장음표시 사용
131쪽
t,3 SECTIO NuM CONICARUM quale erit rectangulo GAT : & propterea an gulus TXG rectus erit. v. IV. Hinc autemsequitur quoque, rectam uia GM , conjungentem punctum contactus Mcum foco G , aequalem esse axis portioni GL Fio 4, quae inter lacum, & tangentem existit.' ε' Quum enim recta MT contingat para-holam , ct ex puncto contactus M ducta sit ad axem ordinata MN ; erunt portiones duae AT, AN aequales inter se. Sed AT est ad
AN, ut TX ad MX. Quare duae TX , MX
Hinc duo triangula TGX, MGX habe-hunt duo latera TX , GX aequalia duobus latcribus MX,Gx, alterum alteri. Sed aequale quoque sunt anguli, sub iis lateribus comprehensi; quum uterque sit rectus, Quare eOrundem bases GT, GM pariter aequales erunt. v. V. Atque hinc sequitur etiam , quod si extendatur tangens MX versus Z , dc per
F . , rallela axi AB , aequales sint anguli, quos reis δ' Elae GM , M H constituunt cum tangente XZ, Quum enim duae GT, GM inter se sine aequales , triangulum TGM isosceles erit; adeoque er i angulus GTM aequalis angulo GM T. Sed, propter parallelas AB , NH, idem angulus GTM aequalis etiam est angulo HM Z. Quare duo anguli GMT, HM2 aequales erunt inter se. . P VI. Exinde deducitur praeterea , rectamnia UM adaequare quadrantζm parametri, quae re-
r. . . fertur ad diametrum. transeuntem per Pui in Fro .s . ctum contactus M. Quum
132쪽
ELEMENTA.Quum erum rectus sit angulus TXGaerat , tam AK quadratum aequale rectangulo HG, quam TX, seu Lix quadratum *quale rectangulo ATG . Unde AX quadratum erit ad MX quadratum, ut est rectangulum TAGad rectangulum ATQ ; sive etiam, ut est AG ad TG, seu G M.
Et quoniam , ex superius ostensis , AX quadratum est ad MX quadratum , ut para- meter axis AB ad parametrum diametri Mid, erit in hac eadem quoque ratione AG ad GM; S propterea,quemadmodum AG quadrantem adaequat parametri , quae resertur ad axem AB , ita GM aequalis erit quartae parti para- metri, quae resertur ad diametrum M H. VII. Demittatur ex puncto contactus M V t ad Hem AB ordinata MN . Et exinde colligitur pariter, eandem rectam GM aeuualem esse
duabus AN, AG simul sumptis. 'PortioneS namque duae AT, AN,ob tan- 'in δ' gentem MT, inter se sunt aequales . Quare, apposita communi AG , erit tota GT aequalis
duabus AN . AG simul sumptis . Sed G Mostensa est aequalis ipsi GTQuare iisdem AN, AG simul sumptis etiam G M aequalis erit. Id quum ita sit, si extendatur axis AB Fis. 8.versus verticem A usque ad punctum P : ita, ut duae AF , AG inter se sint aequales ; erit GM aequalis ipsi FN . Nam, ob aequales AF, AG , est FN aequalis summae duarum AN , AG. Sed eidem summae aequalis est etiam GM . Quare duae GM , FN equales erunt inter se.
133쪽
rao SECTIO NuΜ CONICA Ru M .sem so describendi parabolam in pono , datis axe, C. di foco . Sit enim AB axis parabolae, sitque punctum G ejusdem focus, seu umbilicus. Fio. 8. Oportet , in subjecto plano parabolam deserio
Extendatur axis AB usque ad punctum F i ita, ut duae AF , AG inter se sint aequales; S ex puncto F perpendicularis erigatur FH. Sit deinde HL regula quavis . ipsi FH normaliter insistens.Et sumpto filo ejusdem cum regula longitudinis , alligentur extrema ejus punctis G, & L. Feratur postea regula HL super ipsa
FH , ea quidem lege, ut ei maneat semper perpendicularis, atque adeo parallela axi AB. Et, ope stili , una cum regula feratur etiam filum, sed ita tamen, ut portiones ejus maneant continuo tensae . Dico , curvam, quae per sti- Ium in subjecto plano describitur , esse para-holam quaesitam. Jam enim ex ipsa curvae deser Iptione luquet , eius naturam hanc esse, ut si ex aliquo
ejus puncto M demittatur ad axem AB per pendicularis N N , duae G M, FN inter se sint quales . Sed FN est aequalis summae duarum AN, AG . Quare eidem summae aequalis quoque erit G Madc propterea curva descripta erit parabola. Peripicuum est autem, parabolam, quI praelata ratione describitur , necessario transire per punctum A , verticem axis AB. Patet que ςtiam , eo majorem parabolae portionem exposita ratione describi, quo Ionsior assu
134쪽
rectae G M superabit quadruplum rectae AG per quadruplum ipsius AN. Quoniam autem GM est quadrans para- metra , quae refertur ad diametrum Mu ; erit quadruplum ejusdem G M parameter intestra ejusdem diametri. Et similiter , quia AG est quarta pars parametri, quae resertur ad axem AB; erit quadruplum ejusdem AG ipse axis
Undo , quum quadruplum rectae GH superet quadruplum re ita AG per quadruplum abscissae AN; omnino necesse e si, ut na-rameter diametri Mid superet parametrum
axis AB per quadruplum eiusdem abscissae
X. Sit nune recta MT aliqua tangens P - . M. parabolae, conveniens cum axe AB in puncto M- , T. Erigatur stiper ea perpendicularis Mo, ci-dem axi occurrens in o. Et circa perpendicu 'larem isam duo licebit osteBLM. Pximum est, quod si per punctum con intactus M ducatur recta MH, parallela axi AB, ea bifariam dividat angulum GMH , conten 'i7 tum sub rectis GM , M H . Nam rectae GH ,MH constituunt cum tangente M T angulos Rquales. Sed aequales quoque sunt anguli. I a quos
135쪽
la, SECTIO NuM CONICA Ru Mquos cum eadem tangente essicit perpendicularis MO . Quare erit angulus GMO aequalis angulo HMO. Alterum est, quod duae axis portiones TG , OG inter se sint aequales . Nam per ea, quae superius ostensa sunt, portio No semi tasem adaequat ipsius AD ; adeoque dupla est portionis AG. Sed , propter tangentem MT,
etiam portio NT dupla est ipsius AT . Quare erit tota TO dupla totius TG : ct propterea, quum To secta sit hisariam in G , portiones
duae ΤG, o G aequales erunt inter se. XI. Meretur autem, ut Deciatim osem datur δες uens proprietas: nimirum, quod si expuneto O demittatur super rectam G M peris, ista, 'Vue Pendicularis OR , abscissa portio MR sit ae-s u Mων. qualis dimidio parametri AD , quae refertur FIG.57. ad axem AB. Nee sane dissicile erit, eam ostendere. Quum enim duae TG, OG im ter se sint aequa-lus , sique TG aequalis ipsi GM ; erunt duae GM, OG pariter aequales inter se:proindeque anguli GMO, etiam aequales erunt. Hinc triangula duo rectangula OMRἰONM aequiangula erunt: & propterea, quum
sit , ut Mo ad MR , ita Mo ad No ; erunt duae M R, NO aequales inter se. Sed No si missis est ipsus A D. Quare etiam MR semissis
erit eiusdem A D. νώ, -. X I. Praeterea portinet ad ficum paralolae . - ' silio propriςtοι , quod si duae tangenia: . .. p. tcs MK , NΚ conveniunt in L. , ct ex soco GI IG.ssi. ducantur ad puncta contactus rectae GM ,
136쪽
Jungantur enim puncta M , ct N per rectam MN , cui per focum G parallela agatur
OR , convenienS cum utraque tangente in
punctis Ο, S R. Sit porro EF diameter, quae hi secat reo iam MN, eamque velut suam ordiis natam agnoscit. Et per verticem ejus E eidem MN parallela ducatur XZ , quae similite elangentibus occurrat in punctis X, S Z. Quia igitur diameter EF transire debet per punctum K , in quo tangentes duae MK, NK sibi mutuo occurrunt 3 erit XZ bifariam secta in puncto E: proindeque erit, ut ΕΚ ad EX, ita ΕΚ ad EZ . Sed, productis tangentihus , usque donec axi occurrant in punctis
Τ, & S , ΕΚ est ad EX , ut TG ad Go; itemque ΕΚ est ad ΕΖ, ut SG ad GR . Quare crit ex aequali , ut TG ad GO , ita SG ad GR ; Se
Permutando erit etiam, ut TG ad SG, ita Goad GR. Jam, ob tangentes MT , NS , aequales sunt inter se , tam duae TG , GM , quam duae S G, GN. Unde, quum sit, ut TG ad SG , ita G M ad G N; erit rursus e x aequali, ut Co ad GR , ita G M ad GN . Sed, producta GK, unque donee ipsi MN occurrat in L ,- est ad GR , ut ML ad N L. Quare erit denuo ex aequali, ut G M ad G N, ita ML ad N L: proi deque angulus MGN sectus erit bifariam perrectam GK. XIII. Sed haue aliam proprietatem nec etiam silentio praeteribimus, quod si per' so. cum G ducatur recta PQ , utrinque ad parabolam terminata , ea sit aequalis para inetro illius diametri, quae eandem PQ velut suam Fio.6O
137쪽
Sit enim EF diameter , ad quam PQ velut ordinata refertur , sitque etiam ΕΗ parameter istius diametri. Ostendendum est . duas PQ, FH aequales esse inter se. super axe AB demittatur perpendicula. ris EL . Jamque per ea , quae superius ostensa sunt, parameter diametri EH aequalis erit pa rametro axiS AD una cum quadruplo ipsius A L. Sed parameter AD quadrupla est ipsius AG . Quare eaduin ΕΗ duabus AG , AL quater sumptis aequalis erit . Ducatur deinde per verticem axis A alia ad diametrum ordinata AO . Et quemadmodum aequales sunt duae AG , OR ; ita etiam, ex ostensis, aequales erunt duae AL, EO. Vnde, quum duabus AG , AL aequalis sit tota ER, erit Eld aequalis quadruplo ipsius E R. Quoniam autem , propter parabolam,
ΕΗ est ad PR , ut PR ad ER ; erit quoque , ut ΕΗ quadratum ad PR quadratum , ita ΕΗ ad Elt. Unde, quemadmodum ΕΗ quadrupla est ipsius ΕR , ita etiam erit ΕΗ quadratum quadruplum quadrati, quod fit ex PR: proin-- doque Eld ipsi PQ aequalis erit.
F..ι νονa. XIV. Denique hanc quoque proprietate nolumus silentio committere, quod si tecta MTa- -ω. parabolam contingat in M ,& ducta ex soco FIO 6 I. G ad punctum contactus M tecta GM , huic per verticem axis A parallela agatur AX, cum tangente conveniens ς quod , inquam, demis a ad axem ordinata MN , duae AX , AN intuese sint aequales. Quum enim triangula duo TUM, TAM snt
138쪽
ELEMENTA. misnt aequiangula; erit, ut TG ad GM , ita ΤΑ ad A X. sed per ea,quae superius ostensa sunt. duae TG , GM inter se sunt aeqv des . Quare etiam aequales erunt duae TA . A X : ct propterea, quemadmodum TA aequalis est ipsi AN , ita quoque A X eidem AN aequalis erit. Id quum ita sit, liquet, differentiam duatum G M , A X esse eandem ubique t nimirum aequalem ipsi AG . Quum enim GM duabus AG, AN simul sumptis sit aequalis , erit AG differentia duarum GM , AN . Quare , ob aequales AN, A X, eadem AG erit quoque dinferentia duarum G M. A X.
7enduntur proprietates ipsesales , adparabolaefocum
i. Stensis proprietatibus generalibus , Lad parabolae lacum pertinentibus; teliquum modo est, ut eas ostendemus , m- ν
quae speriales sunt, Sc ad illud dumtaxat pun- p ta a.
ctum pertinent, quod per rectam axi perpendicularem cum soco coniungitur. Sit igitur AB axis paraboIae , sitque punctum G eius lacus, seu umbilicus. Erigatur ex eo perpendicularis ad axem GE , para-holae occurrens in E . Tum ad punctum E duiscatur tangens ET, cum eodem axe conveniem in T.
139쪽
' s freTIO NuM CONICARUM Ac primo quidem ostendemus, quod e re Sta ex vertice A ad tangentem usque perpendiculari AX , ea sit aequalis portioni AG, abscissae ex axe AB per sociam G.
Jam enim AX parallela est ipsi FG. Quare eadem , ex ostensis , aequalis esse debet ei axis portioni , quam abscindit ordinata , deis missa ex puncto E. Sed, ex constructione ordinata ista est ipsa EG . Itaque recta AX ορ- qualis erit portioni AG. Hoc idem ostendi quoque potest in hunc modum . Quoniam AX , EX sunt tangentes duae 3 per ea, quae superius ostensa sunt, secabitur angulus AGE bifariam per tectam GX . Unde , quum angulus AGE si rectus; erit semirecto aequalis, tam angulus RGX, quam angulus AX G , ct consequenter duae AX, AG aequales erunt inter se. Hinc autem osendemus fecundo Leo . ι.ia ι,--- quod si ex aliis parabolae puncto H ducatur ad axem AB ordinata MN , quae conveniat,tis. tam cum tangente , quam cum parabola adhIG. 6 a. partem alteram in punctis R, S O; rectanguis Ium M RO si aequale quadrato, quod sit ex interjecta axis portione GN. Nam, per superius ostensa, rectangulum M RO est ad quadratum tangentis ER, ut est parameter axis AB ad parametrum diametri, quae transit per punctum E . Sed in hac eadem ratione est etiam quadratum tangentis
A X ad quadratum tangentis EX . Quare erit ex aequali, ut rectangulum M RO ad ER quadratum , ita ΑX quadratum ad EX qu
140쪽
ΕLEMENTA.Jam , Permutando , rectangulum M ROerit ad A X quadratum , ut est ER quadra tum ad EX quadratum. Sed, propter paralleis
las NR, EG, AX, ER quadratum est ad ΕΚ quadratum , ut GN quadratum ad AG quadratum . Quare erit rursus ex aequali , Ut reis
ctangulum M RO ad A X quadratum, ita GNquadratum ad AG quadratum : Sc propterea. quemadmodum aequalia sunt quadrata duo AX, AG, ita quoque erit rectangulum M Roaequale quadrato, quod fit ex GN. III. Atque hinc sequitur tertio , quod si jungatur punctum M eum soco G per tectam GM , haec sit semper aequalis rectar NR , ubicumque sumptum fuerit punctum M. Jam enim rectangulum M RO ostensum est aequale quadrato, quod fit ex GN. Quare. apposito communi quadrato ex MN erit rectangulum M RO una cum MN quadrato aequale duobus quadratis GN, MN. Quoniam autem Mo est secta bifariam ἱn puncto N ἔ erit rectangulum M Ro una eum MN quadrato aequale quadrato ex NR. Et quoniam angulus G NM est rectus , erunt quadrata duo GN , MN aequalia quadrato ex ipsa GM . Hinc erit NR quadratum aequale quadrato ex GMi & propterea duae N R, GMaequales erunt inter se . Huius autem proprietatis ope,datis axe, fore facile erit investre longitudinem oris dinatae . quae cuilibet axis abscisae correspοεν- det. Sit enim axis AB , sitque G sociis . Et oporteat, invenIre ordinatam, quae correspondet abscisiae AN. Erlis