장음표시 사용
81쪽
INtra conicas sectiones dantur puncta nonia nulla , ad quae Puncta ipsarum sectionum quum reseruntur , Plures alias , easque non contemnendas proprietates sortiuntur . Puniacta ista vocavit Apollonius puncta compara tionum . Sed , ob speciale ipsorum accidens, quod eonicas sectiones usibus opticis inseria vientes nobis ostendit, eadem puncta soci . sive umbilici a Recentiori hus dicuntur . Ρrcio prietates ergo, quae conicis sectionibus comis petunt , relate ad focos , seu umbilicos , hoc libro ostendendae nobis erunt.
s inam νι- tur duo illa puncta axis majoris, . a quibus ordinata correspoxdenter semipem pa-H rametri ejusdem axis a quant. Ita , si AB sit axis major ellipsis , S AD Parameter ejus , capianturque in axe illo ABFio. 36 duo puncta G , S H adeo quidem, ut ordinari
82쪽
ELEMENTA. p tae EG, FH , punctis illis correspondentes , adaequent semisse iri ipsius AD; dicentur puncta G,&H foci, sive umbilici iplius elliptis. Unde liquet focos G. & H aequaliter distare, tam a centro est ipsis C,quam ab axis verticibus Α , & B . Nam, quemadmodum aequa lia sunt quadrata EG, FH ; ita quoque aequalia erunt rectangula AGB , AHS , quae iis quadratis proportione corresponuent. Hinc ,subducendo aequalia ista rectangula AGB, AHB ex aequalibus quadratis CA, CB. remanebit quadratum ex CG aequale quadrato ex CH : ct propterea aequales crunt inter se, tam duae CG, CH, quam duae AG, B H. II. Ex ipsa autem socorum definitione ii liquet, rectangulum sub axis portlanibus, per F- ονώm ει- focorum alteram abscissis , quadrantem figurae τ' ejusdem oris adaequare. Maneant enim omnia, νηο- ut supra. Dico. tam rectangulum AGBsqu/m Fio. 6. rectangulum AH B aequale esse quartae parti figurae axis AB , quae constituitur per re
et angulum D AB. Nam , propter ellipsim , EG quadratum est ad rectangulum AGB, ut AD ad AB ; sive
etiam, ut AD quadratum ad rectangulum D AB . Sed EG quadratum est quarta pars quadrati, quod fit cx AD; quum ex constructione EG semissem adaequet ipsius A D. Qua re etiam rectangulum AGR quarta pars erit rectanguli DAB. Eadem ratione, propter ellipsim, FH quadratum est ad rectangulum AHB , ut AD ad AB ; sive etiam , ut AD quadratum ad re-
elangulum DAB . Sed FH quadratum est
83쪽
to SECTIONUM EONIO ARUM quarta pars quadrati, quod fit ex AD; quum ex constructione FH semissem adaequet ipsusAD . Quare etiam rectangulum AHB quarta Pars erit rectanguli DAB. III. Ducantur nunc ad vertices A . R B
tangentes AX,BZ, quae conveniant cum tangente quavis tertia XM Z in punctis X, S Z. Et facile erit sendere , quod si ex socoruni altero G ducantur rectae G X , GZ , angulus XGZ , sub ipsis comprehensus , perpetuo rectus esse debeat, ubicunque fuerit punctum contactus M. Nam rectangulum ex AX in BZ , velut aequale quadrato, quod sit ex dimidio axis conjugati, adaequat quartam partem figurae axis AB . Sed ejusdem figurae quadranti aetaquale est quoque rectangulum AGB . Quare erit tectangulum ex AX in BZ aequale rectangulo AGB : & propterea erit, ut A X ad AG, ita BG ad BZ . Hinc duo triangula rectangula XAG, GBZ aequiangula erunt; adeoque erit angulus AX G aequalis angulo BGZ. Et,apposito cominmuni AGX , erunt etiam duo anguli AXG, AGX aequales duobus angulis BGZ , AG X,
Sed priores duo unum rectum adaequant. Quare uni recto pariter aequales erunt post eis riores duo ; S consequenter angulus XGZetiam rectus erit. IV. Eadem autem ratione ostendemus, rectum esse angulum XHZ , quem continentrectae HX, HZ,ductae cx foco altero H ad ea
dem puncta X , & Z . Unde se itur quoque, quod si ex puncto Κ , in quo rectae duae GZ,
84쪽
Hx se inutuo secant, ducatur ad punctum contadius M tecta ΚM , haec perpendicularis sit ud tangentem XZ. Si enim fieri potest , sit ΚΟ perpendicu- Iatis ad XZ . Et quoniam rectus est, tam angulus X Ud , quam angulus XHZ ; semicirculus, deseriptus super XZ, velut diametro , transibit per socos G , & H . Unde erit angu- Ius HGZ aequalis angulo HXZ. Sed angulus HGZ aequalis est angulo AXG . Quare duo anguli AKG , HXZ aequales erunt inter sei& propterea, ob triangula aequiangula AG X, ΟΚΝ, erit, ut A X ad ΟX . ita GK ad K . Simili ratione ostendemus , Z esse ad OZ , ut est HZ ad ΚΖ . Unde . quia propter triangula aequi angula ΚGx , ΚΗΣ , GK est ad KX, ut HZ ad ΚZ; erit ex aequa. li, ut A X ad Ox , ita BZ ad OZ ; & pernitia tando erit quoque , ut A X ad BZ , ita OXau OZ . Jam per ea , quae superius ostensa sunt In eadem ratione , qua est tangens A X ad tangentem MX, est etiam tangens BZ ad tau gentcm ME . Quare erit ex aequali, ut A Xad MX, ita BZ ad MZ ; Si permutando erit etiam, ut A X ad BZ, ita MX ad Mae. Quum igitur in eadem ratione rectarum AX , BZ sit, tam o X ad OZ , quam MX ad M Z ; crit rursus ex aequali, ut ox ad ΟΖ, ita MX ad ME . Unde componendo erit, ut XZ ad OZ, ita XZ ad MZ: Si propterea duae ΟΖ , M Z aequales erunt inter se . Quod fieri non potest. U. Atque hiae sequitur etiam,rectas M G, rim. II. F MH,
85쪽
st SECTIONUM CONICΛRUMν ' MH, quae ex puncto contactus M ad focos in
a.. clinantur, aequales cum tangente XZ anguia
r iis, los constituere , hoe est angulum G MX aer, O 37 qualem esse angulo HMZ. Quum enim rectus sit , tam angulus ΚGX, quam angulus ΚMX; semicirculus,deis scriptus su per ΚX , velut diametro, transib tper puncta G, S M: proindeque erit angulus GMX aequalis angula GKX.
Eadem ratione, quia rectus est uterque
angulorum ΚHZ , ΚM Z ; semicirculus , dein scriptus super ΚΖ , velut diametro , transibit per puncta H , S M. Quare erit angulusHM Z aequa is angulo HKZ. Quemadmodum igitur angulo GKX aequalis est angulus GMX , ita angulo HKZaequalis est angulus HM Z . Sed duo anguli GΚX , HKZ inter se sunt aequales . Quare
etiam inter se aequales erunt duo anguli
vi. VI. Inde vero deducitur praeterea,ea Hem rectas Min M H continere tectangulum,quod quartam partem adaequat figurae diametri, ri. δ' transeuntis per punctum contactus M . Fia, N-M , CX superius ostensis , si ex centro
ellipsis C ad puncta X, S Z intelligantur ductae tectae CX,CZ, eae exhibebunt nobis duas ellipsis diametros conjugatas.Quare redi augulum XM Z aequale erit quadrato , quod fit ex dimidio coniugatae illius diametri, quae Pς tinet ad punctum M. Jam quadratum istud ad aequat quartam partem sgurae ejusdem diametri. Unde conis stabit, te elangulum GMH aequale esse qua
86쪽
ELEMENTA. d tanti figurae diametri, transeuntis per punctum M , si utique ostendi possit , rectaniagulum G M H aequale esse rueringulo X ME. Id vero ostendemus in hunc modum. Quoniam rectus est uterque angui rum ΚGX . ΚMX ; erunt alii duo anguli GΚM , GXM duobus rediis aequales: proindeque , quum duobus rectis sint etiam aequales anguli duo GKM, MKZ r, ablato commuis ni GKM , remanebit angulus GAM aequalis angulo M ΚΖ.Jam, ob circulum, transeuntem per quatuor puncta M , Κ , H , Z, angulus MKZ :equalis est angulo MHZ . Quare etiam angulus GXM aequalis erit angulo M HZ. Unde triangula duo GMX , HM Z aequiangula erunt: Sc Propterea , quum sit, ut MX ad MG, ita M H ad MZ; erit tectangulum GMHaequale rectant tilo XL Z. VII. Exinde colligitur pariter, ea silem vir. rectas MG . M H simul sumptas aequales esse axi AB . Dueantur enim uni earum , veluti s-MG . parallelae CR, HS . Tum jungantur rectae AR, HR, BR. OG ῖο. Et quoniam eidem angulo G MX aequalis est , tum angulus HMS . quam angulus HS M, erunt duo anguli H MS, HS M aequales inter se :& propterea triangulum M HS i sci-
sceles erit. Sed basis ejus MS bisecta est perrectam HRς quum sit, ut RM ad I S. ita CG ad CH . Quare erit HR. perpendicularis ad ipsam MS.
Hinc , ob circulum, transeuntem per
87쪽
4 SECTIONUM CONICARUM ARX aequalis angulo AHX . Et similiter, ob circulum, transeuntem per puncta quatuor B , H , R , Z , erit angulus BRZ aequalis anis gulo BHZ . Unde angulus ARB aequalis erit angulo XHZ, atque adeo rectus erit. Id quum ita sit, semieirculus, descriptus super AB , velut diametro, transibit per punctum R: & propterea recta CR ipsi CA , vel CB aequalis erit. Sed, ob rectam GH hi sectam
In C , est MG dupla ipsius CI, & M H dupla
ipsius MI, sive I R. Itaque summa duarum MG , M H dupla erit totius CR; atque adeo aequalis axi AB. viii. VIlI. Hinc vero alia nobis suboritur ratior,i . describendi ellipsim in plaπο , datis focis cum,
.s - μν - longitudine axis majoris . Sit enim AB axis
major ellipsis , sintque puncta G , & H quias M MM: dem soci, seu umbiliei. Oportet, in subjecto ' 37 plano ellipsim describere. Capiatur filum ejusdem longitudinis tum axe AB, ct extrema eius socis G, S H alligentur . Deinde ope alicujus stili circumducatur filum circa focos ea lege , ut portiOnes ejus maneant continuo tenta . Dico , curvam, quae per stilum in subjecto plano describitur, esse ellipsin quaesitam. Jam enim ex ipsa curvae descriptione luquet , eiuS naturam hanc esse, ut summa re. sarum , quae ex aliquo ejus puncto ducuntur ad puncta G , S H , adaequet longitudinem fili. Sed ex constructione filum est ejus dem longitudinis eum axe majore AB . Quare eadem summa rectarum aequalis erit axi AB:
S propterea curva descripta erit ollipsis.
88쪽
ELEMENTA. trPerspicuum est autem . quod si foet G.& H aecedant ad punctum C, quod bisecat axem AB , descripta curva sit circuli circuminferentia. Unde sequitur, circntum considerari pose , veluti ellipsim , e ars fori coeunt cum ipso cestro. IX. Sit nune recta MT aliqua tangens ellipsis , conveniens cum axe AB in puncto T. Erigatur super ea perpendicularis Mo, el-dem axi occurrens in O . Et circa perpendiacularem sam plura licebit ostendere. Nimirum primo , quod ea bisecet angulum G M H . Nam teMe MG, MH constituunt
cum tangente angulos aequales . Sed aequales quoque sunt anguli, quo1 cum eadem tangente constituit perpendicularis MO . Quare erit angulus G Mo aequalis angulo HMO . Secundo , quod recta TH sit harmoni eo secta in punctis G , ac o . Nam rectae M G, M H , ob aequales angulos, quos constituunt cum tangente Mae, sunt, ut perpendicula . quae ex punctis G, & H ad tangentem demit istuntur . sive etiam , ut rectae TG, TH . Sed, ob angulum GMH bisectam per tectam Mo, eaedem sunt quoque, ut portiones Go, HO. Igitur erit ex aequali,ut m ad m,ita G o adHo i & propterea re&angulum, quod fit ex tota TH in portionem intermediam GΟ , ο quale erit rectangulo sub portionibus extrea
sint continue proportionales. Quum enim re
ctangulum ex TH in Go sit aequale rectanis gulo ex TG in Ho ; erit, ut m ad TG , ita
89쪽
M SECTIONUM CONICARUMHo ad Go ; S componendo, ut summa dua
piendo antecedentium dimidia . ut CT ad , ita CG ad GO ; ac denique convertendo.
Quarto, quod ii demittatur ad axem oriadinata MN , data sit ratio, quam habet Coad CN, hoe est aequalis duplicatae ejus, quam habet CG ad C A . Quum enim tres rrectae CT , CG, Co sint continue proportionales , erit CG quadratum aequale tectangillo TCO. Sed , ex superius ostenss, CA quadratum est aequale rectangulo I CN . Quare erit, ut rectangulum TCΟ ad rectangulum TCN , sive etiam ut CD ad CN , ita CG quadratum ad
CA quadratum. Dunique , quod data sit etiam ratio, quam habet Co ad No , hoe est aequalis ei, quam habet CG quadratum ad rectangulum AGBJam enim Co est ad CN, ut est quadratum ad CA quadratum . Sed , ex superius ostensis , CN est ad No , ut axis AB ad par metrum ejus AD 3 sve etiam, ut AB quadratum ad rectangulum DAB a sive demum , ut CA quadratum ad recta ligulum AGB . QuareeX aequo ordinando erit, ut Co ad No , ita, CG quadratum ad rectangulum AGB .
LT 142tur proprieιas: nimirum , quod si ex νὸι puncto D super aliquam ipsarum MG,MHperpendicularis demittatur OR , abscissa portio MR sit aequalis dimidio parametti axis FaG 39 majoris A D. Nec sane dissicile erit eam ostendere. Nam
90쪽
ELEMENTA. 3ν Nam reme MG , MH , ob aequales angulos. quos constituunt cum tangente M T, luat, ut perpendicula, quae ex punctis G, ct H ad tanis gentem demittuntur ι sive etiam , ut portiones m, TH . Quare componendo summa re.
Etatum M G . M H , sive axis AB, erit ad MH, ut summa duarum m , TH ad ipsam TH ; Reapiendo antecedentium dimidia erit quoque. ut CA ad MH , ita CT ad TH δ ae dentque Permutando erit , ut CA ad CT , ita Milad TH. Demittatur jam ex puncto H super tanis gentem Perpendicularis HL. Et M H ad THerit in ratione composita ex M H ad HL ,
ex HL ad TH . Jam vero Mid est ad HL , ut MO ad MR. Itemque HL est ad TH. ut Misad To ; sive etiam , ut No ad MO . Quare erit Mid ad TH in ratione composita ex Noad MO , Si ex Mo ad MR ; atque adeo in simplici ratione , quam habet NO ad M R. Quum igitur C A sit ad CT, ut M H ad TH , & M H sit ad TH . ue No ad MR i erie ex aequali, ut CA ad Cn ita No ad MR.Sed in est ad CT, ut CN ad CA . Ouare rursus ex aequali erit, ut CN ad C A , ita No ad MR 3 ct permutando erit pariter , ut CN ad No . ita CA ad MR . Est autem ex ostensit. ut CN ad N O , ita AB ad AD. Et Igitur exaequali rursus erit, ut AB ad AD.lta C A ad MR: proindeque, sicuti in semissis est ipsius ΑΒ, ita erit MR semissis ipsius A D. XI. Praeterea pertiset adsocot empsis haec alio proprietat, quod si duae tangentes M Κ, ΗΚ conveniant in K , ct ex eodem foeo G