장음표시 사용
151쪽
ob eandem autem rationem in problemate indeterminato numeruS aequationum minor esse debet numero incognitarum ς quia in eo non omnes apponuntur conditiones ,
quae ad determinationem singularum incognitarum requiruntur . Et vice Versa in problemate plusquam determinat O , ob conditiones superfluas , quas habet appositas, necesse est ,
ut numerus aequationum incognitarum numerum excedat.
am ... M. V. Quemadmodum autem problema prono prie vocatur illud , quod determinatum est, ..ia ' ..isa certisque tantum modis solvi potest a itas inter Problema indeterminatum , S problema εωι, ' .a plusquam determinatum illud discriminis inis
z,.uetis, o, quod primum, ob deficientes conditiones.sit capax infinitarum solutionum ; alterum, , ob conditiones superfluas , saepe saepius pugnantes cum necessariiS , nullam ut plurimum solutionem admittat. Has omnes problematum disserentias nistis explicat Proclus libro tertio suorum comis mentariorum in primum librum Elementorum Euclidis . Et, eodem reserente, vocabant Veteres problema deficiens , quod indeterminatum est , nec omnes continet conditiones , ad solutionem eius necessarias. Vocabant vero Problema excedens, seu redundans , quod est plusquam determinatum, S multo plures continet conditiones, quam quae ad solutionem ejus requiruntur. Sed excedentium problematum, ut idem Proclus est auctor , duas adhuc species Vetores distinguebant. Quae enim problemata tu
152쪽
ELEMENTA. 14 congruent ἰbus, pugnantibusque conditioni. hus redundant 3 impossibi Ha appellabant, quia Omnino solvi non potiunt. Quae vero abun dant conditionibus , sibi mutuo conspirantihus ; dicebant problemata majora, ut ab indeterminatis distinguerentur, quae minora vicis sm appellabant. VI. Et si autem istae omnes sint problematum differentiae , attamen Geometrae problematis nomine illud proprie vocant, quod determinatum es , certu ae sotationum numeram
admittit, Nec alia ratione ea , quae sunt inde terminata , sub ipsorum contemplationem v niunt , quam ut eorum ope determinatis Diatisfiat, quae praecipuum Geometriae objectum
Quum enim problemata inde terminata Infinitas solutiones admittant ἔ utique inter eas necesse est, ut reperiantur solutiones peculiares problematum determinatorum , quuejusdem speciei sunt. Unde , nae his semel in. finitis illorum solutionibus, non aliud fieri deis het,quum de istis est quaestio,quam eas excerispere , quae ipsis correspondent , suasque con. ditiones adimplent. Ita, quotiescumque, exempli gratia, suis
per recta data constituta sunt omnia trianguinta Iso Pelia; omnino necesse est, ut inter ea reriperiatur triangulum illud i sceles , quod hahet quoque datam altitudinem. Unde, quum quaestio est de constituendo triangulo is oste-le,cujus data sit, tam basis, quam altitudo, satis erit, ad infinita illa triangula isoscelia confugere . ct inter ea illud eligere, cui dat.
153쪽
uo SECTIO NuM CONICA Ru MVIl. Quum mens notira finita sit,ac limitata; utique infinitas solutioneS , quarum capax est problema aliquod in determinatum, si ἀgillatim percurrere nequit. Hinc speciali quodam artificio opus est, ut eae omnes in unum colligi possint, atque ita collectae continuo praesentes haberi. Praestant id ἰgitur Geometrae compositione locorum reometricorum ἶ nam ea mediante ins nitas illas solutiones certis limitibus claudunt. Id ut clarius intelligatur, iuvat prius advertere , nullum esse problema geometriis cum , quod ad puncti alicujus positionem determinandam revocari non possit. Unde, qlio intiescumque problema est natura sua in deteria minatum, tunc infinita hujusmodi puncta debent definiri: Sc propterea habebuntur infinitae eius solutiones , determinando locum , in quo infinita illa puncta reperiuntur. Hac ratione , si super data recta lIn ea constituendum sit triangulum iso sceles; reseo redit , ut vertex eius trianguli reperiatur. Quemadmodum autem infinita esse queunt illiusmodi triangula , ita infinitus quoque erit numerus punctorum, quae quaestum verticem nobis exhibebunt. Sed per spieuum est, omnia illa puncta reperiri in linea recta , quae secat bifariam , & ad angulos tectos rectam lineam
VIII. Id quum ita si, liquet, locum geometricum non aliud esse, quam fedem omnium illorum punctorum , quae alicui problemati iu- determillato satisfaciunt. Et quoniam hujus modi sedes potest esse , vel linea, vel superfi-
154쪽
e es , vel solidum; tria hinc locorum genera Veteres distinguebant, & eorum alia adlia aream, alia ad supersciem, & alia demum ad δε-lidum appellabant. Ut tres istae locorum species rectius intelligantur , meminisse oportet, problema esse indeterminatum, quum non omnes apponunis tur conditiones , ad problematis solutionem necessariae. Hinc itaque fit, ut non omnia loca geometrica ejusdem speciei sint. Nam , deficiente una tantum condit one , locus erit ad
lineam , deficientibus duabus conditionibus, locus erit ad superficiem ; & denique, ubi tres in problemate desunt conditiones , locus erit ad solidum. Possunt etiam tres istie loeorum species a te mutuo distingui per aequationem, quae omnes ipsius problematis inde terminati condiistiones includit. Ubi enim hujusmodi aequatio
duas continet incognitas, locus erit ad lineam, quia ad determinationem problematis una tantum conditio deest . Quotiescumque vero in eadem aequatione tres occurrunt incognitae, locus erit ad superficiem i quia pro determinando problemate duae requiruntur conditiones . Et denique , quum aequatio quatuor incognitas complectitur , locus erit ad sol Idum , quia tribus conditionibus opus est, ut problema determinatum evadat. IX. Et sane , quod aequatio, duabus inco- IT.
guttis constans, loco ad lineam debeat explica--gri, ostendi notest steneraliter in hunc modum, Sint x , αν binae aequationis incogmtae . Jam αι .riaim. utraque harum incognitarum infinitos val
155쪽
arx IECTIO NuM CONICA RuM res admittit. Sed una ex iis determinata , ne cesse est, ut altera quoque suam determinatio.
1' - δ' Reserant itaque portiones AN rectualicujus AB valores omnes incognitae x . Et cuique earum correspondebit Incognita altera ' determinato valore . Ducantur ergo Persngula puncta N patallulae totidem NM,quae reserant valores correspondenteS incognitae 3. Et linea , transiens per extremitates iplarum NM, locus erit quaesituS. Notetur autem hoc Ioco velim , quod
quum simpliciter de explicanda aequationuagitur; angulus AN M potest ad libitum a sumi. Sed , si una cum aequatione satisfaciendum sit quoque problemati, unde ea su Ait aequatio ; tunc angulus ille talis oportet magnitudinis capiatur , qualem ipsum exigit problema. Nec silentio hie praeteribimus, quod in priore casu licebit quandoque angulum illum AN M talem assumere , ut rectae N M, vel sint in direduim cum ipsis AN, vel cadant ad par tem oppostam: nimirum, quum dando eiS positionem istam, ad unum idemque punctum Omnes terminantur. Sed non ideo locus dicendus erit ad punUum, ut qui per extremita, tes alias N proprie constituetur. D. Lis X. Similiter , quod aequatio, tribas incognsiis constam , loco ad superficiem debeat explicari , ostendetur generaliter hac ratione . Sint X , di, a tres aequationis Incognitae. Refe-Fio. 6s. rant adhuc portiones AN rectae alicuius valores omnes incognita: κ. Et cuique earum,
156쪽
ΕLEMENTA. Ivi eam v, quam et infinitis adhuc valoribus corIrespondebit.
Ductis igitur per singula puncta N parallelis NX , capiantur super iis portiones NM,
quae reserant infinitos valores , quibus Inc
gnita di ipsis AN correspondet. Et quoniam
euique istarum NM correspondet a determinato valore,erigantur ex punctis M parallelae Mo , quae reserant valores illos, & datum cum subjecto plano angulum constituant. Et superficies , ad quam terminantur omnia puncta G, locus erit quaestuS. Sed hic quoque notare oportet, quod quum smpliciter quaestio est de explicanda aequatione , tunc ad libitum potest assumi, tam angulus AN M, quam angulu1, quem rectae Mo eum subjecto plano constituunt.Vemrum , si una cum sequatione satisfaciendum sit quoque problemati, unde ea fluxit aequatio;
tunc uterque anguluS talis oportet magnitudinis capiatur, qualem ipsum problema requirit . Nec item hoc loco reticebimus, quod in priore casu licebit quandoque angulum squem rectae Mo cum subjecto plano consti- tirunt, indefinite parvum assumere , ct in eoisdem illo plano ducere rectas Mo i nimirum , quum dando eis positionem istam , ad unam , eandemque lineam omnes , quotquot fuerint, terminantur. Sed non ideo locus dicendus erit ad lineam , ut qui per extremitates alias M proprie constituetur.
157쪽
Is 4 SECTIO NuM CONICARUM ' ii st . Initis, debeat loco ad solidιm explicari . Sine Fio οὐ enim x ,γ , g, u quatuor aequationis incogni-' tae . Reserant portiones AN rectae alicuius AB valores omnes incognitae x . Tum, ductis parallelis N x,designent portiones NM harum parallelatum infinitos valores , quibus incorignitas ipsis AN correspondet. Et cuique istarum NM tam a , quam u infinitis adhuc valoribus correspondebit. Erigantur ergo ex punctis M parallelae M Z,quae datum cum subjecto plano angulum constituant. Et capiantur super iis portiones MO , quae referant infinitos valores , quibus incognita κ ipsis AN correspondet. Quumque demum cuique istarum MO coirespondeat u determinato valore ἔ ducantur ex punctis o parallelae aliae OR , quae reserant valores illos datumque angulum constituant cum
ipsis MO. Et solidum, inde ortum, illud erit, quod quaeritur. Sed notetur hie velim , huiusmodi solidum tunc tantum usui nobis esse , quum re
diae OR ad unam eandemque superficiem omnes terminantqr . Et ratio est , quia in solo isto casu , ope eius solidi, propositae aequationi satisfieri potest . Nec tamen idcirco locus dicendus erit ad superficiem , ut qui non iam per puncta R , sed per extremitates alias xii O proprie constituetur. c.Mι , is XII. Hinc, ut plenius natura loci geo Hr- metrici intelligatur , sciendum est ulterius ,.M. quod, sicuti sit loeus loco geometrico , quum
U aequatio , ex problemate orta , duas , aut Plu
res continet incognitas, sic ipsius laci e situtio
158쪽
Ε L E M E N T A. I rtio talis ese debeat, ut per quodlibet ejus pauiserum omnes simul aequationis incogsitae deteria
Nec obstiira est hujus reἰ ratio . Debet siquidem unoquoque loci putidio fieri salix
aequationi, ex problemate ortae . Plane vero , quum aequatio pluribus constat incognitis , non aliter ei fiet satis, quam determinando simul singulas incognitas , quae in illa continentur . Quare omnino necesse est , ut per
quodlibet loci punctum omnes aequationis incognitae simul definiantur. Id quum ita sit, facile modo erit intelli- pio. , ingere , cui in loco ad solidum rectae OR d heant ad unam, eandemque superficiem omnes terminari, quo possit nobis usui esset nimirum, i quia dumtaxat in hoc casu quodlibet Ioci punctum potis est, desinite simul omnes aequaritionis incognitas . Et quoniam hunc essed tuin praestant puncta O ; hinc etiam est , ut per hujusmodi puncta proprie locus constituatur.
Ob eandem autem rationem , quum in Fici.6s. Ioco ad superficiem rectae Mo ad unam , ean demque lineam omnes tPrminantur, constituetur locus per puncta M ; quia ista puncta
sumi debent, ut omnes aequationis incognitae simul determinentur. Atque ita quoque,quum FLo 6q in loco ad lineam rectae N M ad unum , idem. que punctum omnes terminantur , constia
tuent locum puncta N ; quia hIs mediantibus utraque aequationis incognita simul definitur. XIII. Jam,ut demonstrationes illae stenera-idi casibus I peesalibus possint applicari, non 'aliud requiritur, quam, ut in solutione cujus- ' risque
159쪽
i τε SECTIONUM CONICARUM tνες -- que problematis indeterminati pro incognitis: isti '' capiantur rectae illae, quae extremitatibus suis
sibi mutuo occurrunt , ct occursu illo datum angulum constituunt. Nam in tradita locorum genesi non aliae, quam istae conditiones , exiguntur. Fio.6 . In plano aliquo detur, tum positione,cum 68. magnitudine recta AB. Et extra eam oporteat invenire punctum aliquod . ita ut rectae . quae exinde inclinantur ad terminos ipsius AB, reis Et um angulum comprehendant . In hoc proa,
hiemate duo casus sunt distinguendi.Vel enim inveniendum est punctum in eodem illo plano, in quo data est redia AB; vel extra planum illud tale punctum oportet invenire. FIO 67 In priore casu sit M punctum quaestum, ex quo demittatur super AB perpendicularis MN. Tum capiantur pro incognitis ipsae AN, MN , quae extremitatibus suis sibi mutuo o
currunt, & occursu illo rectum angulum coninstituunt. Quem in finem, posita AB ra a. fiat AN Quumque , ob angulum rectum AMB , quadratum ex MN sit aequale rectangulo AN B, erit II m ax - πη propositi problematis aequatio. FIG. 68. In secundo casu st o punctum , quod quaeritur,ex quo demissa ad planum subiectum perpendicularis OM , ducatur ex puncto Msuper AB perpendicularis alia MN . Et posita adhuc AB - a, fiat AN m x, MN γε& MΟ - Σ . Jungatur postea ON . Et quoniam eidem ON quadrato aequale est , tam re diangulum AN B , quam summa quadrato
rum MN, MO, erunt quadrata duo MN, Mo
160쪽
ELEMENTA. I ς' aequalia rectangulo AN B: S propterea pro-hlematis aequatio erit D ' Σκ ax - xx. In utroque autem casu , perspicuum est, problema esse inde terminatum , ct locum fieri loco geometrico . Sed ex tradita locorum genesi liquet etiam , locum esse ad lineam, quum aequatio problematis est Ity m ax xx , esse vero ad superficiem , quuin eadem aequatio est v l eta six - xx . Nam illa quidem duas continet incognitas, in ista vero tres incognitae comprehenduntur.
XIV. Caeterum , haud quidem putandum xiv. est , sica gemetrica expositis rationibus componi debere ; fedfiet eorum compositio, desiniendo limites, quibus loca ipsa terminantur. Ita in
allato problemate , quum aequatio est Παα ax νειὸ xx , verum quidem est , quod capiendo su- 7. per AB valores omnes ineognitar x , & applitando eis ad angulos rectos valores correis spondentes alterius incognitae I, oriatur locus ad lineam I nihilo tamen minuS ejus compositio fiet, describendo lineam , ad quam ipse loeus nos manu ducit.
Simili ratione, quum eiusdem problema tis aequatio est v ' Egim ax ε-- xx , etsi oriatur locus ad superficiem , capiendo super AB valores omnes incognitae x , applicando eis ad rectos angulos valores correspondentes incognitae ν , tumque demum erigendo normaliter ad subjectum planum valores tertiae incognitae Et attamen loci composi tio fiet proprie, deseribendo superficiem, per quam locus ipso