장음표시 사용
211쪽
dicis , fiet i ac ' cc) : proindeque, desi-Fru. 39. gnatis valoribu S incognitaex per portiones AN rectae AB, & existente AL recta, cui esse
debent aequidistantes valores alterius incognitae ν , construetur proposita aequatio in eum, qui sequitur , modum .
Abscindatur ex AL portio A aea.Tum, ducta FG , ipsi AB parallela , capiatur super ea hinc inde a puncto F , tam portio FH, quam portio FK -- ac ' cc). Agatur postea HG , parallela rectae AL , S constituatur eadem H G talis longitudinis , ut sit HG ad
HK in eadem ratione , quam habet a ad c . Denique diametro HK describatur ellipsis, ita ut recta HG exhibeat . tam parametrum ejus diametri , quam positionem suarum ordi natarum . Et ellipsis, subinde descripta , locus erit quaesitus. Ducatur enim ex puncto aliquo M ordinata ad diametrum Mo, quae extendaturusque donec ipsi AB occurrat in N . Et, posi
212쪽
oxx : c , sive etiam v av f axx : c ac αr o , quae est sequatio construenda. X. Oporteat etiam , confruere aquaiso- α
nem v : aav οῦ ς ' a oaxx et cc ab ' aam o , quae similiter locum exhibet ad ellipsim . eammQuia hic adest terminus xy, instituta compara.
tione, habebitur primo Em:πα - ao: .Quare, assumpta n m c , fiet 2m aa, sive etiam m a . Comparatis autem terminis reli
213쪽
tilo SECTIONUM CONICARUM nisi sit abb maior, quam sis, valor ipsius t, vel nullus , vel imaginarius prodibit. Ponamus ergo,2b, majorem esse,quam ad. Et, designatis valoribuS incognitae x per portiones AN tectae AB , sit A L ea , cui aequid i stantes esse debent valores alterius incognitae ' . Capiatur in AB portio AC c. Εt,ducta CD, ipsi AL parallela, fiat eadem CD a, iungaturque AD . Abscindatur deinde ex AL portio AF α δ , perque punctum F agais tur tecta FΕΟ, parallela ipsi AD. Fiat postea FΕ - ,si a . Et hine inde a puncto E capi a. tur , tam portio Eld , quam portio ΕΚ - I sabbss:aa --. 1s) . Ducatur porro HG , aequid istans ei. dem AL, ct constituatur eadem H G talis lon. gitudin s , ut sit HG ad ΗΚ in eadem prorsus
ristione . quam habet aa ad fr. Denique diametro HK describatur ellipsis , ita ut HGexhibeat , tam parametrum eius diametri . quam positionem suarum ordinatarum . Et
ellipsis , subindo descripta , locus erit quaesitus . Quod ut palam fiat, ducatur ex puncto aliquo M ordinata ad diametrum MO , quae occurrat ipsis AB , AD iu N , S R ; positis. que AN im x . S NM eras , erit, ob trianguinta sequiangula A CD, AN R,NR ax: c , de AR , sive FΟ - 1x: c. Hinc, quum sit MR -γ--ax:c,& AF,
ud disserentiam quadratorum in , ΕΟ , ut est
214쪽
ita aa ad rr 3 eritv - aam. ς' saxx: cc ab ' et auex: c f bb in abb - aa - aaxx: aabx: c M, quae redum exhibebit aequationem propositam n- 2av .cf2aaxx:cc - 2Θ ' aa m o. XI. In allato igitur exemplo , ut valor XI. semIdiametri t realis evadat, necesse est, ut abb major sit, quam Oa. Sed, si fuerit abb mi- fua amaeanor quam aa ; tunc ejusdem semidiametri va- lor prodibit imaginarius 3 adeoque ipse locus construendus contradictionem aliquam im volvet. Et denique , si habeatur 2b, - aa peti ne evanescet valor semidiametri t ; atque adeo ipsa ellipsis describenda in centro F tota colligetur. Et sane , quum aequatio construenda sitv -- 2av:c ' 2aaxx .ce - 2Θ f aa in O, sive ctiam γν - aav e c f oaxx : cc - 2Θ -
Hinc, ut valor incognitae 3 realis reperiatur,necesse est, quantitatem bb l 2abx .c saxx .cc - aa, vel nullam esse , vel positivam. Talis autem esse non potest , quotiescumque
abb minor est, quam aa . Nam posito , quodo a sit
215쪽
Sed non perinde res est , quum abb maior est , quam Oo . Tunc enim poni debet abb, Τ -ao ῶ adeoque , per substitutioneni, quantitas bb ' aahx: c - aaxx cc ε- ca evadet hi l a auex: c - aa dice .- abb l F, hoc est. Ab f a auex: c-- aaxx: cci F , quam, perspicuum est , tunc tantum esse realem &negativam, quotiescumque s sive abh. aa minor est , quam Ab 2ahx cc t aaxx cc. Nec item id accidit, quum habetur ahb- aa . Nam in isto casu illa eadem quantitas fiet - hb f aabx: c - oaxx : cc , quae nulla evadit, si ponatur x bcta . Atque hine est , ut in hypothesi , quod sit abb aa . elisi ipsis tota in centro colligatur. Nimirum, quia in ea hypothesi tunc tantum valor incognitae' realis reperitur, quotiescumque hahetur κω hc: a. xii. XII. Caeterum , is compositione locorum
-- .....'ςVipsim illud quoque sedulo notari debet,
M.,ω- aa quod existentibus x , &' duabus construenis, oris . . . dae aequationiS incognitis, fieri quandoque possit, ut designari debeant per portiones Asrectae AB valores incognitae', Perque rectas NM ualores alterius incognitae κ . Nec sane in utraque loca construendi ratione di melle erit definire , quando demum id fieri debeat. Ni
216쪽
ELEMENTA. 2I Nimirum, quum construitur locus , per reductionem aequationis ad formulam simplieissimam , fieri id debet, quotiescumque in aequatione reducta per fractionem aliquam multiplicatum reperitur quadratum , vel incognitae x , vel ejus , quae ex ipsa dependet.
me fractionem m: n reperitur multiplicatum quadratum incognitae E , quae dependet ex xἄ
Quotiescumque vero construItur locus. per reductionem aequationis ad formulam compositam, illud idem fieri debet, quan do in aequatione construenda quadratum iniseognitae x ab omni fractione immune repe ritur. Sic sequens aequatio πι - 2am. cfllaa D: cc - 2ax - 2θ ' cc o exigit quoque eam variationem , quia quadratum inc
gnitae x illud est , quod in ea omni fractione
denudatum occurrit. Interim , quum construitur aequatio, per reductionem ad formulam compolitam , ea demque natura sua mutationem illam exp scit, necesse est, ut etiam in sormula incognἰ-tae varientur . Sic formula , cum qua compa randa est aequatio xx-- aaxν : c ' astasty : co - 2ax.- ab ' ω-o , haud quidem esse
217쪽
ar 4 SECTIO NuM CONICA Ru MFatendum est tamen , variationem i stam non esse absolute necessariam . Nam in priore exempla , etsi per reductionem habeatur
fractionem multiplicatum reperitur quadratum incognitae u , quae dependet ex F;
Atque ita quoque in secundo exemplo, etsi aequatio sit xx - aau: c ' 2aa . cc aax-- aby l cc o ; multiplicatis tamen terminis omnibus per cc , iisdemque divisis per Iaa, habebitur ccxmaas cv:a f v ccx:a - bco: aa ' c': 2aa m o t vhi quadra tum incognitae' omni vacat fractione . Nec dissicile erit intelligere,quod hoc idem praesta. ri possit in omnibus aequationibus, quae ad elislipsim nos manuducunt. XVI, XIII. Ouantum ad eompositionem k
ea fieri debet, perinde ac si loca ipsa essent
νη-e ita ad ellipsim ς quum revera circulus velut speis ei es quaedam ellipsis debeat haberi. Innot stet autem, locum esse ad circulum, quoties cumque, constructo loco, parameter fit aequa lis diametro , ad quam rosurtur , itemque ordinatae rectos cum eadem diametro angulos constituunt; quum non aliter ellipsis in circulum abire queat, quam quum duo ista co tingunt. Proponatur, exempli gratia, construenda aequatio II - 2υ - abx - - , quM ad
218쪽
Ducatur jam in subjecto plano recta Floquaevis AB , ex qua abscindatur portio AC αα δ . Et siquidem designentur per portiones AN istius AC valores increuitae x, fiet una quaeque reliquarum portionum CN h-x , adeoque , quum habeatur B -x in a, ipsae CN designabunt valores incognitae v. Sit deinde CD tecta , cui esse debent aris quid istantes ipsae NM , quae valores referunt alterius incognitae 3.Εt quoniam in reductione habetur 3 - a E . abscindatur ex CD
portio CE - a ue S ducta per punctum E r cta EF, ipsi CA parallela , fiet quaelibet O W-I - a ἔ adeoque ipsae o M valores reserent incoguitae Q.
Denique, quum aequatio reducta sit oec--uu , iiquet, quod si hinc inde a puncto E capiatur , tum EF , cum EG c , debeat esse FG quaesitae ellipsis diameter . Et quemadmodum , ducta FH , ipsi CD parallela , diametri eius ordinatae debent esse aequi distantes rectae FH a ita si fiat , ut FH si ead FG in ratione aequalitatis, erit eadem FH parameter illius diametri. In constructo igitur loco inventa est parameter FH aequalis diametro FG,ad quam xefertur. Unde , si ordinatae eiusdem diameis
219쪽
ais S E CT IONUM eo NICARUM tri OM rectos cum ipsa angulos constituant, jam ellipsis vertetur in circulum ἔ adeoqtIecomponetur quaesitus locus, describendo circuli circumferentiam ex puncto E tanquam centro , S intervallo ipsius EF , sive EG.
De confructione locorum ad hyperbolam, relate ad dia-
metros consideratam. Σ.--- ὼ I' Eliquum jam est , ut constructi
nem locorum ostendamuS, qua '---,ia hypζ boum nos ducunt. Hujusmodi loea ... a.....ia duplici S speciei esse possunt. Nam hyperbola, per citiam terminantur . considerari potest. doris, ori vel relate ad ejus diametros , vel in ordine ad suas asymptotos. Unde eorundem Iocorum constructionem duobus etiam capitibus comis plectemur a S in isto quidem agemus de locis illis, in quibus hyperbola re Iate ad diametros consideratur ; tum capite sequentl ea proseis quemur, in quibus hyperbola sub contemis plationem venit relate ad asymptotos. Tradituri autem constructionem loco istum ad hyperbolam , relate ad ejus diametros consideratam , ostendemus primo loco , qua ratione ea construi debeant, adhibita forniualla, quce casum continet . omnium simplicissimum . Et in hyperbola quoque , non secus ac
in parabola. S ellipsi , casus simplicissimus
220쪽
ELEMENTA. xij habetur , quum ejus puncta omnia ad aliquam ipsius diametram referuntur per rectar, qua sint diametri illius ordinata. Sit ergo A centrum hyperbolae . & BC PIO sa. a Iiqua ipsius diameter . Sit etiam BD , tum
parameter ejus diametri, cum redha , cui ominnes ejusdem diametri ordinatae sunt parallelari Capiatur in hyperbola punctum aliquod M, ex quo demittatur ad diametrum BC recta
Jam , Ob naturam hyperbolae, MN quadratum est ad differentiam quadratorum AN.AB , ut est BD ad BC . Quare, si ponamuS, BD esse ad BC, ut est n ad m; erit, ut n ad m, itan ad xx dd: proindeque hyperbolae t
ealis aequatio erit ordi' : n ira xx - M . Unde semper ac aequatio aliqua ad istiusmodi so mam reduci poterit, tunc ea ad hyperbolam, relate ad diametros consideratam,proculdubio
Sed notetur hoc loco velim , quod etsi ordinata MN ducatur in hyperbola opposita. adhuc tamen aequatio localis hyperbolae siem νύ n m xx dd. Nam, licet in hoc casu h heatur AN -x, nihilominus eius quadratum est semper xx.Et ob eandem rationem
eadem adhuc erit hyperbolae aequatio localis, ubi ordinata ducitur ad diametri partem Ορο postam; quia, etsi fiat MN ea: - ν , quadram tum tamen ex MN semper erit F. II. Neque vero dissicile erit definire, qu