Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

71쪽

εs s ECTIONUM CONΤCARuM linea duei possit ex eodem vertice A. Si fieri potest , ducatur recta alia AI, In qua sumpto puncto quovis P , agatur per illud recta PN , ipsi AH parallela , conveniens cum parabola in puncto M . Et quoniam PN quadratum majus est MN quadrato , habebit ΡN quadratum ad AN quadratum majorem rationem , quam MN quadratum ad idem AN quadratum. Sed, propter parabolam MN quadratum est aequale rectangulo DAN . Et rectangulum DAN est ad AN quadratum , ut

AD ad AN . Quare PN quadratum ad AN

quadratum habebit quoque majorem rati

nem, quam AD ad AN. Fiat ergo, ut PN quadratum ad AN quadratum , ita AD ad AK , quae minor erit, quam AN . Tum per punctum Κ ducatur recta ΚΙ , eidem AH parallela, conveniens cum parabola in puncto L . Et quoniam PN quadratum est ad AN quadratum , ut IK quadra. tum ad AK quadratum; erit ex aequali,ut AD ad AK, ita lΚ quadratum ad AK quadratum.

Sed AD est ad AK , ut rectangulum DAK ad

ΑΚ quadratum ; sive etiam , ut LΚ quadra. tum ad AK quadratum . Quare erit rursus exaequali, ut L Κ quadratum ad AK quadratum, ita IK quadratum ad idem ΛΚ quadratum: Spropterea erit LΚ quadratum aequale quadrato ex IΚ . Quod fieri non potest. II. Quaelibet ergo tecta linea. quae expuncto contactus ducitur infra tangentem, necesse est . ut primo secet parabolam , tum cadat in locum , tangente, S parabola contentum. Hinc autom duo consoquuntur, qu

72쪽

2LEMENTA. ον ad Itum nobis aperient ad ostendendas proprietates omne1 , quae parabolae tangentibus

competunt.

Primum est , quod ad cnum , idemque paritam parabola nonnisi usica tangens duci possit. Nam, si duci possent tangentes duae ἔjam una caderet in locum , parabola , ct tangente altera comprehensum . Quod quidem ostensum est fieri non posse. Alterum est , quod si recta linea montinorat parabolam in puncto aliquo , ea debeat esse parallela ordinatis illius diametri , qua pertinet ad illud punctum . Nam aliter, ducta ex eo puncto recta a Iia, ordinatis iis parallela , foret ista quoque tangens parabolae ς atque adeo ad unum , idemque punctum parabolae duae lauis gentes duci possent.Quod fieri nequit. III. His jactis principiis , facile modo erit in . eam primum tangentis proprietatem ostendere, 're'. quae ei competit, ubi alicui diametro occurrit. .

Tangens igitur ET , ducta ad punctum 2:

Ε, verticem diametri EF, conveniat eum dia- .iιν-ηιυ.

metro altera AB in puncto T . Demittatur ad FIG. y diametrum AB ordinata EG. Et dico, porti nes duas AT, AG aequales esse inter se. Ducatur enim ad diametrum alteram ΕFordinata ΑΟ. Et quoniam recta ΕT contingit parabolam in puncto E , vertice diametri EF;

erit ET ipsi Ao parallela . Sed diametri AB, EF sunt itidem aequid istantes. Quare TO pa

tallelogrammum erit.

Quum ergo To parallelogrammum sit latera ejus opposita AT, EO aequalia erunt inter se ed ,ex superius ostensis, Eo est aequalis ipsi

73쪽

N SECTIO NuΜ CONICARUM AC . Quare duae AT , AG inter se aequales erunt;adeoque tota TG dupla erit ipsius AG IV. IV. Sed facile quoque erit conversam haritus proprietatis ineudere . Nimirum, quod re Diti πινα Eta ΕΤ sit tangens parabolae, si demissa ad dia Metrum AB ordinata EG , aequales fuerint FIG. 3 a portiones duae AT, AG. Ducatur enim ad diametrum EF ordinaiata Ao. Et,ex superius ostensis,erit AG aequalis EO . Sed ipsi AG aequalis ponitur Aruuare etiam AT eidem Eo aequalis erit. Quum igitur duae AT , ΕΟ sint aequales , & parallelae ἔ erunt etiam aequales, S Parallelae duae ΕT,Ao, quae litas ad easdem partes conjungunt. Unde, quum Ao sit ordinainta diametri EF, erit ET tangens parabolae.

V- V. Nunc eas ovi dem proprietates Ue Da -. . de xl , qua tangent bur parabola , sibi mutuo occurrentibus, competunt. Hunc in finem ad Φρενο σι. duo quaelibet parabolae puncta A , S E ducantur tangentes duae AX , EX , quae sibi

νε . mutuo occurrant in X ; & extendantur eae-Fio 3 dem , usque donec conveniant cum diametris

AB, EF in punctis L, ct T.

Primo igitur utraque tangens bisariam secabitur in puncto X . Ducta si quidem ad diametrum AB ordinata EG , erunt duae AT, AG aequales inter se . Sed , propter parallelogrammum GL, aequales quoque sunt duae AG , EL. Quare erit AT ipsi EL pariter aequalis ; & consequenter aequales erunis tam ouae AX, LX, quam duae TX. ΕX. Secundo tangentes duae AX , EX eandem rationem habebunt cum ordinatis EG ,

74쪽

in subduplicata ratione parametrorum , quae referuntur ad diametros AB , EF . Jam enim, per iii perius ostensa , in hac ratione sunt oris

dinata: EG , ΑΟ . Sed Ax est ad EX , ut EG

ad AO . Quare in eadem subduplicata ratio.

Ne earum parametrorum erunt etiam tanget

tes duae AX, Ex.

VI. Speciatim relate ad axem competit tangenti parabo sequens proprietas. Nimirum , quod si AB sit axis parabolae, AD parameter ejus , & ΕΤ aliqua tangens ς ducanturque ex puncto contactus si rectae duae EG , ΕΗ, una perpendicularis ad axem, S al. tera perpendiculariS ad tangentem; quod, inquam, portio axis GH sit aequalis dimidio parametri A D. Si enim tangens ET conveniat cum axe AB in puncto T; erit, ex superius ostensis, AG aequalis ipsi AT , atque adeo semissis totius m. Jam vero EG quadratum est aequale; tam rectangulo DAG, propter parabolam , quam rectangulo TGH,ob triangulum ΤΕΗ, tectangulum in E . Quare, quum duo rectangula DAG , TGH inter se sint aequalia 3 erit, ut AG ad TG, ita GH ad AD; S conseque nister GH semissis erit ipsius A D. VII. Perlustratis proprietatibus, quae parabolas angentibus competunt ἔ reliquum

75쪽

'a SECTIGNuM CONICA Ru M, νυ modo est , ut quid parabolae secantibus aces. , is dat, ostendamu S . Hunc in finem praemi tragis

Fici. 3 .ias u p iabolae diameter, cujus AD sit parameter , & MO una ex ejus ordinatis , utrinque ad parabolam terminata , ducaturque recta EF , diametro parallela . quae conveniat cum

No in puncto Ha quod, inquam,rediangulum NHo se aequale tectangulo, quod fit ex AD in E H. Neque vero dissicile erit theorema istud ostendere . Nam , demissa ad diametrum AB Ordinata EG; er l, tam MN quadratum aequa Ie rectangulo DAN, quam EG, sive NH qiindratum aequale rectangulo DAG. Unde erit quoque differentia quadratorum MN, NH aequalis differentiae rectangulorum DAN, DAG. Sed differentia quadratorum MN,NHest aequalia rectangulo M HO ; ct disserentia rectangulorum DAN , DAG est aequalis i ctangulo , quod si ex AD in GN , sive EH. Quare erit rectangulum Mido aequale rectangulo,quod sub ipsis AD, ΕΗ continetur. VIII. Hinc autem sequitur , quod siημι. .., tra parabolam binae ducantur retrae lineae, quae Lia uetas tuo fecent δ rectamula , quae sunt exram. mentis ipsarum , t , ut parametri earum Fio. ,4 MOMetrorum , ad quas recta illae velut ordia

nata referuntur.

Sint enim AB , RS duae quaevis parabo Iae diametri sique Mo una ex ordinatis dia metri AB , S PQ una ex ordinatis diametri RS. Conveniant autem inter se duae istae ordiis natae in puncto H,S M AD parameter diam

76쪽

ELEMENTA. ,1'tri AB,& RΚ parameter diametri Rs. Dico,rectangulum M HO esse ad rectangulum PH Q, ut est parameter AD ad parametrum RK. Ducatur namque per punctum H diameter tertia EF , quae utrique ipsarum AB, RS parallela erit. Et quoniam diameter ista EF secat MΟ, ordinatam diametri AB, in puncto H ; erit, ex ostensis , rectangulum M HOaequale rectangulo ex AD in Ebi . Quumque eadem EF secet pariter PQ, ordinatam diameistri RS , in puncto H ; erit quoque rectanguis lum PHQ aequale rectangulo ex RΚ in ΕΗ.Hine erit, ut rectangulum Mido ad rectangulum PHQ, ita rectangulum ex AD in TH ad rectangulum ex RK in EH . Sed . ob

communem altitudinem ΕΗ, rediangulum ex

AD in ΕΗ est ad rectangulum ex RK in ΕΗ, veluti est AD ad RΚ . Quare erit ex aequali, ut AD ad RΚ, ita tectangulum M HO ad rqctangulum PH IX. Fieri vero potest , ut una ex seeanti-δm tangens evadat: nimirum, quum puncta δε- ν-.

duo sectionis coeunt in unum . In isto casu rectangulum sub ejus segmentis vertetur quadratum ipsius tangentis . Unde inter qua- , dratum istud , ct rectangulum , sub alterius ''

secantis portionibus contentum,eadem adhuc D-ν-ν ratio obtinebit.

Quin etiam vertἰ potest in ranientem utraque secans. Et quum id contingit , ambo quidem rectangula , sub secantium portioni-hus contenta . abibunt in quadrata ipsarum tangentium . Ex quo fit, ut inter quadrata, quae ex tangentibus fiunt, eadem pariter ra. tio

77쪽

τε SECTIONUM coNICA Ruratio debeat locum hahere. Et istud quidem jam paulo ante specialia ter a nobis ostensum est. Vidimus enim, quod si fuerint tangentes duae AX,EX, si hi mutuo occurrentes in X , quadrata ipsarum candem habeant rationem inter se , quam parametri diametrorum AB , EF . Ad illud vero quod attinet , nec etiam difficile erit, veritatem ejus speciatim ostendere. X. Sit enim EH tangens , & Ho secans; sique etiam EF diameter , quae pertinet ad punctum contactus E . S RS diameter, ad quam recta Mo velut ordinata resertur . opendendum es , m quadratum esse ad rectangulum M HO , ut est parameter diametri EF ad parametrum diametri RS . Ducatur ex puncto H recta HL, diametris parallela , quae parabolae occurrat in uTum ex puncto L demittatur ad diametrum EF ord nata LΚ. Et quoniam HL secat Mo, Ordinatam diametri AB. in puncto H; erit,ex ostensis, rectangulum MHO aequale rectan. gulo ex HL , sive ΕΚ in parametrum diametti RS . Jam vero, propter parabolam , LR , sive ΕΗ quadratum est aequale rectangulo , quod sit ex eadem ΕΚ in parametrum diametri EF. Quare erit , ut ΕΗ quadratum ad rectanguisium M HO , ita parameter diametri EF ad parametrum diametri RS. XI. Atque hinc modo alia ratione ostendi potest , quod si duae parasola tangem rei sibi mutuo occurrant, eae sivi inter fe in subduplicata ratione parametraram pertinentiam

78쪽

ELEM ENYA. tium ad diametros, quae transeunt per puncta

contactus.

Sint enim ΑΗ . EH duae parabolae tan. gentes, quae sibi invicem occurrant in pundio H. Dueantur ex pune tis contactus A . & Εdiametri AB, EF . Dico . esse AH ad EH in subduplicata ratione parametrorum , quae reseruntur ad diametros AB, EF. Ducatur namque secans quaevis MO . quae transeat per punctum H , sitque RS dia. meter , ad quam ipsa Mo velut ordinata reis fieri ut . Et quoniam AH est tangens , ct Hoest secans ; erit AH quadratum ad rectanguis tum M HΟ , ut est parameter diametri AB ad Parametrum diametri RS. Similiter , quia EH est tangens . & Hoest secans; erit rectangulum MHo ad EHquadratum, ut est parameter diametri RS ad parametrum diametri EF. Quare ex aequo ordinando erit, ut AH quadratum ad ΕΗ qu dratum, ita parameter diametri AB ad para- mettum diametri EF : & propterea tangentes duae AH . m erunt in subduplicata ratione

earum parametrorum.

XII. Εκ iis autem , quae hactenus ostensa Iunt, prono alveo fluunt sequentia

duo theoremata.

Primum theorema est,quod si duabar parabola tangentihus parallelae Deriat duae δε- cantes, ct conveniast ister se, tum tangenter, cum fecantes I rectasgula, D, secantium fermentis contexta, sint proportionalia quadratis, qua ex tauentibus M. FiG. 3s

79쪽

xi II.

Nam diametri, ad quas duae secantes velut ordinatae reseruntur , sunt illae caedem . quae pertinent ad puncta contactus . Guare in eadem illa ratione , quam habent inter se quadrata tangentium , erunt quoque rectati- gula, quae sub secantium segmentis contianentur.

Alterum theorema est , quod si duabusfecantibus parabolae parallelae fuerint binae aliae Deastes, ct conveniant tuter se,iam illae, quam ista 3 rectangula sub fermentis illarum sint proportionalio rectangulis , quae sub segmentis sarum continentur. Nam diametri , ad quas duae posteriorea secantes velut ordinatae reseruntur , sunt illae eaedem , quae agnoscunt velut suas ordinatae secantes priores. Quare in eadem illa rati ne , quam habent inter se rectangula sub sedimentis primarum secantium, erunt quoque rectangula sub segmentis aliarum . XIlI. Caeterum ostendendum modo elaset, qua ratione proprietates, qua pertinent astangenter, ct secantes, tum hyperbola, cum eialipsis, vertantur in eas , ρπα parabolae tanges tibus, ct secantibus competunt. Sed satis erit, transmutationem istam in iis tantum ostendere , quae reliquarum omnium sunt hasiis , &fundamentum.

Nimirum primo, tam in eIIIpsi , quam in hyperbola ostensum est, quod si ET sit tangens , conveniens cum diametro AB in puncto T . R EG sit diametri ejus ordinata , CG sit ad CA , ut est C A ad CT . Jam, capiendo disserentias antecedentium , Sc conseque

80쪽

ELEMENTA. 'τt Ium , erIt quoque, ut AG ad CA, ita AT ad CT : S propterea , abeunte in infinitum cenistro C , quemadmodum aequales fiunt duae CA, CT , ita quoque aequales erunt duae

Deinde , si duae rectae sese mutuo secent, sive in ellipsi , sive in hyperbola ἔ erunt reinctangula sub segmentis ipsarum , ut quadrata

ex coniugatis earum diametrorum, ad quas tectae illae velut ordinatae reseruntur , ct co sequenter in ratione composita ex iisdem diametris, S parametris earundem.

Iam . abeunte in infinitum centro, sive ellipsis , sive hyperbolae, ratio earum diameatrorum evadit aequalitatis, quum ipsae diametatri fiant infinitae longitudinis, ac differentes inter se mutuo per differentiam finitam. Quare

tectangula,contenta sub segmentis earum rectarum , erunt in sola ratione parametrorum, pertinentium ad diametros, ad quas eaedem

illae rectae relut ordinatae reseruntur.