장음표시 사용
201쪽
m. III. Sed exemplis modo ostendamus , quari,ii ' rot one, per reductionem aquationis ad formuis
.ai. lam simplicismam , loca ad ellipsim confruaπ- ,. t r . Primo itaque . proponatur construendas inviam aequatio an οῦς -- 2ο - 2bx - - , quae, ut paulo ante ostensum est , reducitur ad aget: comptum νε - - ' - an, ponendo , - π N,I c&acthb- Τ.FIG. 86. Ducatur in subiecto plano recta quaevis AB , ex qua abscindatur portio AC in b. Iamque, si designentur per portiones AN istius
AC valores incognitae x , fiet unaquaeque reliquarum portionum CN - h x; adeoque, quum habeatur b - x u, ipta CN designabunt valores ih cognitae v.
Sit deinde CD recta, cui esse debent aequiis
202쪽
ELEMENTA. Is squidistantes ipsae NM , quae valores reserunt alterius incognitae3. Et quoniam in reductione habetur F-c in g, abscindatur ex CD
portio CE M e , ct ducta per punctum E recta EF , ipsi CA parallela , fiet quaelibet OM
EGI - a r, atque adeo ipsae O M valotes telarent incognitae E.
Denique , quum aequatio reducta stoeta: ς et Τ- uu, liquet, quod , si hinc inde a puncto E capiatur , tum EF , cum EG-L. debeat esse FG quaestae ellipsis diameter . Et quemadmodum , ducta FH, ipsi CD parallela, diametri eius ordinatae debent esse aequi diis stantes rectae FH; Ita,si fiat, ut FH sit ad FG. veluti est e ad a , erit eadem FH parameter illius diametri. IV. Ut autem ostendere possimus , ellia Uim isam ese lineam,ad quam refertur aquatio a=y: c - 2ο , 2bx ,- xx , juvat prius advertere, quod si fiat AB dupla ipsius ΛC,ea necessario transite debeat per puncta duo A, ct B . Nam in aequatione , de qua agitur, sponatur di o , habebitur ahx - xx D, unde insertur, tum cum x - 2 b.
Id quum zia sit, agantur rectae A Κ , BD ipsi F H parallelae , & capiatur primo in portione ellipsis KL punctum aliquod M,ex quo demittatur ad diametrum EF ordinata Mo, quae ipsi AB oecurrat in N. Jamque , positis ΑN in x , & MN F; erIt ex constructione CN, sive ΕΟ, vel θ - x, vel x . . b, & Momy -- c. Sed, propter ellipsin, Mo quadratum est ad disserentiam quadratorum EF,ΕΟ,
203쪽
si locost valor ipsus ac ' bb reponatur. Capiatur secundo in portione ellipsis BGL punctum aliquod M , ex quo etiam demitta tur ad diametrum FG ordinata MO , ipsi AB occurrens in N . Et quamquam in isto casa maneat adhuc AN tra x , ct MN - γ ς tamen erit semper CN , sive Eo α x - β , &Mo esse poterit, vel ' - c, vel c - I . Interim , quia quadratum, sive fiat ex θ - e , sive ex ς - ' . est semper II - 2s f cc rursuS, ob ellipsis naturam , erit ut antea si ν zc
Capiatur tertio in portione ellipsis AF punctuna quodvis M , ex quo ducatur ad diametrum FG ordinata MO , ipsi AB occurrens in N . Patetque in hoc casu , manere quidem MN - ν , sed fieri AN - - x . Hinc erit semper CN, sive ΕΟ - θ -- x , & Mo esse poterit, ut in casu praecedenti , VeIF-- , Vel c-3. Quare, ob ellipsi S naturam, habebitur semper aequatio πν : c - 2ον ' ac in F -- b, ' a - xx , quae reducta fiet
Capiatur demum in portione ellipsis AB punctum quodvis M , ex quo pariter demittatur ad diametrum FG ordinata Mo, ipsi AB Occurrens in N. Quamque in isto casu fiat AN x, ct MN - - ' , erit CN, sive Eo , vel δ - x, vel x -- b, & Mo erit semper -F lc . Unde, propter naturam ellipsis , adhuc habebitur aequatio audi: c - 2ών - a xx. V. Pro
204쪽
Ducatur in subjecto plano tecta quaevis AB , S per portiones ejus AN designentur valores incognitae x. Quumque habeatur xlcst hcc: sa - u , capiatur ad Partem oppositam portio AC- c ' bce et aa . Et quoniam fit quaelibet CN 22 x f c t hcci. aa, designabunt portiones CN valores incognitor v. Sit deinde CD recta , cui esse debent ae inqui distantes ipsis NM , quae valores reserunt alterius incognitae s. Et quoniam in reductione habetur--, a s ox c - Ζ, abscindatur ex CD tum portio CE a , cum portio EF, quae sit ad AC, ut est a ad c . Jamque completo parallelogrammo ΑΕ, duetaque FG, ipsis NM occurrente in Ο, fiet unaquaeque OM: F-- a s ax: e; adeoque ipsae OM valores reserent incognitae z. Quoniam autem rectae OM correspondent portionibus ipsius FG; utique debet en se F centrum describendae ellipsis , S FG positio suae diametri. Verum portiones illae Fotunc demum reperiuntur aequales ipsis CN, ubi aequales sunt duae AC , FG. Unde procul est . ut eaede ni Fo designare queant valores incognitae u* adeoque, etsi aequatio reducta sit ccete i a in 1f- su, multum tamen abest,
ut sitfsemidiameter quaesitae ellipsis, S ut ratio parametri ad diametrum sit aequalis ei. suam habet οβ ad cς. Quia
205쪽
aos SECTIONUM CONICA Ru MItaque , ut definiamus , tum semidiameia itum describendae ellipsis , cum rationem parametri ad diametrum; sit AC ad FG , ut es c ad s.Quumque hac ratione fiat quaelibet FO su: c ; si ponamus ulterius , quod quaesita semidiameter si g, ct quod ratio parametri ad diametrum sit aequalis et , quam habet n ad m; erit ejusdem ellipsis localis aequatio mete: u dim
Capiatur ergo super pG hine inde puncto F , tum FH , cum FΚ in Isic ς & etie HK diameter quaesitae ellipsis. Ducatur porro per punctum H recta HL , ipsi CD parallela; S fient diametri eius ordinatae aequidistantes rediae H L. Constituatur demum HL talis longitudini , ut sit HL ad ΗΚ , veluti est aa ad frict erit eadem HL parameter illius diametri. VI. VI. Hic et Iam , ut ostendere possimus
Id , quum ita si, agantur rectae AQ. Psipsi CD , vel HL parallelae . Et capiatur pru
206쪽
mo in portione ellipsis AKQ punctum alia quod M, ex quo demittatur ad diametrum HK ordinata Mo, ipsi AB oecurrens in N. Jamque, positis AN - x, ct MN --etit ex constructione CN in x ' e ' hce: aa . S MOvel ' a 'ax: c, vel - ' ' a -ax: c . Sed CN est ad Fo, ut AC ad FG, sive etiam, ut caci s . Quare erit FΟ - sx: c ' a ' bic: aa. Quia autem, propter ellipsim , MO quadratum est ad disserentiam quadratorum FH. Fo, veluti est HL ad ΗΚ, erit,ut γ' -- ao faa ' aaxy: c -- 2 oax : c t aaxx : cc adfsicc
minis omnibus ad eandem partem , ct posito loco F valore ejus acc ' abca: aa ' hbc' : a', reducitur ad D avl aov etc ' a ooxx: cc , abx - P. Capiatur secundo In portione ellipsis in punctum aliquod M . ex quo etiam demittatur ad diametrum ΗΚ ordinata Mo, ipsi AB occurrens in N. Et quamquam in isto casu maneat M N , set tamen AN - x. Unde adhuc erit CN aedi x ' e ' Acciaa,Sc FΟ ix: c ' i l bic aa ; sed Mo erit semper diu ast ox : c et proindeque, ob naturam ellipsis, rurisius erit ut antea 'di'. avlaav:cl aoaxx: ec' et D. Capiatur tertio In portἰone ellipsis PHs punctum quodvis M , ex quo similiter duca
tur ad diametrum ΗΚ ordinata Mo, ipsi AB
207쪽
Quare , ob ellipsis naturam, habebitur semper
VII. Atque ita quidem construuntur loca ad ellipsin, per reductionem suarum aequationum ad formulam simplieissimam. Videamus itaque modo , qua ratione eadem loca ad ellipsim conserui debeant, reducendo earum aqua tiones adformulam , quae sit omnium maxime composita. Quem in finem , qualis sit istiusmodi formula, operae pretium est , ut primo loco definiamus. Nimirum . reserendo ellipsis punm omnia ad rectam positione datam , per rectas alias,quae sint diametri alicujus ordinatae; perinspicuum est . tria contingere posse . Primo, ut recta postione data si ipsa illa diameter. Scissurido , ut sit aliqua ejus parallela. Et tertio
208쪽
ELEMENTA. aes demum , ut angulum cum eadem diametro constituat. Unde , sicuti, ex tribus hisce casibus priores duo sub tertio continentur; ita S formula ellipsis , omnium maxime composita , ea erit, quae ex tertio illo casu deducitur. Sit igitur Ε centrum ellipsis , & Hic ali- Fis. 88. qua ejus diameter; sitque etiam H G recta, quae exhibet, tum parametrum illius diametri, cum positionem sitarum ordinatatum . Agatur
deinde AD , eidem diametro parallela ; & per aliquod ejus punctum A ducatur quoque obliqua AB . Sumatur postea in AB punctum quodvis C; & duetis rectis AF, CD, ipsi H G. Parallelis , ponatur AC m n, CD in m , AD - 1, ΕΗ, vel ΕΚ - t, HG p, AF - q,S
Capiatur nunc in ellipsi punetum aliquod M , ex quo demittatur ad diametrum HK ordinata Mo, conveniens cum AB in N . & cum AD in R ; ponaturque adhuc AN x, ct NM - I. Quia ergo AN est ad N R, ut AC ad CD ; erit NR - mx:χνὴ adeoque, quum duae AF, RO inter se sint aequales, erit MO ααγ f mx: n ' ρ . Et quoniam AN est ad AR, ut AC ad AD; erit AR , sive F Ο sx: n : proindeque erit EO M r f sx: n. Jam, propter ellipsim , Mo quadratum est ad disserentiam quadratorum ΕΗ, ΕΟ , ut est HG ad ΗΚ . Quare erit , ut 3y f am m. 'mmxx : nu ' aD ' a mx :n - ρρ ad tr. re
209쪽
omnium maXime compositam, comperta in inquatio nobis exhibebit. Perspicuum est autem , in hujusmodi formula coem cientem quadrati xx debere minui nonnihil, quo priores tres termini v famx .n ' mmxx: nn fpssxx : 2 tun constituere queant quadratum persectum; nec,deficiente termino amv: n, deficere quoque debere terminum alterum , in quo quadratum is continetur. Unde veritas regulae , superius traditae , pro cognoscendis locis ad ellipsim, ex ipsa eorum formula generali Prono alveo fluit. viii. VII l. sed ostendamus nunc, quo pacto, ope laventae formulae generalis, loca ad elli--m psim conseruantur. Nimirum , comparationis
oope,definiendae sunt primum quantitates,quae TUm μα- locum determinant. Et siquidem omnes inve- niuntur positivae ue danda est rectis , quRS ς' ferunt, illa eadem positio, quam in figura sormulae reperiuntur habere . Sed , si earum aliis qua prodit negativa δ tunc recta , quam exhi het, capienda est ad plagam oppositam. Quantitates porro, quae locum determinant , sunt m, n, p, ρ, r,s, t. Verum, instituta comparatione, dumtaxat ipsarum ρ, ρ, rat valores innotescunt. Et, quantum ad priores duas m, S π, nonnis ratio, quam habent inter se, cognita fiet. Hinc valor unius ex Iissumi poterit ad libitum . Et tunc , per cognitam rationem , quam inter se habent, etiam valor alterius notus evadet. Praestat autem,
210쪽
ELEMENTA. ad utcumque assumere valorem ipsus n, quem tamen positivum semper esse oportebit. Determinatis va Ioribus ipsarum m . & π, etiam quantitatis r valor innotescet. In triangulo enim CAD notus est angulus A CD, velut aequalis angulo ANM , qui vel datus est, vel sumitur ad libitum . Quare , ubi duo ejus latera AC, CD , designata per quantitates n. S m, similiter nota sunt; cognoscemuS qu que tertium latus AD, quod exhibet quantitas s. Speciatim autem erit s m n, ubi valor ipsius m nullus reperitur quandoquidem, evanescento CD, cadit AB super AD , &puncta duo C, S D coeunt in unum. Quantum ad valorem parametri p , ille nunquam negativus potest orari. Unde, quod in constructione locorum ad parabolam observavimus , nequit hic locum habere . Potius valor semidiametri t oriri potest quandoque imaginarius . Et quum id contingit, indicio est, quaesitum locum contradictionem aliquam involvere. Nec reticebimus ejusdem semidiametri valorem posse etiam interdum nihilo aequalem inveniri; S in eo casu optata ellipsis ad simplex punctum reducetur. IX. Oporteat itaque primo, construere α-
Deum exhibet ad ellipsim . Quia in ea deest terminus v ὴ utique fractio 2m: u , per quam ille in formula multiplicatus reperitur , debet esse nihilo aequalis . Unde , quum sit m in O; Per ea , quae Paulo ante notata sunt, erit quoque n in s ς adeoque ipsa sormula fiet v f