장음표시 사용
121쪽
dratum . Quare erit rursus ex aequali, ut reinctangulum M Ro ad Ax quadratum, ita GNquadratum ad AG quadratum : S propterea, quemadmodum aequalia sunt quadrata duo Ax, AG, ita quoque erit rectangulum MRoaequale quadrato, quod fit ex GN.Atque hinc sequitur tertis , quod si jungatur punctum M cum soco G per rectam M G, haec sit semper aequalis rectae N R , ubi-Fio. sa. cumque sumptum fuerit punctum M. Jam enim rectangulum M RO ostensum est aequale quadrato, quod fit ex GN. Quare, apposito communi quadrato ex MN , erit reis Elangulum M Ro una cum MN quadrato ae- . quale duobus quadratis GN, MN. Quoniam autem Mo est secta hisallam In puncto N ; erit rectangulum M RO una cum MN quadrato aequale quadrato ex N R. Et quoniam angulus G NM est rectus , erunt quadrata duo GN , MN aequalia quadrato ex. ipsa MG . Hinc erit NR quadratum aequata quadrato ex MGt S propterea duae N R,MG aequales erunt inter se. Hujus autem proprietatis ope, datis axe, O socis, facile erit iuvenire longitudinem o dinatae . quae cuilibet axis abscissa correisos det. Sit enim axis AB, sintque G , ct H mei.
Et oporteat invenire ordinatam , quae corre
spondet abscissae AN. Erigantur ex punctis A . & B ad partes contrarias perpendiculares A X, BZ , quae fiant aequales ipsis AG, BG. Tum, iuneta XZ, erigatur expuncto N perpendicularis au
122쪽
ELEMENTA. II 'altera NR, ei occurrens in R . Denique cen tro G. ct intervallo ipsus N R describa tuearcus,eandem NR secans in M,&erit MN ordinata quaesita. IV. Iisdem, ut supra, manentibus, eriga- n. tur modo ex ptincto T. in quo tanstens ET M/i est νε. lecat axem AB . perpendicularis ad ipsum .a axem TV . Et quemadmodum perpendicula. tem istam TU hvperbolae directricem dein- ννινι luxa .ceps appellabimus , sic relate ad eam plurat FIG.s . perbolae proprietates competunt. Nimirum primo , demissa ad directricem
perpendiculari EF . erit , ut EP ad EG , ita AT ad AG . Nam, ob parallelogrammum FG, duae EF, GT inter se sunt aequales. Qua re erit, ut EF ad ΕG , Ita GT ad EG . Sed, obtriangula aequiangula TGE , TAX . GT est ad EG , ut AT ad A X. Et, ob aequales AX , AG , ut est AT ad Ax , ita est AT ad ΑG. Quare erit ex aequali, ut EF ad EG , ita AC ad AG . Secundo , demissa ex alio quovis hype holae puncto M ad eandem directricem per pendiculari Ms,erit, ut M S ad MG, ita AT ad
AG. Nam,ducta ad axem ordinata MN,eaque producta ad tangentem usque in puncto R;
erit, ut TN ad N R, ita AT ad A X, sive AG. sed TN est ad N R , ut MS ad MG ν quum sint aequales , tam duae TN , MS , quam duae N R, MG . igitur erit ex aequali, ut MS ad MG, ita AT ad AG.
Tertio , id verum erit etiam relate ad alἰum axis verticem B; quandoquidem erit,ut
BT ad BG, ita AT ad AG. Nam, Ob trianguin
123쪽
rio SECTIONUM CONICARUM la aequiangula TBZ, TAX, ut est BT auBZ , ita est AT ad AX . Sed , ex superius ostensis, aequales sunt inter se , tam duae AX, AG, quam duae BZ , BG . Quare erit quoque ut B T ad BG , ita AT ad AG. Quarto , si duo in hyperbola capiantur puncta M , & P . S ex iis perpendiculares ad directricem demittantur MS , PQ ; erit , ut M S ad PQ. ita MG ad PG . Nam in eadem ratione , quam habet AT ad AG, est, tam
MS ad ad MG , quam PQ ad PG . Igitur erit ex aequali, ut M S ad MG, ita PQ ad PG , &Permutando erit etiam , ut M S ad PQ, ita MG ad PG. Denique , si ex iisdeiti punctis M. & P ducantur ad directricem aliae duae rectae MI, PL , quae inter se suit parallela: erit quoquctui MI ad P L, ita MG ud PG. Nam, ob trianis gula aequi angula MSI, P L , ut est Mi ad PL , ita est MS ad PQ. Sed , ex ostensis, M Sest ad PQ, ut est MG ad PG . Igitur erit exaequali, ut MI ad P L, ita MG ad PG. e. . , .. V. Recta igitur, quae ex quolibet hyperia
νν Hai.m bolae puncto perpendiculariter demittitur ad C,- directricem, est ad rectiun,quae ex eodem put αducitur ad focum G, in eadem illa ratione, quam habet AT ad AG . Sed circa proprieta-Fici .s . tem istam duo occurrunt, notatu digna. Primum est, quod ratio, quam habet AT ad AG , sit minoris ad maius ' adeo nem-Pe , ut perpendicularis demissa ad directricem Iit semper minor recta, quae ducitur ad focumG.ob tangontem enim ET,ut est CT ad CA, ita est CA ad CG. Quare, subducendo au
124쪽
ut CT ad AT , ita CA ad AG. Jam vero CT minor est, quam C A. Et igitur AT etiam
minor erit , quam AG . Alterum cst , quod eadem illa ratio sit aequalis et, quam habee axis AB ad distantiam , quae inter utrumque socum existit. Nam, ob tangentem ET, ut est CT ad CA. ita est CA ad CG . Quare , subducendo antea cedentes eae consequentibus , erit, ut AP ad
CA, ita AG ad CG; & permutando erit quo que , ut AT ad AG, ita CA ad CG. Jam vero CA est ad CG, ut AB ad GH. Et igitur ex aequali AT erit ad AG , ut est AB ad GH .
VI. Ad direditicem hyperbolae alia etiam proprietas pertinet valde singulatis . Sed ad eam ostendendam, sternendum es prius, velat lemma, sequens theorema , quod si ad aliquod hyperbolie punctum M ducatur tangens Ms, conveniens cum axe AB in puncto S , ct expuncto contactus M demittatur ad eundem axem Ordinata Mo; quod, inquam, CG sit ad CO, ut est CS ad CT. Quum enim recta ΕT eontingat hyperis bolam , ct ex puncto contactus E ducta sit ad axem ordinata EG; erit, ex superius ostensis, ut CT ad CA, ita C A ad CGt proindeque reoctangulum ex CT in CG aequale erit quadrato, quod fit ex CA. similiter, quoniam recta MS est tangens hyperbolae , ct ex puncto contactus M ducta est ad axem ordinata MO; per ea,quae superius
ostensa sunt, erit, ut CS ad C A , ita CA ad CO. Quare rectangulum ex CS ut Co aequa, let
125쪽
iax SECTIONUM CONI ARUM le erit quadrato , quod fit ex C A. Eidem igitur CA quadrato aequale est,' tam rectangulum ex CT in CG, quam reis ctangulum ex CS in CO . Quare erit rectanis gulum ex CT In CG aequale rectangulo ex
CS in Co i ct propterea erit, ut CG ad Co, ita CS ad CT . vii. VII. Hinc autem sequitur primo, quod si, eade in tangens MS conveniat cum directriceo.νοια iaia T U in puncto Κ , ct cum axe conjugato PQ in puncto R a rectangulum ex MO in ΤΚ sit
ψ ss ad CP quadratum, ut est Go ad CG. Quum enim CG sit ad Cis , ut est CS ad CT ; erit convertendo, ut CG ad Go, ita CS ad TS . Sed, ob triangula aequiangula CRS . TΚS. CS est ad TS , ut CR ad ΤΚ. Quare erit ex aequali, ut CR ad TΚ , ita CG ad Go a & invertendo erit etiam , ut TK ad CR, ita Go ad CG.
Praeterea , demissa ad axem coniugatum
PQ ordinata MLιeνit, ob tangentem MR, ut CR ad CP . ita CP ad CL . Unde rectan gulum ex CR in CL , sive Mo aequale erit quadrato , quod fit ex CP t & propterea reis ctangulum ex Mo in TΚ erit ad CP qua.dratum, ut est idem rectangulum ex Mo ita TK ad rectangulum ex CR in Mo. Jam . ob communem altitudinem Modrectangulum ex Mo in ΤΚ est ad rectanguintum ex CR in Mo, ut est ΤΚ ad CR. ostensum est autem, T K esse ad CR. ut est Go ad CG. Quare erit ex aequali , ut rectangulum ex Mo in ΤΚ ad rectangulum ex CR in
Mo, ita Go ad CG , S eonsequentet in hae
126쪽
ELEMENTA. II eadem ratione erit etiam rectangulum eae
VIII. Unde sequitur fecundo i, rectanguis VIII.
Quum enim recta ΕΤ contingat hyperbolam , ct ex puncto contactus E demissa sit ad axem ordinata EG; erit, ex superius ostensis , rectangulum TGC aequale rectangulo AGB . Sed rectangulum AGB adaequat qua tam partem figurae axis AB , sive etiam qua dratum , quod fit ex CP, dimidio axis coniugati. Quare rectangulum TGC eidem CP
quadrato pariter aequale erit.
Hinc erit, ut rectantulum ΤGO ad rectangulum TGC , ita idem rectangulum TGO ad CP quadratum. Sed, ob communem altitudinem ΥG , rectantulum mo est ad rectangulum TGC, ut est Go ad GC. Quare erit ex aequali, ut Go ad GC , ita rectanguintum ΤGo ad CP quadratum. Et quoniam ostensum est, Go esse ad CC, ut est rectangulum ex MO in ΤΚ ad CP quadratum ι erit rursus ex aequali, ut re. Hangulum ex MO .n TK ad CΡ quadratum, ita rectangulum WΟ ad idem CP quadra. tum. Unde rectanguluni ex Mo in aequale erit rectangulo TGo. IX. Atque hinc sequitur demum, quod IX. iunctis tectis GK , GM , rectus sit angulus ΚGM, quod sub ita continetur. FIG. I. Quum enim ostensum sit rectangulum
in Mo in ra aequale tectangulo TGo; erit,
127쪽
1 4 SECTIONUM CONICA Ru Mut TG ad Iu . ita Mo ad GO . Unde triangula duo rectangula Gu , MOm habebunt
circa angulos rectos latera proportionalia,Se consequenter aequiangula erunt.
Angulus igitur TGK aequalis erit a gulo GMO. Unde, apposito communi OG M. erunt duo anguli TGK , OGM aequales duobus angulis G MO , OG M. Sed isti duo sinulsumpti unum rectum adaequant. Quare etiam uni recto aequales erunt priores duo; atque adeo angulus ΚGM ex iis compositus patiter rectus erit.
His praeniissis , facile modo eris osten-gere proprietatem illam singularem,quae perti-xet ad directricem hyperbolae . Illiusmodi pro
νυν ιεω prietas haec est , quod si per socorum alterum
G ducatur recta MN , utrinque ad hyperbo Fio .s s. lam terminata , ct rectae M S , NX contingant hyperbolam in punctis M,& N; tangentes istae super directrice TV sibi mutuo occurrant. Si enim fieri potest, secent tangentes ii Iae directricem TV in punctis diversis : nimirum tangens quidem MS in puncto Κ , tangens vero NX in puncto I . Tum jungan- . tur rectae GK, GI. Et quoniam recta MΚ est tangens hyper-holae , eaque occurrit directrici in puncto Κ aetit angulus RGM rectus 3 adeoque rectus pariter angulus ΚGN , qui ad partem alteram existi t. Eadem ratione, quIa recta NX est tam
gens hyperbolae , eademque secat directricem in puncto i,erit anguIus IGN similiter rectus.
Unde duo anguli ΚGN , IGN aequales erun
128쪽
Inter se. Quod fieri non potest. XI. Hinc vero alia etiam proprietas vati de elegans fuit et nimirum , quod si per socorum alterum G ducatur recta MN , utrinque ad hyperbolam terminata 3 S actis tangentihus MK, NK,sibi mutuo occurre utibus in Κ, jungatur recta GΚ ἔ haec perpendicularis esse debeat ad ipsam MN. Reserat namque recta TV directricem hyperbolae. Et, per ostensam proprietatem , in ea locabitur punctum Κ , in quo tangentes duae sibi mutuo occurrunt. Unde per ea, quae paulo ante ostensa sunt, omnino necesse est, ut rectus sit uterque angulorum ΚGM,ΚGN; atque adeo, ut ipsa GK perpendicularis sit ad rectam MN. Hoc idem erui quoque potest ex proprietate illa generali, superius ostensa , quod tecta GK bifariam dividat angulum, conten tum sub rectis G M, GN. Inde enim sequitur, eandem rectam GK aequales semper angulos constituere cum rectis G M. GN ; atque adeo rectos esse angulos illos , ubi ipsae GM , GNiacent in directum. XII. Caeterum ex iis , quae modo ostensa sunt, datis focis, directrice, nullo negotio ducetur tangens ad quodlibet operbolaς punctum. Referat enim recta TU directricem hyperbolae , sintque soci ejusdem puncta G , &H.Oportet ad punctum N tangentem ducere. Ad focorum alterum G ducatur ex puncto N recta NG. Tum ei ex eodem meo G perpendicularis erigatur GK , conveniens
cum dilectrice in Euncto Κ . Jungantur deni
129쪽
sEETIONUM CONICARUM que puncta N , & Κ per rectam NK . Et erit recta i sta NK tangens quaesita. Si enim fieti potest, contingat hyperbo iam in puncto N recta quaevis alia NI. quae conveniat cum directrice in puncto I. Tum ex foco G ad punctu in I ducatur recta GI. Et, ex ostensis, rectus erit angulus I GN. Sed ex constructione rectus etiam est angulus RGN. Qivre duo anguli IGN , ΚGNaequales inter se erunt. Quod fieri non potest.
CAP. V. Osenduntur proprietates gen rates , ad parabolae focum
I. N parabola quoque vocatur lacu 1 . I seu umbilicus , illud aris punctam, eas ordinata correspondens semisem para--
saneam is. tri eiusdem axis adaequat.
TI' Ita , si AB sit axis parabolae AM , ct A D' ε' parameter ejus a capiaturque in axe illo AB punctunt G adeo quidem , ut ordinata ei coris respondens EG adaequet semissem ipsius AD; dicetur punctum G lacus , seu umbilicus ipsius parabolae . Mirum autem videri non debet, quod quum in ellipsi . & hypeihola duo sint foci.
seu umbilici. in parabola tamen nonnisi uni iscus reperiatur. Id namque Pendet ex eo . quod alter axis vertex in parabola est in ii
130쪽
x L E M E N T R. Iavfinita a priore distantia . . . Rutem Dei definitione I quet, Asantiam ejus a vertice axis quadrastem parametri ejusdem axis adaquare . Maneant enim Omnia , Ut supra . Dico, portionem axis AG aequalem esse quartae parti ipsius A D. Nam, propter parabolam , EG quadratum cst aequale rectangulo DAG. Quare erit,
ut AG ad EG , ita EG ad AD . Sed ex coninstructione EG semissis est ipsius AD . Itaque etiam AG semissis erit ipsius EG . Ex quo fit.
ut eadem AG adaequet quadrantem totius parametri A D. III. Ducatur nune ad verticem A tangens AX , quae conveniat cum alia quavis
tangente MX in puncto X. Et facile erit ostendere , quod recta GX , ducta ex foco G. ad punctum X , perpendicularis sit ad tangentem MX. Extendatur etenim tangens MX . usque donec conveniat cum AB in puncto T, ct expuncto contactus M demittatur ad axem or
dinata MN . Jamque erit, ut NT ad AT . ita MN ad A X. Sed,ob aequales AT, AN,est NT dupla ipsius AT . Quare etiam MN dupla erit
ipsius A X: S propterea MN quadratum quadruplum erit quadrati, quod fit ex AX. Quoniam vero AG quadrans est ipsius AD , erit rectangulum DAN quadruplum quoque rectanguli GAT. Unde erit, ut MN quadratum ad A X quadratum , ita rectanguintum DAN ad rectangulum GAT.Sed,propter Parabolam, MN quadratum est aequale regalia gulo DAN . Quare etiam ΑX quadratum α.quale