit eadem illa rectarum differentia: Se proin pterea curva descripta erit hyperhola . Perspicuum est autem , praefata ratione describi tantum hyperbolam , quae transit
per punctum A . Sed, si describenda quoque esset hyperbola alia , quae transit per punctum
112쪽
B; tunc regula quidem aptanda erit ad lacum G , filum vero oportebit, ut extremitate sua foco H alligetur . Patetque etiam, utriusque hyperbolae eo majorem portionem describi, quo longior assumitur regula. IX. Sit nunc recta MT aliqua tangens hyperbolae , conveniens cum axe AB in puncto T. Erigatur super ea perpendicularis MO, eidem axi occurrens in O . Et circa perpen
dicularem isam plura licebit ostendere. Nimirum primo , quod rectae M G , M H
constituant cum ea , producta verius R , angulos aequales. Nam rectae MG, VH emetunt aequales angulos cum tangente M T . Sed aequales quoque sunt anguli, quos cum eadem tangente constituit perpendicularis OR .Quare erit angulus G MO aequalis angulo HM R. Secundo , quod recta Ho sit harmonice
secta in punctis T , & G . Nam rectae M G,
M H , ob aequales angulos , quos coqstituunt cum perpendiculari OR , sunt, ut perpendicula , quae ex punctis G , & H demittuntur ad ipsam OR, sive etiam , ut tectae Go, HO. Sed, ob angulum GM H bisectum per tangentem MT, eaedem M G, Mid sunt, ut portiones FG, TH. Igitur erit ex aequali,ut TG ad TH, ita GO ad Ho i S propterea rectangulum squod fit ex tota Ho in portionem interm diam TG , aequale erit rectangulo sub porti nibus extremis TH , - . Tertio, quod tres rectae CO , CG , CT
snt continue proportionales. Quum enim rectangulum ex I H in Go sit aequale redian
113쪽
io SECTIONUM CONICA Ru MNO ad Go a & componendo, ut GH ad TG. ita summa duarum Ho, GO ad ipsam GO; &capiendo antecedentium dimidia , ut CG ad , ita CO ad Go; ac denique convertendo, ut CG ad CT, ita CO ad CG. Quarto, quod si demittatur ad axem oris dinata MN , data sit ratio, quam habet Coad CN, hoe est aequalis duplicatae ejus, quam habet CG ad C A . Quum enim tres rcetae CT , CG, CO sint continue proportionales ἔerit CG quadratum aequale terungulo TCO. Sed , ex superius ostensis, CA quadratum est aequale rectangulo I CN . Quare erit, ut rectangulum TCo ad rectangulum TCN , si vo etiam ut CD ad CN , ita CG quadratum ad CA quadratum. Denique , quod data si etiam ratio, quam habet Co ad No , hoc est aequalis ei, quam habet CG quadratum ad rectangulum AGBJam enim Co est ad CN, ut est CG quadratum ad CA quadratum . Sed , ex superius ostensis , CN est ad No , ut axis AB ad para- metrum ejus AD ; sive etiam, ut AB quadratum ad rectangulum DAB , sue demum , ut CA quadratum ad rectangulum AGB . QuareeX aequo ordinando erit, ut Co ad No , ita CG quadratum ad rectangulum AGB .X. Meretur autem , ut speciatim sendatur sequens proprietas: nimirum . quod si expuncto O super aliquam ipsarum MG , M H perpendicularis demittatur OR , abscissa portio MR sit aequalis dimidio parametri A D.
quae desertur ad axem AB. Nec sane dissicile erit eam , Ostendere . Nam Diuitiaso by Cooste
114쪽
Nam tectae MG, M H , ob aequales angulos. quos constituunt cum tangente MT, sunt,ut portiones m . TH . Quare disserentia recta.
rum M G , M H , sive axis AB, erit ad Mid, ut differentia duarum N, TH ad ipsam TH ; &capiendo antecedentium dimidia,erit quoque,
ut CA ad MH , ita CT ad TH ; ae denique Permutando erit, ut CA ad CT , ita M Had TH. Demittatur jam ex puncto H super tangentem perpendχularis HL . Et M H ad THerit in ratione composita ex M H ad HL , Rex HL ad TH . Jam vero M H est ad HL , ut Mo ad MR. Itemque HL est ad TH. ut Moad To ; sive etiam , ut NO ad MO . Quare erit Mid ad TH in ratione composita ex Noad Mo , & ex Mo ad MR; atque adeo in simplici ratione , quam habet NO ad M R. Quum igitur C A sit ad CT, ut M H ad TH , & MH sit ad TH , ut No ad MR ; erit ex aequali, ut CA ad CT, ita NO ad MR. Sed CA est ad CT, ut CN ad CA . Quare rursus ex aequali erit, ut CN ad C A . ita NO ad MR ; S permutando erit pariter , ut CN ad N O . ita CA ad MR . Est autem ex ostensis. ut CN ad N O , ita AB ad AD. Et igitur exaequali rursus erit , ut AB ad AD , ita C A ad MR: proindeque, sicuti CA semissis est ipsus AB, ita erit MR semissis ipsus A D. XI. Praeterea pertinet ad focos Operbola xl.
haec alio proprietas, quod si duae taneentes
G ducantur ad puncta contactus rectae G M ,
115쪽
is x SECTIONUM CONICA Ru MJungantur enim puncta M , & N per remm MN, cui per lacum G , ct centrum C
parallelae agantur OR, XZ, cum tangentibus convenienteS . Jungantur quoque rectae H M. HN , S conveniat cum axe , tangenS quidem
piendo antecedentium dimidia , erit quoque,
ut CA ad G M , ita CT ad TG . Sed CT est ad TG, ut CX ad GO . Quare erit ex aequali, ut CA ad G M, ita CX ad Go.
Eadem ratione ostendemus , C A esse ad
GN , ut est CZ ad GR . Unde, quia GM est ad C N in ratione composita ex G M ad CA.& ex CA ad GN , habebit quoque G M ad GN rationem compositam ex Go ad CX, Rex CZ ad CR . Jam diameter , quae bisecat rectam MN,
eamque velut suam ordinatam agnoscit, trannire debet per puninim Κ , in quo tangentes duae MK , NΚ sibi mutuo occurrunt. dua. re eadem diameter bisecabit quoque rectam XZ : ct propterea , quum aequales sint duae CX, CZ; erit G M ad G N in simplici ratione, quam habet Go ad GR. Ponamus modo , rectam GK ipsi MN occurrere in L . Et quoniam Go est ad GR. ut ML ad N L; erit ex aequali, ut C M ad GN , ita ML ad N L: proindeque angulusMGN sectus erit bifariam per rectam GK. Xu. Sed hanc aliam proprietatem nec etiam
116쪽
ELEMENTA. II etiam silentio praeteribimus , quod si per so- do me εὐ- cum aliquem G ducatur recta MN , utrinque ad hyperbolam terminata;ea sit tertia propor-
ionalis post axem AB, Sc diametrum KL, ipsi 'si MN parallelam. Ducantur enim ad pundia M , & N tangentes MT , NS , convenientes cum axe AB in punctis T, Sc S , cumque diametro KL in punctis X , & Z . Tum ex iisdem punctis M,S N demittantur ad diametrum KL ordinatae MO, N R. Et quoniani, ut paulo anto vidimus, CAest ad G M , ut CT ad TG ; erit quoque , ut CA ad G M , ita CX ad eandem GM . Quare
duae CA, CX aequales erunt inter se. Quumque eadem ratione etiam CZ ipsi in aequalis comperiatur; erit tota XZ aequalis axi AB. Quia autem tangens MX occurrit diametro KL in puncto X , Sc ex puncto contactus M ducta est ad eandem diametrum ordi. nata MO; erit, ut CK ad Cic, ita CK ad Co, S duplicando terminos omnes , erit quoques
ut XZ ad KL, ita XL ad Ο R. Jam , quemadmodum XZ est aequalis axi AB , ita OR aequalis est rectae MN . Quare erit, ut AB ad KL, ita KL ad MNi & propterea recta MN,ducta per focum G, & utrinque
ad huperbolam terminata , erit tertia propor
tionalis post uκem AB , Si diametrum KL, ipsi MN parallelam. XIII
XIII. Hinc autem prono alveo fuit, quod Caram si per eundem lacum, vel etiam per utrumque ducantur rectae duae MN , PQ . utrinque ad hyperbolam terminatae ; cae sint inter se is ut ais ιιων. rim. II. H quam FI. .s .
117쪽
it 4 SECTIO NuM CONICA RuM quadrata diametrorum, quae ipsis sunt paralis telae. Quum enim MN sit tertia proportiona istis post axem AB, ct diametrum KL, ipsi MN parallelam; erit KL quadratum aequale rectangulo ex AB in MN . Et eadem ratione , quia PQ est tertia proportionalis post axem ΑΒ , & diametrum EF , ipsi PQ aequi distantem ἔ erit EF quadratum aequale reetangulo
Inde autem erit, ut KL quadratum ad EF quadratum, ita rectangulum ex AB in MN ad rectangulum ex AB in P sed , ob
communem altitudinem AB. rectangultim ex
AB in MN est ad tectangulum ex AB ita PQ, ut MN ad PQ. Quare erit ex aequali, ut MN ad PQ , ita KL quadratum ad EF qua
Quum igitur, ex superius ostens s , re Etanguia, quae fiunt ex segmentis duarum seis cantium , sint inter se , ut quadrata ex cori gati S earum diametrorum, ad quas secantes illae velut ordinatae te seruntur; erunt nunc illa eadem rectangula , ut earundem diametrorum ord natae illae, quae transeunt per soccis . XIV. Denique hasc quoque proprietatem nolumus silentio commiιtere, quod si recta XZhyperbolam contingat in M , ct ducta ex socorum altero G ad punctum conta Etus M r dia L M, huic per vertices axis parallelae agantur AX , BZ . cum tangente convenienteS , quod, inquam, demissa ad axem ordinata MN,
118쪽
ELEMENTA. ar Extendatur enim tangens MX , usquo donec conveniat cum axe AB in puncto T. Et, ut paulo superius ostensum est , C A erit
ad G M, ut est CT ad ΤG. Sed,ducta CL Ipsi GM parallela, CT est ad FG., ut CL ad G M. Igitur erit e x aequali, ut CA ad G M , ita CL ad eandem GM r ' propterea CL ipsi CAaequalis erit.
Jam, ob tangentem Mi CT est ad CA,
ut CA ad CN . Quare,subducendo anteceden. tes ex consequentibus erit, ut CT ad AT .
ita CA , sive CL ad AN ; S permutando, ut CT ad CL . ita AT ad AN . Sed CT est ad CL, ut AT ad AX . Et igitur ex aequa. li erit, ut AT ad AX, ita AT ad AN: proinis deque A X ipsi AN aequalis erit. Ulterius , quum CN sit ad CA , ut CA
ad CT, erit, convertendo primum, ut CN ad AN . ita CA ad AT; S addendo antecedentes consequentibus , erit quoque , ut CN ad BN, ita C A ad BT . Unde per ordinatam rationem erit, ut A N ad BN , ita AT ad BrSed AT est ad BT, ut A X ad BZ. Quare erit ex aequali, ut A X ad BZ , ita AN ad BN : S propterea, quemadmodum AX ostensi est aequalis ipsi AN , sic etiam BZ ipsi BN κ- qualis erit. H 2CAP.
119쪽
I. D Raecedenti capite ostensae sunt1 Deorum perbolae proprietates ge.
nerales, hoc est, eae quae obtinent in quolibet hyperbolae puncto; nunc eas ostendemus,quae speriales sunt , & ad illud dumtaxat punis diu in pertinent, quod conjungitur cum alte ro socorum per rectam , axi perpendicularem. Sit igitur AB axis hyperbolae , sint. que etiam G, Ω Η foci ipsius . Εκ socorum altero G perpendicularis ad axem erigatur GE, hyperbolae occurrens in Ε . Tum ad punoetum E ducatur tangens ET , cum eodem axe conveniens in T.
Ac primo quidem ostendemus, quod ere-Etis ex verticibus axis A, S B ad tangentem usque perpendicularibus AX , BZ . eae sint aequales portionibus A G, BG, abscissis ex axe AB per lacum G. Jam enim rectae A X , I Z parallelae sunt ipsi EG . Qua te eaedem, ex ostensis , aequales esse debent iis portioni hus , in quas dividitur axis per ordinatam , demissam ex puncto E. Sed ordinata ista est ipsa EG . Itaque rectae AX . BZ aequales esse debent portionibus
AG, BG. Hoc idem ostendi quoque potest in
120쪽
ELEMEN TR. 1i hunc modum. Quoniam ΑX , Ex sunt tanis gentes duae I per ea. quae superius ostensa sunt, secabitur augulus AGE bifariam per re ctam GX. Unde, quum angulus AGE sit reinctus 3 erit semirecto aequalis, tam angulus AGX . quam angulus A XGI ' consequenter duae AX , AG aequales erunt inter se . Simili ratione , quoniam BZ , ΕΖ sunt tangentes duae 3 secabitur angulus BGΕ hi sariam per rectam GZ . Uude , quum angulus BGE sit rectus , erit semirecto aequalis , tam angulus BGE , quam angulus BZG ; atque adeo duae BZ, BG aequales erunt inter se. II. Hinc autem pseudemus secu do loco. p... H. quod si ex alio hyperbolae puncto M ducatur ad axem AB ordinata MN , quae conVeniat s misias θε. tam cum tangente , quam cum hyperbola ad ps: partem alteram in punctis R , & Ο ; rem ' Μ' δ' gulum M RO sit aequale quadrato , quod fit ex interiecta axis portione GN. Nam . per superius ostensa , rectangu Ium M Ro est ad quadratum tangentis ER, ut est quadratum ex axe conjugato ad quae dratum ex coniugata diametri , quae transit per punctum E . Sed in hac eadem ratiorine est etiam quadratum tangentis A X ad quadratum tangentis ΕX . Quare erit exaequali, ut rectangulum M RO ad ΕR quadratum, ita Ax quadratum ad Ex quadra
Jam , permutando, rectangulum M Roetit ad A X quadratum , ut est ER quadratum ad EX quadratum . Sed, propter Paralle