장음표시 사용
221쪽
xis SECTIONUM CONICARUM dd . Primo enim , si in aequatione incognitae duae non reperiuntur simul multiplicatur, reducetur ad eam formam talis aequatio . si ab utraque ejus parte vXistant quadrata Inco
eus : a --ctb r a . Fiat quoque u - c m z. Quumque habeatur Μ - 2ο l cc - Ea, erietur sus per substitutionem zzz cua: a bb: assive etiam aEz: e as hue, quae est ejusdem formae cum aequatione hyperbolae locali mis: s
Quod si autem in aequat Ione incognitae duae simul multiplicatae reperiantur ἔ tunc, ut illiusmodi aequatio formam induat istius mdidi: nin xx G , oportebit , utriusque incognitae quadratum ita quidem in ea contineri, ut translatis ad eandem aequationis partem , tum terminis, quadrata illa continentibus, cum termino, incognitarum productum includente , debeat coefficiens unius quadrati augeri
222쪽
III. Sed exemplis modo ostendamus, qua HL ratione,per reductionem aequationis adfirma- ariam simplicisimam,confruantur loca ad Θperis is να ιι bolam, relate ad diametros consideratam. Primo itaque proponatur construenda aequatio υν:c po--- aa' ' sic em abx ' xx , quae, ut paulo ante '' ostensum est, reducitur ad azz:c uu -bb, ponendo x f b-st, S, Q. Ducatur in subjecto plano recta quaevis FaG.n. AB, per cujus portiones AN designentur vaαlores incognitae x. Et quoniam in reductione habetur x ' θααu . capiatur ad partem oppositam portio AC m b. Quumque fiat quaeliabet CN in x l b , designabunt ipsae CN valores incognitae v. Sit deinde CD recta , cui esse debent aequidi stantes ipsae NM , quae valores referunt alterius incognitae s. Et quoniam in reductione habetur quoque I c - Σ , abscindatur
ex CD portio CE m e;& ducta per punctum Ε recta EF ipsi in parallela , fiet quaelibet
O M tradi c ἶ atque adeo ipsae OM 'alores reserent incognitae E. Denique , quum aequat Io reducta sitam: τα ua bb, liquet, quod si hine inde a
puncto E capiatur, tum EF , cum EG b, debeat esse FG quae si tae hyperbolae diameter.
223쪽
Et quemadmodum, dum FH , ipsi CD paral
lela , diametri eius ordinatae debent esse aequia distantes rectae FH ; ita , si fiat, ut FH sit ad FG , veluti est c ad a, erit eadem FH parameistet illius diametri. IV. Ut autem ostendere possimus, hyperiniolam isam esse lineam , ad quam refertur .
quatio OF : c-av f ac pra abx ' xx, juvae prius advertere , quod si super m capiatve hine inde a puncto C, tum CΚ , cum CL tio ac bbl ; hyperbola quidem principalis transire debeat per punctum Κ, ejus vero opposita per punctum L. Nam in aequatione, do qua agitur . si ponatur di m o , habebitur ac in abx t xx, unde infertur , tum κήο δ sae' bb) , cum κια - - ac 'εδ . Id quum ita sit, capiatur primo in porritione hyperbolae principalis ΚFX punctum aliquod M . ex quo demittatur ad diametrum FG ordinata MO , ipsi AB occurrens in N. Jamque , postis AN - x , ct MN -', erie ex constructione CN , sive Eo xl δ,&Mo esse poterit, vel 3 c, Vel -43lc. sed . propter hyperbolam , Mo quadratum est ad differentiam quadratorum Eo , EF , ut Est FH ad FG . Quare erit, ut v - acdi l cc ad xx ' abae ' b, - bb, ita e ad a et Unde fiet DI : c 2 adi lac m xx' abae. Capiatur secundo in portione altera ejusdem hyperbolae principalis ΚΖ punctum
aliquod M , ex quo etiam demittatur ad diametrum FG ordinata Mo , ipsi AB occurrens in N . Et quamquam in isto casu maneat AN κ; fiet tamen MN αα I. Unde erit seruis
224쪽
c 3 atque adeo , ob hyperbolae naturam , erit rurius ut antea adidi: c - aa' ' ac tra xxlabx.
Capiatur tertio in portione hyperbolae oppositae LGX punctum quodvis M , ex quo adhuc ducatur ad diametrum FG ordinata Mo, ipsi AB occurrens in N . Et quoniam in isto casu fit AN - - x, S MN - ν;erit CN , sive ΕΟ - -κ - , , & MO esse poterit, vel F c , vel μ. y f c . Quare , ob hyper holae naturam , habebitur semper aequatio audi: c - 2 a' ' ac xx ' a . Capiatur denium in portione altera ejusdem hyperbolae oppositae LZ punctum quodvis M , ex quo pariter demittatur ad diametrum FG ordinata Mo , ipsi AB occurrens in N . Quumque in isto casu fiat AN -- π , & MN di ; erit semper CN . sve ΕΟ --x b, ct MO - - γ ' c. Unde, propter naturam hyperbolae, adhuc habe-hitur aequatio av:c - 2o' ' sic πι xx ' abx. V. Proponatur secundo construenda α- v. quatio altera , superius allata , v - 2D ' axu:c ' soaxx:cc ' abx m o, quae,ut ibidem υλ α ob:
Ducatur in subjecto plano recta quaevis FIO. 94, AB , S per portiones ejus AN designentur valores incognitae κ . Quumque habeatur
Portio AC in ac ' ce, i aa. Et quoniam fit
225쪽
xin SECTIONUM EO NICARUM hunt portiones CN valores incognitar u. Sit deinde CD recta , cui esse debent ae. qu Idistantes ipsae NM , quae valores referunt alterius incognitae I. Et quoniam in reductione habetur ' - . a ' a ax. C Σ, abscindaritur, tum ex CD portio CE re: a, cum ex EC. producta si opus, portio EF , quae sit ad AC, ut est ga ad c . Jamque, completo parallelogrammo ΑΕ, ductaque FG, ipsis NM occurrente in o , fiet unaquaeque ΟM a fadix:c ς adeoque ipsae o M valores reserent incognitae Q. Quoniam autem rectae OM correspondent portionibus ipsius FG ; utique debet ense F centrum describendae hyperbolae , S FG positio suae diametri. Verum portiones illae Fo tunc demum reperiuntur aequales ipsis CN , ubi aequales sunt duae AC, FG . Unde proeul est, ut eaedem Fo designare queant
valores incognitae u ; adeoque, etsi aequatio reducta sit cera: aa O uu F, multum tamen abest , ut sits semidiameter quaesitae hyperbolae , ct ut ratio parametri ad diametrumst aequalis ei, quam habet aa ad cc. Itaque, ut dcfiniamus , tum semidia meisitum describendae hyperbolae . cum rationem parametri ad diametrum , sit AC ad FG , ut este ad s. Quumque hac ratione sat quaelibet Fo in su:c , si ponamus ulterius , quod quaesita semidiameter stg , ct quod ratio parametri ad diametrum sit aequalis ei, quam habet u ad m , erit ejusdem hyperboIae localis
226쪽
Cupiatur ergo super FG hinc inde a puncto F . tum FH , cum FK in D:c ; S erie HK diameter quae sit te hyperbolae . Dueatur Porro per pundium H , recta HL , ipsi CD parallela ἔ ct fient diametri ejus ordinatae aeis qui distantes rectae H L. Constituatur demum HL talis longitudinis , ut si HL ad ΗΚ, ve- Iuti est aa ad si ; S erit eadem HL parameter illius diametri. VI. Hic etiam . ut ostendere possimuS, IV. hujusmodi Θperbolam fatisfacere propositae aquationi B - aD ' 4ου : c ' 3aoxx : cc 'a o , juvat prius advertere , quod si super AB capiatur ad partem oppostsin portio Fio.94. ΑΡ abcc: 3aa , hyperbola quidem principalis nultimode secet rectam AB . ejus autem opposita transire debeat per puncta duo A.&P . Nam in aequatione, de qua agitur , si ponatur. o , fiet Saaxx:cc ' abx se o , unde
Id quum ita sit , capiatur primo in hyperbola principali pundium aliquod M, ex quo demittatur ad diametrum HK ordinata Mo, ipsi AB occurrens in N. Et quoniam hieponi debet AN in x, S MN - --γ ς erit ex constructione CN αα κ . . 2c-. cch : aa, ScMo vel ν - a s 2ax: c vel --I ' a - 2ax:c.
Sed CN est ad Fo , ut AC ad FG , sive
Quia autem , Propter hyperbolam, MO
227쪽
x14 SECTIO NuM CONICA RU Mquadratum est ad differentiam quadratorum
Fo , FH , veluti est HL ad ΗΚ ; erit, ut v
hbc :a' , reducitur ad D aadi l 4oxy: c 'gaaxx:cc l 2bx o. Extendatur deinde in hyperbola opposita ordinata AG versus I, ct capiatur in portione ejus AKI punctum aliquod M , ex quo etiam demittatur ad diametrum HK ordinata MO, ipsi AB occurrens in N . Et quamquam in isto casu maneat AN in x , fiet tamen CN- -- x ' ac ' cch: aa ; adeoque erit FΟ --- rx : c ' as ' bic : aa . Quumque hic poni debeat MN - γ ; erit adhuc Mo , vel ' ast aax:c, vel --γ ' a - aax: c t proindeque,
ob naturam hyperbolae , rursus erit ut antea
v - 2ο f qav:c ' 3oaxx: cc ' auex o. Capiatur tertio in portione hyperbolae oppositae AP punctum quodvis M , ex quo
228쪽
Capiatur demum punctum M In aliqua
duarum reliquarum Portionum hyperbolae oppositae, ex quo pariter demittatur ad diametrum HK ordinata Mo, ipsi AB occurrens In N. Et quoniam in isto casu fit AN -x,
holae, semper habebitur aequatio Π au f4i v .c f 3alixae .cc ' 2bx in o. VII. Atque ita quidem construuntur ΙΟ-ca ad hyperbolam , relate ad ejus diametros consideratam, per reductionem suarum aequationuna ad formulam simplicissimam . Videa mus itaque modo , qua ratione eadem loca ad perbolam construi debeast, reducendo ea-ram aquationes ad formulam, quae sit omnium maxime composita . Quem in finem , qualis sit ejusmodi formula, operae pretium est , ut primo loco definiamus. Nimirum , reserendo huperbolae puncta omnia ad rectam positione datam , per rectaSalias , quae sint diametri licuius ordinatae, perspicuum est, tria contingere posse . Primo, ut recta positione data sit ipsa illa diameter.
Secundo, ut sit aliqua ejus parallela . Et ter tio demum , ut angulum cum eadem diametro constituat. Unde , sicuti ex tribus hisce casibus priores duo sub tertio continentur, ita & formula hyperbolae, relate ad diametros consideratae , omnium maxime composita , ea erit, quae ex tertio illo casu deducitur.
229쪽
ix 6 SECTIONUM CONICA Ru Maliqua ejus diameter ; sitque etiam HG recta quae exhibet , tum parametrum illius diametri , cum positionem suarum ordinatarum. Agatur deinde AD , eidem diametro parallela ; & per aliquod ejus punctum A ducatur quoque obliqua Ab . Sumatur postea in Adpunctum quodvis C; ductis rectis AF , CD , ipsi H G parallelis , ponatur AC - π, CD i m , AD ti s , ΕΗ , vel BK in t , HG- p, AF in q& EF mr.
Capiatur nunc in hyperbola punctum liquod M, ex quo demittatur ad diametrum HK ordinata Mo, conveniens cum Ab in N, ct cum AD in R ; ponaturqne adhuc AN ΣΣx , ct MN M'. Quia ergo AN est ad N R, ut AC ad CD ; erit NR--n; adeoque, quum duae AF , Ro Inter se sint aequales , erit Mo di ' mx:n ' ρ . Et quoniam AN est ad AR, ut AC ad AD; erit AR, sive FO
lx : π: proindeque erit ΕΟ - ν ' sx: n. Jam , propter hyperbolam, Mo quadratum est ad differentiam quadratorum ΕΟ,
mulam hyperbolae, relate ad diametros consideratae , Omnium maxime compositam , comis Perta aequatio nobis exhibebit.
Perspicuum est autem, in hujusinodi
230쪽
Ε Ε Ε M E N Τ R. sormula coefficientem quadrati xx augendum esse nonnihil , quo priores treo termini v famn .u ' mmxx:nu -- pysxx. atus constituere queant quadratum persectum ς nec , deficiente termino amxν ἐπ , descere quoque de- here terminum alterum , in quo quadratum xx continetur. Unde veritas regulae, superius traditae, pro cognoscendia locis ad hyperbo. Iam , relate ad suaS diametros consideratam, ex ipsa eorum sormula generali, prono alveo fuit. VIII. Sed oster damus modo , quo pam, ope inventa formula generalis , loca ad Oper. Bolam , relate ad diametros consideratam , conseruantur . Nimirum , comparationiS ope,definiendae sunt primum quantitates , qua locum determinant. Et squidem omnes inveniuntur positivae I danda est rectis , quas reserunt, illa eadem positio , quam in figurasormulae reperiuntur habere. Sed si earum aliqua prodit negativa δ tunc recta , quam exhibet , capienda est ad plagam oppositam. Quantitates porro,quae locum determinant , sunt m , π, p, ρ, r, r, t. Verum, instituta comparatione , dumtaxat ipsarum ρ, ρ, r, rvatores innotescunt. Et, quantum ad prioreS duas m , S u , nonnisi ratio, quam habent i ter se , cognita fiet. Hinc valor unius ex iis sumi poterit ad libitum . Et tunc, per cognitam rationem , quam inter se habent, etiam Valor alterius notus evadet. Praestat autem, utcumque assumete valorem ipsius π , quem tamen positivum semper esse oportebit.