Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

171쪽

as I SECTIO NuM EDNIcA uuvlliores correspondentes alterius incognitae'. Ponatur enim unaquae lite portio AN αα x,& quaelibet rectarum N M - ν. Jamque, Ob triangula aequia ligula A DE , AN M , erit. ut AD ad DE . ita AN ad NM . Quare , substituendo syna hola harum rectarum, erit, ut a ad c , ita x ad I i S propterea , quum sit x odi: c; erit redia AEX linea, ad quam refertur

Sed notetur hie velIm , quod si recta AE X extendatur ad partem oppositam versus Z, etiam per ipsam AZ explicari possit sequatio x in v t c . Nam , etsi in i sto casu sit A N:α - x, ct NM αα ἡ-3 ; adeoque reperiatur sequati O - x - - ο : c e translatis tamen terminis ad partes contrarias , rursus hahehitur ut antea X in or c.

s....isti, IX. Sit secundo x ' θ - c. Designen. U tur quoque per portiones AN rectae alicujus FaG, 78- valores incognitae x . Et, sumpta ad pla gam oppositam portione AC - β, abscindatur ex tota CB portio alia CD m a . Consti tuatur deinde ad punctum D angulus quivis CDE, & fiat DΕ - c. Jungantur postea Puncta C . S E per rectam C EX . Et actis rectis NM, ipsi DE parallelis , terminatisque ad rectam C EX , dabunt istae valores correspon dentes alterius incognitae P. Ponatur enim unaquaeque portio AN

x , & quaelibet rectarum NM Emy. Erit igitur quaevis ipsarum CN in x ' b. Quumque triangula CDE , CNM sint aequiangula erit, ut CD ad DE , ita CN ad NM . Quare,

subrogatis symboli1 harum rectarum, erit, ut G ad

172쪽

xf θ -- a': c; erit recta CEX linea, ad quam refertur aequatio x ' θ - adii c. Sed hic quoque notatu dignum exist 4mo, quod ducta per punctum A tecta AF, ipsi DΕ parallela , explicari possit aequatio x ' b - a': c non solum per rectae CEX pon. tionem FR, verum etiam per portionem alteram CF. Et si enim in isto casu sit AN - κῆ manet tamen, tam NM 2m v,quam CN-κ' b . Quare , ob triangula aequiangula CDE, CNM, semper erit x ' b rata v et c. Quin imo , si recta CEX extendatur ad partem oppositam versus Z, etiam per ipsam CZexplicari poterit aequatio xlb M :c.Nam relate ad puncta ipsius CZ fiet AN - - κιNM --ν , ct CN x - δ . Unde ae

quatio erit - x - θ - - a': c: quae tamen,

translatis terminis ad partes oppositaS, evadet rursus ut antea x l Λ - ο q. c. X. Sit tertio x - ου - Ο : e . Reserant adhuc poetiones AN rectae AB valores omnes incognitae x. Capiatur super ea, tam Portio AC in b, quam portIo CD in a. Tum, constituto ad punctum D angulo quovis CDΕ , fiat DE in e . Jungantur Postva puri cta C, ct E per rectam CE X. Et ductis tectis NM , ipsi DE parallelis , terminatisque ad remetani CE X , dabunt istae valores correspon dentes alterius incognitae 3, Ponatur enim quae via potiri AN αα x. Sc quaelibet rectarum NM -'. Erit igitur unaquaeque ipsarum CN - α - δ . Et quoniam triangula CDE, CNM sunt aequiangula

173쪽

li ex SECTIONUM CONICA Rurali; erit, ut CD ad DE, ita CN ad N M . Qua..

re, substitutis symbolis harum rectarum, erit, ut a ad c , ita x - b ad F: proindeque , quum sit x. θ - Ο: c, erit recta CLX linea , ad quam refertur aequatio x - , - π r c. Nec silentio hoc loco praeteribimus a quod , si per punctum A ducatur recta AF. ipsi DE parallela, quae conveniat cum recta CEX, produm ad partem oppositam, in puncto F; aequatio x--b - ο:c explicari possit etiam per portionem CF. Et si enim in isto casu sit NM - - ν, quia tamen manet AN- x , fiet CN - θ - x. Unde aequatio eri eb ,- κ - - π ύ c e quae , translatis terminis ad partes contrarias,evadet x - , - π: c.

Quin imo , si ipsa CF extendatur ulterius versus Z, eadem aequatio x - b in vo cexplicari quoque poterit per portionem aliam indefinitam FZ . Nam relate ad puncta ipsius FZ, fiet AN - - x , NM- - γ, S CN- - κ ' b . Unde aequatio et it - x ' b -- ο .c : quae, per translationem terminorum ad partes oppositas , evadet rursus ut antea x - b in adi: C. xi. XI. Sit demum , --x in aνro . Designentur pariter valore1 incognitae x per por-Fio. 4. tiones AN rectae alicujus AB . Et, sumpta suis per AB portione AC in b , capiatur ad par tem oppositam portio alia CD in a . Construtuatur deinde ad punctum D angulus quivis CDE , & sat DΕ - e . Jungantur postea puncta C.&Ε per rectam CEX . Et ductis rectis NM , ipsi DE parallelis , terminatisque ad tectam CEX a dabunt istae valores corre

174쪽

ELEMENTA. I Isporulentes alterius incognita: ν.

Ponatur enim quaelibet portio AN -x, ct quaelibet rectarum NM uidi F. Erit igitur unaquaeque ipsarum C N - θ - x. Et quoniam triangula CDΕ . CNM sunt aequiangula; erit, ut CD ad DE , ita CN ad N M. Quare , substituendo symbola harum rectarum, erit, ut a ad e, ita , - x ad 3 : & propterea , quia in sit b - x , adi i e , erit recta C EX Iinea, ad quam refertur aequatio b - κ - .c. Hic etiam notare oportet, quod, ducta

per punctum A tecta AF , ipsi DE parallela,

explicari possit aequatio b-- κ metv οῦ c , non solum per rectae CEX portionem finitam CF, verum etiam per portionem aliam indefinitam FX. Etsi enim in isto casu sit AN -x, manet tamen , tam NM -di, quam CN b- κ;adeoque,Ob triangula aequiangula CDE, CN M, semper erit , - x - ο ζ c. Quin imo , si recta CEX extendatur ad partem oppositam versus Z, etiam per ipsani CZ explicari poterit aequatio b --κ-m. c. Nam relate ad puncta ipsius CZ, etsi fiae

NM - -F, quia tamen manet AN in xierit CN era x - b. Unde aequatio erit x - ὼ --. v ἰ ct quae , per transpositionem terminorum ad partes oppositas,evadet rursus ut autea b - α - v et c.

XII. Atque hine, aliud agentes , iam methodam aperuimus,coasruexdi loca omnia,qua funt ad lineam rectam. AEquatio enim localis, quae constriti debet, omnino necesse est , ut formam habeat alicujus ex quatuor Praece dentibus aequationibus. Quare, ea compert3, satis

175쪽

satis erit. illas inter se mutuo conserte, ad mutua ista comparatione determinare valoiates quantitatum , quibus locus definitur . Ut, si in resolutione alicujus problematis

inde terminati inventa fuerit aeqinatio ex f FB ; divisis terminis omnibus per i , fiet ea x F: e B g; adeoque erit ejusdem formae

cum secunda aequatione x f b in o i c. Hinc, comparatis inter se mutuo terminis ipsarum, FaG. hahehitur b - ν: g, S a: c f. xt adeo nempe , ut assumpta a in f, fiet c - g. Unde conri

Similiter, si aequat ἰo , orta ex resolutione alicujus problematis indeterminati, meis rit 1x-gem Ui; dividendo terminos omnes per st. evadet ea x-ggm i Fum go:ν , a de

que erit ejusdem formae cum tertia aequatione x - θ - adit c . Unde, comparando terminos unius cum terminis alterius , habebitur A

Atque ita quoque , si aequatio , nata ex resolutione aliculus problematis indeterminati, fuer Ith - mx - ως divisis terminis omisnibus per m, fiet illa D: m-x ris It proindeque erit ejusdem formae cum quarta aequati ne b -. x adi: c . Quare , comparatis inter se mutuo terminis iplarum , habebitur θ Σαδε t m , ct a : c - I , sive etiam a in c. Unde

construetur locus quaesitus, si posita AC mu Fio. 7q .n: m , captatue CD cuiusvis longitudinis , Scsat

176쪽

fiat DE ipsi CD aequalis .

XIII. Quoniam vero molestum est , om- xui. nium quatuor formularum constructiones

memoria retinere poterit unica tantummodo ..,,in ...

formula totam negotium peragi . Licebit autem hunc in finem eligere,vel formulam Prio. ad e se rem , quae est omnium simplicissima , vel ali- β ρηε m. quam trium posteriorum , ad quas casuS compositi reducuntur.

Quum eligitur formula prior x v:c, in id maxime incumbendum, ut substitutionis ope ad eam reducatur localis aequatio proposiara . Nam, reductione ista peracta , facile erit , quaesitum locum construere. Ita, si localis aequalis sitis ' D in D, divisis terminis omni bus per f, erit glx gy f. Et ponendog l x - et, erit α - D : I aequatio reducta. Reserant modo portiones AN rectae' AB valores incognitae x . Et quoniam habetur e ' π - et, capiendo ad partem oppositam AC ing , designabunt portiones CN valores incognitar E. Quare,si ex CB abscindatur portatio CD - g , ct constituto angulo quovis

quae si tuS. Eadem ratione , si localis aequatio sit fla. 1 go ς dividendo terminos omnes pers, erit g-πα D: f Sc ponendo g --Σιeritam grymaequatio reduhta. Hinc, siquidem super AB capiatur AC in g, S designen- ις 7 'tur per portiones AN istius AC valores in is cognitae κ , fiet unaquaeque reliquarum Por tionum CN Og - x; adeoque ipsae CN designabunt valores incognitae . Unde , si ex CAs

177쪽

1ν4 SECTIO NuM CONICARUM CA, producta si opus, abscindatur portio CD re G& constituto angulo quovis CDE, fiat UE - f ς erit recta C EX locus optatus XI U. Quod si autem eligi veIit aliqua

trium posteriorum formularum , veluti secunis da x ' θ - ο : c , sive etiam x ' h - a': c;m o I oportebit . comparationis ope , demnire quantitates , qua locum determinant. Et siquidem omnes inveniuntur postivae,danda est rectis , quas reserunt, illa eadem positio. quam in constructione formulae reperiuntur habere. Sed, si earum aliqua prodit negativa tunc recta , quam exhibet, capienda est ad plagam oppositam. Jam quantitates, quae Iocum determinant, sunt a, b, c. Verum, instituta compara tione, dumtaxat ipbus , valor innotescit. Et quantum ad alias duas a , S c , nonnisi ratio, quam habent inter se , cognita fiet. Hinc valor unius ex iis sumi poterit ad libitum . Et

tunc per cognitam rationem, quam habent inister se, etiam valor alterius notus evadet. Praeis stat autem, utcumque assumere valorem ipsius c , quem tamen positivum semper esse oportebit .

lores rectarum AC , CD comperti sint negati- vi , ducendae sunt eae ad plagas oppositast proindeque quaesiti loci constructio peragenis da erit , ut in quarta formula, ad quam Pro posita aequatio proprie reducitur.

178쪽

ELEMENTA. I ς Sit etiam x my : n m o aequatio localis proposita . Comparatione instituta, habebitur, ira o , ct a: c zzz m et ut proindeque, assumptac ra n , fiet a m m . Quum ergo valor rectae

AC compertus sit nullus , evanescet ipsa AC, cadetque punctum C super punctum A . Quare constructur quaesitus locus, ut in prima formula: nimirum, capiendo super AB portionem AD m m , constituendo utcunque anguinium ADE , faciendo DE m n, ct conjungenis do demum puncta A, S Ε per rectum A EX. XU. Sed nolo hic silentio reticere, quod xv. lacus ad lineam reHam exprimi quoque possit et

per aquationem , qua unicam tantum incogni- a. Itia

tam contineat . Jam enim generaliS sormula, . .n T, nulla habita signorum , quibus termini assiciuntur , ratione, est x ' θ - ay : c o . Pro-RSto autem in hujusmodi aequatione ratio. quam haset a ad c, quemadmodum potest esse aequali tatis, ita nihil etiam vetat, ut sit vel infinite magna , Vel infinite parva. Sit itaque ptimo ratio illa infinite magna : adeo nempe, ut existente c quantitate finita ,sit vicissim infinita quantitas a Quia igi- FIG. 2.tur in hoc casu pundium C abire debet m infi- 7s. nitum; fiet tecta CEX parallela ipsi AB. Unde quaelibet parallelarum NM aequalis erit rectae DE : S propterea , iisdem ut supra manentiabus , loci aequatio erit 'tra c. Sit secundo eadem illa ratio infinite paris va,adeo nempe, ut existente a quantitate finita, sit per contrarium c quantitas infinita . Et quoniam in hoc alio casu abire debet in infi-Fici. r.

179쪽

1γε SECTIONUM CONICARUM si DE. Quare, sicuti in recta CEX sunt omnia puncta M,ita super eadem CEX cadent parallelae omnes MN . Hinc quaelibet portionum AN aequalis siet ipsi AC : proindeque loci aeis

quatio erit κραδ.

Nec silentio hic praeteribimus, quod ubi ratio, quam habet a ad c , reperitur esse aequalitatis, tunc etiam portionea CNipsis NM F a. aequales fiant. Unde, si simpliciter quaestio sit de explicanda aequatione , valores incognitae γ exprimi poterunt,non modo per redias NM. verum etiam per portiones ipsas CN , quae ad punctum C omnes terminantur. XVI. Quemadmodum autem , constru.ctione locorum ad lineam rectam,ahunde nunc . tis . , rectam solam constituere primum oris dinem linearum , solisque adeo rectis loca pri-

mi generis terminari; ita etiam , construendo εννmisara . loca , quae Conicis sectionibus terminantur,

patebit .solor coni sectiones fecundum linea.

rum ordinem constituere, nec aliis , quam conisectionibus, secandi generis loca definiri.

Constructionem horum locorum sequentibus capitibus ostendemus ; S pro ea quoque eandem illam methodum usurpabimus , qua mediante loca primi generis construuntur. Nimirum formulam unicam eligemus , quae sit, vel omnium smplicissima, vel omnium maxime composita ἴ Sc Ope eius formulae cujuscumque propositae aequationis constructionem exhibebimus. Sed hic quoque notare oportet, quod ubi eligitur formula omnium simplicissima; tunc praecipuum constructionis artificium in

180쪽

ELEMENTA. Iuveo situm sit , ut substitutionis ope ad eam reducatur localis aequatio Proposita . Qii oti eccumque vero adhibetur formula omnium maxime composita I tunc labor omnis co se veristet, ut comparationis ope definiantur quantitatς. , quae locum determinant.

C A P. III.

Qua ratione loca ad para Iolam U/ ui possint, osenditur.

i. Ia Iximus praecedenti capite , loca L

O omnia construi posse , adhibita

Iormula , quae casum contineat, vel omnium se via

simplicissimum , vel omnium maxime compositum. Jam in parabola casus fimplicissimus habetur, quum ejus puncta omnia ad aliquam intar diametrum referuntur per rectas , quae t diametri illius ordinatae. Sit igitur AB aliqua parabolae diameter, Fro.' .seque etiam AD, tum parameter dus diametri , cum recta , cui omnes eiusdem diametri ordinatae sunt parallelae. Capiatur In parabola punctum aliquod M , ex quo demittatur ad diametrum AB recta MN , ipsi AD parallela . Tum ponatur AN x, MN γ, SAD a p. Et quoniam , ob parabolae naturam , MN quadratum est aequale rectangulo DAN erit ejusdeni parabolae localis aequatio χνιαρκ. Unde, semper ac aequatici aliqua subinde redi