Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

191쪽

casibus priores duo sub tertio continentur 3 ita S sormula parabolae , omnium maxime Composita , ea erit, quae ex tertio illo casu deducitur.

sit igitur EF aliqua parabolae diameter.

.ga. st que etiam EG recta , quae exhibet, tum parametrum ejus diametri, cum positionem suarum ordinatarum. Agatur deinde AD, eisdem diametto parallela I& per aliquod ejus punctum A ducatur quoque obliqua AB. Sumatur postea in AB punctum quodvis C; SE ductis rectis AF, CD, ipsi EG parallelis , po natur AC in n, CD m in , AD 3α r, EG m p. AF in q, S EF in r. Capiatur nunc in parabola punctum aliquod M . ex quo demittatur ad diametrum EF ordinata MO , conveniens cum AB in N, ct eum AD in Ra ponaturque adhuc AN; xsct NM ira ' . Quia ergo AN est ad N R , vh AC ad CD; erit NRm rex:n; adeoque,quum duae AF . Ro inter se sint aequales, erit Mo F f mx n f q. Et quoniam AN est ad AR, ut AC ad AD; erit AR , sive Fotra sxrna proindeque erit ΕΟ-r f sx: n. Jam, propter parabolam, Mo quadratum est aequale tectangulo GΕo . Quare erit 3ν

; propterea formulam parabolae, omnium maAxime compositam, comperta aequatio nobis

exhibebit. Perspicuum est autem,in hujusmodi sos mula itea terminosv l amu : π f mmxx: nn

192쪽

ELEMENTA. Is squadratum persectum constituere ue nec possuin ea deficere terminum amυ : n, quin simul

deficiat terminus alter nnmxx: nn . Unde vertintas regulae, tu pertu S traditae , pro cognoscendis locis ad parabolam , ex ipsa eorum formula generali prono alveo fluit. X. Sed ostendamus nunc , quo pacto, ope iuventa formulae peneralis , loca ad parabolam

definiendae sunt prim tina quantitates, quae locum determinant. Et si quidem omnes inveniuntur positivae; danda est rectis , quas reseritat, illa eadem positio , quam in figura soria mulae reperiuntur habere. Sed,si earum aliqua prodit negativa δ tunc recta, quam exhibet , capienda est ad plagam oppositam. Quantitates porro, quae locum determ Iinnant, sunt m , π , p, ρ, r, s. Verum, instituta comparatione , dumtaxat ipsarum p , ρ , ν valores innotescunt . Et, quantum ad priores duas m, Sc n. non nisi ratio , quam habent inter se, cognita fiet. Hinc valor unius ex iis sumi poterit ad libitum. Et tunc , per cognitam rationem , quam inter se habent, etiam

valor alterius notus evadet. Praestat autem,

utcumque assumere valorem ipsius n, quem tamen positivum semper esse oportebit. Determinati a valoribus ipsarum m, S π, Fio. 8a. etiam quantitatis s valor innotescet. In trian

gulo enim CAD notus est angulus ΑCD,ve sui aequalis angulo AN M, qui vel datus est, vel sumitur ad libitum . Quare, ubi duo ejus latera AC,CD,designata per quantitates π, RU, stinuiter nota sunt 3 cognoscemuS quoque

193쪽

ryo SECTIONUM CONICARUM tertium latus AD, quod exhibet quantitas r. Speciatim autem erit s n, ubi valor ipsius m nullus reperitur ἔ quandoquidem , evane

scente CD , cadit AB super AD , ct puncta

duo C, ct D coeunt in unum. illud quoque sedulo hic notandum extinstimo , quod ubi valor parametri p prodit negativus , tunc ipsa parabola volvenda sit conia cavitate sua ad plagam oppositam . Nec Dbscura est hujus rei ratio . Nam negatio illa, non tam assicit parametrum , quam abscissam, in quam parameter multiplicata reperitur. Unde, quum abscissa capienda sit ad partem contrariam I omnino necesse est, ut parabola sua concavitate respiciat plagam oppolitam. XI. Oporteat itaque primo, cooruere aequationem F ν-. 2ο ' cx ira o , quae locum exisibet ad parabolam . Quia in ea deost terminus x'; utique fractio am:n, per quam ille in formula multiplicatus reperitur, debet esse nihilo aequalis . Unde, quum sit m o I per ea, quae Paulo ante notata sutu , erit quoque

portiones AN rectae AB , ct existente AH

recta , cui esse debent aequid istantes valores alterius incognitae ' , construetur proposita aequatio in eum , qui sequitur . modum.

Abscindatur ex Ald portio AF in a.

194쪽

Tum , ducta Fo , ipsi AB parallela , capiatur

super ea portio ΓΕ - aa: c . Agatur postea EG parallela rectae AH , Ac fiat eadem ΕGine. Denique circa diametrum EF describatur parabola, ita ut EG exhibeat, tam parametrum ejus diametri, quam positionem suarum ordinatarum. Et parabola, subinde descripta, locus erit quaesitus. Ducatur enim ex puncto aliquo M or-d nata ad diametrum MO , quae extendaturusque donec ipsi AB occurrat in N. Et, positis AN . si ve Fo m x , S MN αα It ; erit ex constru ctione Eo aa: c -, x , & MO 2α γε a . Sed , propter Parabolam , Mo quadratum est aequale rectangulo GEO . Quare eritv - 2ο l ao oo -- cx , si ve etiam Π go f cx o. quae est aequatio construenda. XII. Oporteat etiam, construere aquationem θ' - 2am c t aaxx .cc ' 2ο - cx o, quae similiter locum exbibet ad parabolam. Quia hic adest terminus v ἔ instituta comparatione, habebitur primo 2 m: n aa: c. Quare, assumpta n dira c , fiet am Ea, tave etiam m - ε- a . Comparatis autem ter

minis reliquis , habebitur quoque 2 qmaa,2 qm: n p Ru c, Sc ρρ - pr o. Hinc, per reductionem .erit primo ρ o. Et, subrogatis in aequatione 2 qm:n - ps: n πα- c valoribus ipsarum m , n, ρ , erit sucundo p et cc.-- 2aa):s. Unde fiet tertio r m qq p uas: sc - 2aa . Et quoniam relate ad quantitatem c 2aa tria contingere possunt; ponamus , cc majorem esse quam 2 aa et qua ratione, ut positiva est quantitas cc - acla , sic

195쪽

ros SECTIONUM CONICA Ru Mualores ipsarum p , S r erunt pariter post iv I. Sit iam AB recta , per cuiuS portiones AN designantur valores incognitae x ; S ea, cui aequid istantes esse debent valores alterius

incognitae ' , sit AH . Capiatur in AB portici AC in m S ducta CD, ipsi AH parallela, sat

eadem CD - a, iungaturque AD . Extenda iat ut deinde AH versus A . Et, constituta AFω a. ducatur per punctum F re ta Eo , parallela ipsi AD . Fiat postea FΕ aas: scc-2oa , Sc ponatur parameter describendae parabolae EG - cc . 2aain; r. His peradiis , describatur parabola circa diametrum EF, ita ut recta EG designet, tam Para metrum ejus diametri , quam positionem suarum ordinatarum . Et facile erit ostendere , quod per eam fiat satis propositae aequationi . Nam , ducta ex aliquo eius puncto Mordinata ad diametrum Mo , quae Occurrat

ipsis AB, AD in N , R R, positisque ANτα

S NM tradi , erit, ob triangula aequi angula

196쪽

ELEMENTA.quemadmodum valores quantitatum p , &rfur Mom/nveniuntur positivi, quotiescumque ec ma b μ' jor est, quam 2 aa; ita iidem valoreS prodant a negati vi , ubi Per contrarium cc minor est, quam 2 aa . Id vero quum contingit, non

aliud fieri debet , quam sumere FE ad partem contrariam . ipsamque parabolum subinde describere, ut concavitate sua respiciat quoque plagam oppositam. Sed fieri quoque potest , ut sit cc aaa. Quumque in hoc casia quantitas cc- aaa fiat nihilo aequalis , evanescet quoque valor Para metri p; ipsa autemr infinita reperietur. Id vero mirum censeri: non debet. Nain , ubiliabetur cc it Iaa , duo Parabolae crura veriatuntur in hinas rectas , diametro EF parallelas 3 quarum una est ipsa AD , transiens per punctum A , altera in eadem a diametro distantia jacet ad partem oppositam. Nec sane dissicile erit, veritatem huius ostendere . Quotiescumque cnim hahetur co

ctam AD, perspicuum quidem est. Nam,quum

sit, ut AC ad CD , ita AN ad N R ; erit NR

197쪽

AD , aliam exigat ei parallelam ad partem arulcram ipsius EF. xiv. XIV. Caeterum , in compositione locorum parabolam illud sedulo notari debet, quod

comνυιῆοπε existentibus X, Sc di duabus construendae aetata. quationis incognitis , fieri quandoque possit,

- ut designari debeant per portiones AN rectae AB valores incognit aes , perque rectas NM ualores alterius incognitae x.Nec sane in utraque loca construendi ratione disti cile erit definire , quando demum id fieri debeat. Nimirum , quum construitur locus , per redustionem aequationis ad formulam simplieissimam, fieri id debet, quotiescumque in aequatione reducta per parametrum multiplica ta reperitur, vel incognita', vel quae ex ipsa. dependet. Sic aequatio xx - 2ax m cy mutationem illam ex posse l. Nam, faciendo x-- si in g,&I ' aa: c m. u, habetur loco ejus h aee alia 2E cu : ubi incognita u , quae reperitur per parametrum multiplicata , dependetexI ; quum sit ν l ao: cc M. Quotiescumque vero construitur locus, per redu tionem aequat ἰonis ad formulam compositam , illud idem seri debet, quando in aequatione construenda quadratum incognitae x ab omni fractione immune reperitur. Sic sequens aequatio xx-2ox ἰ c l uadidi et co

198쪽

ELEMEN TR. I9ς 2ax - 2Θ fcct o exigit quoque eam variationem; quia quadratum incognitae x illud est, quod in ca omni fractione denudaia

tum occurrit.

Patet autem , dari posse loca quaedam. quae utroque modo construi queant. Hujusis modi est sequens aequatio xx - 2v f D-2ax o . Nam primo in ea utriusque incognitae quadratum omni vacat fractione . Et deinde, si fiat ' - x se z, habebitur loco ejus haec alia ea - 2ax ; si vero ponatur X - v a m a ,&Ff a: a tm v, fiet zd in actu aequa tio reducta.

Illud quoque perspicuum est, quod ubi

aequatio construitur, per reductionem ad formulam compostam, eademque natura sua mutationem illam Exposcit,debeant etiam in foris mula incognitae variari. Sic formula , cum qua comparanda est aequatio xx - 2au: c laavt cc-2ox - ΣΘ ' cc iza o , haud qui in

Ratio conseruendi loca ad eli Dian, ου circulum aperitur.

I. stenso . qua ratione loca ad para- . i I holam construuntur 3 sequitur- N a nune,

199쪽

ivpβm D nunc , ut eorum , quae sunt ad ellipsim , con- istinis structionem aggrediamur.Cum iiS autem conisses iungemus quoque loca , quae circuli circum.

ferentia terminantur ἔ quia , ut saepius dictum est , circulus velut species quaedam ellipsis debet haheri. Primo igitur ostendemus , quo pacto loca ad ellipsim construantur, adhibita formula, quae casum continet, omnium simplicissimum. Et in ellipsi quoque . non secus ac in parab la , casus simplicissimus habetur , quum ejus pnnfra omnia ad aliquam ipsius diametrum reia feruntur per rectas , quae Ilat diametri illius ordinatae. Fro. 8s. Sit ergo A centrum ellipsis , & BC alia qua ipsius diameter. Sit etiam BD, tum para meter ejus diametri , cum res ta , cui omnes ejusdem dis metri ordinatae sunt parallelae. Capiatur in ellipsi punctum aliquod M , ex quo demittatur ad diametrum BC rem MN , ipsi BD parallela . Tum ponatur AN - x, MN, S AB . vel AC in LJam, ob naturam ellipsis, MN quadratum est ad differentiam quadratorum AB, AN , ut est BD ad BC . Quare, si ponamus BD esse ad BC , ut est π ad m ; erit, ut v ad m , itan adddi xx; proindeque ellipsis localis aequatio erit mis: n - ώ - xx . Unde semper ac se quatio aliqua ad istiusmodi formam reduci poterit , tunc illa ad ellipsim proculdubio nos

mantaducet.

Sed notetur hoc loco velim , quod etsi . ordinata MN cadat infra centrum A, adhuc tamen aequatio localis ellipsis sit mast: n i dd

200쪽

ELEMENTA. Is - xx. Nam , licet in hoc casu habeatur AN αα --x; nihilominus ejus quadratum est semper xx. Et ob eandem rationem eadem adhue erit ullipsis aequatio localis , ubi ordinata ducitur ad diametri partem oppositam, quia, ct si fiat MN - - γ , quadratum tamen ex MN semper erit 'F. II. Neque vero difficile erit definire, qua in II.

lis esse debeat aquatio , qua subinde reduci possit, ut formam induat istus nan: n dd n mota

- xx . Primo enim , si in aequatione incognitae duae non reperiuntur simul multiplicatae, reducetur ad eam formam talis aequatio, si ab utraque ejus parte existant quadrata incognitarum , contrariis signis affecta. Proponatur, exempli gratia , aequatio a r c - 2ο - 2bx - xx.Fiat 5 - x in u, Et quoniam habetur ahx - xx α ιθ - Ma; substitutione peracta, erit adidi: c - Συ - δθ

ae s bb F. Et habebitur demum aza : c - θ - uu, quae est ejusdem formae cum aequatione ellipsis mD: n - ώ - xx. Quod si autem in aequatione incognitae duae simul multiplicatae reperiantur I tunc, ut illiusmodi aequatio formam induat istiusmo: ν- ώ- xx, oportebit, utriusque incognitae quadratum ita quidem in ea contineri , ut trana latis ad eandem aequationis partem , tum terminis, quadrata illa continentibus , cum