장음표시 사용
181쪽
xνη SECTIONUM CONICARUM ei possit, ut ex una parte habeatur quadratum unius incognitae , ex altera vero rectangulum ex incognita alia ia datam quamvis quantitatem; tunc aequatio illa ad parabolam nos manuducet. Sed notetur hoc loco velim, aequationemn χα px haberi, non solum adhibitis ordinatis , quae cadunt ad diametri partem unam, verum etiam , quum adhibentur ordinatae illae, quae cadunt ad diametri partem oppositam .
Nam , etsi in hoc casu sit MN - - γ , quia tamen ejus quadratum est v , erit semper π px aequatio parabolae localis.11. II. Neque vero dissicile erit definire, qua-
mo enim , si in aequatione incognitae duae non μενε - - . reperiantur simul multiplicatae , reducetur ad eam formam talis aequatio , quotiescumque unius dumtaxat Incognitae quadratum in ea
Proponatur,exempli gratia, aequatio II f2Οm cx - ιb. Fiat' ''m et . Et quoniam
era u, ita ut sit ex ' aa - bb in cu. Et habebitur demum EE M cu , quae est ejusdem formae cum aequatione Parabolae adi pκ. Quod si autem in aequatione incognitae duae simul mult plicatae reperiantur; tunc, ut illiusmodi aequatio formam induat istius adim px , oportebit, ut in ea utriusque incognitae quadratum contineatur , sed ita tamen , ut trausis
182쪽
Ε L Ε M E N T A. translatis ad eandem aequationis partem , tum terminis, quadrata illa continentibus , cum termino, incognitarum productum includente , iidem simul quadratum persectum constituant. Ita , si aequatio fuerit 'v - 2ο - au fxx - cx f sa , ponendo' - a - x E. Urit IF - 2ο - 2xν ' xx ee-2ax a I. Qua te , ope substitutionis, set EZ - 2ax . aa
adeo , rursus ope substitutionis, erit eatra cu. III. Sed exemplis modo ostendamus , P u os.: .... ratione. per reductionem aquationis ad formam εα-νρον simplicissimam, sica ad parabolam construantur. Primo itaque proponatur construenda aequa in
cx, si ve etiam ga m c x f aa . Fiat quoque x ' ΗΣ - aa: ctae c. Et quoniam habetur ex ' aa - Fia. 78. cu I erit ae cu aequatio reducta. Ducatur eigo in subjedio plano recta quaevis AB , S per portiones eius AN designentur valores incognita: Quumque haheatur xlaa: c u ἔ capiendo ad partem oppositam AC me ea t c , fiet unaquaeque C Nem x f ao : c; adeoque designabunt portiones CN valores incognitae N. Sit porro CD recta . cui esse debent ae quid istantes ipsae NM , quae reserunt valores alterius incognitae F . Et quoniam in reduinctione habetur ν ' a tra E; capiatur super ea ad
183쪽
ctum E tedi EF, ipsi CB parallela, fiet quaeli, hei m α' ' ai, adeoque designahunt parti
nes ΕΟ valores incognitae a. Denique, quum aequatio reducta sit agicu, liquet, quae litae parabolae diametrum debeis
re esse rectam ipsam EF . Et quemadmodum ED est illa recta , cui parallelae esse debent omnes ejus diametri ordinatae ἔ . sic perspicuum est quoque , quod si super eadem ED capiatur por io EG in c , debeat esse portio ista Esi parameter illius diamctri . IV. IV. Ut autem ostendere possimus , para-Mam sam esse tineam,ad quam resertur aquaq
' ea per puniatum A necessario debeat transire. Fia. 78. Compleatur si quidem parallelogrammum AE, Et qlioniam ,ex constructione ,est AC, sive EH- aa r c, & ΕG ; c I erit rectangulum GEH aa, S consequenter aequale quadrato, quod
fit ex CE, sive AH . Quare omnino necessa est , ut parabola transeat per punctum A. ld quum ita sit, capiatur primo in porticine parabolae AX punctum aliquod M , ex quo demittatur ad diametrum EF ordinata Mo, quae ipsi AB occurrat in N . Jamque , positis AN in x, ct MN α γ ; erit ex constructione
Sed , propter parabolam , Mo quadratum est aequale rectangulo G ΕΟ . Quare erit υ ' aa ν' sta cx t aa, sive etiam 3y ' χυ cx.
Capiatur secundo in portione parabolae ΑΕ pu .ictum quodvis M. ex quo etiam demitiatatur ad diametrum Eb ordinata Mo , quae Producatur ad partem oppositam, usque donec Diuitigod by Cooste
184쪽
ELEMENTλοῦ 1 stnee Ipsi AC occurrat in N . Et quoniam in isto casu fit AN αα - x, A. MN- - ν δ ii venietur quoque CN, sive Eo xlaa: c, S MΟ - γ f a . Unde , ob parabolae naturam , rursus erit ut antea, l ao f astra cx1 aa , sive etiam II f sta' cx. Extendatur porro AH usque in Κ, & eapiatur in portione parabo ae ΑΚ punctum aliquod M , ex quo similiter demittatur ad diaiametrum EF ordinata MO . quae ipsi AC oc
- -- v - a. Interim,quia quadratum ex ν ν
,-ia est xv l ao ' sta; adhuc, per parabolae nais turam , habebitur ut prius , t aav m cx. Capiatur denique in portione parabola D Z punctum quodvis M . ex quo pariter deinmittatur ad diametrum EF ordinata Mo, quae ipsi AB oceu reat in N . Quumque in isto casu sat AN at, & MN --; erit CN , sive ΕΟ - x t aa: c, & Mo ηα'r a . Unde,
propter Parabolae naturam , semper er i ut a nis
185쪽
r x SECTIONUM CONICARUMDucatur itaque iii subjeEto plano recta quaevis AB, ex qua abscindatur portio AC- saa f hbj: e. J. mque, si designentur per portiones AN istius AC valores incognitae x, fiet unaquaeque reliquarum portionum CN amrsaa ' bb): e κ; adeoque ipsae CN designahunt valores ἰncognitae π.Sit deinde CD reeta, cui esse dehent aris quid istantes ipsis NM , quae valores reserunt alterius incognitae 3. Et quoniam in reductione habetur 3 -- a z, able indatur ex CD
portio CE in a I S ducta per punctum E recta EF. ipsi CA parallela , fiet quaelibet OMm P - a , atque adeo ipsae O M valores reserent incognitae e. Denique , quum aequatio reducta sit ga cs , liquet, quaestae parabolae diametrum debere esse rectam EF . Et quemadmodum diametri eius ordinatae debent esse parallelae
ipsi ED , sic perspicuum est quoque , quod si super eadem ΕD capiatur portio EG me, debeat esse portio ista EG parameter illius diametri .
Jam, quod per parabolam, subinde descriptam, fiat satis propositae aequationi v - 2 a m δὴ - cx,ostendetur prorsus ut supra. Tantum notabimus , parabolam istam non posse transire per punctum A . Nam , complet O parallelogrammo A Ε, invenietur rectangulum GEH majus quadrato, quod fit ex AH . Planci vero si abcsset ab aequatione terminus hb, tunc parabola per punctum A proculdubio transire deberet. VI. Proponatur tertio construenda aequa tio
186쪽
Ducatur jam in subiecto pIano recta Fio. So. quaevis AB , S per portiones ejus AN designentur valores incognitae x . Quumque haheatur x - bb:a u , abscindatur ex ea portio AC in bb:a . Et quoniam fit unaquaeq ie CN m x bb:a , designabunt portiones CNvalores incognitae π.Sit deinde CD recta , cui esse debent aeis quid istantes ipsis NM, quae Valores reserunt alterius incognitae s. Et quoniam in reductione habetur ν ' mm ntra e , capiatur super ea ad partem oppositam portio CE , quae si ad AC, ut est m ad n . Jamque, ducta di cta AEF, occurrente in O ipsis NM, fiet unaquaeque
hunt valores incognitae E. Quoniam autem rectae OM correspondent portionibus ipsius EF; utique debet esse EF diameter describendae parabolae . Verum portiones illae Eo tunc demum reperiuntur aequales ipsis CN , ubi aequales sunt duae ΑΕ, AC. Unde procul est , ut eaedem Eo des gnare queant valores incognitae a ; adeoque , etsi aequatio reducta sit ea in au , multum tamen abest, ut sit a parameter quaesitae parabolae. Itaque, ut parametrum describendae pa-
187쪽
i 4 sECTIO NuM CONICARUM rabolae definiamus , si AC ad Ag , ut est nads . Quumque hac ratione fiat quaelibet mitra:n ; debebit quaesita parameter ejusmodie se , ut ducta in su: n producat au . Quare , si ea vocetur p, erit psu: n in au , hoc est pn π a, ex quo insertur pHam. r. Abscindatur orgo ex En portio EG tiam. s. Et quemadmodum describendae parabo-Iae debet usse EF diameter , R ED recta , definiens positionem suarum ordinatarum ι ita oportebit. ut abscissa illa portio EG sit para- mutor eius diametri. Nec dissicile erit ostendere , quod per huiusmodi parabolam fiat satis propositae aequationi.
.... -- vii, Sit enim XΕΣ descripta parabola.
ι. A ..ι, quae ipsi AB Occurrat in id,& Κ.Capiatur pri- . mo iii portione HK pundium quodvis M , ex mans atαν. quo dc mittatur ad diametrum Ep ordinata
que CN si ad Eo , ut est AC ad Ag , sue
etiam, ut est x ad s; crit ΕΟ - sκ:n. .sbb:ua. sed, propter parabolam , MO quadratum est aequale rectangulo G ΕΟ . Quare erit, famwn mmis Inn - ax - M. Capiatur secundo in portione ΕΗ , vel . Ex punctum quod vis M . ex quo etiam deinmittatur ad diametrum Ep ordinata Mo. quae producatur ad partem oppositam , usque is nec ipsi AH occurrat in N Et quoniam in isto casu fit AN x , & MN - , di; invenietur quoque CN tra x - h, a,S MΟ - γ mx:π.Quumque adhuc fiat EO rx:n-ειθὼ t naῖ h
188쪽
Capiatur denique in portione parabolae EZ punctum aliquod M , ex quo similiter deinmittatur ad diametrum EF ordinata uo, quae ipsi AB oecurrat in N . Et quamquam in hoc casu habeatur quoque A Ninx, ct MN -- ντ
cta duo H . At Κ . in quibus ipsi AH occurrit descripta parabola . Quum enim sub lis punctis evanescere dc beat valor incognitae 3; satis erit,ex ipsa aequatione delere terminos illos,in quibus incognita a reperitur. Et quoniam, deletis hu)usmodi terminis , aequatio evadit mmxx: nn m ax ,- h, , dabunt radices duae
huiuS aequationis valores ipsarum AH . AΚ. Fieri autem potest , ut puncta duo H,&Κ coeant in unum, S ipsa AH parabolae tangens evadat: nimirum, quum habetur amauem: π; quandoquidem In hoc casu radices duae aequationis m mxx: num: ax - bb fiunt aequales inter se . Sed contingere quoque potest , ut recta AB, nec secet, nec tangat para holam : scilicet si a minor sit, quam asm: n, quum in isto casu esusdem aequationis radices duae evadant Imaginariae.
VIII. Proponatur demum ranstruenda . um quatio ν --2ar 2 v xxfaxmo, quae simi. .. Σ' ιειον locum exbibet ad parabolam , ob t est iam β'
189쪽
ve etiam Ez in ax ' aet . Capiatur quoque x la - u, ita ut sit ax ' aa m au . Et erit ea metou aequatio reducta. In subieeto itaque plano ducatur recta Fio. 8 i. quaeV AB s per cujus portiones AN designentur valores incognitae x . Et quoniam in reductione habetur x l a in v , capiatur super ea ad plagam oppositam portio AC ina, Quumque fiat unaquaeque CN tra x l a , designabunt portiones istae CN valores incogni
Sit de Inde CD recta , cui esse debent ae- quid istantes ipsae NM , quae valores reserunt alterius incognitae ' . Et quia in reductione habetur quoque ''a a -. x e . abscinda. tur ex CD portio CE in a. nec non, Comple to parallelogrammo AE , ducatur in eo diagonalis CF , quae ipsis NM occurrat in o. uumque habeatur quaelibet OMm v - x ; designabunt ipsae O M valores in cogntis
Jam rectae OM correspondent portlon ἱ-hus ipsius CF . Quare CF debebit esse di ameriter describendae parabolae . Et quoniam, posito , quod CA sit ad CF , ut n ad s lnvenitur
quaelibet Co - turn ς parametrum illius diametri talem esse oportcbit, ut productum jus per sv : n sit au i proindeque erit an et sejusmodi parameter.
Abscindatur ergo ex CD portio CG :
190쪽
E L E M E N T A. Ityam 3 Et quemadmodum describendae para hoistae debet esse CF diameter , Sc CD recta . deis , finiens positionem suarum ordinatarum o ita necesse erit , ut abscissa illa portio CG sit parameter eius diametri. Quod autem per hujusmodi parabolam fiat satis propositae aequationi v - ao'. av f xx l ox o, ostendetur prorsus ut supra.
Notatu interim hic dignum existimo, quod sicuti punctum C est vertex parabolae, sic eadem parabola transire quoque debeat per
punctum A . Est enim CA ad CP , ut v ad r.
Itaque erit CF in ar: n et & propterea , quum sit CG in an: s, erit rediangulum GCF - aa, ct consequenter aequale quadrato, quod fit ex AF . Quare omnino necesse est , ut parabola transeat per punctum A. 1x IX. Atque ita quidem construuntur loca .a ad parabolam, per reductionem suarum aequationum ad sormulam simplicissimam . VideamuS itaque modo , qua ratione eadem loca 'si parabolam eonstrui debeant, reducendo eorum aequationes ad formatim , quaesis omnium maxime composita . Quem in finem , qualis sit istiusmodi formula,Operae pretium est, ut primo loco definiamus. Nimirum , reserendo parabolae puncta omnia ad rectam positione datam , per rectas
alias , quae sint diametri alicujus ordinatae ἔPer spieuum est , tria contingere posse. Primo, ut recta positione data sit ipsa illa diameter . Secundo , ut fit aliqua ejus parallela. Et tertio demum , ut angulum cum eadem diametro constituat. Unde, sicuti ex tribus hisce