장음표시 사용
161쪽
iet SECTIONUM CONICA Ru Mpraesupponit. Primum est cognitio proprieta istum, quae lineis, superficiebus, ct solidis comis petunt . Alterum est ratio describendi lineas . superficies . Sc solida. Horum utrumque ad illam pertinet Geometriae partem,quae Esimentaris appellatur. Et ea, quae de compositione i coram edisserit, nonnisi post partem illam elementarem est addiscenda: quae tamen eo tendit , ut ope ejus partem Geometriae nobilio.
rem , quae de solutione problematum agit, tandem assequi liceat Tres istas Geometriae partes , tum item alterius ad alteram subordinationem satis indieat Pappus initio libri septimi suarum coli ctionum. Ibi enim scribens ad Filium Herm dorum: Deus, inquit, qui vocatur resolutar, ut summatim dicam , propria quadam es materia, ps communiam Eumentorum constitutionem, iis parata , qui in geometricis sibi comparare volunt vim,sic facultatem inveniendi problemata, quae ipsis proponantur; atque hujus tastamin modo utilitatis gratia inventa est.
XV. Nolo autem hoc loco retIcere,
quod calculi litteratis ope facile sit quidem in
quirere, nam olicui siseae, superficiei, aut sol do data quadam proprietas competat. Si enim,
adhibita ea proprietate, talis inveniatur aequatio, ut ab utraque parte eadem quantitaS Occurrat ; indicio erit, illiusmodi proprietatem revera ei competere . Quod si autem secus contigerit, nec item illa proprietas ad eam lineam, superficiem , aut solidum poterit pertinere .
Sit AB circuli alicuius diameter, cujus
162쪽
centrum sit punctum C . Et quaeratur , num demissa super AB ex aliquo circumserentiae puncto M perpendiculari MN , sit MN. quadratum aequale rectangulo ANs . Ponatur CA a , CN in x , S MN MI . Quumque hac ratione sat AN m a --x,& BN a ' x;
erit rectangulum AN B in ca -- xx . Quare posito , quod MN quadratum sit aequale rectangulo AN B, eritv zzzaa xx. Jam, propter circulum duae CA, C M inter se sunt aequales . Quare , sicuti CM quadratum est aequale duobus quadratis CN.NM ; ita iisdem quadratis aequale quoque erit quadratum ex CA . Hinc erit aa m xx fv.
Et, posito loco γ' valore ejuS aa - xx, erit quoque fa m xx f aa - xx, hoc est aa aa. Unde , quum ab utraque aequationiS parte eadem quantitas reperiatur ν consequens est , ut
MN quadratum sit revera aequale rectangulo AN B. Hinc notetur hoe loco velim, quod si circa aliquam Iineam , superficiem , aut solidum proponatur problema aliquod , ct in ejus
resolutione talis inveniatur aequatio, ut ab utraque parte eadem quantitaS occurrat, tunc
illud non erit problema , sed theorema . Nam, ob illiusmodi aequationem , id quod quaeritur in Problemate , verum erit relate ad quodlibet punctum ejus lineae, superficiςl, aut solidi; adeoque velut proprietas ipsius universalis debet haberi.
163쪽
De diviislane locorum ad lineam, ου quomodo ea construi possint.
I. I. Uamquam locorum geometricos rum tria genera distinguantur, pro ν tua. & eorum alia vocentur ad li-2 neam , alia ad superficiem , ct alia demum aduo solidum; in constructione tamen problemaia e tum determinatorum non alia loca a Geomeis tris adhibentur, quam quae prioris sunt gene xIs , & loca ad lineam dicuntur . Unde etiam , quum simpliciter , ct absolute loca vocant geometrica, non alia veniunt apud ipsos, quam quae Iinearum longitudinibus termiis
Hujusmodi autem loca non omnia ejusdem speciei sunt , sed pro qualitate linearum, quas pro suis terminis habent, in varias clayes distingui posJust. Dantur enim loca nonnulisla , quae lineis rectis terminantur. Sed dantur etiam loca alia , quae lineas curvas , velut suos terminoS, agnoscunt. Quumque lineae curvae possint esse infinitarum specierum ; infinita etiam erit diversitas locorum , quae lineis curvis circumscribuntur. Hinc , ut rectius intelligatur, qua rati ne loca geometrica, lineis terminata, in certas
classes distingui possint 3 operae pretium est Prius
164쪽
ELEMENTA. Is IPrius ostendere, quo pacto recentiores Geometrae naturam cujuscumque Iliaeae definiunt. S quomodo omnem illarum molem in varia genera dispescunt. Nam profecto ex variis generibus linearum, qitibus loca terminantur, ut, ut ipsa quoque loca in varior ordines diis stingui queant. II. Itaque recentiores Geometrae non alia Naratιone naturam cujusque lineae de iant, quam reserendo ejus puncta Omnia ad puncta alia rectae alicujus positione datae,& invenien- :do aequationem , quae relationem illam n Ohis Diu in i
ostendat. Ut, si AM sit linea, de qua agitur,ex δ' singulis ejus punctis ducunt ad rectam ali. - β' quam positione datam AB parallelas totidem MN , & definiunt naturam illius per relatiO- qu*n habet quaelibet earum parallelarum MN ad portionem correspondentem AN. Supponatur namque , si placet, linea illa
celeripta per intersectionem duarum regularum AX , BZ , qua: ita quidem revolvantur circa puncta A, S B, ut erecta super AB perpendiculari AC , sit angulus ABZ perpetuo aequalis angulo CAX . Et fingamus quoque, rectas MN, quae ordinatae dicuntur, parallelas esse ipsi AC ; adeoque perpendiculares super portionibus AN , quae vocantur abscissae. Quia igitur angulus ABZ aequalis est angulo CAX: apposito communi B A X,erunt duo anguli ABZ , BAX aequales toti angulo BAC. Sed angulus B AC est rectus, ex hypothesi . Quare etiam uni recto aequales urunt duo anguli ABZ, BAX: Sc propterea tertius angulus AMB etiam rectus erit. Unde, quum Nom.II. L. Ox
165쪽
xε, SECTIONUM CONICARUM ex angulo recto M demissa sit ad hypothenusam AB perpendicularis MN;erit MN quadratum aequale rectangulo AN B. Hinc, quemadmodum abunde liquet, lineam AM esse circuli circumferentiam , diametrum habentem rectam AB ; ita facile quoiaque erit, aequationem invenire, quae exprimat nobis relationem inter unamquamque ordinatam MN , S abscissam correspondentemAN . Ponatur enim AB in a , AN x . &MN - ν . Erit igitur reliqua portio BN
a -- x. Et quoniam MN quadratum est aequa Ie rectangulo AN B I erit I ax - aeinnuatio quaesita . m. LII. Sed nolo hic flentio reticere , quod huiusmodi aquatio , exprimens relationem inis
L possit inveniri . Sit enim quadratum ABCD . Et interea ac latus ejus AD sertur aeis Viti no quabiliter , S sibi ipsi aequid istanter versus '' BC , ,evolvatur motu etiam aequabili circa nunctum B latus AB, t adeo , ut in fine motus utrumque latus AD , AB reperiatur eodem tempore super B C. Quum si e duo illa latera seruntur, per spicuum est, continua eorum intersectione , deseri hi lineam curvam A ME . Sed, dcinissis ex singulis ejus punctis rectis MN, perpendicularibus super AB , frustra quaeretur aequatio.exprimens relationem inter unamquamque ipIarum MN , & portionem corret pondenteni AN quum nulla adsit in descripta curva proprietas , quae ad inveniendam aequationem illam nos manu ducere possit.
166쪽
ELEMENTA. Descriptae siquidem curvae natura , ut ex
ipsa ejus genesi liquet, haec est , quod producta B M usque donec quadrantem AC secet ino, sit siemper , ut A N ad B N, ita AO ad Co. Quare , positis AB a , AN - x. & MN
' , determinanda esset ope istarum quantitatum ratio arcuum AO , CΟ , ut optata odiis
quatio posset haberi. Unde . quum ratio ista nequeat ullo pacto definiri, nec item optatam aequationem invenire licebit.
IV. Id quum ita sit, duo passim liueartim genero disinguuntur , ct ex iis aliae dicuntur
geometrica , alig vero mechanica . Prioris generis lineae sunt illae , in quibus relatio ordi. natarum ad abscissas correspondentes aequatione aliqua potest definiri. Per contrarium vero lineae alterius generis sunt eae , in quihus eadem illa relatio nulla potest aequationudesignari. Hane linearum distinctionem in geometrIeas , S mechanicas primuS Omnium protulit Cartesus. Nec alias in Geometriam admittendas esse censuit, quam quae geometricarum nomen apud ipsum sortitae sunt; quia eae tantum sub certam , determinatamque cadunt
mensuram . Unde reliquas vocavit mecha uim
cas; quia ad mechanicam potius ea1 pertinere judicavit.. Et sane , quin lineae , mechanicae dictae valde' disserant ab iis . quae passini geometri cxnuncupantur , non est dubitandum . Sed non ideo illiusmodi curvae a Geometria sunt excludendae,quemadmodum voluit Cartesius,quandoquidem,si mente concipiantur descriptae ,h L a heri
167쪽
hebunt perinde, ac lineae ipse geometricae, constantes quasdam proprietateS,quae ad omnia linearum puncta se extendent. Hue adde , quod beneficio eius analysis, quae dicitur indefinite parvorum,etiam in lineis
mechanicis reperire licet aequationem , quae exprimat relationem ordinatarum ad abicissas correspondentes . Nec aliud sane discriminis oecurrit . quam quod in lis huiusmodi aequatio ad infinitas semper dimensiones ascendat rquo iactum , ut a nonnullis lineae transcenis dentes dicerentur. v V. Quemadmodum autem naturam cu- usque lineae definiunt recentiores Geometrae era per aequationem, exprimentem relationem orindinatarum ad abscissas correspondentes ue si est ' , ων omnem linearum molem in certa genera disin- ' ' gaunt , fecundum numerum dimensionum , os quas earum aequationes ascenduxi. Et Cartesius quidem genera linearum, non unica, sed duabus dimensionibus a se mutuo distinxit. Vocavit enim lineas primi generis , quarum aequationes quadratum , aut re Etangulum duarum incognitarum non eκα cedunt 3 vocavit lineas secundi generis , quarum natura aequationibus , ad tres , vel qua tuor dimensiones ascendentibus , definitur ;vocavit lineas tertii generis , quarum aequationes ad quinque , vel sex dimensiones assii r- sunt; atque ita deincepS. Ut genera linearum hunc in modum a sum utuo distingueret, non aliud eum movit , quam quia, sicuti aequationes quatuor dimen sonum,per regulam a Bombellio traditam, nis
168쪽
ELEMENTA. t ες eit; negotio deprimuntur ad alias , quae tres
tantum continent dimensiones ; sic etiam reis
gula possit inveniri, per quam aequationes sex dimensionum ad alias quinque, aequationes octo dimensionum ad alias septem , atque ita porto, deprimi queant. Interim regula ista non adhuc Algebrae cultoribus innotuit. Et deinde, si eam reperiis re liceret, ut iam olim acutissime Fermatius adnotavit, nec etiam usui nobis esse posset ad deprimendas aequationes,quae duaa incogia laseomprehendunt; cujusmodi sunt illae , prequas linearum natura definitur. Quare conis sequens est , ut nullo quidem solido fundamento Cartesius geneta linearum duabus diis mensionibus a se mutuo distinxerit.
VI. Rectius igitur alii distinguuxt K-nearum ordines a se invicem unica tantum dimensione . Quem in finem vocant lineas primi ordinis, quod aequationibus timplicibus , apunius dimensionis definiuntur; vocant lineas secundi ordinis , quarum aequationes ad duas dimensiones ascendunt; vocant lineas tertii ordinis , quarum aequationes ad tres dimenissiones assurgunt ; atque ita deinceps. Patet autem hac ratione , dicendas esse lineas ordinis infinites mi , quis aequationibus. ad infinitas dimensiones ascendentihus, definiuntur. Et quoniam hujusmodi sunt lineae illae , quas Cartesius mechanicas appellavit Iliquet, ordinem harum linearum omnes alios sub se comprehendere , nec ideo a Geometria exulem esse debere , quemadmodum Carteissius iudicavit.
169쪽
168 SECTIO NuM CONICARUM Jam in lineis ordinis primi nulla curva,
sed sola recta continetur. Unde, si curvarum genera sint distinguenda , erunt curvae primi generis, quarum aequationeS quadratum , vel tectangulum duarum incognitarum non excedunt ; erunt curvae secundi generiS , quae aequationibus definiunt ut trium dimensionum; erunt curvae tertii generis , quarum aequationes ad quatuor dimensiones ascendunt; atque ita deinceps.
Eadem linea tum distinctio repeti quoque potest a numero punctorum , in quibus a recta secari possunt. Nam generaliter aequa. tio cuiusque linere ad tot dimensiones ascenis dit, quot sunt puncta, in qu is tecta eam secare potest. Et ideo erit linea ordinis primi, quam ructa secat in unico puncto ; linea ordinis secundi, cui recta occurrit in duobus punctis ; linea ordinis tertii, quae in tribus punctis a recta secari potest; atque ita de aliis. vir. VII. Linearum Ordinibus constitutis, Disicio modo er/t, ct ipsa loca geometrica, quae Iit,eis areis terminantur . in certa genera dissipescere. Erunt enim loca primi generis, quae lineas me AE N primi ordinis pro suis terminis habent, erunt Φ toea secundi generis , quae terminantur lineis ordinis secundi; erunt loca tertii generis,quae agnoscunt ut suos terminos lineas ordinis tertii; atque ita deinceps. Quoniam autem ad primum ordinem linearum nulla curva , sed sola recta revocatur; perspicuum est , loca primi genetis, non aliis lineis , quam rectis terminari. Quumque sciscundum ordinem linearum constituant coni
170쪽
ELEMENTA. 16 semones, & praeter eas nulla alia curva ad eum ordinem reseratur , perspicuum est quoque , loca secundi generis, non aliis lineis , quam coni sectionibus, circumscribi. Inter sectiones vero coni ponendus est etiam circulus ; ut qui, ex superius ostensis , velut species quaedam ellipsis debet haberi. Unde locorum secundi generis alia erunt ad parabolam , alia ad ellipsim , alia ad circulum, S alia demum ad hyperbolam .Quumque hyperbola considerari possit, vel relate ad aliquam eius diametrum, vel iii ordine ad suas asymptotoa ; duae hinc locorum ad hyperbo- Iam species commvuiter a Geometris distin
VIII. Et quidem , quod recta βla constι-
ruat primam ordinem linearum , solisquς odeo ,-. iis retris loca primi geueris termiserasr , ncile
erit ostendere. AEquatio enim,quae duaI inco ai, - Φ.gnitas continens , ad unam tantum dimensionem ascendit, potest esse quadruplicis sor . vel scilicet x M ay a c. vel x l b - υ : c, vel
harum aequationum posse per rectam solam explicari. sit itaque primo x --c. Due tur Fici. I. cta quaevis AB, per cuius portiones ΑN designentur valores incognitae κ. Capiatur in AB potito AD - a . Et constituto ad punctum
D angulo quovis ADE, fiat DE c. Jungantur deinde puncta A , & Ε per rectam AE X . Et actis tectis NM, ipsi DE parallelis, termiuatisque ad rectam AE K , dabunt litae