장음표시 사용
141쪽
ras SECTIO NuM cONICA Ru MErlgantur ex punctis A, & G perpendἰ-culates Ag. GE , quarum prior AX sit aequalis ipsi AG , altera GΕ iit dupla ejusdem AG. Tum, juncta Ex , erigatur ex puncto M perispendicularis altera NR, ei occurrens in R. Denique centro G , ct intervallo ipsius N R describatur arcus , eandem NR secans in Ma& erit MN ordinata quaesita. IV. Iisdem, ut supra , manentibus, erigativi in P. tui modo ex puncto T , in quo tangens ET secat axem AB , perpendicularis ad ipsum axem TU . Et, quemadmodum perpendicularem istam TU parabolae directricem deinceps Fia.6a. appellabimus, sic relate ad eam plures parab De proprietates competant.
Nimirum primo demissa ad dἰ rectricem perpendiculari Ep , erit, ut EP ad EG , ita AT ad AG. Nam, ob parallelogrammiam Fc, duae EF, GT inter se sunt aequales . Quar:
erit, ut EF ad EG , ita GT ad EG. sed , obtriangula aequiangula TGE, TAY, GT est ad EG , ut AT ad Ag . Et, ob aequales AX, AG , ut est AT ad Ax , ita est AT ad AG . Quare crit ex aequali, ut EF ad EG, ita AT
ad AG. Secundo, demissa ex alto quovis parabolae puneto M ad eandem directricem perpendiculari MS , erit, ut Lis ad MG, ita AT ad
AG . Nam , ducta ad axem ordinata MN , eaque producta ad tangentem usque in punct
quum snt aequales , tam duae TN, MS, quam duae N R, MG. Igitur erit ex aequali, ut in.
142쪽
Tertio , si duo in parabola captantur
punecta M , & Ρ , ct ex iis perpendiculares ad uirectricem demittantur MS , PQ: erit, ut MS ad PQ , ita MG ad PG . Nam in eadem ratione, quam habet AT ad AG, est, tam MAad MG , quam PQ ad PG . Igitur erit ex quali, ut MS ad MG, ita P ad PG ; & pee- mutando erit etiam , ut Ms ad PQ, ita M Gad PG . Denique , si ex iisdem punctis M . & Ρducantur ad directricem aliae duae rectae MI, PL , quae iliter se sint parallela: et erit quoque, ut MI ad P L, ita MG ad PG . Nam, ob trianis gula aequi angula MSI , PQL , ut est MI ad PL, ita est MS ad PQ sed , ex ostensa , M Sest ad PQ, ut est vG ad PO. Igitur erit exaequali, ut MI ad PL, ita MG ad BG. V. Recta igitur , quae ex quolibet para- vholae puncto perpendiculariter demittitur ad Mon tam directricem, est ad rectam, quae ex eodem puncto ducitur ad focum G , in eadem illa ratione, quam habet AT ad AG. Sed e reo proprie- '2.tatem Utam illud occurrit notatu dignum. Nimirum , quod ratio , quam habet AT si ad AG, quemadmodum in ellipsi est majoris ad minus , dc in hyperbola minoris ad majus, se in parabola si aequali tatis ς adeoque perpendicularis, demissa ad directricem, erit semis per aequalis rectae, quae ducitur ad lacum G. Neque vero dissicile id erit ostendere Nam , ex constructione, recta ET contIngit parabolam in E . Quare , quum EG incidat expuncto contactus E perpendiculariter super
143쪽
r o SECTIONUM CONICA Ru Maxem AB ; per ea , quae superius ostensa sunt. Omnino necesse est , ut duae AT , AG inter se
vi. VI. Ad directricem parabolae alia etiam: 62ia' proprietas pertinet valde singularis . Sed ad
Frauia ιν- eam ostendendam , sternendum est prius, vetas 2 lemma , sequens theorema , quod si ad aliquod re hem parabolae punctum M ducatur tangens M S. Fio. 6r. Conveniena cum axe AB in puncto S , S expuncto contactus M demittatur ad eundem axem ordinata Mo; quod, inquam , duae TS,Co inter se sint aequales. Quum enim recta ET contingat parabolam , & ex puncto contactus E chicta sit ad axem ordinata EG ; erunt duae AT , AG aequales inter se . Et smiliter , quoniam recta his est tangens parabolae , ct ex puncto conis tactus M ducta est ad axem ordinata Mo erunt duae AS , Ao pariter aequales inter se Unde erit etiam disserentia duarum AT , Asaequalis differentiae duarum AG, AO; hoc estra aequalis ipsi Go. II--. i. VII. Hinc autem sequitur primo. quod si
eadem tangens M S conveniat cum directrice TV in puncto Κ, & super tangente M S per- FIO.63. pendicularis eligatur MΡ , rectangulum ex MO in ΤΚ sit aequale rectangulo POG. Quum enim triangulum PMS sit rectangulum in M , ct ex angulo recto demissa sit ad hypothenusam perpendicularis MO .
erit, ut PO ad Mo, ita MO ad OS. Sed Moest ad os, ut ΤΚ ad TS; & TΚ est ad TS, ueTΚ ad GO . Quare erit ex aequali, ut PO ad Mo , ita ra ad GO: ct propterea rectanguinium
144쪽
rum ex Mo in ΤΚ aequale erit rectangulo PGO. VIII. Undesequitur fecundo, quod idem Vm. rectangulum ex MO in ΤΚ sit aequale quoque rectangulo T . Fici. s . Quium enim recta M P sit perpendicula. ris ad tangentem MS , erit portio axis ΡΟ aequalis dimidio parumetri ejusdem axis , Se consequenter dupla portioniS AG . Sed, propter tangentem ET , ejusdem AG dupla est
quoque ipsa TG. Quare duae PO, TG aequales erunt inter se. Hinc aequalia erunt pariter rectangu IaPOG , TGO . Sed rectangulum ex MN in ΤΚ ostensum est aequale rectangulo P OG. Quare idem rectangulum cx MN in I Κ erie etiam aequale rediangulo TGO. IX. Atque hinc sequitur demum, quod IX. iunctis testis GK , GM , rectus sit angulus ΚGM, qui sub iis continetur. FaG.63. Quum enim ostensum sit, rectangulum ex Mo in ΤΚ aequale rectangulo TGO; erit, ut TG ad ΤΚ , ita MO ad Go . Unde triania gula duo rectangula GTΚ , MOG habebunt
Circa angulos rectos latera proportionalia, &Consequenter aequiangula erunt.
Angulus igitur TGK aequalis erit angulo GMO. Unde, apposito communi OGM, erunt duo anguli TGΚ , OGM aequales duo-hus angulis G MO, OGM . Sed isti duo simul
sumpti unum redium adaequant. Quare etiam uni recto aequales erunt priores duo ἔ atque adeo angulus ΚGM pariter rectus erit.
X. His promissis, facile modo erit ostenis x.
145쪽
141 SECTIONUM CONICA Ruridere proprietatem illam singularem, quae perti net ad directricem parabolae . Illiusmodi pro ἀν prietas haec est , quod si per socum G ducatur recta MN , utrinque ad parabolam termina-Fio.6ῖ. ta , & rectae M S , NX contingant parabolam in punctis M, S N ; tangentes istae super di- per directrice TV sibi mutuo occurrant. Si enim fieri potest, secent tangentes illae directricem TV in punctis diversis r nimiritum tangens quidem M S in puncto Κ , tangens vero NX in puncto I. Tum jungantur rectae GK, GI. Et quoniam recta MK est tangens para. holae , eaque occurrit directrici in puncto Κ; erit angulus ΚCM rectus ue adeoque rectus pariter ansulus ΚGN , qui ad partem alte
ram existit. Eadem ratἰone , quia recta NX est tangens parabolae, eademque secat directricem in
puncto I ; erit angulus IGN similiter rectus. Unde duo anguli ΚGN, IGN aequales erunt inter se. Quod seri non potest.
XI. X l. Huic vero alia etiam proprietas valis Mi. ,1.,. de elegans sust : nimirum , quod si per lacum
G ducatur recta MN , utrinque ad parabolam terminata; & actis tangentibus MK, NΚ , si- pio s)bi mutuo occurrentibus in X , jungatur recta GK ; haec perpendicularis esse debeat ad ipsam MN. Reserat namque recta TV directrIcem
parabolae . Et, per ostensam proprietatem, inca locabitur punctum Κ, in quo tangentes . duae sibi mutuo occurrunt. Unde per ea, quae paulo ante ostensa sunt . omnino necesse est,
146쪽
ELEMENTA. 143 ut rectus sit uterque angulorum ΚGMἰ
ΚGN, atque adeo, ut ipsa GK perpendiculais iis sit ad rectam MN . Hoc idem erui quoque potest ex proprietate illa generali, luperius ostensa , quod iecta GK bisariam dividat angulum , contentum sub rectis G M, GN. Inde enim sequitur, eandem rectam GK aequales semper angulos constituere cum rediis G M, GN ; atque adeo rectos esse angulos illos , ubi ipsae GM , GNiacent in dire tum. XII. Caeterum ex iis , quae modo ostensa x13. sunt, datis foco, O diri Urice nullo negotio du--eeIur tangens ad quod lihel parabolae punctum. Reserat enim recta TV directricem parabo- 'Σ -- ω lae , sitque punctum G sociis ejusdem . Oporis iam. se atet, ad punctum N tangentem ducere: Ex meo G ad pune tum N ducatur recta GN . Tum ei ex eodem soco G perpendicularis erigatur GΚ , conveniens cum directrice
in puncto Κ . Iungantur denique puncta N. S K per rectam NK . Et erit recta ista NK
Si enim seri potest, eontingat parabo. lam in puncto N recta quaevis alla NI , quae conveniat cum directrIce in puncto I. Tum ex soco G ad punctum I ducatur recta GI.
Et, ex ostensis , rectus erit angulus IGN. Sed , ex constructione , rectus etiam est angulus ΚGN . Quare duo anguli IGN , ΚGNaequales inter se erunt. Quod seri non potest.
147쪽
De Locis Geometricis , Coni Sectionibus terminatis.
Ρ Raecipuis sectionum conicarum Proprie.
talibus ostensis; sequitur modo,ut comis positionem aggrediamur locorum geometri corum , quae conicis sectionibus terminantur: quo nempe deinceps easdem coni sectiones aia constructionem problematum solidorum traducere possimus. Sed priusquam huic operi manum admoveamus , ratio Postulat, ut paucis explicemus, quid veniat nomine Ioci geo metrici ς tum item, ut varias locorum speciea aperiamus , quas veterea Geometrae distinguebant.
Quid loci geometrici nomine veniat quot ejus se-eies disinguantur.
I. T Ocus geometricus vocatur ferior His punctoram , quibus alicui problemati geometrico , -determinate propo ro, satisfieri potes. Unde non aliter intelligere licebit, quid veniat nomine loci geometri-Ci,quam cognitis prius differentiis problematum seometricorum. Hunc
148쪽
ELEMENTA. 14ς Hune in finem latendum est primo , pr blemata geometrica , nos fecus ac omnia quaeis viis , duplicis speciei esse: alia nimirum deteris minata, quae solutionum diversarum determia natum numerum admittunt; ct alia indeteris minata quae infinitis plane modis diversis solis vi possunt. Ita, si punctum in recta quaeratur, quod subinde eam dividat , ut rectangulum , sub segmentis ejus contentum , alterius rectae datae quadratum adaeque te problema erit deteris minatum; quia duo tantum puncta licebit invenire , quibus quaesitae divisioni satisfiat :quae etiam coibunt in unum , si altera recta data prioris semissem adaequet. Sed , si oporteat, in data recta punctum invenire, quod adeo illam dispescat, ut quadrata . quae fiunt ex tota, Sc parte una , sine aequalia rectangulo, bis contento sub tota, Scdicta parte, una cum quadrato partis alter tua: problema erit inde terminatu'; quia ut ostensum est ab Euclide in Elementis, singula datae rectae pundia quaesitae divisioni satisfaciunt. II. Ut haec problematum geometricorum distinctio clarius intelligatur , sciendum est Misa .ννιιI. . Insuper , in omni problemate duo necessario
contineri r scilicet notum , seu datum I & in. a. Ao e vim
cognitum, seu quaesitum . Nam ea est finitae ' nostrae mentis indoles , ut quod incognitum est, dumtaxat ex cognitis quibusdam conditionibus , eruere valeamuS.
Jam, quemadmodum plerumque , praeter conditiones , ad problematis solutionem ne incessarias, aliae etiam adjunguntur, Omnino
149쪽
s 6 IECTIO NuM CONICA Ru Msupet fluae , ct ut plurimum reiiciendae , quo problematis solutio possit obtineri; H quandoque nec omnes apponuntur conditiones, ad problematis solutionem necessariae: qua ratio.
ne problema inde terminatum redditur , ct in. finitas solutiones diversas admittet. Ex quo liquet, problematum tria proripite genera dari: alia scilicet determinata ,
quae omnes continent conditiones , ad ipsorum solutionem necessarias ς alia inde termina. ta, in quibus non omnes adsunt conditiones . quae ad eorum solutionem requiruntur ; &alia demum plusquam determinata , in quibus multo plures conditiones sunt appositae, quam quae illorum solutioni inserviunt. IN. IV. Sed notetur hic velim, quod tria ista
problematum genera ex datorum , quaesitorumque numero nullo negotio dignoscamur . Ubi
cnim numeru3 datorum adaequat numerum
ista quaestorum 3 problema erit determinatum . Ubi vero data sunt pauciora quaesitis ἱ pro-hlema erit inde terminatum . Ac demum , ubi quaesita sunt pauciora datis , problema erit plusquam determinatum. Ita , si rectangulum quaeratur, quod si aequale dato quadrato , & cujus latera simul sumpta datam rectam adaequent : problema erit determinatum; quia, sicuti duo sunt proin hiematis data , sic duo etiam sunt ejusdem
quaesitar scilicet latera duo, quae optatum rectangulum d chent continere. Sed , si ex eodem problemate auferatur una conditio, puta, quod latera rectanguli inveniendi debeant simul sumpta datam rectam
150쪽
ELEMENTA. νεν adaequare , ct dumtaxat quaeratur rectangu lum , quod sit aequale dato quadrato: problema erit indeterminatum I quia unum quidem est datum , quaesita vero sunt duo. Et denique, si eidem problemati, praeter duas illas conditiones, adiungatur quoque tertia , veluti, quod latera rudianguli inveniendi debeant ad invieem datam rat onem habere : problema erit plusquam determinatum ; quum in eo tria quidem sint d ta , duo vero quaesita.
IV. Quum calculo litterati, seu specioso i . problematis resolutio peragitur , innotescit fi ...
natura ejur, per numerum aequationum, a Mem 4 I in .
nobis fese offerunt. Si enim, perlustratis singu-
conditionibus , in problemate appositis , , tot inveniuntur aequationeS, quot occurrunt s quantitates incognitae ἔ problema erit de ter minatum. Sed, si numerus aequationum minor si numero incognitarum 3 problema erit ii determinatum . Et denique idem problema erit plusquam determinatum , si numerus ae quationum incognitarum numerum excedat. Ut enim notum est, aequationes inveniuntur per ipsas conditiones, quae in problemate apponuntur: adeo quidem, ut quaelibet conditio suam nobis aequationem l rgia tur . Unde omnino necesse est , ut in problemate determinato tot aequationes inveniantur , quot fuerint incognitae quantitate. ac sumptae ἔ quandoquidem . pro determinandis singulis incognitis, tot in eo conditiones apis poni debent , quotus est ipse numerus incognitarum .